Modelos unifactoriales de efectos aleatorizados

Transcripción

1 Capítulo 4 Modelos unfactorales de efectos aleatorzados En el modelo de efectos aleatoros, los nveles del factor son una muestra aleatora de una poblacón de nveles. Este modelo surge ante la necesdad de estudar un factor que presenta un número elevado de posbles nveles, que en algunas ocasones puede ser nfnto. En este modelo las conclusones obtendas se generalzan a toda la poblacón de nveles del factor, ya que los nveles empleados en el expermento fueron selecconados al azar. Formalmente la expresón del modelo es la msma que en el modelo de efectos fjos dado por la ecuacón (??), es decr: y j =µ+τ +u j, (4.) con la dferenca de que ahoraτ son varables aleatoras. Además este modelo requere que las varablesτ yu j sean ndependentes y sgan dstrbucones normales con meda 0 y varanza constanteσ τ yσ, respectvamente. Así, por la ndependenca entre las varables τ y u j, la varanza de cualquer observacón de la muestra, es decr, la varanza total, denotada porσ T, vale σ T =σ τ+σ. La mecánca del Análss de la Varanza es la msma que en el modelo de efectos fjos, excepto en el cálculo de las esperanzas de los cuadrados medos, ya que mentras en el modelo de efectos fjos, los efectos τ eran constantes que cumplían la condcón n τ = 0, ahora son varables aleatoras N(0,σ τ ), no sometdas a nnguna restrc-

2 Modelos unfactorales de efectos aleatorzados cón. En este modelo, carece de sentdo probar la hpótess que se refere a los efectos de tratamento ndvduales y, en su lugar, debe realzarse el contraste: H 0 : σ τ =0 H : σ τ >0 S se aceptah 0,σ τ =0, sgnfca que todos los tratamentos son déntcos; en cambo, s se aceptah,σ τ >0, sgnfca que exste varabldad entre los tratamentos. Al gual que en el modelo de efectos fjos, se dstngue entre el caso equlbrado y el caso no-equlbrado. 4.. Modelo de efectos aleatoros no-equlbrado Como en el modelo de efectos fjos, la varabldad total de los datos se puede expresar como la suma de la varabldad entre los tratamentos y la varabldad dentro de los msmos. A partr de estas varabldades se defnen las correspondentes varanzas muestrales. Para establecer el procedmento del contraste de hpótess, para el modelo de efectos aleatoros, calculemos en prmer lugar los valores esperados de la varanza entre tratamentos y de la varanza resdual. Como en el modelo de efectos fjos, consderemos las expresones dey.,ȳ.,y.. eȳ.., en funcón de los parámetros del modelo, con objeto de poder hallar las esperanzas de las varanzas muestrales. y. =n µ+n τ +u. ; ȳ. =µ+τ +ū. y.. =Nµ+ n τ +u.. ; ȳ.. =µ+ N n τ +ū.. Al ser los efectosτ varables aleatoras ndependentes entonces la condcón nτ=0, del modelo de efectos fjos, no puede mponerse ya que conducría a dependenca entre losτ.

3 4. Modelo de efectos aleatoros no-equlbrado 3 o ) La varanza entre tratamentos se puede expresar como S Tr = n (ȳ. ȳ.. ) = n µ+τ +ū. µ N n τ N n τ N n τ N ū.. = +(ū. ū.. ) = + n (ū. ū.. ) + (ū. ū.. ) y su esperanza matemátca será la suma de las esperanzas matemátcas de cada sumando, es decr E[ S Tr ]= E n τ N E n τ N, +E n (ū. ū.. ) + (ū. ū.. ). (4.) Ahora ben, puesto que: a) Las varables aleatorasτ son ndependentes con meda 0, entonces E =k n n k τ τ k =0

4 4 Modelos unfactorales de efectos aleatorzados y además, comoe(τ )=σ τ, tambén se verfca que E τ =n σ τ. Por lo tanto, E n τ N = n E τ + k τ k N n τ N = n E τ + N N n k τ k + n k n r τ k τ r N τ k=r n σ τ+ N = n k σ τ N n σ τ = Nσ τ N n σ τ. (4.3)

5 4. Modelo de efectos aleatoros no-equlbrado 5 b) E,j (ū. ū.. ) =σ σ, ya que E n (ū. ū.. ) = n E n u j n N j= n E n j u j u kh = Nn j n n k,h n k u kh = h= u j + N u kh k,h σ + N σ Nn j k,h σ n σ =σ σ =σ ( ) n N j σ = (4.4) c) Puesto que las varables aleatorasτ yu j son ndependentes entre sí y E(τ )=E(u j )=0, entonces E n τ N (ū. ū.. ) =0 (4.5) k Por lo tanto, susttuyendo las expresones (4.3), (4.4) y (4.5) en (4.), tenemos E(S T r )= Nσ τ N n σ τ+σ σ = N n N( ) σ τ+σ. (4.6)

6 6 Modelos unfactorales de efectos aleatorzados o ) La esperanza matemátca de la varanza resdual es la varanza poblaconal, en efecto E(S R )= E (y j ȳ. ) = E u j u j = N N n,j,j j E u j N + n,j j N,j u j n u j j u j = σ + σ σ = Nσ σ =σ, n n N por tanto, S R es un estmador nsesgado del parámetroσ. De la ecuacón (4.6) se deduce que s no exste varabldad entre los tratamentos, es decr,σ τ =0, entonces S Tr es tambén un estmador nsesgado deσ. De modo smlar que en el modelo de efectos fjos se puede demostrar, bajo la hpótess nula correspondente a este modelo, que SCTr/σ y SCR/σ sguen dstrbucones χ ndependentes con yn grados de lbertad, por tanto el cocente F = SCTr/σ SCR/σ N = S Tr S R (4.7) sgue una dstrbucónf de Snedecor con yn grados de lbertad y es el estadístco de contraste utlzado para probar la hpótess de nterés en el modelo de efectos aleatoros. Bajo la hpótess alternatva, es decr σ τ = 0, el valor esperado del numerador del estadístco de contraste es mayor queσ y por tanto rechazaremos la hpótess nula para valores sgnfcatvamente grandes de F. En otras palabras, en el modelo de efectos aleatoros para contrastar la hpótessh 0 :σ τ =0 frente ah :σ τ >0, se actúa de la sguente forma S F exp >F α;,n, se rechazah 0 S F exp F α;,n, se aceptah 0 La tabla del análss de la varanza para el modelo de efectos aleatoros es déntca a la del modelo de efectos fjos, salvo con la dferenca de que las conclusones obtendas se generalzan a toda la poblacón de nveles del factor.

7 4. Modelo de efectos aleatoros no-equlbrado 7 Además de efectuar el contraste de hpótess, en el modelo de efectos aleatoros nteresa estmar los valores σ τ. El procedmento utlzado para ello se denomna método de componentes de la varanza. Dcho procedmento consste en gualar las esperanzas de las varanzas entre tratamentos y resdual con sus correspondentes valores muestrales y resolver el sstema resultante: N n S Tr = N( ) σ τ +σ. S R = σ Así, se obtenen los sguentes estmadores de las varanzas: σ τ = N( ) N n σ = S R (4.8) S Tr S R. (4.9) Puede comprobarse que s la hpótess alternatva es certa, entoncesσ τ es un estmador nsesgado deσ τ. En el caso de que la varanza resdual sea mayor que la varanza entre tratamentos, el método de componentes de la varanza conduce a un estmacón negatva de σ τ. Evdentemente ésto carece de sentdo, al tratarse de un parámetro no negatvo. Cuando ésto ocurre se puede adoptar alguna de las sguentes alternatvas: Rechazar por nadecuado el modelo propuesto y replantear el problema. Renterpretar la estmacón deσ τ como evdenca de que su verdadero valor es cero; es decr, admtr queσ τ =0. Esto puede ocasonar que las propedades estadístcas de los restantes estmadores se vean perturbadas por esta decsón. Utlzar otro método de estmacón que no conduzca a estmacones negatvas. La seleccón de una opcón concreta dependerá del expermento analzado o del crtero del nvestgador. Para lustrar el análss de la varanza unfactoral de efectos aleatoros (caso noequlbrado), vamos a resolver el Ejemplo -3.

8 8 Modelos unfactorales de efectos aleatorzados Ejemplo 4. En una forja se utlzan varos hornos para calentar muestras de metal. Se supone que todos los hornos operan a la msma temperatura, aunque se sospecha que quzás ésto probablemente no sea certo. Se selecconan aleatoramente tres hornos y se anotan sus temperaturas en sucesvos calentamentos, obtenéndose las observacones que se muestran en la Tabla -4. Tabla -4. Datos del Ejemplo -3 Horno Temperatura A partr de estos datos, se desea saber s exste varacón sgnfcatva en la temperatura de los hornos al nvel de sgnfcacón del 5%. El análss de la varanza resultante se presenta en la sguente tabla. Tabla-5. Análss de la varanza para los datos del Ejemplo -3 Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados varacón cuadrados lbertad medos F exp Entre grupos Dentro de grupos TOTAL Como el valor del estadístco de contraste, 8.6, es mayor que F 0,05,, = 3,89, se rechaza la hpótess de que todos los hornos operan a la msma temperatura. A contnuacón, aplcando el método de las componentes de la varanza, obtenemos que la estmacón de la varanza del error es σ = S R=34,48 y la estmacón de la varanza de la temperatura es σ τ = N( ) N n S Tr S R = (97,6 34,48)=53,6,

9 4. Modelo de efectos aleatoros equlbrado 9 de modo que la estmacón de la varanza total es gual a σ T =σ τ+σ =53,6+34,48=87,74. Por tanto, la varanza total (87.74) se descompone en una parte atrbuble a la dferenca entre hornos (53.6) y otra procedente de la varabldad exstente dentro de ellos (34.48). Comprobamos que en dcha varanza tene mayor peso la varacón entre hornos, en porcentaje un % frente a la varacón dentro de los hornos, que representa el % del total. 4.. Modelo de efectos aleatoros equlbrado En el modelo equlbrado o balanceado, el número de observacones en cada nvel del factor es el msmo. Fjando dcho valor en n, el número total de observacones es N= n. En este caso se obtene la sguente expresón para la esperanza de la varanza entre tratamentos E( S Tr)=nσ τ+σ y los sguentes estmadores para las componentes de la varanza σ = S R (4.0) σ τ = S Tr S R n (4.) Naturalmente, todo lo dcho sobre la estmacón deσ τ aplcable a este caso. en el modelo no-equlbrado, es Desde el punto de vsta práctco, el modelo equlbrado presenta la ventaja de que se pueden obtener con S las componentes de la varanza, como veremos en la subseccón?? con el sguente ejemplo Ejemplo 4. Una fábrca de textles dspone de un gran número de telares. En prncpo, se supone que cada uno de ellos debe producr la msma cantdad de tela por undad de tempo. Para nvestgar esta suposcón se selecconan al azar cnco telares, y se mde la cantdad de

10 0 Modelos unfactorales de efectos aleatorzados tela producda en cnco ocasones dferentes. Se obtenen los datos de la tabla adjunta. Tabla -6. Datos de la produccón de tela Telares Produccón Del estudo se concluye que todos los telares tenen el msmo rendmento? El análss de la varanza resultante se presenta en la sguente tabla. Tabla-7. Análss de la varanza para los datos del Ejemplo -4 Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados varacón cuadrados lbertad medos F exp Entre grupos Dentro de grupos TOTAL S realzamos el contraste al nvel de sgnfcacón del 5% y comparamos el valor de la F exp =5,77, con el valor de laf teórca(f 0,05,4,0 =,87), se concluye que se rechaza la hpótess de que todos los telares tenen el msmo rendmento. A contnuacón, aplcamos el método de las componentes de la varanza y obtenemos σ = S R=0,048 σ S τ = Tr SR = 0,0854 0,048 n 5 por tanto la estmacón de la varanza total es gual a =0,04, σ T =σ τ+σ =0,04+0,048=0,089. La varanza total (0.09) se descompone en una parte atrbuble a la dferenca entre los telares (0.04) y otra procedente de la varabldad exstente dentro de ellos (0.05).

11 4. Modelo de efectos aleatoros equlbrado Comprobamos como en la varanza total tene más peso la varacón dentro de los telares, 5.8%, que la varacón entre los telares, que representa el 48.8% del total. Bblografía utlzada García Leal, J.& Lara Porras, A.M. (998). Dseño Estadístco de Expermentos. Análss de la Varanza. Grupo Edtoral Unverstaro. Lara Porras, A.M. (000). Dseño Estadístco de Expermentos, Análss de la Varanza y Temas Relaconados: Tratamento nformátco medante SPSS Proyecto Sur de Edcones.