CAPITULO 3º SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO- 01. Ing. Diego A. Patiño G. M.Sc, Ph.D.

Transcripción

1 CAPITULO 3º SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO- 0 Ing. Dego A. Patño G. M.Sc, Ph.D.

2 Solucón de la Ecuacón de Estado Solucón de Ecuacones de Estado Estaconaras: Para el caso estaconaro (nvarante en el tempo), es decr: A, B, C, D constantes se debe determnar la solucón x(t) de la ecuacón para un estado ncal x(0) y entrada u(t), t 0 dados. Empleando el procedmento del factor ntegrante:

3 Solucón de la Ecuacón de Estado de la ntegracón de esta últma ecuacón entre 0 y t se obtene o lo que es lo msmo Como la nversa de e At es e At y e 0 I, la solucón es 3

4 Solucón de la Ecuacón de Estado La ecuacón anteror es la solucón general de la ecuacón de estado. Se conoce como la fórmula de varacón de los parámetros. La substtucón de dcha solucón en la ecuacón de salda (y Cx + Du) genera y(t): que evdenca la superposcón de la respuesta a entrada cero, debda a las condcones ncales, y la respuesta en estado cero, debda a la entrada externa úncamente. 4

5 Solucón de la Ecuacón de Estado La respuesta homogénea, para entrada cero es: X& AX Y CX y( t ) Ce X(0) La respuesta la determna la matrz de transcón de estados. El efecto de la matrz sobre la respuesta se vsualza empleando los retratos de fase. At 5

6 Solucón de la Ecuacón de Estado Retrato de fase: grafo de varas respuestas a entrada cero en el plano de fase: x &( t) x( t) Se elge un conjunto de condcones ncales en un área de nterés en el plano x vs x Se grafca la solucón homogénea como una curva drgda en el sentdo postvo del tempo. 6

7 7 Retratos de fase. λ < 0. Jordan Para la ecuacón: La solucón es de la forma: El sstema es desacoplado X X & (0) (0) x x e e x x t t

8 Retratos de fase. λ < 0. Jordan x 4 Dagrama de fase x 8

9 Retratos de fase. λ < 0. Jordan Valores propos: - y -4 Vectores propos: [0 ] y [ 0]. S una condcón ncal concde con una de estas dreccones, tambén lo hará la solucón: es el subespaco nvarante. Independente de la condcón ncal las trayectoras tenden al orgen [0 0]. Orgen: punto de equlbro estable Es la tangente a la curva para todo t x & Ax 9

10 Respuesta paso. λ < 0 Respuesta paso x y S B ( 4) y C ( ) Transfer functon: 5 s x s^ + 5 s

11 Retratos de fase. λ < 0. Qué representa un cambo de base? Los vectores propos: [ -] y [ ] La matrz A nueva: 4 ; ; 3 λ X λ X & 3 M y M ˆ AM M A

12 Retratos de fase. λ < 0. 4 Dagrama de fase

13 Retratos de fase. λ < 0. Valores propos: - y -4 Vectores propos: [ -] y [ ]. S una condcón ncal concde con una de estas dreccones, tambén lo hará la solucón: es el subespaco nvarante. Solamente se han rotado los ejes Independente de la condcón ncal las trayectoras tenden al orgen [0 0]. Orgen: punto de equlbro estable Es la tangente a la curva para todo t x & Ax 3

14 4 Retratos de fase. λ < 0. B y C nuevas son: La funcón de transferenca: La descrpcón entrada salda es nvarante bajo transformacones smlares. ( ) ( ) 0 3 ˆ ˆ C B 4) )( ( 8 5 ) ( s s s s H

15 Respuesta paso Respuesta paso Respuesta paso X, y Ampltude x Tme (sec) La respuesta paso es nvarante bajo una transformacón smlar 5

16 Retratos de fase λ repetdos, < 0 Para valores propos repetdos: λ, - A 3 Solo hay un vector propo: (- ) Las trayectoras tenden al orgen. No se cortan. Las trayectoras no pueden rotar mas de 80 Para la forma canónca es necesaro defnr vector propo generalzado 6

17 Retratos de fase λ repetdos, < 0 4 Dagrama de fase

18 Retratos de fase λ repetdos, <0. Respuesta entrada cero

19 Retratos de fase λ repetdos. Jordan Para valores propos repetdos: λ, - A 0 Solo hay un vector propo: ( 0) Para la forma canónca es necesaro defnr vector propo generalzado 9

20 Retratos de fase λ repetdos. Jordan 4 Dagrama de fase

21 Retratos de fase. λ > 0 Sstema con valores propos en la parte derecha del plano complejo: Vectores propos: Solucones: 0 A ; λ ; λ 0 ( 0) y (0 ) x x t e e t x x (0) (0)

22 Retratos de fase. λ > 0 30 Dagrama de fase

23 Retratos de fase. λ > 0 La dreccón e (0 ) dverge: toda solucón en esa dreccón es crecente. La dreccón e ( 0) tende haca el orgen. Para sstemas LIT las solucones sólo se cruzan en el orgen. Para un sstema LIT no puede haber dos solucones LI en el msmo punto, excepto el orgen. Las solucones son suaves: sólo exste una tangente en cada punto 3

24 Retratos de fase. λ > 0 A 3 Los msmos valores propos del caso anteror. Vectores propos: ( ) ( ) El msmo retrato de fase rotado 4

25 Retratos de fase. λ > 0 0 Dagrama de fase

26 Retratos de fase. λ complejo Valores propos complejos: A Los λ: y Los vectores propos: ( ) ( ) 6

27 Retratos de fase. λ complejo 8 Dagrama de fase

28 Retratos de fase. λ complejo No hay dreccón nvarante. Los vectores propos complejos no tenen sgnfcado geométrco. Las esprales rotan alrededor del orgen Como el sstema es estable, parte real de los valores propos negatva, las esprales son haca adentro. La respuesta a entrada cero en el tempo es sub - amortguada 8

29 Respuesta entrada cero. λ complejo 4 Respuesta entrada cero 3 x x

30 Retratos de fase. λ magnaro Valores propos magnaros: A 5 Los λ: y Los vectores propos: ( ) ( ) 30

31 Retratos de fase. λ magnaro 8 Dagrama de fase

32 Retratos de fase. λ magnaro Los ejes de las elpses están a lo largo de los vectores sngulares de la matrz A: U S V

33 Solucón de la Ecuacón de Estado Para el sstema LIT la solucón de la ecuacón de estado tambén se puede calcular en el domno de la frecuenca empleando la transformada de Laplace: La matrz de transcón de estados: Ejemplo: Consderemos la ecuacón 33

34 Solucón de la Ecuacón de Estado Ejemplo: Dada la ecuacón La solucón está dada por la ecuacón Para calcular e At, se evalúa la nversa de si - A 34

35 Solucón de la Ecuacón de Estado Empleando la expansón en fraccones smples y usando una tabla de transformada Laplace. Tambén se puede drectamente por la fórmula de varacón de los parámetros 35

36 Solucón de la Ecuacón de Estado Comportamento Asntótco de la Respuesta a Entrada Nula De la forma de e Jt donde J está en forma de Jordan se puede deducr el comportamento asntótco de la respuesta del sstema a condcones ncales. Dado un sstema cuya matrz J Q AQ es 36

37 Solucón de la Ecuacón de Estado La respuesta a entrada nula de La expresón para e At es: es Cada elemento de e At será una combnacón lneal de los térmnos asocados con los valores propos de A y sus multplcdades. 37

38 Solucón de la Ecuacón de Estado De los casos analzados se puede deducr que S todos los valores propos de A, repetdos o no, tenen parte real negatva, e At 0 cuando t. S algún valor propo de A tene parte real postva, e At cuando t. S nngún valor propo de A tene parte real postva, y los autovalores con parte real cero son de multplcdad, e At α cuando t. S A tene autovalores con parte real cero de multplcdad o mayor, e At cuando t. 38

39 Solucón de la Ecuacón de Estado Ejemplo: Para un osclador armónco, donde obtenemos de donde Entonces la respuesta a una entrada nula será osclatora. 39

40 Solucón de la Ecuacón de Estado Forma Canónca Modal: La solucón de la ecuacón de estado pertenece a un espaco vectoral. Los vectores propos de A se pueden emplear como base de dcho espaco vectoral. Esta es la descomposcón modal del sstema. Sea {e } el conjunto de n vectores propos LI, ncluyendo vectores propos generalzados. En térmnos de esta base las solucones se pueden representar como: n x( t) ξ ( ) e Los ξ son los modos del sstema, y son funcones del tempo t 40

41 4 Solucón de la Ecuacón de Estado n t t ) ( ) ( e Bu β El térmno Bu(t) tambén se puede descomponer como: Reemplazando en la ecuacón orgnal: [ ] 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + n n n n t t t t t t e I A I e Ae e Bu Ax x β ξ ξ β ξ ξ & & &

42 4 Solucón de la Ecuacón de Estado [ ] 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) (,.., t t t t t t n β λ ξ ξ β λ ξ ξ λ & & n e e Ae Como {e } es un conjunto de vectores propos Lnealmente ndependentes: Conjunto de n ecuacones lneales, escalares, ndependentes e nvarantes: n t t t,..., ) ( ) ( ) ( + β λ ξ ξ &

43 Solucón de la Ecuacón de Estado Los modos son equvalentes a una nueva varable de estado: x Mξ Mξ& AMξ + Bu ξ& M AMξ + M Y CMξ + Du La nueva matrz M - AM es dagonal y para valores propos dferentes es desacoplada Bu 43

44 Solucón de la Ecuacón de Estado La solucón modal: ˆ At ξ( t) e ξ(0) + e ξ(0) M X(0) t 0 Aˆ ( t τ ) M Bu( τ ) dτ La solucón es senclla de obtener debdo a la forma desacoplada de las ecuacones. Para regresar a la representacón orgnal: X Mξ 44

45 Solucón de la Ecuacón de Estado Descomposcón modal permte evaluar : Controlabldad Observabldad Establdad S se retenen los modos domnantes el sstema se puede aproxmar por uno de más bajo orden 45

46 REFERENCIAS. CHEN C.T. Lnear Systems Theory and Desgn. 3rd Edton. New York: Oxford Unversty Press BAY J.S. Fundamentals of Lnear State Space Systems, New York: McGraw Hll Internatonal Edton,