3. CORRESPONDENCIA DE IMÁGENES

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1 UNIVERSIDAD DE SALAMANCA MASTER DE GEOTECNOLOGÍAS CARTOGRÁFICAS EN INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 3. CORRESPONDENCIA DE IMÁGENES Dego González Agulera Departamento de Ingenería Cartográfca del Terreno Escuela Poltécnca Superor de Ávla

2 INDICE 3. Introduccón 3.2 Dfcultades en la correspondenca 3.3 Estrategas de correspondenca 2

3 Tema 3: Correspondenca de mágenes 3. Introduccón La puesta en correspondenca de elementos homólogos pertenecentes a dferentes mágenes es una de las tareas actuales en curso de contnuo desarrollo por parte de dscplnas como el Análss de Imagen, la Vsón Computaconal la Fotogrametría. No obstante, el grado de dfcultad varía en cada una de estas dscplnas, desde los casos más favorables como los de la Fotogrametría tradconal estereoscópca, hasta casos de gran dfcultad de cómputo como los mplementados en aplcacones de Fotogrametría de Rango Cercano o Vsón Computaconal donde este una gran varabldad en las condcones geométrcas radométrcas de las mágenes. Por tanto, el problema de la correspondenca de mágenes ó matchng es una línea de nvestgacón ncpente en contnua evolucón. Dedcaremos este tema para conocer las estrategas acercamentos más empleados en la correspondenca de mágenes: desde los algortmos más smples empleados para asgnar una relacón entre dos puntos, hasta los acercamentos jerárqucos que combnan varas estrategas con objeto de establecer una correspondenca entre un punto o elemento de la magen una categoría cartográfca más o menos abstracta. Remontándonos a los aspectos más hstórcos así como a los prmeros trabajos relaconados con esta cuestón, la correspondenca de mágenes o matchng de mágenes tene una larga hstora. Los prmeros epermentos datan de los años cncuenta, especalmente con Hobrough (Hobrough, 959) que planteó una solucón de naturaleza analógca, en la que los correladores, realzados medante hardware comparaban (correlaban) los nveles de grs de dos mágenes. Wld Heerbrugg, entonces el fabrcante líder en equpos fotogramétrcos, presentó un correlador con ocasón del congreso de la ISPRS en 968, que a pesar de su nnovacón no tuvo mucho éto, a que no era mu fleble n eacto. Desde prmeros de los setenta hasta medados de los ochenta, la nvestgacón relatva a la correspondenca de mágenes se centró en las técncas de correlacón dgtal. Krelng (976) fue uno de los prmeros poneros en aplcar correlacón dgtal para generar Modelos Dgtales de Elevacón (MDE) ortofotos dgtales. Los ntentos contnuaron añadendo técncas de correlacón a los nstrumentos (Helava, 978) (Hoborough, 978). No obstante, no se encontró una solucón unversal a pesar del consderable esfuerzo realzado. Todo esto llevó a que los nvestgadores de mu dversas dscplnas no deran crédto a la facldad con que una persona encontraba puntos homólogos la dfcultad tan enorme de que la msma tarea la realzase un ordenador. Ho, se sabe que la vsón estereoscópca natural no utlza la correlacón de nveles de grs tal como fue puesto de manfesto por Grmson (98) Horn (983). Como puede observarse, esto pone de manfesto la subestmacón de la complejdad de las tareas vsuales que las personas resuelven con gran facldad. En lo que se refere a la termnología presente en la correspondenca de mágenes, no este una termnología estandarzada en ocasones esto actuará como una fuerte barrera entre las dferentes dscplnas que partcpan en la correlacón de mágenes como por ejemplo la Vsón Computaconal, el Análss de Imagen la Fotogrametría. En Fotogrametría la correspondenca de mágenes se denomna a veces correspondenca estereoscópca automátca o smplemente correlacón, mentras que en la Vsón Computaconal se denomna problema de correspondenca. Convene que repasemos por tanto certos conceptos báscos en la correspondenca de mágenes: 3

4 Entdad homóloga o conjugada: es un térmno más genérco que punto homólogo. Se denomnan entdades conjugadas a las mágenes de los elementos del espaco objeto, que ncluen puntos, líneas superfces. Entdad de correspondenca: es la prmtva, que se compara con prmtvas de otras mágenes para buscar entdades homólogas. Las prmtvas ncluen nveles de grs, elementos etraídos descrpcones smbólcas. Índce de semejanza: es una medda cuanttatva de lo buena que es la correspondenca de las entdades entre sí. Generalmente el grado de semejanza se determna medante una funcón de costo. En su forma más smple puede ser el coefcente de correlacón cruzado o la desvacón típca en la correspondenca por mínmos cuadrados. Método de correspondenca Índce de correspondenca Entdades de correspondenca Por áreas Correlacón, mínmos cuadrados Nveles de grs Basada en característcas Funcón de costo Bordes, regones Smbólca Funcón de costo Descrpcón smbólca Método de correspondenca: calcula el índce de semejanza entre entdades homólogas. Habtualmente la descrpcón del método se añade tras el nombre de la entdad de correspondenca, por ejemplo correspondenca por áreas, correspondenca basada en característcas correspondenca relaconal (smbólca). Estratega de correspondenca: se utlza para referrse al esquema de conjunto que tene la solucón del problema de la correspondenca de mágenes. Abarca el análss del entorno de correspondenca, la seleccón del método para la msma el correspondente control de caldad de la ejecucón. La sguente tabla muestra la relacón entre los térmnos anterores. En la prmera columna a parecen los tres métodos de correspondenca más conocdos. La correspondenca por áreas se asoca con la correspondenca entre nveles de grs, es decr se compara la dstrbucón del nvel de grs en pequeñas áreas de la magen, denomnadas teselas de magen, la semejanza se calcula medante técncas de correlacón o de mínmos cuadrados. La correspondenca basada en característcas se usa fundamentalmente en la Vsón Computaconal. Con objeto de determnar las característcas homólogas se comparan los bordes u otros elementos dervados de las mágenes orgnales. La semejanza, por ejemplo en la forma, carácter fuerza de los bordes se mde medante una funcón de costo. El tercer método, correspondenca smbólca, se refere a aquellos métodos que comparan descrpcones smbólcas de las mágenes mden la semejanza medante una funcón de costo. Las descrpcones smbólcas pueden referrse a nveles de grs, o a característcas dervadas. Pueden realzarse en forma de grafos, árboles, redes semántcas, por menconar sólo unas pocas posbldades. La correspondenca smbólca no se basa estrctamente en las propedades geométrcas de semejanza, en contraste con los otros métodos. Compara las propedades topológcas, en lugar de utlzar la forma o la poscón como crtero de semejanza. Es mportante tener presente que el térmno correspondenca de mágenes hace mencón no sólo a un par de mágenes sno tambén a la posbldad de trabajar con múltples mágenes. En térmnos generales, la eposcón de un problema de correspondenca de mágenes puede plantearse de la sguente forma:. Selecconar en una magen la entdad de correspondenca. 2. Buscar en la otra magen su entdad conjugada (correspondente). 3. Calcular la poscón 3D de la entdad correspondente en el espaco objeto. 4

5 4. Valorar la caldad de la correspondenca. Obvamente la segunda fase es la más dfícl de resolver la que propca un conteto de nvestgacón más ntenso a mu dversos nveles. 3.2 Dfcultades en la correspondenca de mágenes Varos son los problemas asocados a la localzacón automátca de puntos homólogos: Vastedad de la búsqueda. Que se produce cuando se calcula el índce de semejanza entre las entdades de correspondenca para toda la magen. Por ejemplo, en el caso de mágenes de alta resolucón 8MP (4 2 píeles) el tempo de computo puede dspararse. De ahí la necesdad de ncorporar restrccones geométrcas estrategas que permtan reducr dcho espaco de manera efcente robusta. Ambgüedad. Que se produce s la entdad de correspondenca no es sufcentemente característca (únca). La solucón pasará por la seleccón de más entdades de correspondenca úncas. Mal condconamento. Una magen se caracterza por su debldad geométrca radométrca. Esta debldad se concreta en la posbldad de que al buscar el punto homólogo esta: - solucón nestente: puede no haber punto homólogo debdo a ocultacones, desplazamentos por releve, dferencas radométrcas,... - solucón múltple: puede haber más de una solucón (aparente) en el caso de patrones repettvos asocadas a cultvos, edfcacones,... - solucón nestable: la solucón puede quedar afectada por condcones geométrcas o radométrcas de manera que en dversas mágenes pueden detectarse puntos homólogos dstntos (para un msmo punto de referenca). Partcularmente, Kasser en su estudo de la correspondenca de mágenes dentfca la sguente sere de problemas en la magen que debltan la capacdad de encontrar puntos homólogos: - Zonas con pobreza radométrca o patrones repettvos. En este segundo caso, pueden emplearse máscaras más grandes, no alneadas con la dreccón de modulacón del patrón repettvo, o mágenes complementaras. - Zonas ocultas. Por ejemplo, en zonas urbanas, el punto homólogo puede no ser vsble sn embargo, la máscara de correlacón dar un mámo. Es necesaro el empleo de más mágenes / o amplar el recubrmento. - Pérddas de recubrmento por releve o pérdda del caso normal. Pendentes pronuncadas /o líneas de ruptura que dan lugar a deformacones de las máscaras de correlacón. - Ilumnacón dferencal debdo a los cambos en la poscón relatva de los vectores fuente de lumnacón, normal a la superfce, eje de toma. Pueden aparecer zonas saturadas radométrcamente debdo a comportamentos especulares de la superfce. - Objetos móvles, sombras desplazadas en el caso de mágenes de satélte con estereoscopía transversal respecto de la órbta. 5

6 La ntroduccón de restrccones es un paso valente para convertr la correspondenca de mágenes en un problema ben defndo. Pueden aprovecharse las restrccones geométrcas en la medda de índces de semejanza basada en las propedades geométrcas de las entdades de correspondenca. Un ejemplo de restrccón geométrca mportante es que los centros de proeccón o centros perspectvos los puntos homólogos el punto objeto correspondente deben estar en el msmo plano, conocdo como plano eppolar. Las restrccones pueden ser vstas como una nformacón adconal acerca de los parámetros, en este sentdo la nformacón adconal es conocmento acerca del proceso de correspondenca. Otra forma de restrngr el espaco de solucones en el problema de la correspondenca de mágenes es la asuncón de hpótess apoadas por dferentes test estadístcos robustos que permtan asstr el proceso de correspondenca. En resumen, el problema de la correspondenca de mágenes es doble: en prmer lugar se debe () obtener una apromacón lo sufcentemente buena posterormente () descubrr el justo térmno entre las hpótess planteadas las restrccones mpuestas a la solucón por un lado mantener la generaldad por otro. Dstorsones geométrcas de las entdades de correspondenca Dferenca de escala entre las dos mágenes. En la sguente fgura aparece un par de mágenes vertcales con dferente escala, producdo por las dferentes dstancas al objeto. Con el propósto de ver la nfluenca, aparece sombreado el píel superor zquerdo de ambas teselas. Al proectar las dos teselas magen homólogas sobre la superfce plana, los píeles nterores de las teselas a no resultan conjugados puesto que aparecen referdos a dstntas poscones dentro del espaco objeto. A medda que el píel se aleja del centro, las dscrepancas aumentan por tanto se verá afectado el índce de semejanza. P P P P Fgura: Par estereoscópco con mágenes de dferentes escalas (zquerda). A la derecha se muestra la proeccón, sobre una superfce plana, de las dos teselas magen homólogas o conjugadas. En la correspondenca por áreas se suponen conjugados los píeles sombreados de la esquna superor zquerda en ambas teselas magen. Su dferente poscón sobre la superfce lustra la dstorsón geométrca producda por una dferenca de escala. Dferenca de ángulos de rotacón entre las dos mágenes. La sguente fgura muestra el efecto de las dferencas entre los ángulos de rotacón. La fgura zquerda muestra el efecto de una rotacón alrededor del eje (ω). La fgura del centro muestra el efecto de una rotacón alrededor del eje (ϕ) fnalmente la fgura de la derecha muestra la rotacón alrededor del eje z (κ). 6

7 P P P Fgura: Efecto causado por las dferencas de rotacón entre las mágenes zquerda derecha de un par estereoscópco. En la zquerda se muestra la rotacón alrededor del eje ; en el centro derecha se muestran los efectos de las rotacones alrededor de los ejes, z respectvamente. En la realdad, las tres rotacones están combnadas. Dstorsón geométrca causada por la nclnacón. S la superfce del objeto presenta certa nclnacón ocurre lo que se observa en la sguente fgura. En la sguente fgura s se nclna la superfce el efecto es mu dferente a que la superfce aparece como un pequeño rectángulo en la magen derecha, stuacón que se conoce con el nombre de acortamento o reduccón. Al nclnarse más la superfce, llega a alcanzarse un ángulo crítco para el que no se ve la magen derecha, llegándose a la stuacón de oclusón. Observando la fgura se evdenca otra consecuenca producda por la nclnacón de la superfce: la resolucón decrece en la dreccón perpendcular al eje de rotacón. En el segundo caso, la resolucón de la magen reducda o más estrecha es menor en la dreccón del eje. P P P P Fgura. Efecto en el índce de semejanza de una superfce nclnada al efectuar una correspondenca por áreas. Dstorsón geométrca debda al releve. Sea una tesela superfcal real, con dferencas de cota. Como se vo antes, las teselas mágenes de poscones homólogas se proectan sobre la tesela superfcal montañosa. Como demuestra la sguente fgura, los píeles ndvduales no son conjugados n squera en el caso de un par estereoscópco estrctamente vertcal. Hasta ahora se han analzado el efecto de las dstorsones geométrcas sobre las teselas de la magen que se usan como entdades en la correspondenca por áreas. A la pregunta de s los métodos de correspondenca por áreas no se ven afectados por las dstorsones geométrcas ha 7

8 que responder que en general no, pero sn embargo son mucho menos sensbles a la maoría de las dstorsones geométrcas. Por ejemplo, la correspondenca de bordes como modaldad de la correspondenca basada en característcas es tremendamente sensble a las dstorsones geométrcas. Cualquer varacón en la poscón del punto de vsta provocará que el borde sufra desplazamento e ncluso deformacones lo que complcará su correspondenca. (S,R ) (S 2,R 2 ) a (,,g) a (,,g) 2 A (X',Y', Z', G') Fgura: Efecto causado por el releve en el índce de semejanza, al realzar una correspondenca por áreas. Los píeles que parecían ser homólogos, los sombreados cubren áreas dferentes en el espaco objeto. En consecuenca, no son homólogos. 3.2 Estrategas de correspondenca Correspondenca por áreas (ABM) En la correspondenca por áreas las entdades son los nveles de grs. La dea de este método es comparar la dstrbucón de nveles de grs de una pequeña submagen, denomnada tesela magen, con su correspondente en la otra magen. En la sguente fgura se lustra el concepto se ntroduce la termnología más frecuente. El patrón (ventana patrón) es la tesela magen que permanece en una poscón fja en una de las mágenes. Se entende por ventana de búsqueda la zona del espaco de búsqueda dentro de la que se comparan las teselas magen (llamadas ventanas de correspondenca) con el patrón, comparacón que se realza utlzando dstntos crteros para calcular el índce de semejanza. Los dos más conocdos son la correlacón cruzada la correspondenca por mínmos cuadrados. La poscón tamaño de la ventana de búsqueda puede determnarse acotarse en funcón de alguna restrccón geométrca. La correspondenca entre dos píeles se establece a partr de la correlacón (grado de semejanza) de los nveles de grs correspondentes a los píeles pertenecentes a sendas máscaras (matrces) centradas sobre los píeles canddatos. A partr de un píel que actúa como referenca (dato) en una magen (cua máscara no se mueve) se busca en la otra magen (o mágenes) el píel (o píeles) cua máscara ofrece el maor nvel de correlacón. Esta máscara de correlacón debe moverse por el espaco de búsqueda, con lo que se hace crucal poder acotar este espaco. Tene un carácter geométrco (no es nvarante a la geometría de la máscara) local (no se hace correspondenca de mágenes consderadas en su totaldad). La técnca funcona adecuadamente sempre cuando esta una regulardad geométrca entre las dos zonas de la magen. 8

9 Resulta sensble a: Pobreza de tetura: no ha dferencas entre los nveles de grs (en un eral) Patrones repettvos: dversos objetos presentan formas radométrcas semejantes (ventanas de una fachada) Varacones de escala: S el msmo objeto presenta mágenes a dstnta escala la correlacón a no es sgnfcatva). Rotacones: S el msmo objeto aparece rotado en dstntas mágenes la correlacón a no es sgnfcatva). Varacones de releve: S la superfce del objeto forma ángulos dstntos con los raos perspectvos de las dstntas mágenes la correlacón a no es sgnfcatva. Estos factores hacen que esta herramenta sea semejante a la vsón esteroescópca. Fgura: Concepto de correspondenca por áeras. Independentemente del método de cálculo del índce de semejanza, deben tratarse algunos puntos que a contnuacón se descrben brevemente: Poscón del patrón: El aspecto de la eleccón del centro del patrón puede parecer trval. En teoría el centro del patrón podría stuarse dentro de un área que fuera la mtad del tamaño del patrón menor que la magen, pero un análss más cudadoso ndcaría que ha que ser más selectvo a la hora de aceptar dchos límtes. La correspondenca por áreas puede fallar en determnadas condcones. Srvan como ejemplos: la colocacón del patrón en zonas que presentan oclusón en la otra magen, la seleccón de un área de baja relacón señal rudo, la eleccón de un área con patrones repetdos, la ubcacón en un área con líneas de ruptura, etc. Tamaño del patrón: El tamaño del patrón de la ventana de correspondenca son dos parámetros mportantes. Al aumentar el tamaño, normalmente aumenta la uncdad de la funcón de nveles de grs, pero tambén lo hacen los problemas de dstorsón geométrca por lo que debe encontrarse una solucón de compromso, por ejemplo calculando un índce de uncdad para dstntos tamaños del patrón, que srva tambén para controlar una ubcacón útl del msmo. Poscón tamaño de la ventana de búsqueda: La poscón de la ventana de búsqueda es crucal, a que la correspondenca por áreas necesta apromacones mu buenas. Su tamaño no obstante, no juega un papel mportante porque la apromacón lmta el tamaño a unos pocos píeles. Una estratega de correspondenca basada en el método jerárquco asegura la obtencón de buenas apromacones. Crteros de toleranca: Deben analzarse los factores que aparecen en la medda de la semejanza entre el patrón la ventana de correspondenca. El crtero de aceptacón-rechazo 9

10 camba, ncluso dentro de la msma magen, por lo que los valores umbral u otros deberían defnrse localmente, umbrales adaptatvos. Control de caldad: El control de caldad nclue una valoracón de la precsón de la eacttud de las poscones homólogas o conjugadas. Además debe estudarse la consstenca de los puntos correspondentes, ncluendo su adecuacón a las epectatvas o el conocmento sobre el espaco objeto. Correlacón La dea es medr el grado de semejanza del patrón con la ventana de correspondenca calculando el factor de correlacón. (Krelng, 976) fue de los prmeros que utlzo la correlacón dgtal para generar automátcamente MDE con objeto de producr ortofotos. (Makarovc, 98) presentó una coleccón de algortmos para la correlacón de mágenes. Factor de correlacón cruzado. El coefcente de correlacón ρ se defne como: σ LR ρ = σ σ L R S ρ está normalzado se verfca - ρ. En la ecuacón anteror los térmnos se defnen como: σ LR, covaranza de las teselas de magen L (zquerda) R (derecha). σ L, desvacón típca o estándar de la tesela de magen L (patrón). σ R, desvacón típca de la tesela de magen R (ventana de correspondenca). S se ntroducen las funcones magen g L (,) g R (,) para las teselas de magen zquerda derecha (en este caso el patrón la ventana de correspondenca) se notan en la forma g L, g R se obtenen las sguentes ecuacones de defncón: g g L R = = n = j= n m n m m = j= g (, ) g L R n m (, ) σ L = σ = R n = j= n m m = j= ( g n m ( g L R (, ) g (, ) g n m L R ) ) 2 2 σ LR n = m = j= (( g L (, ) g L ) n m ( g R (, ) g R )) El factor de correlacón cruzado se determna dentro del espaco de búsqueda para cada poscón f,c de la ventana de correspondenca. El problema sguente es determnar qué poscón u, v proporcona el mámo factor de correlacón.

11 Factor de correlacón mámo. El factor de correlacón mámo cruzado normalzado ρ toma valores en el ntervalo [-, ]. Se obtene un valor gual a la undad s el patrón la ventana de correlacón son déntcos. S no este correlacón entre las dos teselas de magen, es decr s no ha concdenca en absoluto, entonces ρ=. El valor ρ=- ndcaría una correlacón nversa, como en el caso de la dapostva el negatvo de la msma magen. S se reduce la ventana de búsqueda en base a alguna restrccón geométrca, los valores factores de correlacón pueden ser dbujados entonces en un gráfco como el de la sguente fgura. El mámo se halla ajustando un polnomo, por ejemplo una parábola, a los valores de correlacón. Se hace notar que el mámo raramente concde con los valores enteros de la dreccón o poscón del píel. En la sguente fgura aparecen casos más reales. S ben los factores de correlacón en (a) son razonablemente altos, el mámo no está n mucho menos ben defndo, stuacón que corresponde a dos teselas de magen con poco contraste donde la eacttud del punto homólogo es baja. En (b) se muestra otro problema común, la dfcultad de decdr entre los dos mámos relatvos cuál es el mámo absoluto, donde las dos respuestas relatvamente altas prómas entre sí pueden ndcar la presenca de esquemas repetdos en el patrón la ventana de correspondenca. Procedmento. El procedmento descrto a contnuacón descrbe los pasos generales en una correspondenca por áreas con la correlacón como índce de semejanza.. Selecconar el centro del patrón de la magen. 2. Determnar las ubcacones apromadas de las poscones homólogas en la otra magen. 3. Determnar tanto para el patrón como para la ventana de correlacón los tamaños mínmos que cumplen con el crtero de uncdad. Elegr el maor de los dos valores como tamaño de la ventana para la poscón actual de correspondenca. 4. Calcular los coefcentes de correlacón ρ f,c con la ecuacón anteror para todas las poscones f,c de la ventana de correlacón en la ventana de búsqueda.

12 5. Analzar los factores de correlacón. Debe alcanzarse un valor umbral mínmo para que la correspondenca sea válda. Además del mámo debe determnarse éste de modo nequívoco como un índce de la caldad de medda. 6. Repetr los pasos 2-5 para una nueva poscón del patrón hasta que se haa hecho la correspondenca en todas las poscones. 7. Analzar los resultados de la correspondenca con una vsón global para determnar la consstenca compatbldad con el conocmento a pror de la escena o magen. Correspondenca por mínmos cuadrados (LSM) Las prmeras eperenca de correspondenca por mínmos cuadrados (LSM) las presentaron los nvestgadores a comenzos de los años ochenta, por ejemplo (Ackermann, 984); (Grün, 985); (Grün Baltsavas, 987); (Förstner, 982, 986); (Rosenholm, 987); (Thurgood Mkhal, 982). La dea en la correspondenca por mínmos cuadrados es mnmzar las dferencas en los nveles de grs entre el patrón la ventana de correspondenca, motvo por el que la poscón la forma de la ventana de correspondenca son parámetros que han de determnarse en el proceso de ajuste. Es decr, la forma poscón de la ventana de correspondenca camban hasta que las dferencas de nvel de grs entre la ventana deformada el patrón (constante o fjo) alcancen un mínmo. S ben el concepto de mover la ventana de correspondenca hasta encontrar la poscón conjugada u homóloga es sencllo de entender, la modfcacón del aspecto puede no ser tan obva a prmera vsta. Después de tratar sobre las dstntas dstorsones geométrcas producdas por el desconocmento de los parámetros de orentacón, la nclnacón de la superfce, el releve, etc., parece evdente que debe cambar la forma de la ventana de correspondenca para que todos los píeles de la msma sean conjugados de los que les corresponden en el patrón. Supóngase que la ventana de correspondenca está centrada eactamente en la poscón conjugada. Las dferencas de nveles de grs entre los píeles correspondentes del patrón la ventana de correspondenca se deben a dstntos factores, entre los que se detallan: Las dferencas de reflectanca e lumnacón entre las dos mágenes. La propa cámara. El proceso de revelado fotográfco de barrdo o escaneado en el caso de fotografías dgtalzadas. La dstorsón geométrca de la teselacón regular de la magen causada por la orentacón, la nclnacón de la superfce, el releve. El proceso habtual sgue los sguentes pasos: Modelo aleatoro: epresa que entre la funcón magen (su máscara de nveles de grs) de referenca - sobre el píel (, ) - la funcón magen canddata (su máscara de nveles de grs) para establecer el punto homólogo - sobre el píel (, ), este una dscrepanca resdual que sgue una dstrbucón gaussana, por tanto, susceptble de mnmzacón. F(, ) + v = G(, ) ρ( v) N( v;; σ ) Modelo funconal radométrco: epresa que entre las dos funcones este una varacón sstemátca reducble generalmente a un modelo lneal: varacón de brllo (r ) de contraste (r ): v 2

13 3 ), ( ), ( r r G v F + = + Modelo funconal geométrco: epresa que el entorno de los dos puntos de las mágenes (las máscaras) cuos valores radométrcos se comparan pueden estar relaconados medante una transformacón lneal (afín), por tanto, que el valor de magen observado G(, ) se puede relaconar con el teórco deal G(,) a través de dcha transformacón lneal. ) ( ), ( r r d c b a G v F = + = La tarea a realzar consste en la estmacón de los parámetros radométrcos r,r geométrcos (a,b,c,d,, ) medante la mnmzacón de Σv 2. Una vez lnealzado el modelo medante el desarrollo en sere de Talor las correspondentes apromacones ncales llegamos a: [ ] [ ] = + de dd db da r r G G G G G G G v G F ' ' ' ' ' ' ), ( ), ( ), ( donde los térmnos G' G' representan las dervadas parcales dscretzadas de la magen en la dreccón X en la dreccón Y, respectvamente. Es decr, los térmnos G' se obtenen restando dos a dos los nveles de grs de dos columnas contguas de la máscara los térmnos G' se obtenen restando dos a dos los nveles de grs de dos flas adacentes contguas de la máscara. Una máscara de n n píeles permte formar un sstema de (n-) (n-) ecuacones. El modelo puede suele smplfcarse s suponemos que: Se ha llevado a cabo un procesado prevo de las mágenes de manera que se han elmnado las dscrepancas radométrcas. Es decr, se han determnado ( aplcado) los parámetros r r. Las apromacones ncales son sufcentemente buenas o las mágenes sufcentemente parecdas entre sí (poco releve caso normal) como para suponer que no ha gros n cambos de escala a nvel local. Es decr se supone conocdos los coefcentes de la transformacón afín. En este caso el modelo queda: [ ] [ ] = + G G v G F ' ' ), ( ), (

14 Como en el caso del ABM esta estratega es de carácter geométrco local. Ege una sufcentemente buena apromacón ncal. Da precsones subpíel. Es más fleble que ABM. Procedmento de ajuste. La correspondenca por mínmos cuadrados no es un problema de ajuste lneal, por tanto ha que buscar una solucón teratva. Sn embargo, ha algunas dferencas con el cclo teratvo habtual. La prmera teracón se nca para una poscón apromada de la ventana de correspondenca. Con la matrz reseñada anterormente se calculan los coefcentes de la matrz de dseño del sstema los parámetros ncógnta de la transformacón. Después del muestreo comenza la sguente teracón se repte el cclo hasta que se cumpla el crtero de convergenca. Se utlza un número mámo de teracones como tope en caso de que se produzca una falta de convergenca o, lo que es peor, esta dvergenca. En crcunstancas normales se satsface antes el crtero de varacones poco sgnfcatvas de los parámetros que el de mámo número de teracones. El punto homólogo o conjugado del centro del patrón es el centro de la ventana de correspondenca después de haber sdo transformada a su forma poscón fnales. El procedmento de correspondenca por mínmos cuadrados puede resumrse en los pasos sguentes:. Selecconar el centro del patrón en una magen. 2. Determnar las poscones apromadas para la ventana de correspondenca. 3. Determnar el tamaño mínmo del patrón de la ventana de correspondenca que satsfagan los crteros de uncdad. Selecconar el maor de los dos valores como tamaño de la ventana. 4. Incar la prmera teracón con la ventana de correspondenca en la poscón apromada. 5. Transformar la ventana de correspondenca determnar los valores de grs para la teselacón (remuestreo). 6. Repetr la secuenca de ajuste remuestreo hasta que se alcance los crteros de convergenca. 7. Valorar la caldad del punto homólogo. 8. Repetr los pasos -7 para una nueva poscón del patrón. Como se menconó anterormente deben realzarse los ajustes radométrcos como, por ejemplo, una ecualzacón del hstograma, antes del proceso de correspondenca de cara a evtar la presenca de más ncógntas en el modelo matemátco. En resumen, la correspondenca LSM, es una técnca que pretende, por una parte, contrarrestar las lmtacones geométrcas de la técnca ABM (para lo que concede certa flebldad a la máscara), al msmo tempo, ajustar (medante el procedmento mínmo - cuadrátco) la correspondenca por debajo del píel. La técnca se basa en la mnmzacón de las dscrepancas de los nveles de grs entre la máscara de referenca la máscara de correlacón establecendo, además, sendos modelos radométrco geométrco entre las msmas. 4

15 Plantlla Área búsqueda Iteracones: Correspondenca basada en característcas (FBM) Como el nombre sugere, la correspondenca basada en característcas (FBM) utlza como entdades homólogas característcas o elementos obtendos de los nveles de grs de la magen orgnal, entre los que se encuentran puntos, bordes regones. Las característcas que se usan con más frecuenca son los bordes los puntos (puntos de nterés). El FBM se hzo popular al fnal de los setenta en la Vsón Computaconal, cuando se caó en la cuenta de que la prodgosa capacdad estereoscópca humana se basa más en buscar bordes o límtes conjugados, que en encontrar dstrbucones de grs smlares en un par estereoscópco (Grmson, 98; Horn, 983). Una vez estos elementos son etraídos, es necesaro asgnarles una sere de atrbutos de poscón, de forma, orentacón, gradente, longtud, curvatura, de topología, etc. Igualmente es posble establecer las relacones que los elementos presentan entre sí como promdad, nterseccón, adacenca, nclusón, etc. Fnalmente debe compararse el grado de smlardad estente entre los atrbutos de los elementos o de las relacones medante funcones de coste. Para ello debe acometerse una tarea de búsqueda a través de los regstros estructurados de la magen. Estas herramentas presentan un carácter más abstracto (no son funcón nmedata de la geometría la radometría) global (afectan a toda la magen). En esta medda son más nvarantes al releve la orentacón. Etraccón de característcas La etraccón de característcas es un proceso monocular, que se realza de modo ndependente en cada una de las mágenes, aspecto que se trata con más detalle en el tema 2. No obstante, se realzará a contnuacón un breve repaso sobre las técncas más empleadas en este conteto. Puntos de nterés. La etraccón de dstntos puntos en una magen o en una tesela magen tene como dea básca la dentfcacón de zonas de gran varanza, áreas que son potencalmente útles para la correspondenca. El proceso de etraccón se realza medante un operador de nterés, aquellos puntos que tenen característcas dferencadas se denomnan puntos de nterés. Moravec (976) desarrollo un operador de nterés que medía las dferencas de una tesela magen con relacón a sus alrededores. Actúa calculando las varanzas de pequeñas áreas umbralzando las msmas local globalmente. El operador de nterés de Förstner es nvarante con la rotacón ofrece una precsón subpíel, (Förstner, 986); (Forstner Gülch, 987). Con él pueden dentfcarse dferentes característcas o elementos puntuales, tales como esqunas elementos superpuestos a la magen orgnal. Deteccón de bordes. Esten numerosos operadores de borde, cada uno con sus propas característcas dstntvas, mu a menudo la eleccón de uno frente a otro se toma por 5

16 preferenca personal o por la propa eperenca. La deteccón de bordes mplca la dentfcacón de los píeles de borde el agrupamento de los píeles de borde genera la formacón de bordes completos, tambén llamados contornos de borde. Los bordes se corresponden con dferencas de lumnosdad en las mágenes, que pueden ser bruscas (borde marcado o defndo) o pueden aparecer sobre un área maor (borde suave). En teoría un operador de borde debería ser capaz de dentfcar bordes suaves defndos. Como habtualmente los bordes aparecen en cualquer orentacón, se necesta un operador que sea ndependente de la dreccón. Pero la deteccón de las dferencas de lumnosdad supone conocer o determnar las dervadas o, en el caso de funcones dscretas como las mágenes dgtales, las dferencas de orden n. El cálculo de las dferencas aumenta el rudo, de ahí que los operadores de borde sean sensbles a él. Entonces otro prerrequsto es reducr el mpacto del rudo medante el suavzado de la magen. Correspondenca de puntos de nterés La correspondenca por áreas consttue la manera más fácl de hacer corresponder puntos de nterés. La determnacón de puntos de nterés tuvo como motvacón orgnal la búsqueda de teselas de magen con nformacón sufcente para que la correlacón tuvera posbldades de éto. Como se vo anterormente, las teselas de magen con ntensdad unforme producían una funcón de correlacón plana sn un mámo claro, por lo que las áreas ctadas deben evtarse. El concepto de correspondenca de puntos de nterés se muestra en la sguente fgura. En el par estereoscópco aparecen los puntos de nterés etraídos medante un operador de Förstner. La plantlla está centrada en uno de ellos, en este caso en la magen derecha. Ahora, con el método descrto en la seccón anteror se calcula la ventana de búsqueda en la otra magen, en la que se encuentran varos puntos de nterés. Se centra en todos estos puntos la ventana de correspondenca se calculan los coefcentes de correlacón. Se consdera normalmente como punto conjugado del centro de la plantlla, a aquel punto al que corresponde maor factor de correlacón. Se repte el procedmento hasta que se ha centrado la plantlla en todos los puntos de nterés de la magen derecha. 3 2 Fgura: Correspondenca según puntos de nterés. Esta forma de realzar la correspondenca de puntos de nterés es una apromacón lógca a la correspondenca por áreas, en la que la plantlla se stúa en poscones con una funcón de magen dstntva no en poscones arbtraras. Perssten, no obstante, nconvenentes asocados a las líneas de ruptura, ocultamentos o sombras, acortamento. Es más, no todos los 6

17 puntos de nterés tenen su punto correspondente de nterés en la otra magen, como demuestra la msma fgura. A pesar de todo, el coefcente de correlacón puede superar el umbral para dar por válda una correspondenca, lo que producría una ncorrecta, por consguente debe realzarse un control posteror, que permta dentfcar posbles correspondencas erróneas. Como una alternatva a la correlacón cruzada, puede aplcarse mínmos cuadrados (LSM). Correspondenca de los píeles de borde En la sguente fgura aparece una pequeña zona correspondente a un par de mágenes aéreas. Supóngase que se quere hacer corresponder el píel de borde remarcado de la tesela de magen zquerda de la fgura. Lo prmero que ha que hacer es determnar la ventana de búsqueda en la tesela de magen derecha, su centro dmensones. Aunque se supone que las mágenes están normalzadas, la búsqueda no puede reducrse estrctamente a la línea eppolar, sno que debe nclur algunas flas por encma por debajo de la msma. Basándose en la ncompatbldad de atrbutos, algunos de estas correspondencas potencales pueden descartarse de nmedato. Para el caso de los cruces por cero, el sgno es un atrbuto mu útl que mplca que s la magen es más lumnosa haca la zquerda del píel de borde (como en la fgura), debería ocurrr lo msmo en la otra magen. Fgura: Correspondenca de bodes. Se seleccona el píel de borde en el centro del círculo de la magen zquerda se predce la ventana de búsqueda (el rectángulo de la magen derecha). La altura de la ventana de búsqueda es de 3 píeles por encma por debajo de la línea eppolar para permtr los desplazamentos vertcales. La longtud depende de la ncertdumbre de la cota (profunddad) del píel de borde homólogo. El número de correspondencas posbles depende de los atrbutos del píel de borde, tales como el sgno, la orentacón la fuerza. Para reducr más aún el número de correspondencas posbles pueden usarse otros atrbutos de los píeles de borde, como la orentacón la frmeza o fuerza. El estudo del sgno reduce el número de correspondencas en la búsqueda, s además se ncluen otros aspectos como la orentacón del borde la reduccón de las posbldades es maor. A maor número de correspondencas potencales halladas, la dfcultad para determnar la correcta aumenta. Por lo tanto la cuestón básca es cuántas posbldades de correspondenca se tendrán de meda cómo puede modfcarse dcho número para alcanzar un mámo. El número de pasos o cruces por cero depende del tamaño del operador LoG (Laplacano + Gaussana). La seleccón del píel homólogo correcto entre un conjunto de correspondencas posbles se rge por el prncpo de la contnudad a lo largo de las dscontnudades. El borde marca una dscontnudad en los nveles de grs en toda su dmensón. Los bordes pueden corresponderse con límtes de objetos reales que normalmente son contnuos, o al menos lo son a trozos. Por tanto la paralaje a lo largo de los bordes correspondentes camba de forma gradual en mu pocas ocasones bruscamente. Una posble forma de trabajar es calcular todos los paralajes posbles entre el píel que se quere hacer corresponder las correspondencas posbles. Estudando el hstograma de todas las paralajes posbles puede encontrarse fáclmente la paralaje predomnante. La presenca de más de un mámo ndcaría una dscontnudad a lo 7

18 largo del borde. S en este método se nclue un análss de tendencas del hstograma se logra una mejora sobre lo anteror que podrían reflejar cambos graduales de la paralaje. Por últmo, otros atrbutos de borde adconales, que no se han consderado en la prmera correspondenca, pueden audar cuando se presentan asocacones ambguas que el análss del hstograma es ncapaz de resolver. Como por ejemplo el valor del atrbuto fuerza del borde. Es mprobable que un borde que aparece nítdo o marcado en una magen esté borroso en la otra. Por el msmo motvo, es bastante mprobable que un borde sea el conjugado de varos. Por lo tanto, la asocacón de píeles del msmo borde favorecería más la resolucón de las ambgüedades. Parametrzacón de bordes. Método Ψ-s. El método Ψ-s consttue un acercamento a la correspondenca de bordes en base a una parametrzacón en el espaco de parámetros Ψ-s, sendo Ψ la orentacón del borde a través de la dervada funcón gradente s su longtud. El resultado es nvarante respecto a la poscón del borde conlleva una pequeña traslacón con respecto a la rotacón del borde. En la sguente fgura aparecen ejemplos de funcones en la representacón cartesana tradconal, así como en la representacón Ψ-s. A las líneas rectas en el domno espacal le corresponden líneas rectas horzontales en el domno Ψ-s (la dervada es constante), El valor Ψ de las líneas horzontales es proporconal a la orentacón de la línea recta, como se ve en (a). Los círculos se representan por líneas rectas de pendente proporconal a la curvatura como lustra en (c). Una rotacón en el domno espacal supone un desplazamento vertcal en la representacón Ψ-s. (b) es una versón rotada de (a). Análogamente (d) es una versón rotada de (c). Los ejemplos representados en la fgura aclaran las ventajas de la representacón Ψ-s en la correspondenca de contornos de borde. Por un lado la representacón es nvarante con respecto a la poscón del borde en la magen. Una rotacón entre las dos mágenes supone una smple traslacón o desplazamento de la poscón cero. Además se reduce en uno el grado de la línea orgnal. Los bordes se representan como una secuenca de píeles de borde, por ejemplo unos códgos en cadena. El comenzo del borde vene dado por las coordenadas magen, pero los sguentes píeles están relaconados con el anteror por la dreccón. El códgo en cadena es la prmera dferenca de la representacón lneal dscreta (correspondente a la prmera dervada de la representacón contnua). Por lo tanto la representacón dscreta Ψ-s es en esenca una representacón de un códgo en cadena. Se usa la representacón Ψ-s en la correspondenca de formas por su capacdad para la etraccón de elementos o característcas formales dstntas. Un ejemplo de característca de forma dstnta es el cambo de curvatura. En térmnos de formas, las líneas rectas son francamente aburrdas, mentras que las líneas con cambos de curvatura frecuentes ofrecen una gran rqueza de nformacón sobre la forma. Cómo puede eplctarse dcha nformacón para eplotarla en la correspondenca de bordes?. Supóngase dvdda o segmentada la curva Ψ-s en una sucesón de líneas rectas. Como los segmentos de líneas horzontales se corresponden con líneas rectas en el domno, con una orentacón gual a Ψ las líneas rectas con pendente son arcos crculares, la dvsón o segmentacón de las curvas Ψ-s supone una segmentacón curvlínea en el domno espacal. Del análss de la curva Ψ-s segmentada pueden deducrse o etraerse característcas o elementos de forma. Los vértces ndcan los cambos de curvatura los bordes con formas smlares se caracterzan por vértces smlares. 8

19 Domno espacal Domno parámetros Fgura: Ejemplo de líneas en el domno, junto con su representacón en el domno Ψ-s. Correspondenca relaconal (RBM) El método Ψ-s de correspondenca tratado con anterordad tene una característca común: entdades de correspondenca ndvduales se comparan con entdades en la otra magen de una en una. Por ejemplo, se seleccona un contorno de borde en una magen se compara con los bordes estentes en la ventana de búsqueda de la otra magen, buscando una semejanza en la forma. Se repte el proceso de modo más o menos ndependente para todos los bordes. Una vez hecha de esta forma la correspondenca de todas las entdades, se seleccona la correspondenca más probable de entre todas las posbles medante un procedmento separado que asegura la consstenca local global partendo de supuestos a pror sobre la superfce en el espaco objeto. La ncorporacón de las relacones entre entdades mejora el procedmento de correspondenca, con lo que podemos hablar de correspondenca de característcas relaconal, correspondenca por áreas relaconal o ben smplemente correspondenca relaconal. 9

20 La correspondenca relaconal proporcona un mecansmo para consderar las relacones entre las entdades de correspondenca. Puede defnrse como la búsqueda de la mejor representacón entre dos descrpcones relaconales (Vosselman, 992). Este esquema de correspondenca más general ha sdo desarrollado por nvestgadores en Vsón Computaconal, por ejemplo (Shapro Haralck, 987) (Boer Kak, 998) presentándose en forma de etquetado o clasfcacón consstente, relajacón correspondenca estructural. En aplcacones fotogramétrcas se ha usado con éto en los últmos tempos la correspondenca relaconal, (Vosselman, 994), (Zlbersten, 992), (Cho, 996) (Wang, 996). En la correspondenca relaconal deben consderarse tres aspectos gualmente mportantes: la descrpcón, la funcón de evaluacón el árbol de búsqueda, que se descrben brevemente en las seccones sguentes, remarcando el concepto a través de un ejemplo. Descrpcón de las prmtvas relacones Los elementos báscos de la descrpcón relaconal se denomnan prmtvas se caracterzan por sus atrbutos. Práctcamente cualquer cosa puede ser una prmtva. En la aplcacón de correspondenca de mágenes, las prmtvas son las entdades de correspondenca. Tómese el ejemplo de los bordes. En la sguente fgura ha dos bordes dbujados. Supóngase que se dvden los bordes en partes curvlíneas, por ejemplo con el método Ψ-s descrto anterormente. La longtud de un segmento su curvatura son atrbutos que descrben adecuadamente la prmtva. Se tene: ρ = { centrode(, ), longtud( l ), curvatura( c ), arco( α )} Fgura: Ejemplo de correspondenca relaconal. La fgura de la zquerda tene dos contornos de borde segmentados (conjunto ). La fgura de la derecha tene tres contornos (conjunto 2). La mejor representacón entre los dos conjuntos se encuentra medante un árbol de búsqueda, que se aplca en el teto. El árbol correspondente se muestra en la sguente fgura. Se utlzan las relacones de coneón vecno. Además de la longtud, l, la poscón del centrode (, ) el ángulo α, correspondente a la longtud del arco, pueden usarse para descrbr la prmtva. Puede añadrse nformacón adconal, como por ejemplo la fuerza o frmeza del borde, el sgno del msmo, ncluso quzá nformacón espectral, añadendo un conjunto de atrbutos más enrquecdo, en funcón del esquema utlzado en la deteccón del borde. Sea un borde caracterzado como fuerte, un círculo cerrado de rado conocdo, rojo postvo. Pueden encontrarse centos de bordes para hacerlos corresponder, de los cuales sólo algunos son cerrados, unos pocos tenen un rado pequeño muchos son rojos. A maor rqueza de la descrpcón, maor facldad en la correspondenca. Debería señalarse que la correspondenca puede realzarse solamente con la descrpcón de las prmtvas. Los atrbutos deberían guardarse en un vector, denomnado vector de 2

21 característcas, que es precsamente lo descrto en la seccón anteror bajo el nombre de correspondenca basada en característcas. Retórnese de nuevo al problema de la ntroduccón de relacones entre las prmtvas. En el sencllo ejemplo dbujado en la fgura anteror la coneón es una relacón útl, que especfca smplemente qué segmentos están undos o conectados. Por ejemplo p 2 está undo a p ; p 5 no lo está, etc. Un ejemplo de nterrelacón entre bordes podría referrse a la poscón de p 5 con respecto a las prmtvas que forman el otro borde, que puede epresarse de dstntas formas. Al trazar un borde ha un sentdo que es la zquerda o la derecha del borde. S se empeza con p se sgue hasta p 4 (basándose en la conectvdad), la prmtva p 5 sempre estaría a la zquerda. Podría ntroducrse tambén una dstanca, por ejemplo entre centrodes. Para especfcar un poco más, la relacón debe restrngrse sólo a los vecnos prómos. Se termna así con la potente relacón de vecno. Las relacones se descrben con el nombre de la relacón un juego de tuplas de relacón: (coneón) ({p 2,p }, {p 3,p 2 }, {p 4, p 3 }) (vecno) ({p 5,p }, {p 5,p 2 }, {p 5, p 3 }) La relacón de vecno puede tener atrbutos. La dstanca la poscón (zquerda, derecha) son atrbutos mu útles, como se comentó antes. Pueden combnarse añadendo un sgno a la dstanca. Una dstanca negatva podría sgnfcar, por ejemplo, que la prmtva está a la zquerda de la prmtva (con la que está conectada). Funcón de evaluacón (vecno) {p 5, p }, (dstanca-8) {p 5, p 2 }, (dstanca-2) Se entende por correspondenca de mágenes la comparacón entre dos mágenes la determnacón de una sere de característcas o detalles correspondentes, denomnados entdades. En la correspondenca relaconal las entdades son las descrpcones de las prmtvas las relacones entre ellas. La comparacón entre este tpo de relacones se lleva a cabo medante una funcón de evaluacón. Por lo general se supone que los atrbutos las tuplas relaconales son ndependentes unas de otras. En ese caso la medda de la semejanza entre dos descrpcones relaconales se determna sumando un número (costo) que epresa el grado de falta de semejanza entre las descrpcones. La funcón de costo es cero s las dos descrpcones relaconales son déntcas. Como esta stuacón raramente se presenta, ha que trabajar con la medda de la falta de semejanza. La funcón de costo se estma ben por una medda de dstanca o ben por un método probablístco. Como ejemplo de medda de dstanca puede tomarse la dferenca absoluta entre los atrbutos, tanto para las prmtvas como para las tuplas relaconales. Sn embargo este método sencllo tene problemas. En prmer lugar, algunos atrbutos como el color son smbólcos. Cómo se determna la funcón de costo entre el rojo el púrpura? En segundo térmno los atrbutos tenen dferentes undades, por ejemplo ángulos, píeles o mlímetros cuadrados. El últmo problema puede resolverse normalzando los valores de los atrbutos de modo que todos varíen en el msmo rango de [, ]. Como recomendan (Boer Kak, 988), es preferble el método probablístco cuando se trabaja con atrbutos de naturaleza smbólca, como el color, la forma (recta, curva), la topología (arrba, zquerda). En este caso, la funcón de probabldad condconal mde la correspondenca entre las prmtvas relacones de dos descrpcones relaconales. Cuánto más parecdas sean las dos descrpcones, más próma a la undad estará la funcón de probabldad. Realmente lo que se computa como medda del costo es el logartmo negatvo de la funcón de 2

22 probabldad condconal. Vosselman amplía más este método al proponer una funcón de valor que estma el apoo que proporconan a la representacón los atrbutos de las correspondentes prmtvas tuplas relaconales (Vosselman, 992). Árbol de búsqueda Después del establecmento de la descrpcón relaconal de las entdades de correspondenca la forma de medr el grado de semejanza, es necesaro ejecutar un esquema de correspondenca. La forma más común de encontrar la solucón es medante un árbol de búsqueda. En la Vsón Computaconal e Intelgenca Artfcal, se utlzan con éto tres métodos de búsqueda (Bender, 996). Los árboles están formados por nodos arcos, que comenzan en un nodo raíz, descenden a través de los nodos antecesores, hasta alcanzar los nodos hoja. La coneón entre dos nodos se realza a través de arcos. Las prmtvas {p, p 2,,p n } de una descrpcón relaconal se denomnan undades las prmtvas de la descrpcón que se quere hacer corresponder, es decr {q, q 2,,q n } se llaman etquetas. La dmensón o profunddad del árbol se defne por el mámo camno con el menor costo. El prncpo se lustra en la sguente fgura. Las undades son las prmtvas de los dos contornos de borde de la fgura anteror las etquetas son las prmtvas del segundo conjunto. La dmensón del árbol es cnco. Se comenza epandendo el árbol en el prmer nvel asocando undades con etquetas compatbles. Es decr p se compara con {q, q 2,,q n }. Resulta que q 3, q 4,q 8 tenen atrbutos smlares por lo tanto estas tres etquetas se converten en los nodos del prmer nvel. Los tres nodos se epanden en el segundo nvel medante la undad de correspondenca p 2. Actuando de esta manera a través de todas las undades se obtene un árbol con 2 nodos hoja que representa el espaco de búsqueda de este problema de correspondenca, P->Q. Cada camno desde la raíz a una hoja consttue una solucón. Obvamente la maoría de las 2 solucones son ncorrectas geométrcamente. Cómo se determna la solucón más probable? Supóngase que se determna el costo para cada correspondenca undad/etqueta basándose en las dferencas entre atrbutos. La suma de los costes a lo largo de un camno da el coste total. El camno con coste mínmo representa la solucón óptma. Fgura: El árbol corresponde al ejemplo dbujado en la fgura anteror. El conjunto de prmtvas p, p5 (undades) se compara con el conjunto q, q (etquetas). Se aceptan las correspondencas en funcón de las smltudes entre atrbutos. Úncamente satsfacen las relacones entre las undades aquellos nodos 22