TEORÍA DE ESTRUCTURAS

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1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS TEMA : CELOSÍAS DEPARTAMETO DE IGEIERÍA MECÁICA - MEKAIKA IGEIERITZA SAILA ESCUELA TÉCICA SUPERIOR DE IGEIERÍA DE BILBAO UIERSIDAD DEL PAÍS ASCO EUSKAL HERRIKO UIBERTSITATEA UP/EHU Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao

2 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Introduccón Una celosía es una estructura formada por arras rectas undas entre sí por medo de artculacones, tal que al estar sometda a fuerzas exterores sus arras traaan exclusvamente a esfuerzo axal El modelo estructural dealzado que se emplea para el estudo de una celosía se asa en las sguentes suposcones: a) Las arras se unen entre sí en un extremo medante unones que sólo transmten fuerzas y no pueden transmtr nngún tpo de momento: artculacones en el caso plano y rótulas esfércas en el caso espacal, tanto unas como otras sn frccón ) El ee centrodal de cada arra es recto, y concde con la línea que une los centros de las artculacones de cada extremo de la arra c) La seccón transversal de cada arra tene un área desprecale frente a su longtud d) Las fuerzas están aplcadas en los nudos, y nunca sore las arras Esto olga a susttur el peso propo de las arras por fuerzas aplcadas en los nudos extremos de las msmas TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

3 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Introduccón Se tene una celosía plana s cumple las condcones sguentes: a) Todos los ees centrodales de las arras están contendos en un msmo plano que es el plano de la estructura ormalmente éste se toma como el plano Y ) Todas las fuerzas aplcadas y las reaccones en los apoyos están contendas en el plano de la estructura c) En consecuenca, los desplazamentos de los nudos tenen lugar en el plano de la estructura Idealzacón de una celosía plana TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

4 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Introduccón En las fguras se muestra la forma en que se materalzan en la práctca las unones entre las arras o se trata de artculacones perfectas En la mayoría de los casos estas unones se forman unendo medante tornllos o soldadura los extremos de las arras a una placa común Los cálculos asados en las pótess anterormente enumeradas, dan lugar a resultados que pueden consderarse sufcentemente fales para el dseño Centro de la unón TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

5 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Introduccón El prncpo que suyace en la utlzacón de las celosías como estructuras capaces de soportar carga, es el eco de que la confguracón de arras rectas artculadas en los extremos en una forma trangular, es una confguracón estale Cualquer camo de forma que expermente como consecuenca de la aplcacón de las cargas exterores, está drectamente asocada con las pequeñas deformacones longtudnales de las arras que la componen Confguracón nestale Mecansmo que expermenta movmentos de sóldo rígdo Confguracón estale Las fuerzas exterores dan lugar exclusvamente a esfuerzos axales (de traccón o compresón) en los elementos de esa estructura trangulada estale unca traaarán a flexón en tanto en cuanto las cargas exterores estén aplcadas en los nudos Fuerzas en los memros TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

6 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Introduccón Puesto que esta confguracón ásca trangular es estale, cualquer estructura resultante del ensamlae de confguracones trangulares será tamén una estructura estale, sufcentemente rígda para soportar cargas En esta dea se apoya la valdad y utldad de las celosías en gran número de estructuras (edfcos de dverso tpo, puentes, etc), ya que es posle otener estructuras rígdas de dmensones relatvamente grandes de práctcamente cualquer geometría sn más que agregar pequeñas undades trangulares De nuevo, el efecto de las cargas exterores es producr un estado de traccón o compresón pura en cada uno de los elementos del ensamlae C TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

7 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Introduccón Mucas de las celosías 3D pueden estudarse en D Celosía (Cerca) Cuerta Correas Largueros Talero Cerca gas Estructura típca de puente en celosía Celosía para la sustentacón de cuertas TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

8 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Introduccón Celosías comunes para puentes Dagonales en compresón Celosía Howe Dagonales en traccón Celosía Pratt Trangulada Celosía Warren Seccón transversal varale Celosía Parer TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

9 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Introduccón Celosías comunes para cuertas Celosía Kng Post Celosía Pratt Celosía Warren Celosía Howe Celosía Fn TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

10 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Determnacón estátca y estaldad Celosías planas (número de arras), r (número de reaccones), n (número de nudos) r < n no estale r n sostátco (estátcamente determnada) r > n perestátco (estátcamente ndetermnada) En los dos últmos casos, además es necesara una confguracón adecuada de arras y reaccones: O ESTABLE a) Inestale reaccones concurrentes ) Inestale reaccones paralelas Reaccones que se cortan en un punto Fgura 6 O ESTABLE Reaccones paralelas TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

11 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Determnacón estátca y estaldad 3, r3, n8 33*8 PARECE ISOSTÁTICO PERO es una celosía no estale nternamente TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

12 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Determnacón estátca y estaldad Estátcamente determnada Inestale Estátcamente ndetermnada 73* 7<* 3>* Inestale 63<* Estátcamente determnada 64*5 Inestale 3<*7 Estátcamente determnada 3*7 TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

13 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Determnacón estatca y estaldad Estátcamente determnada Estátcamente determnada Inestale 4*7 64* 33*8 Estátcamente determnada 95* TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

14 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Determnacón estátca y estaldad Celosías espacales (número de arras), r (número de reaccones), n (número de nudos) r < 3n no estale r 3n sostátco (estátcamente determnada) r > 3n perestátco (estátcamente ndetermnada) En los dos últmos casos, además es necesara una confguracón adecuada de arras y reaccones El estudo de la estructura es muco mas complcado TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

15 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 3 Clasfcacón de celosías 3 Celosías smples A partr de un trángulo ásco se van añadendo nudos Los nudos no tenen por qué ser contguos Celosía smple Celosía smple TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

16 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 3 Clasfcacón de celosías 3 Celosías compuestas Celosías smples A partr de la unón de celosías smples Celosías smples Celosía de segundo orden Celosía de segundo orden Celosía de segundo orden Se susttuye una arra por una celosía smple TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

17 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 3 Clasfcacón de celosías 33 Celosías compleas Las celosías que no son smples n compuestas TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

18 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 4 Métodos de análss para celosías sostátcas 4 Método de los nudos Se aplcan las ecuacones de equlro : - En toda la estructura - udo a nudo SIMPLIFICACIOES: (CELOSÍAS D) - S se unen en un nudo sn carga exteror dos arras no colneales el esfuerzo axal en dcas arras es nulo - S se unen en un nudo sn carga exteror tres arras sendo dos de ellas colneales, el esfuerzo axal de la tercera es nulo 3 TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

19 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 4 Métodos de análss para celosías sostátcas 4 Método de las seccones - Es una aplcacón del prncpo del corte - Se aísla una parte de la celosía cortando varas arras - A contnuacón de aplcan las ecuacones de equlro para otener los esfuerzos de las arras cortadas - Por lo tanto, el corte se realzará de manera que sólo aparezcan tres esfuerzos desconocdos - En certos casos, dedo a la dsposcón geométrca de las arras, es posle cortar más de tres arras y otener algún esfuerzo TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

20 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 4 Métodos de análss para celosías sostátcas Eemplo Calcular los esfuerzos en las arras del panel central FGCB de la celosía de la fgura Corte E F G H m A B C 3 D 5 3 x 5 m El equlro del conunto permte otener las reaccones en los apoyos: F F x Y M A H A A A D D D 5 TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

21 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 4 Métodos de análss para celosías sostátcas 5 m E F G H 4 m A B C D Efectuando un corte como el ndcado, que afecta a las arras, 7 y, y aplcando las ecuacones de equlro a la parte zquerda (o dereca) de la celosía, se calculan los esfuerzos en esas tres arras Consderando la parte zquerda: M F F Y F ,65 6,5 7 6,5 6,5 ( ) ( ) A contnuacón se aplcará el equlro nudo a nudo, para calcular los demás esfuerzos: F,C,G,H TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

22 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 4 Métodos de análss para celosías sostátcas Eemplo C Corte 3 x m 4 B D x 3 m El equlro del conunto permte otener las reaccones en los apoyos: F F x Y M A H A A A B B 4 7 B 8 TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

23 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 4 Métodos de análss para celosías sostátcas C 3 4 A 7 3 La seccón de corte mplca a cuatro esfuerzos Aslando la parte zquerda de la cerca y tomando momentos respecto de C: M C ( ) Y el equlro de fuerzas orzontales proporcona el esfuerzo en la arra F 8 ( ) Medante este corte no se pueden allar los esfuerzos 3 y 4 TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

24 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 4 Métodos de análss para celosías sostátcas 43 Método mxto 3 Eemplo Corte C 3 D E 4 8 B J 6 m Reaccones en los apoyos aplcando el equlro gloal de la estructura F x F Y M G H A A G A G 4 3 G I F m m Esfuerzo de la arra medante el equlro en la parte zquerda del corte M H A 7 5 H m m G 5 El resto de esfuerzos se puede otener por equlro en los nudos TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

25 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 5 Energía de deformacón en celosías La ecuacón consttutva para prolemas undmensonales relacona los valores untaros de tensones y deformacones : σ ( ε ) E ε o Donde: E es el módulo de elastcdad del materal ε son las deformacones untaras totales exstentes ε son las deformacones untaras totales presentes en el materal en su estado sn tensón (aparecen en el sóldo cuando éste se alla en el estado de tensón nula o de lre dlatacón Lo atual es que se produzcan por varacones en la temperatura, pero pueden orgnarse por cualquer otro fenómeno, como por eemplo por errores en la longtud de las arras) Suponendo que la arra está sometda a una varacón unforme de temperatura de valor T, el valor de la correspondente deformacón untara vene dado por: ε o α T Donde α es el coefcente de dlatacón lneal del materal Operando se otene que: σ ε α T E TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

26 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 5 Energía de deformacón en celosías Otencón de U *, energía de deformacón complementara acumulada en una arra: alor de la densdad de energía elástca complementara acumulada en un punto cualquera de un elemento de celosía: * U o σ ε dσ Tenendo en cuenta la expresón otenda para las deformacones untaras totales e ntegrando se otene: σ * σ σ U o α T d σ α T E E Susttuyendo el valor de la tensón en funcón del esfuerzo axal, σ * U o T A E α A Integrando la densdad de energía complementara a todo el volumen de la arra, se otene: U * L L * U o d α T A dx A E A E A α T dx TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

27 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao Al no aer fuerzas aplcadas en la arra, cuyas varales desgnaremos por el suíndce, el esfuerzo axal es constante en toda ella Además, se supone que la arra es de propedades unformes en toda su longtud, es decr, que tanto la seccón A, como sus coefcentes característcos E y α y la varacón de temperatura T son asmsmo constantes a lo largo de toda su longtud Tenendo esto en cuenta, el ntegrando de la expresón anteror es constante y la energía complementara, para una arra de propedades unformes, resulta ser: L 5 Energía de deformacón en celosías TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías * L T A E L U α Entonces: : flexldad de la arra λ : alargamento de la arra dedo a la lre dlatacón U λ * Y para una celosía de arras: U U * * λ

28 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 6 Análss de celosías perestátcas medante el método de la flexldad 6 Determnacón del grado de perestatcdad r-n D r-3n 3D 6 Eleccón de las ncógntas perestátcas (,,3,,) serán las ncógntas perestátcas x esfuerzo nterno de una arra R reaccón en un apoyo Deen cumplr las sguentes condcones: a) Lnealmente ndependentes ) Al elmnarlas de la estructura dee quedar una estructura sostátca y estale Puede aer dferentes grupos váldos de ncógntas La eleccón se asa en la experenca TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

29 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 6 Análss de celosías perestátcas medante el método de la flexldad Eemplo r-n 3 - *6 a) ) c) d) x Posles eleccones de TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

30 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 6 Análss de celosías perestátcas medante el método de la flexldad 63 Formulacón de los esfuerzos de la celosía En la resolucón de una celosía perestátca se dferencan dos partes a) Prncpo de superposcón y formulacón de los esfuerzos ) Condcones de compatldad geométrca () eamos la formulacón de esfuerzos de las arras (a) ) Se elgen las ncógntas y se qutan de la estructura la arra o apoyo correspondente La estructura resultante es sostátca y está ao el efecto de las fuerzas externas y de las ncógntas perestátcas ( ) P Q P Q Estructura real 44-(*8) Estructura ásca a) ) TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

31 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 6 Análss de celosías perestátcas medante el método de la flexldad ) Superposcón: Descomponer el caso real en casos sostátcos Caso : Caso ásco Caso de las fuerzas externas Casos : Casos perestátcos La correspondente ncógnta perestátca con valor untaro y las demás nulo Esfuerzo de cada arra en este caso Esfuerzo de cada arra en cada caso arra caso perestátco (,,,) P Q Caso a) ásco, Caso ásco, Caso ) perestátco Caso perestátco,, Caso c) perestátco Caso perestátco,, TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

32 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 6 Análss de celosías perestátcas medante el método de la flexldad Caso real y estructura ásca P Q P Q P a) ) esfuerzo del caso real de la arra Q a ) C a s o á s c o, ) C a s o p e r e s t á t c o, c ) C a s o p e r e s t á t c o, Caso ásco, Caso perestátco, Caso perestátco, En general : TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

33 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 6 Análss de celosías perestátcas medante el método de la flexldad 64 Aplcacón de las condcones de compatldad Recordando la expresón otenda para la energía de deformacón complementara: U * U * λ Cuantas condcones de compatldad ay que aplcar? a) S es una reaccón de un apoyo U, U ) S es un esfuerzo nterno de una arra, TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

34 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 6 Análss de celosías perestátcas medante el método de la flexldad 65 Proceso de resolucón general * Suponendo que es un esfuerzo nterno: * Energía de deformacón: U * λ * Esfuerzo en una arra: U, TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías Tenendo todo en cuenta: 3 3 Para allar la dervada de : U, λ,

35 Susttuyendo la solucón anteror en la ecuacón de compatldad: U, λ, U, λ Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 6 Análss de celosías perestátcas medante el método de la flexldad U, λ Susttuyendo la expresón de * Sstema de ecuacones y ncógntas perestátcas * Resolvendo se otene la solucón:,, 3,, * Luego el esfuerzo de cada arra medante: TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

36 Realzando operacones en la ecuacón otenda :,, ) ( λ Desarrollando el sumatoro y reordenando: U, λ Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 6 Análss de celosías perestátcas medante el método de la flexldad ) ( λ ) ( λ [ ]{ } { } D F MATRIZIALKI: F F D Dedo a las fuerzas externas Dedo a la varacón de temperatura Matrz de flexldades (x) TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

37 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 7 Cálculo de deformacones OBJETIO: MÉTODO: Calcular el desplazamento de un nudo de la celosía en una determnada dreccón Fuerza vrtual untara 7 Celosías sostátcas Supongamos una celosía sostátca en la que se an calculado sus esfuerzos Se quere calcular el desplazamento orzontal r Caso real, conocdas Según ndca el método se aplca en la celosía una carga de valor undad en la dreccón del desplazamento r Sumando los dos casos: R / fuerza vrtual Caso vrtual, v se pueden calcular TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

38 Energía de deformacón complementara dedo al caso real vrtual: Para calcular el desplazamento se aplca el teorema de Crott-Engesser cuando es nulo Es decr: Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 7 Cálculo de deformacones R R U U * * λ Donde los esfuerzos dedos al caso real vrtual: v R TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías R r U R R R r λ Fnalmente:

39 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 7 Cálculo de deformacones 7 Celosías perestátcas Q P Conocdos: prevamente se a calculado el caso real perestátco Caso real, Caso vrtual sostátco, v Caso perestátco, Caso vrtual untaro, v Sumando los dos casos: R / fuerza vrtual estructuras sostátcas Caso perestátco, Conocdos, se calcularon al calcular los esfuerzos de la celosía TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

40 estructuras sostátcas Aplcando el teorema de Crott Engesser se logra la msma expresón que para el caso sostátco: Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 7 Cálculo de deformacones Energía de deformacón complementara dedo al caso real vrtual: R R U U * * λ r λ Los esfuerzos del caso vrtual dferen del caso sostátco TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías r λ

41 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 7 Cálculo de deformacones r λ r λ λ ver ecuacón de compatldad TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías r λ λ r λ - o es necesaro calcular el caso vrtual untaro,, sno el caso sostátco vrtual, - Se smplfcan los cálculos Fnalmente:

42 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 7 Cálculo de deformacones Isostátco RESUME r λ Hperestátco v ov r λ v TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

43 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 8 Errores de longtud en arras L L r L L longtud de montae La arra se dee colocar en esta longtud L r longtud real de la arra S L L r y se fuerza el montae, aparecerán esfuerzos en la estructura dedo a que la arra tende a recuperar su longtud ncal Para aordar este prolema se consdera el error como una deformacón ncal Deformacón untara correspondente a L Introducendo en la ecuacón de comportamento del materal: ε L r L L L L L σ E( ε ε ) E( ε ) L σ ε E L L Densdad de energía de deformacón: U * σ σ σ L σ L ε dσ ( ) dσ σ E L E L EA L L A TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

44 Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao 8 Errores de longtud en arras Integrando en el volumen de la arra: L * * L L L U U d ( )Adx EA L A ( )dx EA L L E A L L Error de longtud Recordando la expresón de la energía de deformacón en el caso de ncremento de temperatura: U * α T L λ aracón de longtud deda a la varacón de temperatura Por lo tanto amos prolemas se pueden resolver de la msma forma TEORÍA DE ESTRUCTURAS:Tema : Celosías

45 TEORÍA DE ESTRUCTURAS TEMA : CELOSÍAS DEPARTAMETO DE IGEIERÍA MECÁICA - MEKAIKA IGEIERITZA SAILA ESCUELA TÉCICA SUPERIOR DE IGEIERÍA DE BILBAO UIERSIDAD DEL PAÍS ASCO EUSKAL HERRIKO UIBERTSITATEA UP/EHU Ingenartza Go Esola Tenoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blao