SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS BY THE MONTECARLO METHOD

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1 REVISTA BOLIVIANA DE FÍSICA 9, 4 33, 0 ISSN INDEXADA EN: SCIELO, LATINDEX, PERIÓDICA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES POR EL MÉTODO MONTE CARLO SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS BY THE MONTECARLO METHOD FRANZ SUXO MAMANI Insttuto de Investgacones Físcas, Carrera de Físca Unversdad Mayor de San Andrés c. 7 Cota-Cota, Campus Unverstaro, Caslla de Correos 8639 La Paz Bolva (Recbdo 6 de agosto de 0; aceptado 5 de septembre de 0) RESUMEN Se obtene solucones de ecuacones dferencales parcales (EDP) como ser la ecuacón de Laplace para una regón plana rregular y la ecuacón del calor para una regón plana crcular y regular. Para ello se utlza el método Monte Carlo a fn de smular paseos aleatoros que se realzan en regones dscretzadas que resultan de las EDP desarrolladas en dferencas fntas. La forma de dscretzacón lmta las dreccones de paso entre los nodos de la regón y a la vez asgna probabldades de transcón entre dchos nodos. La dea de la metodología es que para determnar el valor de un nodo (.e., la solucón de un punto de la regón dscretzada) se lanza varas partículas desde el nodo y se las hace evoluconar de acuerdo a las probabldades de transcón hasta que choquen con el borde de la regón dscretzada, termnando así el paseo aleatoro; este borde consttuye la condcón de contorno de las EDP. Se presentan los resultados para la ecuacón del calor en una placa delgada para ses nstantes; los resultados de la ecuacón de Laplace se presentan medante dos stuacones físcas dstntas: una membrana elástca delgada estaconara y la dstrbucón estaconara de temperatura en una placa delgada. Descrptores: técncas computaconales y smulacones métodos de dferencas fntas aplcacones de métodos de Monte Carlo Códgo(s) PACS: c, 0.70.Bf, 0.70.Uu ABSTRACT We use the Monte Carlo method to obtan solutons of partal dfferental equatons (PDE) such as the Laplace equaton for a flat rregular regon and the heat equaton for a flat crcular and regular regon. Wth ths method we smulate random walks n the dscrete regons that result from the PDE developed as fnte dfferences. The dscretzaton process lmts the possble drectons between the regon nodes and assgns them transton probabltes. To determne the value of the node (.e., the soluton for a pont n the dscretzed regon) we launch from the node several partcles and let them evolve accordng to ther probabltes untl they reach the boundary regon, whch s the boundary condton for the PDE. We present the results of ths method for the heat equaton n a thn board for sx dfferent nstants. For the Laplace equaton the results correspond to two dfferent physcal systems: a statonary and elastc thn membrane and the statonary temperature dstrbuton of a thn board. Subject headngs: computatonal technques and smulatons fnte-dfference methods applcatons of Monte Carlo methods. INTRODUCCIÓN Problemas físcos de estado estaconaro o problemas de evolucón temporal son modelados a través de EDP s elíptcas y parabólcas respectvamente, estas ecuacones tenen una dfícl solucón por métodos znarf@correo.nu exclusvamente analítcos cuando las condcones de contorno e ncal no son sencllas, y en muchos casos no es posble encontrar una solucón analítca, en especal problemas físcos reales que tenen regones con una geometría no muy regular. Exsten varos métodos numércos, como por ejemplo el Método ADI (Press 995) y el Método de Crank- Ncholson (Kreyszg 000) que son bastante flex-

2 SOLUCIÓN DE EDP S POR EL MÉTODO MONTE CARLO 5 bles para las condcones ncales y condcones de contorno del problema, estos métodos conssten en desarrollar las EDP s en dferencas fntas y medante operacones matrcales obtener la solucón. Y en relacón a problemas que tenen regones no tan regulares está el método de elementos fntos, en el que ntervenen matrces y ecuacones ntegrales. La mportanca de la aplcacón del método Monte Carlo para resolver EDP s elíptcas y parabólcas, radca en que se pueden asocar a un modelo probablístco artfcal de factores aleatoros, transformando el proceso de la solucón del problema a smples conteos y promedos. Un ejemplo sencllo para resolver la Ecuacón de Laplace de una regón plana cuadrada asocando un modelo probablístco se realza con la sguente analogía (Shed 97). Un perro que está perddo en un labernto cuadrado que tene corredores nterores, en cada nterseccón escoge una dreccón al azar y sgue hasta la sguente nterseccón donde escoge de nuevo al azar y así sucesvamente, Cuál es la probabldad que un perro que parta de una determnada nterseccón emerja eventualmente por el lado sur?. Según las condcones de contorno el lado sur tene el valor de y los restantes lados el valor de 0, y estas nterseccones o probabldades son la solucón del problema. Entonces, el propósto del presente trabajo es, mostrar una metodología para resolver EDP s a través de dos problemas específcos; la Ecuacón de Laplace para una regón plana rregular y la Ecuacón del Calor para una regón plana crcular regular. tas debe tomar en cuenta la Geometría de la Regón (forma de la Frontera)... Regón Rectangular El Laplacano de una geometría rectangular se debe dscretzar en Coordenadas Rectangulares. Entonces el desarrollo del Laplacano u en coordenadas rectangulares es: u = u x + u y x = U (+,j) U (,j) + U (,j) ( x) y = U (,j+) U (,j) + U (,j ) ( y) u = U (+,j) + U (,j) ( x) + U (,j+) + U (,j ) ( y) [ ( x) + ] () ( y) U (,j).. Regón Crcular El Laplacano de una geometría crcular se debe dscretzar en Coordenadas Polares.. DISCRETIZACIÓN DE REGIONES Al gual que los métodos númercos menconados, la metodología a segur se basa tambén en desarrollar las EDP s en Dferencas Fntas, con la fnaldad de Dscretzar la Regón. ρ φ S tenemos ρ = ρ y φ = j φ entonces el desarrollo del Laplacano u en coordenadas polares es: x y S se consdera el Laplacano u de una EDP para una Regón Plana, su desarrollo en dferencas fn- Métodos Matemátcos versón 30//008, Se asoca el modelo probablístco a la Iteracón de Gauss- Sedel y la Super-Relajacón u = u ρ + u ρ ρ + ρ φ u ρ = U (,j) U (,j) ρ ρ = U (+,j) U (,j) + U (,j) ( ρ) φ = U (,j+) U (,j) + U (,j ) ( φ) u = U ( (+,j) ( ρ) + ) U(,j) ( ρ) + U (,j+) + U (,j ) ( ρ) ( φ) [ ( ρ) ] + ( φ) U (,j) ()

3 6 F. SUXO.3. Regón Irregular Una geometría se dce que es rregular cuando las dvsones ( s) no son constantes. Este tpo de geometrías por smplcdad se deberían dscretzan en Coordenadas Rectangulares (S una regón crcular se desarrolla en coordenadas rectangulares, está regón llega a ser una regón rregular). y x b c d a frontera rregular Las dstancas a, b y c, d son constantes e guales a x y y respectvamente, excepto cerca a la frontera rregular en el cual a < x y c < y. Por tanto, de manera general tenemos: a, b x y c, d y, entonces el desarrollo del Laplacano u de una geometría rregular es: u = u x + u y x = bu (+,j) (a + b)u (,j) + au (,j) ab(a + b) y = du (,j+) (c + d)u (,j) + cu (,j ) cd(c + d) u = bu (+,j) + au (,j) ab(a + b) ( ab + cd + du (,j+) + cu (,j ) cd(c + d) ) U (,j) (3) Para cualquer regón en dos dmensones sea - rregular o no pero que esté desarrollada en coordenadas rectangulares, se utlza la Ec. (3) de manera general (Véase que la Ec. () es un caso especal de la Ec. (3)). 3. PROBABLIDADES DE TRANSICIÓN Al desarrollar las EDP s en Dferencas Fntas, además de Dscretzar la Regón, tambén se pueden obtener Probabldades de Transcón que se tenen entre los nodos de la regón. Para tal objetvo, partmos de la Ec. (4) que es una EDP homogénea que no contene el térmno de la funcón sn dervar f (x,y,z,...), sn embargo aún esta ecuacón es bastante general al cual se aplca el sguente teorema que se propone en el presente trabajo. Teorema. En el desarrollo en dferencas fntas de cualquer ecuacón dferencal parcal donde todos los térmnos poseen dervadas de prmer orden o mayor, puede afrmarse que, el coefcente del térmno en el cual se desarrolla la sere es gual al negatvo de la suma de coefcentes que ocupan los térmnos vecnos. Entonces, despejando el térmno en el que se desarrolla la sere, los coefcentes resultantes de los térmnos vecnos pueden ser tratables como probabldades. ϑ (x,y,z,...) n f (x,y,z,...) x n + δ (x,y,z,...) m f (x,y,z,...) y m + β (x,y,z,...) n f (x,y,z,...) x n + µ (x,y,z,...) m f (x,y,z,...) y m + + γ (x,y,z,...) f (x,y,z,...) x f (x,y,z,...) + + ϕ (x,y,z,...) + y (4) r f (x,y,z,...) + ζ (x,y,z,...) x r y rj z r + η k (x,y,z,...)... r f (x,y,z,...) x r y r j z r k ξ (x,y,z,...) f (x,y,z,...) x y + = 0 Demostracón. De la fórmula de nterpolacón con dferencas haca adelante de Gregory-Newton (Kreyszg 000): n ( ) r f (x) p n(x) = f (xo) x = x o + r x =0 k f (xj ) = k f (xj+ ) k f (xj ) k =,, 3,... Se obtenen las Ecs. (5) que son las dervadas n- ésmas de la funcón f (x,y,z,...), donde estas ecuacones llevan una sumatora de coefcentes bnomales por cada varable que es dervado. Estas dervadas n-ésmas pueden descomponerse aslando un térmno determnado de la(s) sumatora(s), en este caso; cuando ( = a) en la prmera y cuando ( = a j = b k = c...) en la segunda. Resultando de esta manera las Ecs. (6). Entonces, al desarrollar alrededor de (x a, y b,...) la

4 SOLUCIÓN DE EDP S POR EL MÉTODO MONTE CARLO 7 Ec. (4) en Dferencas Fntas utlzando las Ecs. (6) se obtene la Ec. (7), donde la funcón en el punto de desarrollo está despejada (a modo de lustracón solo se reemplazaron dos térmnos representatvos pero generales; la dervada n-ésma de una varable y la dervada r-ésma cruzada). n f (x,y,z,...) x n n f (x,y,z,...) x n y nj z n k... = = ( )n ( x) n n ( ) n ( ) f (x,y,z,...) =0 ( ) n n ( x) n ( y) nj ( z) n k... n j n k =0 j=0 k=0... ( ) + j + k + ( n )( nj j )( ) nk k... f (x,y j,z k,...) (5) n f (x,y,...) x n n f (x,y,...) x n y nj... = [ ( ) = ( )n n ( x) n ( ) a f (xa,y,...) a n ( ) ] n ( ) + f (x,y,...) =0 a [ ( ) n ( ( ) a + b + n ( x) n ( y) nj... a n n j... =0 j=0 a j b... ( ) + j + + ( n )( nj j )...f (xa,y b b,...) ) ]...f (x,y j,...) )( nj (6) f (xa,y b,...) = (DEN) ϑ ( ) n n ( n (x,y,...) ( x) n ( ) + ( ) )f r (x,yb,...) + + ζ (x,y,...) ( x) r ( y) rj... r j r... =0 j=0 a j b... =0 a ( ) +j + + ( r )( ) rj j... f (x,y j,...) + ( ) n ( ) n ( ) r DEN = ϑ (x,y,...) ( x) n ( )a + + ζ (x,y,...) a ( x) r ( y) rj... ( )a + b + ( )( ) r rj... + a b (7) Por tanto, hacendo uso de la sguente propedad de coefcentes bnomales (Spegel 986):!!!! n n + n ( ) n n = 0 0 n! nx ( ) n = 0 Se puede aslar y despejar el coefcente cuando ( = a), y de manera semejante cuando exste una composcón de coefcentes bnomales, es decr cuando =0 ( = a j = b k = c...). Entonces: n ( ) ( ) n n ( ) + = ( ) a a =0 a n n j... =0 j=0 a j b... ( ) a+b+ ( n a ( ) +j+ + ( n )( ) nj... b )( ) nj... = j

5 8 F. SUXO Fnalmente, utlzando estas dos últmas gualdades al sumar todos los coefcentes de los térmnos f (x,y j,...) del numerador (térmnos vecnos) de la Ec. (7), resulta que, la sumatora es gual al denomnador del msmo 3. Entonces, al ser dstrbudo el denomnador a todos los térmnos f (x,y j,...), la sumatora de los coefcentes resultantes es gual a la undad. Con tal resultado queda demostrado el Teorema propuesto aplcado a la Ec. (4). 3.. Normalzacón de Coefcentes Los coefcentes de la Ec. (7) cuando se reparte el denomnador pueden tener valores; postvos, negatvos ó ceros. Pero la sumatora de dchos coefcentes es gual a la undad. Véase el sguente esquema. El algortmo del método Monte Carlo para aproxmar u consste en lo sguente: Para conocer el valor de solucón u en un nodo (, j) de la regón, se larga una partícula desde ese nodo y se la hace evoluconar de acuerdo a las dreccones y probabldades de transcón calculadas, hasta que choca con la frontera de la regón 5, almacenándose el valor del dato de frontera en ese punto. Se repte este procedmento para una gran cantdad de partículas, y se estma el valor de u (,j) como el promedo de esos valores. Grafcamente se muestra a contnuacón paseos aleatoros en regones rectangulares y crculares respectvamente. = c + c + c 0 (,j) c c 0 c + c k R x y Pero al cambar el sgno de los coefcentes negatvos a postvo se obtene el sguente esquema. c 0 c + + c (,j) c k R φ En el cual la longtud de un determnado coefcente c k (sea postvo, negatvo o cero) y la longtud total no camba. Por tanto, se puede normalzar 4 los coefcentes cambándole el sgno a los negatvos y dvdendo a cada coefcente por la longtud total. Entonces, estos coefcentes resultantes de la normalzacón pueden ser tratables como Probabldades. 4. EL MÉTODO MONTE CARLO La Regón Dscretzada más las Dreccones y Probabldades de Transcón obtendas medante el desarrollo por Dferencas Fntas, nos permte realzar Paseos Aleatoros en dcha regón. Además es necesaro la generacón de Numeros Aleatoros en toda la trayectora del paseo aleatoro, sendo este el fundamento del método Monte Carlo. 3 Tambén se puede llegar al msmo resultado utlzando desarrollos de nterpolacón con dferencas haca atrás o dferencas centrales 4 S al aplcar el Teorema a una ecuacón, todos los coefcentes resultan postvos, no es necesaro realzar el proceso de normalzacón ρ 4.. Condcones de Frontera S una partícula smulada llega a una frontera que tene Condcones de Contorno de Drchlet o Condcones Incales, termna el paseo aleatoro de la msma. Pero no sucede lo msmo cuando la partícula llega a una frontera que tene Condcones de Contorno de Neumann, en este caso se debe desarrollar el gradente en dferencas fntas centrada en la frontera. u x = U (+,j) U (,j) x Donde U (+,j) está fuera de la regón. S el gradente es gual a cero entonces se tene U (+,j) = U (,j) que puede ser reemplazado en la ecuacón 5 Dependendo de la condcon de frontera; Drchlet, Neumann o Condcones Incales la partícula termna o contnúa el paseo aleatoro

6 SOLUCIÓN DE EDP S POR EL MÉTODO MONTE CARLO 9 Ecuacón de Laplace bdmensonal. Comparando la solucón Analítca con el Método de Montecarlo para 00, 000 y 0000 partculas en ambos casos. 5. LA ECUACIÓN DE LAPLACE Se resuelve la Ecuacón de Laplace, Ec. (8), en coordenadas rectangulares para una regón rregular en el plano, ver Fg. (3). u = 0 (8) Entonces u = u (x,y). El problema tene condcones de contorno de Drchlet y Neumann que se lstan a contnuacón. 9 u (x,0) = 60 (6 x 8) ( x 4) u (x,y) y = 0 (8 < x < ) (y = 0) u (x,6) = 00 6 < x 9 u (x,) = 0 0 x < s «y 9 u (0,y) = 00 6 y 3 u (6,y) = 00 6 y u (x,y) = 0 (0 < x < 6) (0 < y < 6) u (x,y) = 0 (9 < x < 4) (0 < y < 6) >= >; Para desarrollar la Ecuacón de Laplace en dferencas fntas, se reemplaza el Laplacano en coordenadas rectangulares para una regón rregular, que es la Ec. (3), en la Ec. (8). bu (+,j) + au (,j) ab(a + b) + du (,j+) + cu (,j ) cd(c + d) ( ab + cd ) U (,j) = 0 Luego, según la defncón se procede a despejar el térmno central U (,j). FIG.. Solucón de la Ecuacón del Calor Analítca y por Monte Carlo que lleva las probabldades de transcón para generar una nueva ecuacón, que se utlza cuando la partícula llega a esta frontera. 4.. Comparacón de resultados Se compara solucones obtendas por este método con solucones analítcas de problemas que tenen condcones de Drchlet, Neumann e Incales. En la Fg. () se muestra la solucón de la Ecuacón del Calor undmensonal para dez nstantes de tempo. En la Fg. () se muestra la solucón de la U (,j) = bcd (a + b)(ab + cd) U acd (+,j) + (a + b)(ab + cd) U (,j) abd + (c + d)(ab + cd) U abc (,j+) + (c + d)(ab + cd) U (,j ) En el cual se tene, cuatro dreccones de transcón: U (+,j), U (,j), U (,j+) y U (,j ), entonces el paseo aleatoro se realza en el plano, donde las condcones de contorno son los bordes de la regón plana, ver Fg. (3). Y las probabldades de transcón a esas dreccones son los valores de sus respectvos coefcentes. 5.. Resultados Los resultados obtendos se presentan gráfcamente para dos stuacones físcas dstntas:

7 30 F. SUXO FIG. 3. Dmensones espacales de la regón plana rregular. Tambén se muestran tres paseos aleatoros FIG. 4. Se muestra la solucón de la Ecuacón de Laplace para una Membrana elástca delgada estaconara FIG. 5. Se muestra la solucón de la Ecuacón de Laplace para la Temperatura estaconara en una placa delgada. Una membrana elástca delgada estaconara. Que es deformada en los bordes según las condcones de contorno dadas, ver Fg. (4). FIG.. Solucón de la Ecuacón de Laplace Analítca y por Monte Carlo. La temperatura estaconara en una placa del-

8 SOLUCIÓN DE EDP S POR EL MÉTODO MONTE CARLO 3 FIG. 6. Dmensones espacales de la regón plana crcular regular. Tambén se muestran tres paseos aleatoros tene el problema se lstan a contnuacón. u (ρ,φ,t) = 00 t = 0 u (,φ,t) = 400 3π φ 0 φ 3 4 π u (,φ,t) = π φ 3 4 π < φ 3 π s φ 3 4 u (7,φ,t) = 00 «0 φ 3 π 3 4 π u (ρ,φ,t) = 0 φ ( < ρ < 7) (φ = 0) u (ρ, 3π,t) = 0 < ρ < 7 u (4,φ,t) = 0 π φ π u (5,φ,t) = 0 π φ π u (ρ, π,t) = 0 4 < ρ < 5 u (ρ,π,t) = 0 4 < ρ < 5 La Ec. () es el desarrollo de la parte espacal de la Ecuacón del Calor, y de la parte temporal, es la Ec.(0). 9 >= >; u t = U (,j,k) U (,j,k ) t (0) Por tanto, reemplazando la Ec. () y Ec.(0) en la Ec.(9), se obtene el desarrollo en dferencas fntas de la Ecuacón del Calor. FIG. 7. Se muestran tres paseos aleatoros realzados en la regón dscretzada del problema (volumen clíndrco). gada. Los bordes están a temperaturas según las condcones de contorno, ver Fg. (5). 6. LA ECUACIÓN DEL CALOR Se resuelve la Ecuacón del Calor, Ec. (9), en coordenadas polares para una regón crcular regular en el plano, ver Fg. (6). u = u κ t Entonces u = u (ρ,φ,t). La condcón Incal más las condcones de contorno de Drchlet y Neumann que (9) ( U (+,j,k) ( ρ) + ) U(,j,k) ( ρ) + U (,j+,k) + U (,j,k) ( ρ) ( φ) + κ t U (,j,k ) [ ( ρ) ] + ( φ) + ( ρ) U (,j,k) = 0 κ t Realzando los sguentes cambos de varable para una mejor manpulacón: α = κ t ( ρ) β () = ( φ) γ () = Se procede a despejar el térmno central U (,j,k) según la defncón. U (,j,k) = α + α( + β γ) U α( γ) (+,j,k) + + α( + β γ) U (,j,k) αβ + + α( + β γ) U αβ (,j+,k) + + α( + β γ) U (,j,k) + + α( + β γ) U (,j,k ) En el cual se tene, cnco dreccones de transcón, cuatro espacales: U (+,j,k), U (,j,k), U (,j+,k), U (,j,k) y una temporal U (,j,k ). La dreccón temporal hace que el paseo aleatoro se realce en un volumen clíndrco, ver Fg. (7), donde las superfces

9 3 F. SUXO a) b) c) d) e) f) FIG. 8. Se muestra la solucón de la Ecuacón del Calor de una regón plana crcular regular para ses nstantes de tempo consecutvamente, posterores a la condcón ncal. La paleta de colores muestra el rango de temperatura de 0 a 00. a) b) FIG. 9. Solucón de la Ecuacón de Laplace en coordenadas polares para una regón plana crcular regular. El ncso a) muestra la temperatura estaconara en una placa delgada. El ncso b) muestra a una membrana elástca delgada estaconara.

10 SOLUCIÓN DE EDP S POR EL MÉTODO MONTE CARLO 33 laterales son las condcones de contorno y la superfce nferor es la condcón ncal.y las probabldades de transcón a esas dreccones son los valores de sus respectvos coefcentes. 6.. Resultados Los resultados obtendos son presentados gráfcamente medante ses nstantes de tempo consecutvos, posterores a la condcón ncal, ver Fg. (8). El prmer ncso de la gráfca muestra que predomnan las Condcones Incales en un comenzo, mentras que el últmo ncso, muestra a las Condcones de Contorno como predomnantes. Fnalmente, en un tempo relatvamente largo, solo sobrevve la nformacón de las condcones de contorno y la nformacón de las condcones ncales desaparece totalmente. Entonces los resultados de la Ecuacón del Calor deben desembocar en los resultados de la Ecuacón de Laplace al transcurrr el tempo. Entonces para fnes comparatvos, se obtene la solucón de la Ec. (), que es la Ecuacón de Laplace para este problema, cuyos resultados se muestran en la Fg. (9). ρ + u ρ ρ + ρ φ = 0 () Observando la Fg. (8) y la Fg. (9), se puede comprobar, que en un tempo relatvamente largo, el proceso de dfusón del calor se detene llegando a un estado estaconaro. 7. CONCLUSIONES El método Monte Carlo aplcado para resolver EDP s es destnado especalmente para las ecuacones Elíptcas y Parabólcas, porque estas modelan fenómenos que nducen un proceso de achatamento o promedado, donde las ecuacones de Laplace y del Calor abordados en este trabajo son un buen ejemplo de este tpo de EDP s. La efcaca del método se comprueba al comparar resultados en problemas que tenen solucones analítcas, obtenéndose buena aproxmacón a medda que se aumenta el numero de partículas en las smulacones. Por tanto se aplca el método con la segurdad de obtener buenos resultados en problemas que tenen regones no muy smétrcas los cuales no tenen una solucón analítca. Por otra parte, en este trabajo se resolveron problemas que tenen dos dmensones espacales, tanto en la Ecuacón de Laplace como en la Ecuacón del Calor. Pero el método se puede extender a tres dmensones espacales sn nnguna dfcultad en ambos casos, porque lo únco que camba es, el aumento en una dmensón de la regón dscretzada en el cual se realza el paseo aleatoro. Kreyszg, E. 000, Matemátcas Avanzadas para Ingenería, Vol. II, Métodos Numércos para Ecuacones Dferencales Parcales, 55,47 Perez, V. 008, Métodos Matemátcos, Dferencas Fntas para Ecuacones de Evolucón, 47, 48, 60 Press, R. 995, Numercal Recpes n C, Partal Dfferental Equatons, 83, 83 REFERENCIAS Shed, F. 97, Análss Numérco, Sstemas Lneales, La Iteracón de Gauss-Sedel y la Super-Relajacón, Los Métodos de Monte Carlo, 340, 404 Spegel, M. 986, Manual de Fórmulas y Tablas Matemátcas, La Fórmula del Bnomo y Coefcentes Bnomales, 4