5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

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1 Dagonalzacón Herraentas nforátcas para el ngenero en el estudo del algebra lneal 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 5.1. INTRODUCCIÓN 5.2. VALORES Y VECTORES PROPIOS 5.3. MATRICES DIAGONALIZABLES 5.4. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS 5.5. POLINOMIO MINIMO DE UNA MATRIZ 5.6. FORMA REDUCIDA DE JORDAN DE UNA MATRIZ Mª Isabel Egua Rbero Mª José González Góez

2 Dagonalzacón Herraentas nforátcas para el ngenero en el estudo del algebra lneal 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 5.1. INTRODUCCIÓN En este tea se plantea el sguente problea: sea un espaco vectoral E de densón n y un endoorfso f : E E, exstrá alguna base de E en la cual la atrz asocada a f sea dagonal?. S es así, entonces hay que buscar la base, así coo la correspondente atrz dagonal denotada por D. A este proceso se llaa dagonalzar el endoorfso o su atrz asocada. De una anera general, la dagonalzacón de un endoorfso f (o de su atrz asocada A) consste esencalente en obtener otra atrz D de anera que conserve las propedades de A. Abas atrces A y D son seeantes. La atrz o fora dagonal D se obtene a partr del estudo de todos los valores propos de A. Exsten atrces A que no se pueden reducr a una fora dagonal, se dce entonces, que A no es dagonalzable. Estas atrces s se pueden reducr a otros tpos, coo son las atrces trangulares y las foras canóncas de Jordan VALORES Y VECTORES PROPIOS Sea un espaco vectoral ( + ) ( + ) endoorfso y una base U de E. E,, k,,, o de densón n, un Se dce que un escalar λ k es un valor propo, autovalor o valor característco r r de f, s exste al enos un vector x Ey x 0 r tal que se cupla r r f x x 1,2,3,,n 1 ( ) = λ ( ) = K ( ) S A es la atrz asocada al endoorfso f en una base conocda U, e y r es la agen de x r por el endoorfso f, entonces r r r r r y = f ( x) = ( f ) ( x) = A ( x) = λ ( x) U,U r r A( x) = λ( x ) ( 2) A los vectores que verfcan las gualdades ( 1) ó ( ) autovectores o vectores característcos asocados al valor propo λ. 2 se llaan vectores propos, Mª Isabel Egua Rbero Mª José González Góez

3 Dagonalzacón Herraentas nforátcas para el ngenero en el estudo del algebra lneal La expresón ( ) 2 se puede escrbr r r r r r A x λ x = 0 A λ I x = 0 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La gualdad ( 3 ) representa el cálculo de los vectores x r que pertenecen al núcleo de la aplcacón lneal ( f I) λ cuya atrz asocada es A λ I, es decr, Ker A λ I ó N A λ I hoogéneo, en consecuenca, para que adta solucones dstntas de la trval o propa, se debe cuplr que el rango o característca de la atrz de coefcentes debe ser enor que el núero de ncógntas. Por tanto, es necesaro que el. El sstea de ecuacones lneales ( 3 ) a resolver es deternante de la atrz de coefcentes sea nulo A λ I = 0 ( 4) Al desarrollo del deternante ( 4 ) 2 n 1 n ( λ ) = + λ + λ + + λ + λ p a a a LL a a se le llaa polnoo característco n 1 n Igualando a cero el polnoo característco se obtene la ecuacón característca. A λ I = 0 p λ = a + a λ + a λ + LL + a λ + a λ = 0 ( ) 2 n 1 n n 1 n Las raíces de la ecuacón característca, repetdas o no, son los valores propos λ de la atrz. Orden o grado de ultplcdad algebraca de un valor propo λ es el núero de veces que λ es raíz de la ecuacón característca. Los valores propos susttudos en ( 3 ) y resuelto el sstea de ecuacones lneales hoogéneo resultante perte obtener los vectores propos del endoorfso (o de la atrz A). La ecuacón característca A λ I = 0tendrá n raíces reales o copleas, por tanto, n valores propos con lo que el núero de estos concde con el orden de la atrz. El conunto de todos los valores propos de A se denona espectro de A y se desgna por: σ A = λ, λ, λ, KK, λ ( ) { p} Invaranza del polnoo característco El nobre de polnoo característco del endoorfso f se debe a que es ndependente de la base U consderada. En otras palabras, el polnoo característco es un nvarante frente a los cabos de base. V = v r, v r, KK, v r de E, Se consdera otra base { } 1 2 n Mª Isabel Egua Rbero Mª José González Góez

4 Dagonalzacón Herraentas nforátcas para el ngenero en el estudo del algebra lneal S ( v 1, v 2,, vn ) U ( f ) V,V es la atrz asocada al endoorfso f respecto a la base V. = r r KK r es la atrz regular de cabo de base de V respecto a U y ( f ) V,V El polnoo característco en la base V es el deternante de la atrz λ I. Utlzando la fórula general de cabo de la atrz de una aplcacón lneal al f v, v,, v = r r KK r 1 f u r,u r, KK, u r y tenendo en cabar las bases ( ) ( ) ( ) ( ) cuenta que se verfca: I ( S) 1 I ( S) U V 1 2 n V U,V 1 2 n U λ = λ, se deduce que U U ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 f I S f S I S ( f ) ( S) ( S) 1 I ( S) Entonces λ = λ = λ = V,V U U,U U U U,U U U ( S) 1 ( f ) I ( S) = λ U U,U U ( f ) λ I = ( S) 1 ( f ) λi ( S) V,V U U,U U Aplcando el teorea de Bnet Cauchy relatvo al deternante correspondente al producto de atrces cuadradas de orden n, que es gual al producto de los respectvos deternantes, resulta ( ) ( ) 1 f I S ( f ) I ( S) ( S) 1 ( f ) I ( S) λ = λ = λ = 1 = ( f ) λi ( S) = ( f ) λ I U,U U U,U S V,V U U,U U U U,U U ( ) U En resuen, que se cuple ( ) λ = ( ) f I f λ I V,V Esta gualdad ustfca totalente que el polnoo característco es ndependente de la base utlzada en su cálculo. Subespacos propos. Sus densones Sea un espaco vectoral ( + ) ( + ) E,, k,,, o de densón fnta n y un endoorfso f : E E, para cada valor propo λ de f, es decr, para cada raíz de su ecuacón característca, exsten los vectores propos asocados, se llaa subespaco propo al conunto forado por el vector nulo y los vectores propos S λ correspondentes a un valor propo. ( f ) V,V λi U,U Mª Isabel Egua Rbero Mª José González Góez

5 Dagonalzacón Herraentas nforátcas para el ngenero en el estudo del algebra lneal El subespaco propo S λ es el núcleo de f λ I, por tanto, el conunto de los r r x E / S = N A λ f λ I x = 0 r, sendo I la atrz dentdad del vectores ( ) ( )( ) λ so orden que A. Ello deuestra que es un subespaco vectoral. En cuanto a densones: ( ) ( ) λ ( ) S σ ( A ) = { λ1, λ2, λ3,, λp} d S = d N A λ I = n rango A λ I para = 1, 2,3, KK, p sua de los subespacos propos KK entonces se cuple s λ J es drecta. S S LL S λ1 λ2 λp Se denona orden o grado de ultplcdad de un valor propo ( A), la λ σ al valor α que ndca el núero de veces que λ es raíz de la ecuacón característca A I 0 λ =. Se verfca que ( ) 5.3. MATRICES DIAGONALIZABLES 1 d S λ α. Un endoorfso f o su atrz asocada A defnda sobre un cuerpo k se r r r r U = u,u,u,,u k n forada dce que es dagonalzable, s exste una base { } por vectores propos de A. Característcas de atrces dagonalzables n Sea A una atrz cuadrada, las condcones de su dagonalzacón o característcas de las atrces que son dagonalzables son dos: 1) La sua de los órdenes o grados de ultplcdad de los valores propos es gual a la densón n del espaco vectoral p = 1 α = n 2) La densón del subespaco propo asocado a un valor propo es gual al orden o grado de ultplcdad del correspondente valor propo. ( ) d S, 1, 2,3,,p λ = α = KK Una vez coprobadas las condcones de dagonalzacón y en el supuesto que la atrz A cupla abas, hay que forar la llaada fora dagonal y la atrz de paso. La fora dagonal D o atrz dagonalzada de A tene los valores propos stuados en la dagonal prncpal y repetdos tantas veces coo ndque su orden o grado de ultplcdad, el resto de los eleentos de ella son nulos. Mª Isabel Egua Rbero Mª José González Góez

6 Dagonalzacón Herraentas nforátcas para el ngenero en el estudo del algebra lneal Al ser la atrz A dagonalzable, exste una base r r r r n U = { u 1, u 2,u 3, KK, un} R forada por vectores propos de A. S P ( U) es la atrz cuyas colunas son los vectores de la base U y D es la atrz dagonal forada por los vectores propos de A, repetdos tantas veces coo ndque su orden o grado de ultplcdad, en el so orden que guardan en la base U sus vectores propos asocados entonces se cuple. La atrz A es dagonalzable por seeanza S A( ) = P 1 n ( U) D P ( U) 5.4. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS Exste un caso partcular de dagonalzacón, cuando A es una atrz sétrca cuyos eleentos son núeros reales. Entonces la atrz sepre es dagonalzable, no hay que coprobar las condcones de dagonalzacón. En cada subespaco S λ se puede encontrar una base de vectores propos ortonorales denotada por V, de odo que la unón de todas estas bases r r r r n V = V1 V2 V3K Vp es una base ortonoral V = { v 1, v 2, v 3, KK, vn} R. La ortonoralzacón de la base V se consgue utlzando el étodo de Gra-Schdt. S P ( U) es la atrz cuyas colunas son los vectores de la base U y D la atrz dagonal forada por los valores propos de A, repetdos tantas veces coo ndque su orden o grado de ultplcdad y en el so orden que guardan sus vectores propos asocados en la base U se cuple. T A es dagonalzable por seeanza ortogonal S A( ) = P n ( V) D P( V) Potenca de una atrz dagonalzable Sea A una atrz cuadrada real y dagonalzable. Una base r r r r U = u, u,u, KK, u R forada por sus vectores propos. { } n n Asso, P ( U) y D las atrces foradas por los vectores propos de la base U y los valores propos correspondentes de A respectvaente. Se calcula la potenca de orden cualquera de A de la sguente fora: Mª Isabel Egua Rbero Mª José González Góez

7 Dagonalzacón Herraentas nforátcas para el ngenero en el estudo del algebra lneal ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) KKK A = P D P = P D P P D P P D P = ( U) ( U) U n U U n U U n U 1 = P D P. ( U) ( U) S la atrz r r r KK n A es sétrca, V = { v, v, v,, v } r n R una base de vectores propos ortonorales, P ( V) y D las atrces foradas por los vectores propos de la base V y los valores propos correspondentes de A respectvaente. Se calcula la potenca de orden cualquera de A de la sguente fora. ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) KKK ( ( ) ( ) ( ) ) A = P D P = P D P P D P P D P = T T T T ( V) ( V) V n V V n V V n V T = P D P. ( V) ( V) 5.5. POLINOMIO MÍNIMO DE UNA MATRIZ Se denona polnoo de la atrz cuadrada A a toda expresón de la fora 2 n 1 n ( ) = KK + + P A a I a A a A a A a A n 1 n En este polnoo se observa una cobnacón lneal de una sere de escalares a k y de operacones coo son el producto de un escalar por una atrz, sua de atrces y producto de atrces. Tanto A coo P( A ) son atrces cuadradas del so orden. Dado que P( A ) está forado por las atrces A e I y que A I = I A, los polnoos atrcales se descoponen en producto de factores (o factorzacón) de gual anera que sucede con los polnoos en la varable x, se puede aplcar la regla de Ruffn. El problea que se trata de resolver es: dada una atrz A, calcular ecuacones P A = 0. de la fora ( ) Se llaa polnoo ónco a aquel que tene el coefcente de la ayor potenca gual a la undad. Se llaa polnoo íno P ( ) A de una atrz cuadrada A, al polnoo ónco correspondente a la ecuacón atrcal de grado íno que dcha atrz verfca. Mª Isabel Egua Rbero Mª José González Góez

8 Dagonalzacón Herraentas nforátcas para el ngenero en el estudo del algebra lneal conutatvo. A la ecuacón atrcal ( A) = 0 se la llaa ecuacón ína de A. S A es una atrz cuadrada de orden n, el polnoo íno será de la fora p 1 p ( ) = α + α + + α + α P x x KK x x con p n p p Cálculo del polnoo íno Sea A una atrz cuadrada de orden n con eleentos en el cuerpo ( k, +, ) El procedento para obtener el polnoo íno P ( ) x es el sguente: 1. Coprobar que se cuple: A = k 0In ó A k0in = 0, entonces el polnoo íno es P ( ) λ = λ k S no se verfca el punto 1, entonces coprobar s se cuple que: 2 2 A = k A + k I P λ = λ k λ k ( ) 1 0 n S no se cuple el punto 2, se coprueba s P λ = λ k λ k λ k verfca entonces ( ) A = k A + k A + k I.S se n Se contnúa aplcando el algorto hasta que se cupla la prera gualdad. Una vez que se halla el polnoo íno, se guala a cero y se calculan las raíces de la ecuacón resultante para obtener la expresón del polnoo íno factorzado FORMA REDUCIDA DE JORDAN DE UNA MATRIZ S en la atrz A asocada a un endoorfso f no exsten n vectores propos del espaco vectoral E con los que forar una base, en ocasones es convenente tratar de buscar una atrz que sea lo ás senclla posble para caracterzar el endoorfso y facltar certo tpo de cálculos. El étodo que ás se utlza es el de Jordan, tabén conocdo coo fora canónca o reducda de Jordan. Se trata de hallar una atrz lo ás senclla posble representada por J a la que se llaa atrz de Jordan, tabén se obtendrá la atrz P en donde sus colunas son las coordenadas de los vectores de la nueva base, en la que J caracterza al endoorfso f. Descrpcón del étodo Sea un endoorfso f cuya atrz asocada A de orden n tene r valores "k" k < n vectores propos asocados, es decr, no se puede propos que orgnan ( ) forar una base de n vectores propos luego no es posble la dagonalzacón de A. Mª Isabel Egua Rbero Mª José González Góez

9 Dagonalzacón Herraentas nforátcas para el ngenero en el estudo del algebra lneal La atrz A sepre se puede expresar en fora canónca o reducda de Jordan, s sucede que los polnoos característco y íno se puedan escrbr coo productos de factores que sean polnoos de prer grado o lneales. Esto se puede realzar cuando el cuerpo k sobre el que se defne el espaco vectoral sea el de los núeros copleos. S k es el cuerpo de los núeros reales no sepre es posble hallar J. Sea el polnoo característco de la atrz A de orden n: ( ) expresado en fora factoral es. ( λ ) = ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) KK ( λ λ ) r P α α α α c r P λ = A λ I que Sea el polnoo íno de la atrz A de orden n. Expresado en fora factoral es. ( λ ) = ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) KK ( λ λ ) r P β β β β r La atrz correspondente a la fora canónca o reducda de Jordan es J ( J1 ) ( 0) ( 0) L ( 0) ( 0) ( J2 ) ( 0) L ( 0) ( 0) ( 0) ( J ) L ( 0) 3 = L L L L L L L L L L ( 0) ( 0) ( 0) L ( J ) Los eleentos de esta atrz J superdagonal son subatrces expresadas por J (stuadas en la dagonal prncpal) y nulas (0) stuadas en el resto de las poscones, estas últas no tenen que ser necesaraente cuadradas. Las subatrces J se llaan bloques de Jordan y se representan de la fora k c J λ 0 0 L 0 0 λ 0 L λ L 0 = L L L L L L L L L L λ L Los bloques J tenen las sguentes característcas: a) Exste al enos un bloque J de orden β. Los restantes bloques son de orden β. Mª Isabel Egua Rbero Mª José González Góez

10 Dagonalzacón Herraentas nforátcas para el ngenero en el estudo del algebra lneal b) La sua de los órdenes de los bloques J es α. c) el núero de bloques J es gual a la ultplcdad de λ. d) El núero de bloques J de cada orden posble está deternado sólo por la atrz A. Mª Isabel Egua Rbero Mª José González Góez