Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica Capítulo III Tensor deformación. El Tensor de Deformación A A'
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- Fernando Montero Calderón
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1 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González - El Tensor de Deformacón Introdccón Además de descrbr los esferzos de n cerpo, la mecánca de los sóldos contnos aborda tambén la descrpcón de las deformacones. La deformacón pede edar completamente descrta dando el desplazamento de cada pnto en el cerpo, desde s poscón de elbro hasta la deformada. Esto sgnfca e al dar las tres componentes del vector desplazamento para cada pnto, la deformacón eda completamente defnda. Para peeños desplazamentos, tal como ocrre en mchos problemas elástcos, es convenente sar la deformacón elástca lneal, defnda en térmnos de la dervada de los desplazamentos. A A'.. Fgra. Representacón esemátca del proceso de deformacón. Defncón: En general:,, = desplazamento en la dreccón
2 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González - La combnacón de dervadas sadas en la defncón de la deformacón son elegdas así para e los movmentos del cerpo rígdo den na deformacón cero. Eemplo: z k ˆ ln ˆ cos ˆ 6 sen z cos cos z sen cos cos 6
3 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón B B' d C C' d d A' D' A D d Fgra. Interpretacón geométrca de la deformacón. Interpretacón geométrca de la deformacón d = Dferenca de desplazamento en dos caras separadas por na peeña dstanca velocdad de cambo del desplazamento por la dstanca e separa dchas caras. Las deformacones normales dan los cambos relatvos en longtdes de líneas paralelas a los ees coordenados. lm Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González -
4 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón Interpretacón geométrca de la deformacón ( ) d B' C' B C A A' D D' d Fgra. Dstorsón anglar de n sóldo deformado. tg tg en e es la deformacón anglar total en el plano Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González - 4
5 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González - 5 Matrz de rotacón d d d d Fgra 4. Rotacones de n sóldo en torno a. Para peeñas rotacones en la dreccón en la dreccón la rotacón promedo del elemento pede defnrse como: El connto de componentes de rotacón peden representarse como:
6 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González - 6 rotacón de Matrz Matrz de desplazamento Al smar la matrz de deformacón con la matrz de rotacón se obtene la matrz desplazamento e e e Deformacón czallante : Cambo anglar total Cambo anglar total = tg tg Fgra 5.Cambo anglar por deformacón de czalle.
7 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón pero En general además Matrz deformacón en térmnos de la deformacón czallante: Interpretacón geométrca de la matrz de rotacón Corresponde a na rotacón rígda sobre n ee coordenado en el plano perpendclar a dcho ee. Por eemplo: z P z / 45 O Fgra 6. Interpretacón geométrca de la matrz de rotacón. Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González - 7
8 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón corresponde a la rotacón de la dagonal OP en el plano, alrededor del ee, de tal forma e dcha dagonal concda con la bsectrz del cadrante. S la dagonal se gra n ánglo 4 z, para llevarla a 45º de los ees : z 4 con lo cal z Por lo tanto, efectvamente corresponde a la rotacón de la recta OP para hacerla concdr con la bsectrz del plano. Ecacones de Compatbldad Se precsan 6 térmnos para descrbr completamente el estado de deformacón en n pnto. Las componentes de la deformacón no son todas cantdades ndependentes, por lo tanto: Las componentes de la deformacón no peden ser defndas en forma arbtrara, deben por lo tanto satsfacer certas relacones, llamadas ecacones de compatbldad. Conocdo el vector desplazamento, se pede calclar el tensor deformacón dervando convenentemente dcho vector. Dado es posble calclar? d () d d () d d () d Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González - 8
9 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González - 9 (4) (5) (6) El número total de ecacones es 6 El número total de ncógntas es Incógntas : deben cmplrse condcones adconales para Estas condcones adconales, se denomnan Ecacones de Compatbldad Se pede demostrar e: Invarantes del tensor deformacón Para peeñas deformacones, el cambo en el volmen específco de n cerpo dstorsonado es gal a la sma de las tres deformacones normales V V
10 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón El cambo de volmen de n cerpo pede ser meddo sn referenca a n sstema coordenado, por tanto la sma de las deformacones normales debe ser n nvarante. I Tambén son nvarantes I I Descomposcón del tensor deformacón El tensor deformacón pede descomponerse en n tensor asocado al cambo de volmen no asocado a la dstorsón Matrz devatórca de la Deformacón Matrz asocada al cambo de volmen Cambo de volmen = Dstorsón = ' ' Deformacón devatórca Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González -
11 Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón.- Las poscones de n cerpo ABCD son: Eerccos propestos A(,) A (,) B(4,) B (5;.5) C(4,5) D(,) C (4,5;) D (-.;) a) Determne los tensores deformacón, rotacón desplazamento. b) Cál es el cambo de volmen porcental?..- (a) Demostrar e para peeñas deformacones el cambo de volmen ntaro vene dado por V V zz en e es la deformacón normal a la cara en la dreccón b) Demostrar e todo tensor se pede escrbr como la sma de n tensor smétrco más otro antsmétrco..- En n pnto de n sóldo elástco en el e este n estado tensonal plano, la matrz de tensones referda a n sstema de ees cartesanos ortogonales es: 5 5 (Kgf/cm ) Hallar las deformacones prncpales Calclar la varacón anglar epermentada por la dreccón a la e corresponde la deformacón transversal ntara máma (en grados) e ndcar la dreccón o dreccones correspondentes. Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González -
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