APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LAS FUERZAS RESOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

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1 APLICACIÓN DEL ÉTODO DE LAS FUERZAS RESOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS Ing. CLAUDIO F. PERNICE DIEGO J. CERNUSCHI Auxlares Docentes de la Cátedra INTRODUCCION Resolver una estructura mplca conocer la relacón causa-efecto y estos pueden ser unos u otros estátcos o cnemátcos, en otras palabras sgnfca que a partr de las cargas la resolucón de la estructura nos permtrá saber el valor de las reaccones exterores y los desplazamentos, el estado de solctacón nterna y su deformacón en cualquer punto, bajo cualquer carga, estátca o cnemátca. El método de las fuerzas o de las ncógntas estátcas, permte resolver una estructura de barras hperestátca, utlzando como ncógntas magntudes estátcas (fuerzas o momentos), en régmen lneal. Para poder aplcar el método debemos, prevamente haber predmensonado la estructura, o sea que debemos tener la estructura defnda por su geometría (dmensones) y propedades mecáncas (materal). Las hpótess en que se basa dcho método son las sguentes: El materal es lneal, responde a la Ley de Hooke. El módulo de elastcdad es constante. Los desplazamentos de la estructura son pequeños, y no son tendos en cuenta en el análss del equlbro. S se cumplen estas hpótess la estructura tene un comportamento lneal y se podrán aplcar el prncpo de superposcón y demás teoremas como Clapeyron, Castglano, axwell y Bett. En general, las estructuras cvles serán netamente flexadas, y esta condcón se cumple cuando: NN Las deformacones axles son desprecables cuando dx >> dx EA QQ Las deformacones transversales son desprecables cuando dx >> κ dx GA S la estructura tene tensores o puntales (partes de la estructura que solo están sometdas a NN esfuerzos axles de traccón en el prmero y compresón el segundo) la dx adquere EA en el tensor, valores aprecables frente a la dx en el resto de la estructura. En estos casos se pueden desprecar las ntegrales de corte y axl (salvo en el tensor) de manera que el cálculo resulta menos laboroso.

2 .- ESQUEA ESTRUCTURAL Ts o C q 4 Tn/m B T o C C m P 5 Tn Tensor Tn m m D A X δ.m m m.- VALORES DE LAS CARGAS Cargas Estátcas P 5 Tn Tn m q 4 Tn/m Desplazamento de apoyo δ. m Cargas por temperatura T ºC Ts ºC.- CARACTERÍSTICAS GEOÉTRICAS Todas las barras (salvo el tensor) tenen el sguente ancho y altura: b. m h.4 m 4.- CARACTERÍSTICAS ECÁNICAS J b h /.67 m

3 A b h.8 m A tensor. m (.57m) 5.- CARACTERÍSTICAS DE LOS ATERIALES Hormgón E h Tn/m λ -5 / o C Acero (tensor)e a Tn/m λ -5 / o C 6.- ESQUEA FUNDAENTAL Denomnamos esquema fundamental o estructura fundamental a aquella estructura resuelta a la que se llega al r elmnando vnculacones nternas o externas de la estructura orgnal. En otras palabras, se rá ablandando la estructura. Llegaremos a un fundamental que será una estructura sostátca que podremos resolver con facldad. Lo prmero que debemos conocer es, por lo tanto, el grado de hperestatcdad de la estructura. Para nuestro ejemplo será: Vínculos externos Apoyo doble Empotramento Vínculo nterno + Tensor Total Restrccones Ecuacones de la estátca Total de grados de hperestatcdad grados restrgdos grados restrgdos grado restrngdo 6 grados restrngdos grados grados Un análss smlar tomando al tensor como s fuera una barra sería el sguente: Vínculos externos Apoyo doble Empotramento Vínculo nterno + arco cerrado Total Restrccones grados restrngdos grados restrngdos grados restrngdos 8 grados restrngdos Ecuacones partculares ( artculacones) grados lberados Ecuacones de la estátca grados Total de grados de hperestatcdad grados Por lo tanto se necestan lberar vínculos para sostatzar la estructura El esquema fundamental adoptado es el sguente:

4 X B C X X X A H A D H D V A Para llegar a una estructura fundamental sostátca hemos lberado el empotramento en el apoyo A, artculado el nudo B y cortado el tensor AC, ponendo de manfesto las ncógntas correspondentes. Para resolver esta estructura para los estados de carga y las ncógntas hperestátcas es necesaro plantear las ecuacones generales de la estátca que garantzan el equlbro general y la ecuacones equlbro relatvo que asegura el relatvo entre las partes. ΣFX H A + H D + 5 ΣF V A + V D ΣZ D 6 V A + X ΣZ R B - 4 H A X X 4.6 X Aquí hemos planteado las ecuacones para todas las solctacones cargas e ncógntas H A X 5 V A + X H D X - -4 V D E R + E X X + C R E - (-C - E X X) S la matrz E tene nversa sgnfca que no exste vnculacón aparente y s además conocéramos las ncógntas X tendríamos resuelto nuestro problema, pero esto últmo es el objetvo de este método por lo que por ahora nos tenemos que contentar con resolver la estructura sostátca de la sguente manera:. Hacemos nulas las ncógntas X y podemos obtener la solucón para las cargas R E - (-C) V D 4

5 . Hacemos nulas las cargas y vamos dando valores untaros a cada ncógnta por vez y podemos obtener la solucón para las ncógntas R E - (-E X X) Entonces hacendo R E - (-C) tenemos las reaccones para las cargas estátcas H A -/ V A /6.5 H D /4-7.5 V D -/6 8.5 Aplcando R E - (-E X X) para X, X y X obtenemos la solucón para la ncógnta X untara H A -/4 -/4 /4 V A /6 - /6 -/6 H D /4 /4 - -/4 V D -/ /6 - /6 Hacendo el msmo planteo para X, X y X será la solucón para X untara H A -/4 -/4 -/4 V A /6 - /6 H D /4 /4 /4 V D -/ /6 Fnalmente para X, X y X tendremos la solucón para X untara H A -/4 -/4 -.6 V A /6 - /6 H D /4 /4.6 V D -/ / ATRIZ FLEXIBILIDAD (ƒ j ) Las ecuacones de compatbldad del método de la fuerza pueden expresarse como e + f X e j donde e h es el desplazamento en la estructura hperestátca correspondente con la ncógnta X. Cada una de las ecuacones es de por sí una ecuacón que suma desplazamentos en la estructura fundamental para compatblzarlos con los desplazamentos exstentes en el hperestátco. S no exsten desplazamentos de vínculo mpuestos correspondentes con las ncógntas el vector e h será nulo. Cada uno de los térmnos f j de la matrz flexbldad es el desplazamento correspondente con la ncógnta X cuando X j es una fuerza untara. A partr de esto, sendo el fundamental una estructura sostátca que sabemos resolver, podemos utlzar el teorema de los trabajos vrtuales para obtener los desplazamentos (f j ) necesaros, adoptando la estructura k 5

6 fundamental para X como sstema equlbrado y el fundamental con X j como sstema deformante. De este modo es posble obtener cada una de las flexbldades f j. La ecuacón del teorema de los trabajos vrtuales es la sguente T T externo nt erno P U + R U r dθ + N du + Q dc donde se expresa que el trabajo externo es gual al trabajo nterno de deformacón. S en el sstema equlbrado está actuando una carga untara X y en el sstema deformante X j entonces U será el desplazamento en la dreccón de la ncógnta cuando en j actúa una carga untara. Es decr que U será el f j que estamos buscando. Como el sstema deformante con X j está afectado solamente por cargas estátcas, la expresón de trabajos vrtuales se transforma en f dθ + N du + Q dc f f j j j NN QQ dx + dx + κ dx EA GA j N N j QQ dx + dx + EA κ GA j dx Calculamos entonces los dagramas para los valores untaros de las ncógntas en el esquema fundamental que es una estructura sostátca y por lo tanto puede ser resuelta con las ecuacones de la estátca. Luego procederemos al cálculo de las ntegrales para hallar las flexbldades. Reaccones para X R Ax.5 Tn R Ay Tn R Dx -.5 Tn R Dy.667 Tn Dagramas Untaros X N - Dagrama de axl 6

7 X Q - Dagrama de corte. X. - Dagrama de momentos Reaccones para X R Ax -.5 Tn R Ay Tn R Dx.5 Tn R Dy Tn Dagramas Untaros 7

8 .5.5. X.. N - Dagrama de axl -.5. X Q - Dagrama de corte... X. - Dagrama de momentos Reaccones para X R Ax -.6 Tn R Ay Tn R Dx.6 Tn R Dy Tn 8

9 Dagramas Untaros X. N - Dagrama de axl.48. X Q - Dagrama de corte X. - Dagrama de momentos 9

10 Al ser una estructura netamente flexada sólo consderaremos las ntegrales de los dagramas de momentos para el cálculo de las flexbldades, con la excepcón del tensor donde debemos tener en cuenta la deformacón axl. Como es constante y común para todas las barras lo sacaremos como factor común fuera de las ntegrales dx dx Sendo Tn/m.67 m 4 Tn m Procedemos a contnuacón a calcular las flexbldades ƒ j ƒ dx dx + dx + dx L4m Lm L5m Barra Dagramas a ntegrar Expresón Algebráca / 4. / / f dx Valor dx ƒ.65 ƒ dx dx + dx + dx L4m Lm L5m Barra Dagramas a ntegrar Expresón Algebráca Valor dx / / /

11 f dx ƒ -.86 Sabemos por la ley de Bett que ƒ ƒ, por lo tanto ƒ ƒ -.86 ƒ dx dx + dx + dx L4m Lm L5m Barra Dagramas a ntegrar Expresón Algebráca / 4 / / f dx -. Valor dx ƒ -. ƒ ƒ -. ƒ dx dx + dx + dx L4m Lm L5m Barra Dagramas a ntegrar Expresón Algebráca / 4. / f dx 6 Valor dx ƒ.875

12 ƒ dx dx + dx + dx L4m Lm L5m Barra Dagramas a ntegrar.4.4 Expresón Algebráca / 4 /.4.6 / f dx 7.6 Valor dx ƒ.75 ƒ ƒ.75 En el caso de ƒ no deberíamos desprecar el dagrama de esfuerzo axl y por lo tanto para su cálculo utlzaremos: N N ƒ dx + dx dx + dx + dx + EA AC N N EA dx donde EA del tensor (barra AC) es EA. 7 Tn/m.m Tn L4m Lm L5m Barra AC (esfuerzo axl) L5m Dagramas a ntegrar Expresón Algebráca / / dx N Ndx 5 Valor dx

13 ƒ N Ndx dx EA En este caso el tensor, por su rgdez, nfluye poco en el cálculo de la flexbldad Sgnfcado físco de las flexbldades A contnuacón se muestra el gráfco con la deformada del fundamental para una carga X. Sobre los gráfcos se han volcado los desplazamentos que están relaconados con las flexbldades obtendas. Puede observarse que s el desplazamento es opuesto al propuesto en las ncógntas del fundamental, el sgno de la flexbldad será negatvo. Por ejemplo, f será el desplazamento correspondente (desplazamento relatvo en este caso) con la ncógnta cuando sobre el fundamental actúa una fuerza untara en la dreccón de la ncógnta. f ( ) f ( ) f (+) Deformada y flexbldades para X α β f α+β (+) f ( ) f (+) Deformada y flexbldades para X

14 β α f α+β (+) f (+) f ( ) Deformada y flexbldades para X 8.- CALCULO DE LOS TERINOS DE CARGAS (e o ) Los térmnos de carga e o son los desplazamentos producdos en la dreccón de X cuando sobre el fundamental actúa un determnado estado de cargas. Nuevamente podemos utlzar el teorema de los trabajos vrtuales para obtener los e o. Calcularemos los térmnos de carga por separado, consderando:. las cargas estátcas. las cargas por temperatura. las cargas por desplazamento de apoyos Térmnos de carga para cargas estátcas Partendo de la ecuacón de trabajos vrtuales U + R U d + N du + P r θ Q dc s lo que deseamos es hallar el desplazamento que producen las cargas estátcas en la dreccón de X plantearemos como sstema equlbrado aquel fundamental donde X y como sstema deformante el fundamental con las cargas estátcas aplcadas. De este modo la ecuacón de trabajos vrtuales se tranforma en e e e q q q dθ + N du + NN QQ dx + dx + κ dx EA GA N N QQ dx + dx + EA κ GA Q dc Calcularemos a contnuacón los dagramas de esfuerzos para las cargas estátcas Reaccones para las cargas estátcas dx R Ax -7.5 Tn R Ay.5 Tn R Dx -7.5 Tn R Dy 8.5 Tn 4

15 X N - Dagrama de esfuerzo axl para cargas estátcas X Q - Dagrama de corte para cargas estátcas X - Dagrama de momentos para cargas estátcas. 5

16 Tendremos en cuenta las ntegrales de los dagramas de momento para calcular los térmnos de carga e o q dx dx + dx + dx Barra Dagramas Expresón Algebráca Valor dx a ntegrar / L4m / Lm / q l / 8 4 / L5m e o q.77 L.5m L.5m /6 (-.5)( (-5.5)-7.5).5+ /6 (-.5)(-5.5+ (-7.5)).5 / e q dx e o q dx dx + dx + dx Barra Dagramas Expresón Algebráca Valor dx a ntegrar / L4m 5 / Lm + / q l / 8 4 / L5m L.5m L.5m /6.5( (-5.5)-7.5).5+ /6 (-5.5+ (-7.5)).5 /

17 e o q -.56 e q dx -.5 e o q dx dx + dx + dx Barra Dagramas Expresón Algebráca Valor dx a ntegrar / 4 L4m.4 / Lm +.4 / q l / 8 4 / L5m L.5m L.5m e o q /6.( (-5.5)-7.5).5+ /6.4(-5.5+ (-7.5)).5 / e q dx En la fgura sguente podemos ver la deformada para las cargas estátcas sobre la cual se ha volcado cada uno de los térmnos de carga e o q. α β e o q α β ( ) e o q( ) e o q(+) Térmnos de carga para temperaturas 7

18 Cuando tenemos solamente cargas de temperatura, el cálculo de los térmnos de carga a partr del teorema de los trabajos vrtuales se converte en hallar el desplazamento correspondente con la ncógnta X cuando actúan las cargas de temperatura. El sstema equlbrado será aquel fundamental donde actúe X. e e t t dθ + N du + ( T Ts) λdx + h Q dc N T g λdx Calcularemos a contnuacón los térmnos de carga para temperatura a partr de e o ( T Ts) t λdx + N Tg λdx h El gradente de temperatura será ( T Ts) C C T 5 C/m h.4m y la temperatura en el centro de gravedad por ser una seccón rectangular será la semsuma de las temperaturas nferor y superor ( T + Ts) C + C T g 5 C y al ser el coefcente de dlatacón lneal constante para todas las barras, la ntegral que defne el térmno de carga para temperatura puede expresarse como ( T Ts) ( T + Ts) λdx + N λdx Tλ dx + Tg λ Ndx h sendo dx el área del dagrama de momentos y N dx el área del dagrama de esfuerzo axl. Consderando que la barra es la únca que tene carga de temperatura, los térmnos de carga serán evaluados solamente en esa barra. e o t Tλ dx + T λ Ndx 5-5 / e o t -.5 g e o t Tλ dx + T λ N dx e o t.7875 g e o t Tλ dx + T λ Ndx 5-5 / e o t.9 g 8

19 Las expresones subrayadas equvalen al área del dagrama correspondente La fgura sguente muestra la deformada del fundamental para las cargas de temperatura en la que se encuentran marcados los térmnos de carga e o t. Se puede observar el desplazamento de la estructura como rígdo, no exstendo reaccones en los apoyos. β α e o tα+β (+) e o t(+) e o t( ) Térmnos de carga para desplazamentos de vínculo mpuestos Se procederá a contnuacón a calcular los térmnos de carga para los desplazamentos de vínculo mpuestos. Sabemos que los térmnos de carga son los desplazamentos correspondentes con las ncógntas para un estado de cargas dado. Por lo tanto para su cálculo nuevamente podemos utlzar el teorema de los trabajos vrtuales que expresa P U + R U r dθ + N du + Q dc pero al estar consderando solamente los desplazamentos de vínculo mpuestos las ntegrales de, N y Q serán nulas, quedando P U + R U r En nuestro caso P será la ncógnta cuyo valor es untaro y U será el desplazamento que se desea conocer, es decr el térmno de carga e o δ que corresponde a la ncógnta X. R será la reaccón correspondente con el desplazamento de vínculo mpuesto cuando actúa X. La ecuacón se converte entonces en e e δ δ + R U R U r r y en nuestro caso en partcular en el que tenemos un desplazamento mpuesto en el apoyo D e δ R Dx U Dx 9

20 Por lo tanto los térmnos de carga se calculan a partr de la reaccón horzontal en el apoyo en D que concde con el desplazamento de vínculo mpuesto en D que se tene como dato e o δ -R Dx U Dx e o δ -R Dx U Dx e o δ -R Dx U Dx La fgura sguente muestra la deformada de la estructura fundamental ante el desplazamento de vínculo mpuesto. Sobre la msma se encuentran ubcados los térmnos de carga e o δ. Nuevamente, al gual que ocurría con las cargas de temperatura, se puede observar el desplazamento de la estructura como rígdo sn generar reaccones en los apoyos. e o δ (+) e o δ ( ) e o δ (+) 9.- RESOLUCION DE LAS ECUACIONES DE COPATIBILIDAD Las ecuacones de compatbldad del método de las fuerzas se pueden expresar smbólcamente como e + f X e j h s tenemos tres ncógntas como en nuestro caso, el sstema queda desarrollado de este modo e o + ƒ X + ƒ X + ƒ X e h e o + ƒ X + ƒ X + ƒ X e h e o + ƒ X + ƒ X + ƒ X e h que en forma matrcal puede expresarse como f f f f f f f f f X X X e + e e q q q e e e h h h y smbólcamente F X + C C h

21 donde F es la matrz flexbldad de la estructura, C o es el vector de los térmnos de carga y C h es el vector que contene los desplazamentos de vínculo mpuestos correspondentes con las ncógntas. Los térmnos e h tenen en cuenta los desplazamentos mpuestos que se exsten en la estructura hperestátca en la dreccón de la ncógnta X. En nuestro ejemplo, en la estructura hperestátca no hay nngún desplazamento mpuesto en la dreccón de las ncógntas, por lo tanto todos los térmnos e h son guales a cero y C h es un vector nulo. Para resolver el sstema de ecuacones debemos despejar el vector X de la ecuacón anteror, por lo que se llega a que F X + C F X C X F - h (C C C h h C ) pero como C h se llega fnalmente a que X F - ( C ) Plantearemos y resolveremos a contnuacón las ecuacones de compatbldad separadamente para las cargas estátcas, de temperatura y desplazamentos de vínculo mpuestos. Cargas estátcas e o q + ƒ X + ƒ X + ƒ X e h e o q + ƒ X + ƒ X + ƒ X e h e o q + ƒ X + ƒ X + ƒ X e h En nuestro caso la matrz y el vector son los sguentes F C o La nversa de la matrz flexbldad, llamada matrz rgdez, resulta ser F Resolvendo el sstema de ecuacones con X F ( C ), las ncógntas dan como resultado: X q Tn m X q -4.8 Tn m X q.858 Tn Cargas de temperatura

22 e o t + ƒ X + ƒ X + ƒ X e o t + ƒ X + ƒ X + ƒ X e o t + ƒ X + ƒ X + ƒ X Para las cargas de temperatura cambará el térmno de carga en el sstema F X + C, quedando F C o Resolvendo este nuevo sstema de ecuacones tenemos como resultado: X t.557 Tn m X t Tn m X t.598 Tn Cargas de desplazamentos de vínculo mpuestos e o δ + ƒ X + ƒ X + ƒ X e o δ + ƒ X + ƒ X + ƒ X e o δ + ƒ X + ƒ X + ƒ X Nuevamente lo únco que camba de la ecuacón F X + C es el térmno de carga: F C o El resultado obtendo es X δ.4 Tn m X δ Tn m X δ -.89 Tn.- REACCIONES DIAGRAAS HIPERESTATICOS Sumando los resultados obtendos para las ncógntas con cargas estátcas y cnemátcas tenemos X X q + X t + X δ Tn m X X q + X t + X δ Tn m X X q + X t + X δ.65 Tn El sgno negatvo de la ncógnta ndca que el sentdo de la msma es opuesto al sentdo propuesto en la estructura fundamental.

23 Una vez obtendo los valores de las ncógntas hperestátcas (X, X y X ) debdo a las cargas estátcas, temperatura y desplazamento de apoyo, se aplca el prncpo de superposcón para obtener cualquer efecto estátco (reaccones o N, Q, ) o cnemátco (desplazamentos). a h a + a X +a X + a X Las reaccones en el hperestátco se calculan a partr de R h R + R X +R X + R X resultando R Ax (-5.589) + (-.5) (-5.756) + (-.6) Tn R Ay.5 + (-.6667) (-5.589) + (-5.756) Tn R Dx (-.5) (-5.589) +.5 (-5.756) Tn R Dy (-5.589) + (-5.756) Tn Podríamos tambén utlzar el prncpo de superposcón para los dagramas de N, Q y. A veces suele resultar más sencllo calcularlos a partr del fundamental, aplcando como estado de cargas las ncógntas obtendas sumadas a las cargas estátcas. De este modo, las reaccones serán las calculadas prevamente. En la sguente fgura se lustra lo enuncado. q 4 Tn/m m X Tn m B C P 5 Tn X.65 Tn Tn m m X Tn m RDx 5.99 Tn D R Ax 9.9Tn A R Ay 4.45 Tn R Dy Tn m m Los dagramas hperestátcos fnales resultan ser los sguentes

24 N h - Dagrama de axl en la estructura hperestátca Q h - Dagrama de corte en la estructura hperestátca h - Dagrama de momentos en la estructura hperestátca 4