Tema 2: TEOREMAS ENERGÉTICOS

Transcripción

1 ema : EORES ENERGÉICOS Supongamos que las cargas aplcadas al sóldo crecen, progresvamente, desde cero hasta su valor fnal de una manera contnua. En ese caso, el trabajo W realzado por todas las cargas que actúan sobre el sóldo quedaría almacenado como energía elástca de deformacón U en el sóldo y, por tanto: U W

2 ENERGÍ INERN, ELÁSIC O DE DEFORCIÓN rabajo eterno y energía de deformacón La mayoría de los métodos energétcos en el cálculo de estructuras se basan en el Prncpo de la conservacón de la energía, que establece que el trabajo realzado por las fuerzas eterores que actúan sobre un sstema estructural, We, concde con laenergía de deformacón que almacena dcho sstema, U. rabajo de una fuerza eteror We U

3 ENERGÍ INERN, ELÁSIC O DE DEFORCIÓN El trabajo realzado por las cargas eterores aplcadas a un sóldo es la mtad de la suma del producto de dchas cargas por los desplazamentos de sus puntos de aplcacón (en las dreccón de las msmas). S entre las cargas aplcadas estera algún momento, bastaría con tener en cuenta que: - donde se djera fuerza se debería decr momento - donde se djera desplazamento se debería decr gro - donde se epresara trabajo (WFd, en el caso de fuerzas) se debería escrbr Wθ.

4 ENERGÍ INERN: esfuerzos y desplazamentos Esfuerzos en barras: crtero de sgnos Energía de deformacón en una rebanada: una rebanada en una peza prsmátca o barra, es un segmento de la peza delmtado por dos seccones (normales a la drectrz de la peza) y separadas una dstanca. La rebanada es el elemento más pequeño que se dentfca en la barra. z

5 ENERGÍ INERN: esfuerzos y desplazamentos DEFORCIÓN DE UN REND POR ESFUERZO XIL z

6 ENERGÍ INERN: esfuerzos y desplazamentos DEFORCIÓN DE UN REND POR OENO FLECOR z X HIPÓESIS DE NVIER σ σ C ε CD ε Z G I Z ZCG I CC σ E σ C E Z compresón traccón Z G I Z ZCG I Z dθ z G dθ z C CG Z Z Z Z du zdθ z z Z

7 ENERGÍ INERN: esfuerzos y desplazamentos DEFORCIÓN DE UN REND POR ESFUERZO CORNE Y τ γ donde τ G m du y m y c z du y du y y G C

8 ENERGÍ INERN: esfuerzos y desplazamentos DEFORCIÓN DE UN REND POR OENO ORSOR X z torsón θ dφ dφ GI 0 GI 0 θ dφ γ rdφ γ r dφ du dφ GI 0

9 ENERGÍ INERN: esfuerzos y desplazamentos Qué energía nterna se almacena en una peza cargada en la que aparecen todos los tpos de esfuerzos en todas las seccones de la peza? s La varable s del ntegrando ndca que los esfuerzos pueden varar a lo largo de la peza en funcón del valor de dcha varables N U f E G GI C z 0

10 ENERGÍ INERN: esfuerzos y desplazamentos Ejemplo: Podríamos calcular los ya desplazamentos en elementos estructurales cargados?

11 ENERGÍ INERN: esfuerzos y desplazamentos Ejemplo: Podríamos calcular los ya desplazamentos en elementos estructurales cargados?

12 ENERGÍ INERN: esfuerzos y desplazamentos Ejemplo: Podríamos calcular los ya desplazamentos en elementos estructurales cargados?

13 eoremas energétcos: Prncpo de los rabajos Vrtuales rabajo de una fuerza dw F dr W dw F dr F cosθ dr

14 eoremas energétcos: Prncpo de los rabajos Vrtuales dr F rabajo de un par (momento) r F r dr r r dw F dr Fdr F sen( dθ ) F dθ r dw F dr F dθ r dw dw dw F dθ Frdθ rdθ r dθ W dw F dr θ θ dθ

15 eoremas energétcos: Prncpo de los rabajos Vrtuales rabajo de un sstema de fuerzas: dado un sstema de fuerzas como el que se muestra en la fgura, el trabajo desarrollado por un sstema de fuerzas aplcado sobre una partícula o cuerpo que sufre un desplazamento es gual al trabajo de su resultante. dw F dw dw... dwn dr F dr... Fn dr F dr R dr n

16 eoremas energétcos: Prncpo de los rabajos Vrtuales PV para sóldos rígdos: Una partícula, sstema de fuerzas, desplazamento vrtual r W R r R r F r F r F r F W n n S una partícula está en equlbro, el trabajo vrtual total de las fuerzas que actúan sobre ella es cero para cualquer desplazamento vrtual de la partícula

17 eoremas energétcos: Prncpo de los rabajos Vrtuales PV para sóldos rígdos: UN SÓLIDO RÍGIDO, sstema de fuerzas, movmento vrtual S un sóldo rígdo está en equlbro bajo la accón de un sstema de fuerzas, el trabajo vrtual total de las fuerzas eternas que actúan sobre él es cero para cualquer desplazamento vrtual del sóldo El prncpo de los trabajos vrtuales es tambén aplcable a un sstema de sóldos rígdos undos, s el sstema permanece undo durante el desplazamento vrtual, pues el trabajo de las fuerzas nternas es cero. r

18 eoremas energétcos: Prncpo de los rabajos Vrtuales PV para sóldos deformables: Sstemas de barras y elementos undmensonales [ ][ ] ε σ u desplazamentos vrtuales deformacones vrtuales ε ( ) γ τ γ τ γ τ ε σ ε σ ε σ yz z y z y U dvol dsup u f dvol u f W V yz z y z y V V Ω Ω ( ) φ θ U GI G E N N u u N u R u F W L z f f C L f y n n 0

19 eoremas energétcos: eorema de Castglano Coefcentes de nfluenca: relacón entre las fuerzas eterores y las deformacones eorema de recprocdad de awell-ett: d j d j eoremas de Castglano U F d U d n F n

20 eoremas energétcos: eorema de Castglano Coefcentes de nfluenca: relacón entre las fuerzas eterores y las deformacones eorema de recprocdad de awell-ett: d j d j eoremas de Castglano d F U n n F d U estructuras F z f C z f C d F GI F F G F N E N F GI G E N F U 0 0

21 eoremas energétcos: Fórmulas de Naver-resse

22 eoremas energétcos: Fórmulas de Naver-resse

23 ( ) ( ) ( ) ( ) y y dy G d E N y y u u d G dy E N v v c c θ θ X X X θ (X -X ) U U eoremas energétcos: Fórmulas de Naver-resse X

24 ( ) ( ) ( ) ( ) y y dy G d E N y y u u d G dy E N v v c c θ θ X E N dy E N sen E N α d E N E N α cos eoremas energétcos: Fórmulas de Naver-resse

25 eoremas energétcos: Fórmulas de Naver-resse v u v u θ θ G ( ) dy d ( ) G ( y y ) d dy ( y y ) N E N E c c < 0 ( ) cosα d G G G c c c ( ) G c senα G c dy X

26 eoremas energétcos: Fórmulas de Naver-resse v u v u θ θ G ( ) dy d ( ) G ( y y ) d dy ( y y ) N E N E c c ( y y) ( ) X X X

27 eoremas energétcos: peza recta con cargas en su plano X θ θ v u v u θ d ( ) d ( ) N E d G c d En Cálculo de Estructuras se suele desprecar la contrbucón a los desplazamentos y gros debdos a los esfuerzos al y cortante. Esto, de nnguna manera, quere decr que dchos esfuerzos sean nulos en la peza.

28 eoremas energétcos: peza recta en su plano En Cálculo de Estructuras se suele desprecar la contrbucón a los desplazamentos y gros debdos a los esfuerzos al y cortante. Esto, de nnguna manera, quere decr que dchos esfuerzos sean nulos en la peza. X ( ) ( ) c d E N u u d d G v v d θ θ θ ( ) ( ) u u d v v d θ θ θ

29 eoremas energétcos: eoremas de ohr er eorema de ohr θ θ d θ θ d

30 eoremas energétcos: eoremas de ohr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cdg d v v d v v cdg d t d t,, / / θ θ o eorema de ohr ( ) θ d

31 eoremas energétcos: eoremas de ohr Pezas con puntos angulosos θ??? θ θ θ θ θ θ E C CD DE

32 eoremas energétcos: eoremas de ohr Pezas con puntos angulosos θ??? θ θ θ θ E E 0 θ θ C θ CD θ C DE CD DE ( ) ( ) ( ) ( ) C CD DE

33 eoremas energétcos: eoremas de ohr Pezas con puntos angulosos???

34 eoremas energétcos: eoremas de ohr Pezas con puntos angulosos

35 eoremas energétcos: eoremas de ohr Pezas con puntos angulosos???

36 eoremas energétcos: eoremas de ohr Pezas con puntos angulosos??? C CD DE d( g, ) d( g, ) d( g, ) d( g, ) C CD ( ) ( ) ( ) ( ) C CD DE DE

37 eoremas energétcos: eoremas de ohr Pezas con puntos angulosos??? C CD DE d( g, ) d( g, ) d( g, ) d( g, ) C CD ( ) ( ) ( ) ( ) C CD DE DE

38 Pezas de drectrz curva: RCOS N- P cos θ P sen θ - PR cos θ

39 Pezas de drectrz curva: RCOS LEYES DE ESFUERZOS

40 eoremas energétcos: Cargas térmcas Pezas con puntos angulosos El movmento en una dreccón defnda por un vector, del etremo de una barra curvlínea en ménsula se obtene multplcando el coefcente de dlatacón por el ncremento de temperatura y por la proyeccón de la drectrz de la vga en la dreccón u. u ( α ) cosθ α ( ) cosθ α L