Modelos teóricos para el estudio de la deformación.

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1 Ingenería Mecánca 1 (2001) Modelos teórcos para el estudo de la deformacón. L. O Connor Montero Insttuto Superor Poltécnco José A. Echeverría. Undad Docente Metalúrgca Antllana de Acero. Calle 20 No , Cotorro, Cudad de La Habana, Cuba. Teléfono al 63 Fax: E-mal: udm@aacero.colombus.cu (Recbdo el 2 de febrero, aceptado el 2 de marzo) Resumen Se presenta una síntess de modelos que permten estudar el proceso de deformacón desde la cenca de los materales o desde la mecánca del medo contnuo. Se nsste en las técncas para defnr los tensores de tensones y deformacones por consderarlos muy útles y poco tratados en la lteratura de la ngenería. Las potencaldades que tenen estos tensores para la construccón de modelos matemátcos referdos a procesos técncos, ustfcan los esfuerzos encamnados a una concreta aplcacón. Las aspracones del autor son modelar el proceso de ensanchamento del metal en la lamnacón como caso específco de desplazamento de partículas. Palabras claves: Tensores tensón y deformacón, lamnado, modelos matemátcos. esta naturaleza se aplcan en países de alto desarrollo tecnológco. 1. Introduccon. Un tratamento muy atractvo que admten actualmente los problemas de ngenería, partcularmente los mecáncos y metalúrgcos, es aquel que se puede realzar desde las cencas de los materales. Entre los actuales problemas mecáncos y metalúrgcos se encuentra determnar el conunto de condcones de trabao a las que estará expuesto un materal para dotarlo de las propedades requerdas. El estudo de los materales para productos con fnes tecnológcos o smplemente para procesos productvos debe consstr fundamentalmente en una rgurosa caracterzacón del materal y de las condcones de trabao a las que será expuesto. El tema que se presenta en este trabao versa sobre modelos teórcos factbles de ser utlzados en el estudo de materales sometdos a procesos de deformacón. La motvacón prncpal del autor consste en ntroducr en una tecnología de lamnacón métodos de cálculo que permtan obtener dmensones de perfles de materales con alto nvel de precsón. Recursos de 2. Modelo matemátco según nocones de teoría atómca. Cuando un materal está expuesto a fuerzas, sus átomos se pueden desplazar de sus poscones de equlbro y en este caso la energía potencal E asocada a la separacón atómca es una funcón que depende de la dstanca nteratómca y que alcanza su valor mínmo para la separacón de equlbro. Esto sgnfca que cualquer separacón dstnta a la de equlbro produce un ncremento de la energía y en consecuenca exste un trabao de las fuerzas que causan el desplazamento. Para modelos sencllos el trabao se calcula medante ntegrales undmensonales de funcones reales. En el caso específco del estudo de la deformacón en térmnos del desplazamento de átomos se tene que la energía nteractva (potencal) entre átomos se expresa en funcón de las fuerzas de repulsón F r (a) y de atraccón F a (a) donde la varable a ndca la dstanca entre los átomos. En este caso la energía potencal se expresa medante : 2001 Edcones ISPJAE.

2 44 L. O Connor Montero l E = Fr( a) + Fa( a)) da s ( (1) Donde los valores de los límtes de ntegracón se plantean del análss a realzar y puede llegarse a construr una expresón funconal en térmnos de a para E del tpo: k1 k E( a) + a a = (2) 2 n Cuya representacón gráfca no es dfícl de obtener y donde k1 y k2 son determnadas constantes. Esta funcón permte conocer la energía potencal para cualquer nvel de separacón de los átomos. Estas expresones se complementan con restrccones: de ( a 0 ) = da 0 las (3) E ( a 0 ) = mn E ( a) (4) El modelo (1) (4) caracterza el estado del materal al nvel de átomos y de la energía potencal ante la accón de fuerzas conformadoras. 3. Modelo varaconal. El modelo analzado anterormente trata el tema desde el punto de vsta del comportamento de los átomos, sn embargo exsten cencas que consderan hpótess tales que les permten estudar el problema macro medante el estudo del comportamento de puntos materales. El modelo de ocasón se corresponde con una de esas concepcones. Cuando el problema se plantea en térmnos de movmento de un sstema de partículas de masas respectvas m en un cuerpo, entonces se emplea un modelo varaconal debdo a que se consdera la energía cnétca T y la energía potencal U del sstema de partículas; estas funcones se hacen depender de las poscones relatvas de las partículas, de la rapdez de cambo de estas poscones y estas varables a su vez del tempo. Al tener en cuenta las condcones anterores y artcularlas con el prncpo de la accón estaconara de Ostrogrask Hamlton acerca de las fuerzas conformadoras resulta el modelo sguente: t2 F( x, y, z) = ( T U) dt (5) t1 T-U=(T-U) (x,y,z,x,y,z ) (6) x = x ( t ), y =y ( t), z = z (t ) (7) x = x ( t ), y = y (t ), z = z (t ) (8) Las fuerzas conformadoras están dadas por un campo vectoral tal que sobre la partícula actúa la fuerza F de componentes F x, F y y F z y donde se cumple: U x = - F x, U y = - F y,, U z = - F z (9) En el caso de análss se establece un crtero para la energía cnétca T, el movmento de las partículas se realza de modo tal que las nuevas poscones de las partículas consttuyen puntos estaconaros del funconal F y deben satsfacerse restrccones específcas dadas en la práctca. 4. Modelo tensoral. En el quehacer centífco las cencas surgen como consecuenca de las nocones que se sstematzan en el estudo de un obeto. La presentacón que sgue a contnuacón se corresponde con la cenca de los materales y con la mecánca del medo contnuo, ambas ncluyen la elastoplastcdad como una de las teorías que permten estudar el comportamento de los materales ante fuerzas conformadoras. El concepto de tensón, el tensor de tensones y su aplcacón. Toda expresón analítca en térmnos de 9 elementos ndependentes que resulta de un análss de las fuerzas en un punto de un cuerpo sótropo, contnuo y homogéneo, se dce que es del tpo tensoral. Esta es una afrmacón, que s ben es certa, no consttuye una defncón formal del cálculo tensoral, pero srve para nuestros propóstos; los nteresados pueden encontrar en la lteratura matemátca y para la ngenería dferentes defncones de tensor. [1, 2, 3]. Desde el nco del estudo acerca de los tensores aplcados a la ngenería el autor ha utlzado una defncón elaborada por colegas de la Unversdad de La Habana [1] que tene determnadas ventaas en los cálculos; se establece en térmnos de suma de productos dádcos y medante la cual se pudo encontrar una formulacón para el tensor de nerca de un cuerpo en estudos de estátca. [2] No obstante estos resultados y motvado por el contexto prefero exponer el tema sguendo deas

3 Modelos teórcos para el estudo de la deformacón. 45 propas de la mecánca del medo contnuo al estlo de Serrano Lzaola [3]. En este sentdo vale la pena aclarar que es una tendenca que físcos, mecáncos e ngeneros en general dentfquen los tensores y las matrces. Exsten, sn embargo, aprecables dferencas, pues: Las matrces tenen su orgen en las matemátcas y en partcular en el álgebra, mentras que los tensores tenen su orgen en la mecánca y la físca, por lo que en consecuenca tenen un sgnfcado físco. El cálculo tensoral estuda el fenómeno de la nvaranza ante cambos de coordenadas y las matrces son modelos para descrbr sstemas de ecuacones. Los tensores están asocados a productos dádcos, y las matrces a productos escalares y vectorales. Una matrz no admte representacón gráfca en tanto el tensor sí medante técncas de canonzacón y utlzacón de superfces cuádrcas. No obstante estas dferencas, y otras que se puderan descrbr, es una suerte que el desarrollo de la cenca halla encontrado compatbldad entre el cálculo tensoral y el álgebra matrcal en lo que respecta a determnados modelos. En la lteratura se defne el concepto Tensón como: t = lm Aο F A (10) Donde A es un área de una superfce que contene el punto donde se desea estudar una tensón resultante. Vamos a consderar para este propósto a {F 1, F 2, F 3 } como un sstema de fuerzas ndependentes en un punto P de la superfce S del cuerpo C y en ese punto hay una tensón t que se descrbe según: 1 2 t = t + t + t 3 (11) Sea la famla de productos escalares F = F. F reconocdas como tensor métrco, entonces la famla de valores s según los cuales: 1 t = [ σ F ] (12) F Se denomna tensor de tensones. Se debe reconocer que se aplca el crtero de prncpo de sumacón, el cual ndca que se suma en, como por eemplo: (13) y que converten combnacones lneales de las fuerzas F, según las componentes métrcas F y según las componentes s del tensor de tensones, en la componente vectoral t de la tensón t. En la práctca el resultado más mportante es que: t = σ n (14) Donde n es la normal a una superfce y t es la tensón a la superfce, según esa normal y consttuye una expresón que admte un carácter operaconal. La aplcacón de este resultado a la lamnacón se concreta en el sentdo de que n consttuye la normal a la pared del calbre, mentras que t ndca la tensón a la cual está sometdo el metal en ese punto de análss. En la ngenería mecánca se establece el tensor de tensones en cortantes y normales dado por: σ σ = xx yx zx σ xy yy zy σ xz yz zz (15) La representacón matrcal es puramente convenconal, debdo a que se consdera el tensor como las nueve magntudes ndependentes que adqueren un sgnfcado físco y que por tales razones se dstnguen de una matrz. Es oportuno comentar que exsten dferencas entre las dos técncas presentadas acerca de la construccón del tensor de tensones. En el prmer caso las componentes del tensor resultan de valores que cumplen las restrccones (12) y, en el segundo caso, de un análss según el cual la tensón t no es paralela a la normal n al plano según el cual se desea obtener la tensón, admte una descomposcón en térmnos de tres tensones t x, t y, y t z normales a planos que defnen un tetraedro con el plano de normal n y cada una de estas tensones se descompone a su vez de modo convenente según las componentes del tensor σ. De este trabao resultan las componentes de este tensor. El tensor de deformacón y su aplcacón. Exsten en la lteratura dstntos tratamentos respecto a la construccón del tensor de deformacón, esto se debe báscamente a las dferencas relaconadas con las deas del desplazamento de las partículas. En el caso que nos ocupa solamente se lustran consderacones de carácter general coherentes entre sí. S consderamos una partícula P de un cuerpo C que será sometdo a un proceso de deformacón. Al realzarse la deformacón dcha partícula recorre una

4 46 L. O Connor Montero trayectora U que admte la representacón geométrca mostrada en la fgura 1: es gual a la dervada df ( t) dt (20) Fg. 1 Representacón geométrca de la trayectora de la partícula. Donde s (q ) es la poscón de la partícula antes de la deformacón y r (q,t) es la poscón de la partícula después de la deformacón. Para los análss que se requeren realzar se defnen dos sstemas de referenca: - uno fo al cuerpo defndo por (θ 1, θ 2, θ 3 ) - y otro fuera del cuerpo defndo por (x 1, x 2, x 3 ) La trayectora U de la partícula P se defne por: U (θ,t) = r (θ,t) s (θ ) (16) El análss de este desplazamento ncluye el cálculo de su velocdad o velocdad de deformacón y el cálculo de la aceleracón. Para el caso de la velocdad de deformacón se ndca su varacón medante: v = v, (17) θ Es usto reconocer que esta expresón se corresponde con el análss tensoral y no con el cálculo tensoral y es necesaro aclarar que se admten tambén las notacones: v θ v Œ F = v ŒŒ F = o = v, (18) lo cual ndca las expresones vectorales equvalentes para las componentes de la varacón de la velocdad de deformacón. En térmnos del proceso de lamnacón esto ndca una expresón vectoral para la varacón de la velocdad de deformacón en cada punto del materal. Se puede probar que cada F depende del tempo t, por lo que en este caso: v θ v Œ F = v ŒŒ F = = v, (19) En funcón de estos térmnos se defne el tensor velocdad de deformacón que ncluye la dstorsón y la traslacón, y que se expresa en los térmnos sguentes: 1 d =, + 2 k ( v F v ) Se defne el tensor de rotacón: 1 k ( v F v ) k (21) ϖ =, k (22) 2 Sumando los tensores: velocdad de deformacón y de rotacón, se obtene el tensor de deformacón dado por: df ( t) H = v = v, = (23) dt Lo cual se puede demostrar aplcando: - la regla de la cadena, - la exstenca de los sstemas de referenca - y la expresón analítca del desplazamento U. Puede ser útl explcar que en la expresón anteror se defne el tensor de deformacón en térmnos de la dervada temporal de las funcones vectorales F (t), las cuales ndcan sstemas de fuerzas en cada punto del recorrdo de la partícula que representa un punto del cuerpo cuya deformacón se estuda. Al gual que antes, se debe aclarar que exsten otros recursos y otras denomnacones para defnr el tensor de deformacón. Un resultado muy mportante de aplcacón al proceso de lamnacón es el que se ndca en la expresón: H o s = r (24 ) Lo cual admte como nterpretacón el hecho de que el tensor deformacón actuando como operador sobre el vector s, o poscón de la partícula antes de la deformacón, permte obtener el vector r cuyo extremo es la poscón de la partícula después de la deformacón. Es necesaro admtr que las poscones de la partícula antes y después de la deformacón se están ndcando en térmnos del sstema de referenca externo al cuerpo; sn embargo, los análss realzados

5 Modelos teórcos para el estudo de la deformacón. 47 consderan ambos sstemas, solo que se omteron los cálculos dferencales según la regla de la cadena aplcable a ecuacones de enlace entre los varables de los sstemas de referenca. Esta técnca para construr el tensor deformacón se fundamenta en los efectos de traslacón, rotacón y dstorsón; así como en los conceptos de smetría y ante-smetría del cálculo tensoral, aunque no es la únca vía. Otra manera conocda es defnr la deformacón como la dferenca entre dos elementos dferencales de arco: d s 2 y ds 2 correspondentes a antes y después de la deformacón respectvamente. Este camno conduce a la expresón: γ = ½ ( u, + u, ) (25 ) Que defne las componentes del tensor deformacón, donde los sumandos de la derecha son funcones de las coordenadas θ y consttuyen dervadas de las funcones componentes del desplazamento U. A esta expresón se llega después de consderar smplfcacones en modelos más compleos a consecuenca de que las teorías elaboradas tratan deformacones pequeñas y desprecan térmnos dferencales de segundo orden en desplazamentos. Es frecuente encontrar estudos más smplfcados en los cuales el desplazamento se consdera según las tres dreccones de un sstema rectangular, con funcones u, v, w del desplazamento, donde las componentes ( 25 ) del tensor deformacón adqueren estructuras muy sencllas. La relacón tensón deformacón. Un estudo acabado del modelo tensoral debe nclur necesaramente la relacón tensón deformacón. Exsten relacones en el medo elástco y en el medo elasto-plástco y suelen ser llamadas relacones consttutvas. No son obeto de análss en este trabao por un problema de extensón y porque merecen ser presentadas como un obeto en sí msmo. El fundamento básco para los nexos tensóndeformacón es la Ley de Hooke; sn embargo, este breve comentaro es sólo para destacar que la esenca de una generalzacón de esta ley en térmnos tensorales es que se establece una expresón general que permte relaconar componentes respectvas de los tensores de tensón y de deformacón. Infelzmente esta nocón no pertenece a la cultura ngeneríl y se requere una promocón en el contexto de la enseñanza unverstara. 5. Conclusones. Exsten dversos métodos para estudar el desplazamento de partículas, tales como los métodos varaconales que consderan la energía de la partícula y que conducen a modelos en los cuales ntervenen funconales en expresones ntegrales y métodos numércos según elementos fntos, que consttuyen modelos específcos de smulacón. En experencas personales el autor ha aprecado la aplcacón de métodos expermentales de medcón del desplazamento del metal para construr ecuacones que defnen modelos generales aplcables al cálculo de calbracones. En estos trabaos no se aplca el crtero de este autor de modelar el comportamento del materal a partr del estudo de condcones de trabao y de sus propedades. Los modelos que se presentan en este trabao en térmnos tensorales, a uco del autor, tenen un elegante aspecto, entrañan complcadas y sntetzadoras notacones, y poseen la ventaa sgnfcatva de ser aplcables al estudo del desplazamento de una partícula cualquera sea el proceso de conformacón de que se trate y con el crtero de reconocer la exstenca de nvarantes ndependentemente del sstema de referenca que se defna. Para lograr una aplcacón de estos métodos a la conformacón de metales y poderse ncorporar a una tecnología de lamnacón, se requere determnar expresones para las fuerzas que actúan sobre la partícula en cada nstante de su trayectora, lo cual consttuye una de las mayores dfcultades del proceso, unto al hecho de que llevarlo a la práctca mplcaría un cudadoso trabao de dscretzacón del recorrdo de la partícula. Bblografía 1.-Jenes, A. y otros. Breve ntroduccón al cálculo tensoral. Edcones ISPJAE. La Habana, O connor Montero, L. Perfecconamento de la Dscplna Matemátca en la carrera Metalurga. Tess Doctoral. La Habana, Serrano Lzaola, R. Cálculo tensoral para ngeneros. Benemérta Unv. Autónoma de Puebla. Méxco Tecnología de lamnado de perfles lgeros. Folletos. Empresa Antllana de Acero. 5.-Thornton A. Peter. Cenca de materales para ngenería. Prentce-hall hspanoamercana S.A

6 48 L. O Connor Montero Theorcal models for the study of deformaton. Abstract A synthess of the models that permt the study of the process of deformaton ether from the prmt of the scence of materals or contnous bodes s presented. Emphass s placed on the technques used to defne tensonal and deformaton tensors for ther beng so useful and not very frequent n engneerng lterature. The potentals that theses tensors have for the constructon of mathematcal models referred techncal processes ustcfy the efforts leadng to a concrete applcaton. It s the author`s ntenton to model the spreadng of metals n the rollng process as a specfc case of partcle dsplacement. Key words: Tensonals and deformaton tensors, rollng mll, mathematcal models. SISTEMAS INGENIERILES COMPUTARIZADOS Curso de posgrado. Temátca: Sstemas Obeto. Sstemas de dreccón. Organzacón estructural de los sstemas de dreccón. Prncpos del enfoque cbernétco. Tareas Ingenerles de toma de decsones : Análss externo e nterno. Modelacón y smulacón matemátca. Funcones aproxmatoras. Organzacón raconal de los procedmentos de cálculo de ngenería. Caracterzacón de los Cálculos de ngenería como tareas de optmzacón multobetvo. Característcas generales de los tpos de métodos de optmza cón en la solucón de tareas de ngenería. Uso combnado de las técncas de optmzacón y smulacón de sstemas. Duracón: 45 HORAS Coordnador : Dr José Arzola Ruz Correo Electrónco: udm@aacero.colombus.cu Resumen Currcular del Coordnador Dr. Cencas Técncas. Investgador Ttular y Profesor Ttular del ISPJAE. Especalsta en cbernétca técnca, control automátco y sstemas de dreccón organzatvos, tecnológcas y de control de procesos. Es autor de dos lbros sobre estos temas. Ha mpartdo cursos de post-grado relaconados con su línea de trabao. Actualmente trabaa en el desarrollo de un enfoque ntegrador para el dseño de sstemas automatzados relaconados con la ndustra.