Materiales Industriales, Ingeniería Técnica Industrial Mecánica Profesor: Dr. María Jesús Ariza, Departamento de Física Aplicada, CITE II-A, 2.

Transcripción

1 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. Teoría de meddas. Meddas magntudes: La teoría de meddas Las varables cuos valores se pueden determnar epermentalmente se denomnan magntudes, la medda es el proceso por el cual se determnan dchos valores. La palabra medda tambén se utlza para desgnar el valor numérco obtendo epermentalmente para la varable, el cual es el número de veces que la magntud contene a una undad patrón de referenca, sus múltplos o submúltplos (por ejemplo, longtud.5 cm). La temperatura, la masa, la longtud son magntudes cuos valores se determnan usando un termómetro, una balanza un metro respectvamente. Estas magntudes se denomnan drectas. En cambo, las magntudes que no se mden drectamente sno se obtenen a partr de las relacones que guardan con otras magntudes se denomnan magntudes dervadas. El volumen la densdad son magntudes dervadas. Sn embargo, las meddas úncamente nos proporconan valores apromados de las varables, a que en el proceso de medr ntervenen las mperfeccones de los nstrumentos, las lmtacones de nuestros sentdos, el msmo proceso de medda puede tener nfluenca sobre la magntud que se está mdendo, otras causas ncontrolables. Las ndetermnacones en las meddas drectas se propagan en los cálculos de las magntudes dervadas. Por tanto, tan mportante como el valor de la magntud es la estmacón del grado de ncertdumbre o error epermental que tene asocado dcho valor. La teoría de meddas, tambén llamada teoría de errores, se ocupa de la estmacón o acotacón de las ncertdumbres de las meddas. Cuando se estma el error asocado a una medda, no sgnfca que la medda está mal hecha, sno que se está acotando la ncertdumbre que tene el valor que se ha determnado. Error Indetermnacón. En toda medda ntervenen una sere de elementos: el objeto que se ntenta medr, el nstrumento de medda, la undad patrón de referenca el observador. Todos estos elementos tenen su nfluenca en la ncertdumbre asocada a los valores obtendos epermentalmente de la magntud.. Clasfcacón de los errores El error (o ncertdumbre) de una magntud se defne como la dferenca entre su valor eacto (que no podemos conocer) el valor obtendo epermentalmente medante un proceso de medda.

2 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. Los errores se clasfcan en sstemátcos accdentales. Los sstemátcos son errores que afectan de gual manera a todas las meddas. Son errores sstemátcos los defectos de un nstrumento de medda (error de cero, mala calbracón, etc.), errores cometdos por el observador sempre del msmo modo, errores en la eleccón del método de medda para una varable, etc. Estos errores se detectan al cambar de nstrumento de medda, de método o procedmento de medda, o de observador. Los errores accdentales o aleatoros son aquellos que hacen que cuando se realzan meddas sucesvas en las msmas condcones por el msmo observador los valores obtendos sean lgeramente dferentes. Será gualmente probable obtener un valor superor o nferor al valor eacto (desconocdo). Estos errores tenen su orgen en fenómenos aleatoros, por tanto son ncontrolables no se pueden corregr. La teoría de meddas se ocupa de estmar los valores de estos errores accdentales por métodos estadístcos. 3. Eacttud, precsón sensbldad Estos tres conceptos están relaconados con el nstrumento de medda. La eacttud es la concordanca entre el valor eacto el obtendo epermentalmente. Un nstrumento es mu eacto s todas las meddas de una magntud que se realzan con él están mu prómas al valor eacto. Como el valor eacto es desconocdo, es complcado conocer la eacttud de un nstrumento. La precsón es la concordanca entre las sucesvas meddas de una magntud que se realcen en las msmas condcones de trabajo. Un nstrumento es mu precso s las meddas de una magntud realzadas con él se encuentran todas mu prómas entre sí. La eacttud mplca precsón, pero la afrmacón nversa no es certa, a que un aparato puede ser precso pero estar dando un valor alejado del valor eacto. En general, se puede decr que es más fácl conocer la precsón de un aparato que su eacttud. La sensbldad de un nstrumento es el valor mínmo de la magntud que puede aprecar. Por ejemplo, que la sensbldad de una balanza sea de 0.0 g sgnfca que no apreca masas nferores a 0 mg, por tanto no puede medr valores de masas por debajo de este valor. La sensbldad de un nstrumento corresponde con la dvsón más pequeña de su escala de medda. En un buen nstrumento la escala de medda ajustará al límte de determnacón que tene el propo nstrumento, de modo

3 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. que aunque el observador pueda ver que el nvel del nstrumento se encuentra entre dos dvsones de la escala el nstrumento no es sensble a varacones más pequeñas que su sensbldad. 4. Errores absolutos relatvos El error absoluto (Δ) de una medda se defne como la dferenca entre el valor meddo () el valor eacto ( 0 ) Δ Ya que no conocemos este valor eacto, la teoría de meddas establece un procedmento para calcular este error (por ejemplo defnendo el valor eacto como el valor medo de las meddas realzadas). 0 El error relatvo (ε r ) de una medda se defne como el cocente entre el error absoluto el valor eacto de la magntud: Δ ε r El error relatvo se suele dar tambén en forma de porcentaje del valor de la medda ((00 ε r ) %). 5. Orden de magntud cfras sgnfcatvas El orden de magntud es la potenca de dez más próma al valor meddo. Por ejemplo, s en una medda se obtene 30 mg, la masa de ese objeto es del orden de 000 mg g. 0 Las cfras sgnfcatvas son los dígtos representatvos de los obtendos en la determnacón de una magntud. Para el valor 34 mg, la cfra más a la zquerda (la prmera dferente de cero) es la más sgnfcatva. La cfra más a la derecha (la últma dferente de cero para un número entero, o la últma aunque sea cero para un número decmal) es la menos sgnfcatva. Todas las cfras entre estos dos etremos son sgnfcatvas. Por ejemplo, la magntud del ejemplo anteror se podría epresar como 34 mg kg.34 g μg Todos estos números tenen cuatro cfras sgnfcatvas. El es la cfra más sgnfcatva el 4 la menos sgnfcatva. Ya que los ceros a la derecha después de la coma decmal no tenen valor, cuando el valor de una magntud se ndca con un número decmal acabado en ceros es porque el nstrumento de medda ha determnado tambén esa cfra (que ha concddo que es un cero). Por tanto, el valor.30 g tene 4 cfras sgnfcatvas. 3

4 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. Sn embargo, cuando el valor se epresa en forma de un número entero acabado en ceros, no sabemos s los ceros fnales son representatvos o se han puesto para rellenar (34 mg μg, los ceros se han puesto para rellenar). Para que no se produzca este problema, se adopta la regla de epresar estos números con la notacón de mantsa eponente. Entonces de forma correcta escrbremos: kg.34 g mg μg 6. Estmacón de valores errores en magntudes drectas Ya que nunca podemos saber cual va a ser el valor eacto de una magntud medda drectamente con un nstrumento, se procede realzando certo número de meddas. El número de repetcones de la medda dependerá del grado de dspersón que obtengamos en los valores, fjándose el sguente procedmento basado en crteros estadístcos. La Teoría de Meddas nos dce que ncalmente ha que realzar 3 meddas de la magntud (número de meddas 3). Se calcula el valor medo ( ) como donde es el valor de cada una de las meddas. Se calcula la dspersón o rango (D) de las meddas, que es la dferenca entre el valor mámo el mínmo de los que se han obtendo. Luego se calcula el porcentaje de dspersón (T) como D T 00 es el valor de T es el que determna el número total de meddas necesaras, según se recoge en la sguente tabla: (%) T para 3 total a realzar T % 3 % < T < 8 % 6 8% < T < 5 % 5 T > 5 % al menos 50 4

5 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. Una vez realzadas todas las meddas necesaras, el resultado fnal de la magntud será: - Valor de la magntud: el valor medo de todas las meddas ( ) - Error absoluto de la magntud: S se han realzado sólo 3 meddas, el error absoluto es el valor de la sensbldad del aparato (S): Δ S S se han realzado entre 4 5 meddas, el error absoluto es el mámo valor entre la sensbldad del aparato (S) la dspersón dvddo por cuatro (D/4) Δ ma { S, D / 4} S se han realzado más de 5 meddas, la ncertdumbre es el error cuadrátco medo (S m ), tambén llamado desvacón estándar, de los valores obtendos Δ / ( ) S m ( ) El error cuadrátco medo es el error estadístco de la meda. o confundr con la desvacón estándar del conjunto de datos, que es lo que recbe el nombre apropado de desvacón estándar en cua fórmula no aparece multplcando en el denomnador. En cualquera de los casos se puede optar por el cálculo de S m para la estmacón del error, pero dada la laborosdad de este cálculo es convenente usar la apromacón a D/4 cuando el número de meddas está entre 4 5. En ocasones la muestra se "degrada" o evolucona con el tempo, lo que lmta el número de meddas que se pueden realzar de un msmo sstema. S esto es así, se realzará una sola medda con cada muestra o probeta se repetrá el ensao completo con el número de muestras que hagan falta. 7. Epresón correcta de los resultados El resultado de un proceso de medda, a sea de una magntud drecta o ndrecta, se epresa correctamente de la forma sguente: ± Δ donde es lo más parecdo al valor real que conocemos de la magntud, ha sdo determnado con una ncertdumbre Δ. Esto sgnfca que el valor real de la magntud está comprenddo en el ntervalo Δ < < + Δ Las cfras con las que se debe epresar el resultado se fjan según sea el valor del error absoluto: 5

6 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. - Por conveno, el error absoluto debe epresarse con una únca cfra sgnfcatva o como mámo con dos cuando la prmera cfra es un o ben un s la segunda cfra sea menor de 5 (hasta 5). - El valor de la magntud se redondeará a la últma cfra sgnfcatva del error absoluto. El sguente proceso de redondeo se aplcará para elmnar cfras sobrantes tanto del error absoluto como del valor: - La cfra se elmna drectamente s es menor de 5 (.34 pasa a ser. s ha que epresar el número úncamente con dos cfras sgnfcatvas). - S la cfra que se elmna es maor o gual que 5 se aumenta una undad (.57 se redondea a.3). Ejemplos de redondeos: Valores ncorrectos Valores correctos 3.48 ± ± ± 0.09 (630 ± 9) ± 540 (46.3 ±.5) ± ± ± 99. (34 ± ) 0 Para las magntudes que se consultan en tablas en las que no se ndca el error absoluto se consdera que el error absoluto es una undad de la últma cfra sgnfcatva ncluda en la tabla. Por ejemplo, s en una tabla aparece que la densdad del agua es g/cm 3, tomaremos como error absoluto de este valor g/cm 3, es decr D HO ( ± ) g/cm 3. Del msmo modo, los números rraconales (con nfntas cfras decmales) ha se apromarán a un número de cfras de modo que no afecte al resultado fnal de la medda, se le asocará un error absoluto gual a la undad del orden de la últma cfra que se ha tendo en cuenta. Por ejemplo, π (3.4 ± 0.00). 8. Estmacón de errores en magntudes dervadas Muchas magntudes no se mden drectamente, sno que se obtenen a través de aplcar una epresón matemátca en la que ntervenen varables que se han meddo drectamente o se han obtendo en tablas. Por ejemplo, se puede determnar el volumen de una esfera mdendo su dámetro ( V (/6) π d 3 ). Las magntudes de partda tenen un error nherente que se propaga a las magntudes ndrectas sucesvas. A este proceso se le denomna propagacón de errores. 6

7 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. S F es una magntud dervada de otras magntudes u, v w (por ejemplo) de las que conocemos su valor error absoluto, el valor de la magntud F será el resultado de susttur en la epresón correspondente los valores de las magntudes u, v w: ( u, v w) F F, El error absoluto de F es la dferencal total (df) de la funcón, df F F F du + dv + dw u v w La dferencal total es la epresón matemátca de la varacón que sufre la funcón F al cambar los valores de las varables de las que depende, para una magntud fundamental (no dervada) la dferencal total es su error absoluto: Por tanto, utlzando notacón de errores: ΔF F F F Δu + Δv + Δw u v w du Δu que es la fórmula que nos permte calcular el error absoluto asocado a una magntud ndrecta. Los valores absolutos de las dervadas parcales se ntroducen para tener en cuenta el hecho de que las ncertdumbres sempre se suman, nunca se compensan. Ejemplos habtuales de propagacón de errores: Funcones Error absoluto z + z - z z / z n z ln z ep() Δz Δ + Δ Δz / z Δ / + Δ / Δz / z n Δ / Δz Δ / Δz / z Δ Por ejemplo, s la medda del dámetro de una esfera con un calbre arroja un valor de d (,4±0,05) cm el volumen de la msma será V (/6) π (,4) 3 0, cm 3, donde hemos cogdo un valor de π sufcentemente precso para asegurarnos que no tenga repercusones en el resultado fnal. El cálculo del error absoluto es V π ΔV Δd π 3d Δd,4 0,05 0,076 d 6 por tanto V (,00±0,) cm 3, o mejor aún V (0,0±,) 0 - cm 3. 7

8 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. S no conozco tantos decmales de π (3.4±0.0), la mprecsón del número rraconal podría llegar a afectar al resultado, en cuo caso ha que tratarlo como una varable más V V ΔV Δd + Δπ π 3d Δd + d 3 Δπ 0, , ,3940 d π 6 6 Al tener que redondear el error absoluto del volumen a cfras sgnfcatvas, comprobamos que en este caso no afecta al resultado. Esto es así porque la magntud dervada depende del dámetro al cubo mentras que de π depende lnealmente el error del dámetro es más grande que el de π. Cuando la magntud dervada contene valores que se han tomado de una tabla se procederá de modo análogo al descrto para el número π. 9. Toma de datos en el laboratoro Antes de comenzar la realzacón de una práctca de laboratoro, debemos tener claro cuales son las magntudes que se van a determnar todos los datos que harán falta. Por ejemplo, para determnar la densdad debemos medr el volumen (magntud dervada de la longtud) la masa. Además, deberemos anotar la temperatura del laboratoro junto a los resultados del ensao, a que la densdad de los materales depende de la temperatura a la que se encuentren. Para cada magntud que se mda ha que anotar en el cuaderno las undades en las que mde la sensbldad que tene el nstrumento de medda que se va a utlzar. A la hora de tomar los datos del ensao, la forma más práctca útl de proceder es medante la realzacón de una tabla de meddas que debe tener un título que la dentfque de forma unívoca con el ensao al que corresponde. Los datos se colocan en columnas, cada columna debe tener un encabezado (prmera fla) con el nombre de la varable medda las undades ( sensbldad) del nstrumento con el que se ha meddo. Se utlza una columna para anotar el dato meddo drectamente del nstrumento, se rán añadendo columnas sucesvas para los cálculos posterores. Por ejemplo, s se mde el espesor de una lámna con el mcrómetro su longtud con el calbre, tendremos el prmer resultado en μm el segundo en mm. Para calcular el volumen necestamos ponerlo en las msmas undades, para lo cual añadmos otra columna a la tabla que corresponda a los valores del espesor en mm. 8

9 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. Por últmo, la tabla debe tener sufcente espaco para que s se comete un error en la anotacón de un dato, se pueda tachar el prmero anotar el segundo al lado o debajo, a que corregrlo encma suele llevar a confusones posterores. La tabla de meddas realzada en el laboratoro debe conservarse sempre, se adjuntará a los guones de las práctcas. Ejemplo de tabla de meddas: Título: Determnacón de la densdad de películas polmércas con forma de dscos. Ensao en seco. Meddas epermentales: Espesor* Dámetro* Masa* Muestra (μm) (±μm) (mm) (±0.5mm) (g)(±0.000g) PS PS CLF * Tanto para las meddas de longtud como para las masas lo deal es realzar un mínmo de tres meddas. Se calcula el porcentaje de dspersón (T) s fuese necesaro se efectuará hasta un Δ ma S, D / 4 mámo de 6 meddas. Como se ndcó en el punto 6, el error asocado será { } A la hora de calcular la densdad de muchas muestras dferentes, la forma más operatva de trabajar es medante la elaboracón de otra tabla donde se van hacendo los cálculos: Título: Determnacón de la densdad de membranas polmércas con forma de dscos. Ensao en seco. Cálculo de las magntudes dervadas: Muestra Espesor (μm) Espesor (mm) Dámetro (mm) Volumen (mm 3 ) Masa (g) Densdad (g/mm) PS ± 0.0± ± ±ΔV 0.08±0.000 D±ΔD PS... 9

10 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. A esta tabla se le añadrán tantas columnas como cálculos se necesten para determnar la magntud fnal. 0. Representacón gráfca de los datos En numerosas ocasones el ensao consste en segur la evolucón de una magntud con el tempo o estudar la dependenca de una magntud con la temperatura. En estos casos, las representacones gráfcas son mu útles, a que permten una vsualzacón global del comportamento del fenómeno en todo el ntervalo estudado sobre la gráfca se pueden calcular otros parámetros dervados o realzar nterpolacones o etrapolacones. Para la realzacón de una representacón gráfca sea válda todo el mundo pueda leerla e nterpretarla ha que segur una sere de normas báscas: - La gráfca debe tener unos ejes perpendculares claramente trazados sobre los que se dstrbua a ntervalos regulares una escala de valores con sgnfcacón matemátca (escala lneal o escala logarítmca), que a su vez esté claramente marcada en el rango de los valores que se van a representar. Por ejemplo, s tengo que representar valores de la temperatura entre 0 80 ºC de forma lneal la escala se coloca sobre el eje con marcas equdstantes que se dentfcarán con 0, 0, 30, 40, 50, 60, 70, ºC (por ejemplo). Los valores numércos de los datos meddos no se ponen sobre los ejes! - Así msmo, junto a cada eje se ndcará claramente la magntud que se representa las undades utlzadas en la representacón. - En general, la varable ndependente rá en abscsas la dependente en ordenadas. Por ejemplo, s estamos representando la varacón de la longtud frente a la temperatura, l(t), la temperatura rá en el eje de abscsas (eje ) la longtud en ordenadas (eje ). - La gráfca llevará un título que la dentfque claramente. - Los valores se representarán medante un punto correspondente al dato meddo, rodeado de un rectángulo o una barra de error. Este rectángulo está centrado en el punto epermental (,) su base abarca desde -Δ hasta +Δ su altura desde - Δ hasta +Δ. En el caso en que uno de los errores sea desprecable en comparacón con la escala utlzada, el rectángulo de error se reduce a una barra de error. S ambos errores son desprecables, se dbujará úncamente un punto. - Una vez representado los datos, se puede trazar una línea fna contnua (no quebrada) que pase por el maor número de datos posbles. De este modo se ve s 0

11 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. algún dato queda claramente desplazado de la tendenca, en cuo caso habrá que evaluar s se trata de un punto erróneo en tal caso se rechazará no se nclurá en los análss posterores. Sempre que sea posble se repetrá la medda para recuperar el punto. Un ejemplo de representacón gráfca es el sguente: Resstenca (Ω) ,0 0, 0,4 0,6 0,8 0,30 0,3 Longtud (m). Ajuste lneal por el método de los mínmos cuadrados Las varables a menudo están relaconadas de forma lneal, esto es a + b donde es la varable ndependente, es la varable dependente, b es la pendente de la recta que las relacona a es la ordenada en el orgen. En muchos casos, la pendente de la recta es la que recoge las partculardades sobre el materal. Por ejemplo el coefcente de dlatacón térmca es la pendente de la recta que se obtene al estudar la varacón de longtud con la temperatura, el módulo elástco es la pendente de las curvas tensón-deformacón, la resstenca eléctrca es la pendente que relacona la dferenca de potencal eléctrco con la ntensdad de corrente que lo atravesa (le de Ohm). El método de los mínmos cuadrados es uno de los más utlzados para averguar s un conjunto de datos (, ) tenen un comportamento lneal, para determnar la ecuacón de la recta ( a + b) que mejor se ajusta a dcho conjunto. La pendente de la recta (b) se calcula como

12 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. b Y la ordenada en el orgen (a) a Ya que se trata de un conjunto de datos epermentales con sus errores asocados, los puntos se stuarán prómos a la recta calculada pero no eactamente sobre ella. Por ello, la pendente la ordenada en el orgen tenen tambén una ncertdumbre asocada: ( ) ( ) ( ) / Δ a b b ( ) ( ) ( ) ( ) / + Δ a b a El análss por mínmos cuadrados tambén proporcona un coefcente de correlacón lneal, r, que ndca el grado en el que los puntos epermentales se ajustan a una recta, es decr, en que medda las varables sguen una dependenca lneal. Este coefcente de correlacón se calcula como: r (4) En valor absoluto, los valores de r están comprenddos entre 0 : S Abs(r) los puntos se ajustan perfectamente a una línea recta. S Abs(r) 0 los puntos epermentales están mu dspersos su correlacón con la recta no es buena. En estos casos el ajuste lneal no queda justfcado.

13 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. Los valores de r > 0 ndcan que la varable dependente crece con el ncremento de la varable ndependente (b > 0). S r < 0 sgnfca que una varable crece mentras que la otra decrece (b < 0). Cualquer calculadora programable o paquete nformátco de representacones gráfcas análss de datos tene mplementado el método de los mínmos cuadrados. S no se dspone de nnguno de estos sstemas, la forma más efectva de proceder para el cálculo del coefcente de correlacón lneal, la pendente, la ordenada en el orgen sus errores es elaborando una tabla. Los datos se colocan en dos columnas consecutvas en las sguentes columnas se van realzando todas las operacones necesaras para el cálculo de b a: DATOS: (und) (und) () ( ) b a Una vez que se conocen a b, se construe una segunda tabla para determnar los errores de los parámetros el coefcente de correlacón: (und) (und) - (- ) -b -a (-b -a) e e e e e e Otro método análogo consste en hacer la prmera tabla luego calcular los sguentes valores ntermedos: 3

14 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. de forma que D G E F ( ) E b ; a b D ( Δ b) DF E ( ) D D ( Δ a) ( Δ b) + r E DG. Lnealzacón de dependencas no lneales En ocasones la dependenca de las varables no es lneal, pero medante una transformacón de varable la representacón puede quedar con aspecto lneal. Algunas transformacones mu comunes son: Relacones del tpo a + b/ quedan con aspecto lneal utlzando la transformacón z /. S a + b, para lnealzar utlzamos la transformacón z. S es una relacón de potencas a b, tomando logartmos queda una aparenca lneal: ln ln a + b ln. Una vez realzadas las transformacones de las varables, la representacón gráfca de la nueva relacón debe ser lneal. 3. Interpolacón En ocasones vamos a necestar datos que no se encuentran recogdos drectamente en las tablas, sno que se encuentran entre dos valores dados. Por ejemplo, en la sguente tabla se ndca la temperatura que adquere un materal en funcón de la presón que se le aplca. Entre los datos de presón no aparece el de 0.55 bares, aunque este valor se encuentra en el rango de valores dados en la tabla (entre bares). 4

15 Materales Industrales, Ingenería Técnca Industral Mecánca Profesor: Dr. María Jesús Arza, Departamento de Físca Aplcada, CITE II-A,. Presón (bares) Temperatura ( C) En estos casos podemos nterpolar los datos que aparecen en la tabla para estmar el valor de la varable dependente en el punto deseado. Las tablas de entrada smple recogen valores de una magntud en funcón de una únca varable ndependente, f(). Las tablas de entrada doble tenen los valores de en funcón de dos varables ndependentes, f(,z). La nterpolacón en una tabla de entrada smple se realza del sguente modo: - Localzar los valores de la tabla entre los que se encuentra el dato que necestamos. A estos valores corresponderán los valores e, el valor correspondente a se calcula suponendo que en el ntervalo entre la varacón de con es lneal: ( ) + - La ncertdumbre asocada es Δ ( ) ( ) Δ En una tabla de doble entrada cada pareja de valores (, z) proporcona un valor de. En este caso: z z z El valor de nterpolado es (relacón smplfcada) ( ) + ( z ) z z + z su error Δ Δ + z z Δz 5