Equilibrio y elasticidad

Transcripción

1 Equlbro y elastcdad Condcones de equlbro Una partícula esta en equlbro s la resultante de todas las fuerzas (externas) que actúan sobre ella es cero Para cuerpos con extensón fnta: el centro de masa del cuerpo debe haber una aceleracón cero Prmera condcón de equlbro: (1) F ext = o F = x F = y F = z La sumatora ncluye solamente fuerzas externas Otra condcón para un cuerpo con extensón fnta = no debe tender a grar L = dl, pero tambén dt = (no hay cambo de dreccón del eje de rotacón) Segunda condcón de equlbro: () τ = Estado del cuerpo = Equlbro estátco - cuerpo rígdo está en reposo, sn translacón n rotacón 1

2 Centro de gravedad En los problemas de equlbro a la superfce de la Terra (ej. problemas de ngenería) la fuerza más mportante es el peso Ya vmos que la fuerza de gravedad se concentra en un punto = centro de gravedad (cg) S la aceleracón g es constante: el centro de gravedad = centro de masa mx mx + mx + mx (3) xcm = = m m1 m m Con expresón déntcas para y e z La forma vectoral: mr mr + mr + mr (4) rcm = = m m1 m m

3 Momento de torsón gravtatoro Una partícula de masa m, tene un peso w = mg S g es constante el momento de torsón: τ = r w = r mg El momento de torsón total: τ τ ( ) ( ) = = r mg = mr g = mr g Multplcamos y dvdmos por la masa total M = m mr M τ = = m mr g Mg m Momento de torsón gravtatoro τ = r Mg = r W (5) cm cm El momento de torsón gravtatora total es el msmo que s el peso total W estuvera actuando en la poscón r cm del centro de masa 3

4 Localzacón y uso del centro de gravedad Para encontrar el centro de gravedad (centro de masa) podemos usar consderacones de smetría (geometría) Cuando un cuerpo sobre el cual actúa la gravedad se apoya en un solo punto o cuelga de él, el centro de gravedad sempre está drectamente por arrba o por debajo del dcho punto Un cuerpo apoyado en varos puntos debe tener un centro de gravedad en algún lugar dentro del área delmtada por los apoyos Cuando más bajo está el centro de gravedad (menos energía gravtatora) y mayor es el área de apoyo (menos los bracos de palanca) más dfícl volcar el cuerpo más alto el estado de equlbro estátco Ej. Coches sobre un rampa a) estado estable; b) y c) estados no estable Cuadrúpedos como venados y caballos tenen un área de apoyo grande, son estables y sólo necestan pes pequeños o cascos Bípedos, personas o aves, necestan pes más grandes para tener área de apoyo razonable Un bípedo que camna ponendo su cuerpo cas horzontal (Ej. pollo y dnosauro) deberá equlbrarse se para mantener el centro de gravedad por encma del pe en el suelo: Por esto el pollo mueve la cabeza, el Tranosauro probablemente lo haca movendo su cola 4

5 Ejemplo: tabla unforme con longtud L = 6.m y masa M = 9kg Esta tabla descansa sobre dos barrqutas separadas por una dstanca D = 1.5m a dstancas guales del centro C A la lmte de equlbro, el centro de gravedad debe estar ubcado exactamente encma de la barrquta derecha S Cualquer persona que tentará pararse en el extremo derecho no deberá haber un w = m g más grande que una certa lmte peso per per Tomemos el orgen del sstema en C L Los puntos de aplcacón de los pesos son x ta =, x per = = 3.m El centro de gravedad: x cg ( ) M + mper L mper = = M + m M + m per per L Al equlbro, D mper L D mper D M L x cg = = = + 1 = M + m M + m L m D per per per D 1.5m mper = M = 9kg = 3kg L D 6.m 1.5m D Habríamos tomado el orgen en S, xta = y x per L D = x cg D L D M + mper = = M + m per = D mper M L D, la msma respues 5

6 Esfuerzo, tensón y módulo de elastcdad Los materales sometdos a fuerzas externas muestran deformacones de 3 dferentes tpos a) Estramento (tensón) b) Aplastamento (compresón) c) Torsón (corte) Esfuerzo: cantdad que caracterza la ntensdad de las fuerzas que causan deformacones, con base a una fuerza por undad de área Deformacón, cantdad que descrbe el cambo de forma resultante Cuando el esfuerzo y la deformacón son pequeños, es común que sean proporconales Ley de Hooke (Robert Hooke ( ) contemporáneo de Newton) (6) esfuerzo modulo de elastcdad deformacon = Esta ley es empírca, valda sólo dentro de un ntervalo lmtado de condcones físcas 6

7 Esfuerzo y deformacón por tensón y compresón Estramento de una barra, varlla o alambre cuando tramos sobre sus extremos A) Tensón en barra unforme de área A Esfuerzo de tensón (stress) (7) F esfuerzo de tenson = A Cantdad escalar con undad: [ ] N N esf. de tenson = = Pascal = Pa y 1Pa= 1 m m lb Sstema brtánco: pound per square nch = n lb Equvalenca: 1 1ps 6891Pa n = = o 4 1Pa= ps Son undad smlar a la presón Ej. la presón del are en los neumátcos Pa = 3kPa Los cables de acero usados en la construccón pueden suportar hasta 8 1 Pa 7

8 B) Deformacón por tensón (Estramento) = cambo fracconaro de la longtud de un cuerpo sometdo a un esfuerzo de tensón Barra de longtud orgnal l Estrada hasta la longtud l = l + l Deformacón por tensón (stran): l l l (8) = l l Cuando el esfuerzo de tensón es pequeño el esfuerzo y deformacón son proporconales Moduló de Young (stress/stran) F A Fl (9) Y = = ll A l Un materal con Y grande no se estra mucho Ej. Acero colado 11 Y = 1 Pa en comparacón con hule 8 Y = 5 1 Pa. 8

9 C) Esfuerzo de compresón: las fuerzas en los extremos de una barra empujan en lugar de trar el materal esta comprmdo Deformacón por compresón defnda por del msmo modo que la deformacón por tensón, pero l tene dreccón opuesta Ley de Hooke es tambén valda para la compresón Mucho materal tene el msmo módulo de Hooke por la tensón que por la compresón D) Flexón fuerzas de tensón y compresón al msmo tempo Para mnmzar el esfuerzo y deformacón por flexón La parte superor y nferor de una vga deben tener una seccón transversal grande En la línea central no hay compresón n tensón así que esa parte puede tener una seccón transversal pequeña mnmza el peso + dsmnuye el esfuerzo de tensón de la vga 9

10 Consecuencas: 1- Un poste vertcal (semáforo o letrero de autopsta) tene seccón transversal crcular porque debe resstr la flexón en todas las dreccones causada por el vento - Un poste crcular hueco es más resstente a la flexón que uno sóldo con la msma masa pero de menos rado Ej. Torre CN de Toronto Poste crcular hueco con lados metdos de manera a darle algo de la establdad natural de un trípode Las seccones más cercanas del suelo deben sostener más peso y por esto su seccón transversal es mayor 3- Los puentes deben soportar tremendos peso busca mpartr dchos esfuerzos al suelo Ej. 1- Puente suspenddo sostene su carga prncpalmente medante la tensón en los cables y en la compresón de las torres La fuerza haca abajo sobre las torres, causada por la tensón, se equlbra con la fuerza haca arrba ejercda por el suelo 1

11 Ej. - Un puente de arco soporta su carga por compresón El suelo en los extremos del arco recbe el esfuerzo de compresón 1 Ejemplo: Cable de acero ( Y = 1 Pa ) de largura l =.m y seccón transversal A =.3cm Se cuelga al cable una masa en torno de 55kg Buscamos el esfuerzo, la deformacón y alargamento Supongamos que el cable se comporta como una varlla sólda Esfuerzo (stress): F A m ( ) 55kg 9.8 s Pa 5 = = 3. 1 m Deformacón (stran): 8 l esfuerzo Pa = = = l Y 1 Pa 4 La elongacón: l = = = m.18m 1.8mm Esto es una elongacón muy pequeña para la magntud del esfuerzo 11

12 Esfuerzo y tensón de volumen La presón del agua sobre un sumergble (esfuerzo de volumen) es unforme y la deformacón resultante es un cambo de volumen (deformacón de volumen) La fuerza sobre una seccón transversal en un fludo en reposo es sempre perpendcular a esta seccón S tratamos de ejercer una fuerza paralela a una seccón, el fludo se deslzara a los lados para contrarrestar la accón La presón p en un fludo es gual a la razón entre la fuerza perpendcular F a una seccón untara y su área A (1) F p = A La presón es una cantdad escalar, no tene dreccón Undades de presón (Pascal): N lb [ p ] = Pa = o ps = m n Otra undad atmósfera (atm): 5 1atm= Pa = 14.7ps S pueden gnorarse las dferencas de presón debdas a la profunddad la presón es la msma en todos los puntos Ley de Pascal: S aplcamos una presón a la superfce de un fludo en un recpente cerrado (con un pstón), la presón se transmte a través del fludo y actúa sobre la superfce de cualquer cuerpo sumergdo 1

13 La deformacón fracconara de volumen (11) V V S se cumple la ley de Hooke, un aumento en la presón (esfuerzo de volumen) causara una deformacón proporconal de volumen El módulo de volumen (1) p B = VV Sgno menos un aumento de presón corresponde a una reduccón de volumen Para cambos de volumen pequeño B = constante Para un gas, B depende de la presón ncal p El recproco del módulo de volumen es la: compresbldad (13) 1 1 V k = = B V p La compresbldad corresponde a la dsmnucón fracconara de volumen por undad de aumento de presón Su undad: [ k] = Pa = atm 1 1 Fludos con una alta compresbldad son muy fáclmente compresbles 13

14 Ejemplo de Prensa hdráulca Una prensa hdráulca contene.5 m 3 (5L) de acete: módulo de volumen 9 4 B = 5. 1 Pa o (5 1 atm) Un pstón hace aumentar la presón a 7 p = Pa (16 atm o 3 ps) La compresbldad: 1 k = = 1 atm B 6 1 El cambo de volumen: V p (.5m 3 )( Pa ) 4 3 V = = = 8. 1 m =.8L 9 B 5. 1 Pa S ben el aumento de presón es muy grande, el cambo fracconaro de volumen es muy pequeño 4 3 V 8. 1 m = =.3=.3% 3 V.5m Esfuerzo y tensón de corte (solamente cuerpos sóldos) Corte (shear) El resultado del esfuerzo de corte es un torcmento del cuerpo sóldo El esfuerzo de corte es gual a la razón de la fuerza tangente a la superfce materal F // por la área de la superfce A F// (14) esfuerzo de corte A = Este es el tpo de esfuerza ejercdo por una pare de tjeras 14

15 La deformacón produce una dsmnucón de las paralelas a la dagonal bd y una aumentacón de las paralelas a la dagonal ac La deformacón por corte (15) def. por corte= x = tanφ h Para esfuerzas pequeñas, la ley de Hooke una vez más se aplca El módulo de corte esfuerzo de corte // // // (16) S = = = = def. de corte F A F h F A xh A x φ Para un materal dado S suele ser 1 3 a 1 mayor que el módulo de Young Ejemplo - Un terremoto causa fuerzas de corte sobre una base de latón de una escultura de.8m de lado y un espesor de.5m Observamos un desplazamento x =.16mm La deformacón por corte: x h m. 1 4 = =.8m En la tabla 11.1, vemos que el módulo de corte del latón es F x S h El esfuerzo de corte: ( )( ) Pa // = = Pa = 7. 1 Pa A La fuerza responsable del esfuerzo de corte es gual a: ( ) F = = 6 4 // 7. 1 Pa.8m.5m.8 1 N 15

16 Elastcdad y plastcdad La ley de Hooke tene lmtacones (las fuerzas ntermoleculares no son nfntas) En un dagrama mostrando el esfuerzo en funcón de la deformacón (en porcentaje de alargamento), la regón donde la ley de Hooke se aplca descrbe una línea recta El pendente de esta línea recta es el módulo de Young Hasta el punto (a) donde la ley de Hooke se aplca la deformacón es proporconal al esfuerzo o El esfuerzo en este punto se denomna límte proporconal Antes de este punto la deformacón tambén es reversble (solamente actúan fuerzas conservatvas) La energía ncorporada al materal por causa de la deformacón se recupera cuando se elmna el esfuerzo (comportamento elástco) En el punto de relajamento (b) se termna el comportamento elástco o El esfuerzo en este punto se denomna límte elástco Pasado este punto, las deformacones son rreversbles (ajuste permanente) o Para un ncremento relatvamente pequeño del esfuerzo, se produce un aumento grande de la deformacón. 16

17 Hasta llegar a un punto en el que ocurre la fractura, el comportamento se denomna flujo plástco o deformacón plástca o En algunos materales (materales dúctles), ocurre más deformacón plástca entre el límte elástco y el punto de fractura o En otros (materales quebradzos) la fractura ocurre poco después de rebasarse el límte elástco Cuando el materal en la fase elástca sgue dferentes curvas cuando aumenta y dsmnuye el esfuerzo, tenemos un caso de hstéress elástcas El trabajo efectuado por el materal cuando regresa a su forma orgnal es menor que el requerdo orgnalmente para producr la deformacón - fuerzas no conservatvas de frccón nterna El esfuerzo requerdo para causar la fractura de un materal se denomna el esfuerzo de ruptura, resstenca límte o resstenca a la tensón 17