Dada una situación experimental, f(x) la tomaremos de tal manera que se ajuste al problema particular que estemos considerando.

Transcripción

1 1. ITRODUCCIÓ. DEF Dremos que X es una varable aleatora dscreta undmensonal s es una varable aleatora que toma sólo un número fnto o nfnto numerable de valores del eje x. Supongamos que X toma úncamente los valores x 1, x 2,..., x n,... con probabldades f(x 1 ), f(x 2 ),..., f( x n ),... e magnemos que es cualquer subconjunto de los puntos x 1, x 2,..., x n,... La probabldad P() del suceso (probabldad de que x esté en ) se defne como P( ) = f (x) x donde el sumatoro representa la suma de f(x) para aquellos valores x que pertenecen a. sí, por ejemplo, P(X=4) ndca la probabldad de que el valor de la varable sea 4, y P(1<X<3) ndca la probabldad de que el valor de la varable aleatora esté comprenddo entre 1 y 3. Dada una stuacón expermental, f(x) la tomaremos de tal manera que se ajuste al problema partcular que estemos consderando. DEF Llamaremos a f(x) Funcón de Densdad de una varable Dscreta, s satsface las dos condcones sguentes: f(x ) 0 f (x ) = 1 La funcón de Densdad tambén se conoce como Funcón de Cuantía. Ejemplo. Sea un expermento aleatoro consstente en lanzar cuatro monedas smétrcas y regstrar el número de caras. Los valores que toma una varable aleatora X serán 0, 1, 2, 3 y 4. Para calcular la funcón de densdad f(x), probabldad de que aparezcan x caras, observamos que el número de formas en que pueden caer las cuatro 4 monedas es 2 4. El número de formas en que pueden aparecer x caras es ; por tanto, x Como 4 f (x) = x 2 4 x = 0,1,2,3,4 f(x) 0 0 x 4 1/17

2 f ( x) = =1 x= x =0 x Entonces, f(x) es una funcón de densdad. Es mportante destacar que f(x) da las frecuencas relatvas o frecuencas con que se presenta cada uno de los valores de X. 2. FUCIOES DE CUTÍ. El conjunto de resultados posbles de un suceso aleatoro se dvde en un certo número de clases mutuamente excluyentes en relacón con determnado atrbuto. cada clase se le asoca un valor de la varable aleatora, o varante X. La funcón de cuantía es una funcón que da la probabldad de que ocurra un valor determnado de x. La varante X puede descrbr un atrbuto, como era el caso anteror del lanzamento de 4 monedas, o puede ser smplemente el resultado de una codfcacón. sí, al extraer bolas de una urna, pueden clasfcarse según su color, y podríamos defnr una varable aleatora X establecendo arbtraramente una correspondenca entre los valores de X y los colores. La funcón de cuantía puede ser una expresón matemátca, como en el apartado anteror, o ben reducrse a una tabla de valores. menudo resulta necesaro calcular la probabldad cuando la varable aleatora se encuentra en un determnado rango de valores, como por ejemplo, P(X<3) o P(1<X<5). En estos casos, y tambén en otras stuacones, es convenente defnr una nueva funcón. DEF Llamaremos Funcón de Dstrbucón cumulatva a F(x), que se defne como F(x)=P(X x). Es decr F( x) = f (x ) x x PROP P(a<x b) = F(b) F(a) Dem. Inmedata a partr de la defncón. 3. DISTRIBUCIOES MULTIVRITES. S el resultado de un suceso aleatoro lo podemos clasfcar de más de una manera, la funcón de cuantía es una funcón de más de una varable. sí, al extraer una carta de una baraja francesa, podríamos caracterzarla según su palo y su numeracón. Tendríamos la varable aleatora X que toma los valores 1, 2, 3 y 4 (representando cada uno a un palo de la baraja) y la varable aleatora Y que toma los valores del 1 al 13. 2/17

3 La varable aleatora (X,Y) es bdmensonal y la probabldad de extraer una carta se representa por f(x,y). S cada carta tene la msma probabldad de ser extrada, la funcón de cuantía será f ( X,Y ) = 1 1 X 4 1 Y Este tpo de funcones pueden representarse sobre un plano. Las probabldades venen representadas por segmentos vertcales en los puntos (x,y) del plano horzontal en el cual están defndas. En el ejemplo, los segmentos serán de gual altura. En general, la varable aleatora k-dmensonal (x 1, x 2,..., x n ) se denomna funcón de cuantía de la varable aleatora k-dmensonal. Sea un subconjunto del conjunto de valores de la varable aleatora, entonces P((x 1, x 2,, x k ) ) = f ( x 1, x 2,, x k ) donde el sumatoro supone la suma que toma la funcón de cuantía para los valores de la varable que pertenecen al conjunto. DEF Sea x 1, x 2,, x cualquer subconjunto de las varables aleatoras dscretas x 1, t x 2,..., x n. La dstrbucón margnal de la varable aleatora t-dmensonal ( x, x 1 2,, x ) t es f,,..., ( x, x,..., x ) = f ( x 1, x 2,..., x n ) 1 2 t 1 t t donde la suma se extende a todos los valores, a excepcón de x 1, x 2,, x. t DEF Sean x 1, x 2,, x y x j1, x j,, x 2 j dos subconjuntos dsjuntos de las varables t s aleatoras dscretas x 1, x 2,..., x n. La dstrbucón condconal de la varable aleatora t-dmensonal ( x, x 1 2,, x ) dado el valor ( x 1, x j2,, x j ) es t j s f,,...,, j, j,..., j ( x, x,, x, x j, x j,, x j ) g( x, x,, x x, x,, x ) = 1 2 t 1 2 s 1 2 t 1 2 s 1 2 t j 1 j 2 j s f ( x j1, j 2,..., j s j 1, x j2,, x j ) s para todos los valores de x para los cuales no se anula el denomnador. DEF Las varables aleatoras dscretas x 1, x 2,..., x k son Independentes s f (x 1, x 2,..., x k ) = f ( x 1 ) f ( x 2 )... f (x k ) para todos los valores en que está defnda la varable aleatora. Ejemplo Supongamos que extraemos 12 cartas sn reemplazamento de una baraja francesa. Sea X 1 el número de ases, X 2 el número de doses, X 3 el número de treses y X 4 el número de cuatros. La dstrbucón de estas varables vene expresada por una funcón de cuatro varables, que es: 3/17

4 f (x, x, x, x x 1 x 2 x 3 x 4 ) = 12 x 1 x 2 x 3 x sendo el recorrdo de cada una de las varables aleatoras de 1 X 4 y verfcando la restrccón de X 12 Exste una gran cantdad de dstrbucones margnales y condconales asocadas con esta dstrbucón. Veamos dos ejemplos de dstrbucones margnales y otro de dstrbucón condconal f ( x, x x 2 x 3 ) = 12 x 2 x 3 0 x f 4 (x 4 ) = x 4 12 x x f (x, x x, x x 2 x 4 ) = 12 x 1 x 2 x 3 x 4 0 x x 2 + x 4 12 x 1 x 3 12 x 1 x 3 4. DISTRIBUCIÓ DE BEROUILLI. Llamaremos Prueba de Bernoull a toda realzacón de un expermento aleatoro en el que sólo sean posbles dos resultados mutuamente exclusvos (por ejemplo, éxto y fracaso). Por tanto, podemos defnr un espaco muestral como Ω = {0,1} donde 0 representa fracaso y 1 representa éxto. Defnamos una varable aleatora X que pueda tomar sólo los valores anterores, con probabldades asocadas P(éxto) = p P(fracaso) = q = 1 p Es claro que la funcón de dstrbucón de probabldades (tambén llamada de cuantía) de X es: 4/17

5 f(x) = P(X=x) = p x (1 p) 1-x para x=0,1 Esta dstrbucón de probabldades recbe el nombre de Dstrbucón de Bernoull. La meda y la varanza de una varable aleatora que posee una dstrbucón de probabldades de Bernoull son: E(X) = 0 f(0) + 1 f(1) =00 q + 1 p = p Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 0 f(0) + 1 f(1) p 2 = p p 2 = p(1 p) = pq 5. DISTRIBUCIÓ BIOMIL. Supongamos n pruebas ndependentes entre sí de Bernoull tales que la probabldad de éxto, p, se mantene constante a lo largo de todas ellas. Defnmos la varable aleatora X como el número de veces que sucedó el suceso éxto. Bajo estas condcones podemos defnr DEF Dremos que X es una varable aleatora Bnomal de parámetros n y p s su funcón de probabldad es n P( X = x) = p x n x q con x = 0,1,...,n x Veamos como se ha orgnado esta funcón de probabldad. Supongamos que el resultado de la -ésma prueba forma una varable aleatora undmensonal que desgnaremos por X, sendo su valor X =0 s el resultado es un fracaso y X =1 s es un éxto. Sea f(x 1,x 2,...,x n ) la probabldad de que la varable aleatora X =x con :1,2,...,n. Puesto que las n varables aleatoras, todas ellas guales, son ndependentes, podemos aplcar la defncón de ndependenca para obtener f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x 1 ) f (x 2 ) f ( x n ) = p x 1 q 1 x 1 p x 2 q 1 x 2 p x n q1 x n = p x q n x donde 0 y 1 son los valores que toman cada una de las varables x. Evdentemente, para cualquer ordenacón de k éxtos y n k fracasos, la probabldad es p k q n k puesto que el sumatoro será k al haber esa cantdad de 1 s. S ahora tenemos en cuenta el número total de formas de ordenar k 1 s en n lugares, obtenemos el número combnatoro n k sendo entonces la probabldad de k éxtos el número 5/17

6 n p k q n k k La funcón de dstrbucón de varable aleatora bnomal presenta otras dos varables, p y n, de carácter dstnto. Su varacón corresponde a dstrbucones bnomales dferentes, ya que para una dstrbucón bnomal dada, p y n tenen valores fjos. Las varables de este tpo recben el nombre de parámetros de la dstrbucón. La funcón f( x;n,p) representa una famla de dstrbucones con dos parámetros, obtenéndose un membro de esta famla al especfcar los valores de p y n. DEF El parámetro n recbe el nombre de Parámetro Dscreto. El parámetro p es el Parámetro Contínuo. El nombre de n es debdo a que sólo puede tomar valores naturales. En cambo, p puede tomar valores dentro del ntervalo cerrado [0,1] En general, la dstrbucón bnomal tendrá un valor máxmo, el cual pasamos a determnar. Sea m la parte entera del número (n+1) p y sea e la parte fracconara. m = [(n+1) p] y e = (n+1) p [(n+1) p] PROP El mayor valor de f(x) se obtene al tomar x = m, recbendo m el nombre de valor modal o, smplemente, moda de la varable aleatora X. S e=0, tambén se alcanza en x = m 1. Dem. Supongamos que el número e, defndo anterormente, es dstnto de cero. Tomemos la razón f ( x +1) f (x) Vamos a comprobar que esta razón es nferor a 1 cuando x es mayor o gual a m, y superor a 1 cuando x es nferor a m. y s x m tenemos f (x + 1) p n x = f ( x) q x + 1 p n x p n m q x + 1 q m + 1 Susttuyendo m por (n+1)p e, el segundo membro puede escrbrse como 6/17

7 que es menor que la undad = q m + 1 (n +1) 1 e p n q m (n + 1) + 1 e p S x < m 1 tenemos n +1 + e p n x p n (m 1) p (n + 1)q + e q > > > q x + 1 q m q (n + 1) p e n +1 e p que es mayor que 1. hora vamos a estudar el caso que nos hemos dejado pendente: cual se verfca: x = m 1, para el f ( x + 1) = p n m + 1 = (n + 1) + e q f ( x) q m (n + 1) e p que es tambén superor a 1 s e 0. S e=0, la razón es gual a la undad, verfcándose que f(x+1) = f(x), tenendo la dstrbucón dos valores de x en los que alcanza el máxmo, x =m y x = m 1. PROP La Meda y la Varanza de una varable aleatora que posee una dstrbucón de probabldades Bnomal es: 1) E(X) = np 2) Var(X) = npq Dem. Para la demostracón, vamos a consderar que la varable aleatora X con dstrbucón bnomal se puede dvdr en n varables aleatoras ndependentes, cada una de ellas asocada a una dstrbucón de Bernoull de probabldad p. Es decr X = X 1 + X X n donde las X son varables aleatoras ndependentes que sguen una dstrbucón de Bernoull, representando s sucede o no el suceso en la prueba -ésma, con :1,2,...,n. Tomando esperanzas a ambos lados de la gualdad: E(X) = E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) E(X n ) = p + p p = np y tomando varanzas Var(X) = Var(X 1 + X X n ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) Var(X n ) = 7/17

8 = pq + pq pq = npq 6. DISTRIBUCIÓ DE POISSO. DEF Dremos que la varable aleatora X se dstrbuye según una dstrbucón de Posson s la funcón de dstrbucón es de la forma f (x) = e x! x con x=0,1,2,3,... sendo λ cualquer número postvo. S tenemos en cuenta que la exponencal e λ tene un desarrollo en sere de potencas deducmos que e = ! f ( x) =1 x= 0 x x! Esta dstrbucón se suele aplcar en aquellas stuacones en que un gran número de objetos se encuentran dstrbudos sobre un gran recnto de consderable extensón. Consderemos un ejemplo que concrete esta stuacón. Supongamos un volumen V de un fludo que contene un gran número de pequeños organsmos. Podemos suponer que estos organsmos carecen de nstntos socales y que la probabldad de que aparezcan en cualquer parte del fludo es la msma para un determnado volumen. Examnemos una gota de volumen D al mcroscopo. Cuál es la probabldad de que se hallen x organsmos en la gota?. Se supone que V es mucho mayor de D. Puesto que suponemos que los organsmos están dstrbudos con probabldad unforme por todo el fludo, se deduce que la probabldad de encontrar uno cualquera de ellos en D D es. Y al suponer que no tenen nstntos socales, la presenca de uno de ellos en D V no nfluye en la de cualquera de los otros. Por tanto, la probabldad de que haya x organsmos en D es D x V D x x V V Supongamos ahora tambén que los organsmos son tan pequeños que podemos prescndr del espaco que ocupan; los reundos no ocuparían parte aprecable del volumen D. La funcón de Posson es una aproxmacón de la expresón anteror, que es smplemente una funcón bnomal en la que p = D V es un valor muy pequeño. 8/17

9 La dstrbucón de Posson se obtene hacendo que V y tendan a nfnto, de tal modo que la densdad de organsmos d = permanezca constante. s escrbmos de V nuevo el producto anteror de la sguente forma ( 1)( 2) ( x + 1) D x D x 1 = x! x V V x x 1 (Dd ) x 1 Dd = x! Podemos ver que el límte de la expresón anteror cuando tende a nfnto es e Dd (Dd ) x x! y s susttumos Dd por λ obtenemos la funcón de dstrbucón de Posson.. Esto nos demuestra que λ es el valor medo de x, ya que D, volumen de la porcón examnada, multplcado por la densdad d, da el promedo esperado en el volumen D. Hemos vsto este ejemplo con certo detalle porque a menudo se aplca de forma equvocada a datos que no verfcan todas las condcones requerdas. Por ejemplo, no se puede aplcar en el estudo de dstrbucones de larvas de nsectos en una gran extensón de cultvo, porque los nsectos depostan sus huevos en grupos, de modo que en caso de encontrar uno en una pequeña área dada, lo probable es que se encuentren tambén otros. PROP La Meda y la Varanza de una dstrbucón de Posson son guales al parámetro λ. Dem. x E( X ) = x e x = x e = x 1 e x = 0 x! x =1 x! x =1 ( x 1)! Hacendo el cambo de y = x 1 y operando, obtenemos E( X ) = e = e e = y =1 y! y En cuanto a la varanza, nos vamos a apoyar en su obtencón en el cálculo de la esperanza. x x x 2 e e 2 e E[X ( X 1)] = x( x 1) = x(x 1) = x= 0 x! x = 2 x! x= 2 (x 2)! 9/17

10 Hacendo el cambo de varable y = x 2 y operando, obtenemos E[X ( X 1)] = 2 y e y = 0 y! = 2 con lo cual obtenemos el valor de la varanza Var( X ) = E( X 2 ) [E( X )] 2 = E( X 2 ) µ 2 = E[X ( X 1)] + µ µ 2 = µ = 7. JUSTE DE U DISTRIBUCIÓ BIOMIL U POISSO. La dstrbucón de Posson tambén se obtene como límte de la bnomal cuando el tamaño de muestra n crece, n, y la probabldad de éxto tende a cero, p 0, de manera que el número medo de éxtos, np=λ, permanezca constante. Las probabldades bnomales las podemos expresar de la forma sguente: n x P( X = x) = 1 x n n Tomando límtes: x n x n n = x n(n 1) (n x + 1) P( X = x) = x! n 1 1 = n n x n n x Lm Lm Lm n x 1 n n x n x n(n 1) (n x +1) = = Lm Lm 1 x 1 e x! n n 1 n x! n x n n x En consecuenca P( X = x) x e para x = 0, 1, 2,... x! llegando así a la dstrbucón de Posson. La aproxmacón se puede consderar que es bastante buena cuando se verfcan las sguentes condcones: 1) n > 25 2) p < 0 1 3) np = λ 5 Debdo a esto, se conoce a la dstrbucón de Posson como Ley de los Sucesos Raros ya que se presenta en aquellos fenómenos en que estudemos la ocurrencas de sucesos con probabldades pequeñas. 10/17

11 8. OTRS DISTRIBUCIOES DISCRETS Dstrbucón Multnomal. Supongamos que un expermento aleatoro puede conducr a k resultados excluyentes y exhaustvos E 1, E 2,..., E k, con probabldades respectvas p 1, p 2,..., p k, entonces la dstrbucón de probabldad de las varables aleatoras X 1, X 2,..., X k, que representan los números de ocurrencas para E 1, E 2,..., E k, en n ensayos ndependentes es: n n! x x 1 x 2 x 1 x 2 x k k f (x 1, x 2,, x k ) = x, x,, x p p 1 2 p k = x! x! x! p 1 p 2 p k 1 2 k 1 2 k donde k x = n =1 0 p 1 1 p =1 =1 S la varable aleatora X tene dstrbucón Multnomal, entonces sus Medas, Varanzas y Covaranzas están dadas por las sguentes expresones: k 1) E(X ) = µ = np 2 2) Var(X ) = σ = np (1 p ) 3) Cov( X,X j ) = σ j = np p j con j 8.2. Dstrbucón Hpergeométrca. Supongamos que tenemos una poblacón con undades estadístcas, de las cuales son de la clase y el resto,, de la clase contrara. Sea un expermento consstente en tomar, sn reemplazamento, n undades de poblacón. DEF Bajo las condcones anterores, llamamos varable aleatora Hpergeométrca a X = número de elementos de la clase que hay en la muestra la varable aleatora así defnda le corresponde una funcón de probabldad dada por P( X = x) = x n x n Los parámetros de la dstrbucón son Tamaño de la poblacón º de undades de la clase n Tamaño de la muestra sn reemplazamento PROP S la varable aleatora X tene una dstrbucón Hpergeométrca, entonces su meda y su varanza están dadas por 11/17

12 n E( X ) = µ = = np Var( X ) = Χ 2 = n np(1 p) 1 donde Dem. p =. n x n n x ( 1)! E( X ) = x = n x! n n x = 0 x =1 (x 1)!( x) = n ( 1)! n 1 ( x 1)!( x) n x = x 1 n x x =1! x=1 n n = y hacendo el cambo de varable de y = x 1 convertmos la expresón anteror en n 1 1 y =0 E( X ) = y n y 1 n 1 y tenendo en cuenta que = podemos dejar la expresón anteror n n n 1 como 1 n y 1 n y 1 E( X ) = n = n = np y =0 1 n 1 ya que el sumatoro es el de todas las probabldades en el caso de una muestra de tamaño n 1, de un lote con 1 objetos de los que 1 son de la clase. donde Para el cálculo de la varanza vamos a tener en cuenta lo sguente: Var( X ) = E( X 2 ) [E( X )] 2 = E( X 2 ) µ 2 = E[X ( X 1)] + µ µ 2 y al operar obtenemos E[X ( X 1)] = ( 1)n(n 1) ( 1) 12/17

13 Var( X ) = n np(1 p) 1 La dferenca más mportante entre esta dstrbucón y la bnomal es que en esta últma las probabldades permanecen constantes a lo largo de las pruebas (muestreo con reemplazamento), mentras que en la hpergeométrca varían de prueba a prueba en funcón de los resultados de las pruebas anterores (muestreo sn reemplazamento). Cuando se verfcan las condcones sguentes: 1) 2) = p = cte 3) n = cte. entonces podemos aproxmar la dstrbucón hpergeométrca por una bnomal, ya que puede probarse que en esas condcones se cumple que: x n x n x n x p q x n 8.3. Dstrbucón Hpergeométrca Multvarante. Consderemos una poblacón con undades estadístcas repartdas en k clases dsjuntas y exhaustvas E 1, E 2,..., E k con 1, 2,..., k undades en cada clase respectvamente, y verfcándose que k =. S tomamos n undades estadístcas sn reemplazamento y contablzamos cuántas undades de cada clase nos aparecen, entonces esas k varables dscretas consttuyen una varable hpergeométrca multvarante. X = º de elementos de la clase que hay en la muestra Estas varables X son lnealmente dependentes, ya que su suma es evdentemente el tamaño n de la muestra. Su funcón de probabldad vene dada por 1 2 k P( X 1 = x 1, X 2 = x 2,, X k = x k ) = x 1 x 2 x k n y sus medas y varanzas valen E( X ) = µ = np 13/17

14 donde p =. Var( X ) = Χ 2 = n np (1 p ) 1 Cov( X, X ) = Χ = n np p j j 1 Vemos que las covaranzas son negatvas, al gual que sucedía con la dstrbucón multnomal. De manera totalmente análoga a la expuesta en el punto anteror, podemos aproxmar esta dstrbucón por una bnomal, bajo las sguentes condcones: j j 1) 2) = p 3) n = cte. = cte. y la aproxmacón de la dstrbucón hpergeométrca multvarante por una multnomal se debe al hecho de que en esas condcones se verfca 1 2 k x 1 x 2 x k n! p x 1 p x 2 x! x! x! 1 2 k 1 2 k n p x k 8.4. Dstrbucón Geométrca o de Pascal. Supongamos que realzamos un expermento y estamos nteresados en la ocurrenca o no de un determnado suceso. Supongamos tambén, al gual que hacíamos en la dstrbucón bnomal, que realzamos repetcones del expermento de forma que estas repetcones son ndependentes, y que en cada una de las repetcones las probabldades de, p, y de su complementaro, 1 p, permanecen constantes. En esta stuacón, repetmos el expermento hasta que ocurre por prmera vez. Podemos defnr la varable aleatora X = número de repetcones del expermento necesaras para que tenga lugar la prmera ocurrenca de la cual, dremos, tene una dstrbucón Geométrca o de Pascal de parámetro p. Tengamos en cuenta que aquí nos separamos de las hpótess mantendas para la dstrbucón bnomal. llí el número de repetcones era predetermnado, mentras que aquí es una varable aleatora. Tenemos que X=k sempre que en las k 1 repetcones anterores no haya suceddo. Entonces, la funcón de probabldad es f (x) = pq k 1 para k =1,2,3, 14/17

15 Var( X ) = E[X ( X 1)] + E( X ) E( X ) 2 = q p 2 PROP S la varable aleatora X tene una dstrbucón geométrca, entonces su meda y su varanza venen determnadas por E( X ) = 1 p Var( X ) = q p 2 Dem. d k q k k d q p p 1 = p = = = k k dq dq dq 1 q (1 q) 2 p 2 p E( X ) = kpq k 1 = p d (q ) = p y de forma análoga, con la dervada segunda respecto de q podemos razonar para obtener la varanza a través de la esperanza de X(X 1) 8.5. Dstrbucón Bnomal egatva. Esta dstrbucón es una generalzacón de la anteror. Para obtenerla, y bajo las msmas condcones que para la dstrbucón geométrca, supongamos que un expermento se repte hasta que un suceso partcular se repte r veces. Sea la varable aleatora X = número de repetcones necesaras para que suceda exactamente r veces. Esta dstrbucón recbe el nombre de Dstrbucón Bnomal egatva de Parámetros r y p. Es evdente que para r=1 obtenemos la dstrbucón geométrca de parámetro p. El suceso X=K ocurre s y sólo s el suceso ocurre en la k-ésma repetcón, verfcándose que ya sucedó r-1 veces en los k-1 expermentos anterores. Por ello, la probabldad de este suceso es k 1 P( X = k ) = p r k r q para k = r, r+1,... r 1 PROP La meda y la varanza de una dstrbucón bnomal negatva son Dem. E( X ) = r p Var( X ) = rq p 2 Para comprobarlo, defnamos las sguentes varables aleatoras. Z 1 = º de repetcones necesaras hasta la prmera ocurrenca de 15/17

16 Z 2 = º de repetcones necesaras desde la prmera ocurrenca de hasta nclur la segunda ocurrenca de.... Z r = º de repetcones necesaras desde la ocurrenca r 1 de hasta nclur la r- ésma ocurrenca de. Todas las Z son varables aleatoras ndependentes, tenendo cada una de ellas una dstrbucón geométrca de parámetro p. demás, la varable aleatora X es suma de todas ellas. Por tanto E( X ) = E(Z + Z + + Z ) = E(Z ) + E(Z ) + + E(Z ) = = r 1 2 r 1 2 r p p p p de manera análoga, tomando varanzas Var( X ) = Var(Z 1 + Z Z r ) = Var(Z 1 ) + Var(Z 2 ) + + Var(Z r ) = rq p 2 BIBLIOGRFÍ RECOMEDD. Estadístca Teórca. ut. J.M.Doblado y M.C. eto. Edt. UED Introduccón a la Estadístca Teórca. ut.: G rnáz. Edt.: Lex ova Estadístca Teórca y plcada. ut.:. ortes. Edt.: S. Rodríguez. Introduccón a la Probabldad y la Medda (I). ut.: P Zoroa y. Zoroa. DM. Edt.: Maor Introduccón a la Teoría de la Estadístca. ut.: Mood, Graybll. Edt.: gular. 16/17