Introducción a las Subastas de Múltiples Objetos

Transcripción

1 Introduccón a las Subastas de Múltples Objetos Alvaro J. Rascos Vllegas Unversdad de los Andes Abrl de 2010 lvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

2 Consderamos subastas smultáneas de múltples objetos del msmo ben. Suponemos que no hay complementardades entre los objetos: La valoracón margnal de ganar un segundo objeto es menor que la del prmer objeto. Vamos a consderar los tres formatos más mportantes para subastar K objetos déntcos: dscrmnatora, Vckrey y unforme. Cada jugador debe mandar K ofertas bk que satsfacen b1 b 2... b K. b j es la dsponbldad de a pagar por la j ésma undad. Sea B el conjunto de todas las ofertas váldas de. B R K +. Alvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

3 Sea c : R KI +! R KI + el vector ordenado (de mayor a menor) de las I K ofertas. K (I 1) Sea c : R KI +! R+ el vector de K (I 1) de ofertas ordenado (de mayor a menor) que enfrenta. ck es la k-ésma oferta más alta que enfrenta. Regla de asgnacón: S tene exactamente k K de la K ofertas más altas (entonces se le asgan k objetos), es decr s bk > c K k+1 and bk+1 < c K k, y de nmos: q (b) = q b1,..., q bk,...q bk donde q = 1 8j k de lo contraro q bj = 0 b j En caso de empate por una undad, se asgna con la msma probabldad a los agentes que empatan. Alvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

4 Esta estrutura es común a los tres tpos de subastas que vamos a consderar. La dferenca entre ellas se debe a la regla de asgnacón (en partcular, la componente que determna el pago esperado de cada agente). En la subasta dscrmnatora s el agente gana exactamente k k undades entonces paga, bk. k=1 Obsérvese que cuando K = 1 es la subasta al prmer preco. Alvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

5 En la subasta unforme todas las undades son venddas al preco que agota la oferta y la demanda (preco de equlbro). Suponemos que este preco es el más alto perdedor Puesto que gana exactamente k > 0 undades s y sólo s: b k > c K k +1 y b k +1 < c K Entonces la oferta más alta perdedora es: n o p(b) = max b k +1, b K k +1 Luego cada agente paga por cada undad ganada p(b)k. Obsérvese que cuando K = 1 ésta se reduce al a subasta al segundo preco. Sn embargo NO es una generalzacón apropada a múltples undades. k Alvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

6 En la subasta de Vckrey gana exactamente k > 0 undades s y sólo s: b k > c K k +1 y b k +1 < c K k y paga por la k ésma undad c K k +k. Luego su pago total es: k k=1 c K k +k La subasta de Vckrey es la generalzacón apropada de la subasta al segundo preco. Alvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

7 Example Supongamos que K = 6 y tenemos 3 agentes partcpando. Supongamos que las ofertas son: b 1 = (50, 47, 40, 32, 15, 5) b 2 = (42, 28, 20, 12, 7, 3) b 3 = (45, 35, 24, 14, 9, 6) Denotamos por c el vector ordenado de mayor a menor de todas las ofertas: c = (50 1, 47 1, 45 3, 42 2, 40 1, 35 3, 32,...) lvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

8 Example Ofertas y ordenamento: b 1 = (50, 47, 40, 32, 15, 5) b 2 = (42, 28, 20, 12, 7, 3) b 3 = (45, 35, 24, 14, 9, 6) c = (50 1, 47 1, 45 3, 42 2, 40 1, 35 3, 32,...) Las ses más altas son las ganadoras. Por lo tanto el agente 1 gana 3 undades, el agente 2 gana 1 undad y el agente 3 gana 2 undades. El preco de cerre es 32 (el más alto perdedor). lvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

9 Otra forma de determnar el preco de cerre es utlzando la oferta resdual que enfrenta el agente, ( ) s (p) = max K d (p), 0 j6= El preco de cerre (el más alto perdedor) se puede de nr como el más alto tal que: s (p) < d (p) Alvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

10 Grá camente: p. Oferta resdual Precos de cerre. Más alto perdedor K Demanda de undades lvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

11 El agente gana exactamente k undades cuando: Cuando b k > c K k +1 b k +1 < c K k b k = c K k +1 hay empate entre dos agentes por las últmas undades. El preco de corte se puede escrbr como: n o p = max b k +1, c = max K k +1 b k +1 Alvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

12 Example En el ejemplo anteror: c 1 3 = 35, c 1 4 = 28 y el agente 1 gana exactamente 3 undades porque: y el preco de cerre es: b3 1 = 40 > c4 1 = 28 b4 1 = 32 < c3 1 = 35 p = max b 1 4, c 1 4 = max f32, 28g = 32 lvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

13 Example El pago en la subasta de Vckrey para el agente es: c 6 + c 5 + c 4 = b b b 2 2 lvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14

14 En la subasta de Vckrey es un equlbro en estrategas domnantes (débl) revelar la verdadera valoracón, b V (x) = x. En partcular, la subasta de Vckrey asgna de forma e cente. Sn embargo, puede resultar en asgnacones "njustas". Supongamos que K = 2, x 1 = (10, 6), x 2 = (9, 2). En este caso, cada agente se lleva una undad. Alvaro J. Rascos Vllegas (Unversdad de losintroduccón Andes) a las Subastas de Múltples Objetos Abrl de / 14