II. PROBABILIDADES CONDICIONALES. 2.1 Definiciones. Supongamos que lanzamos dos dados

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Nieves Eva María Villalobos Rojas
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1 II. PROBABILIDADES CONDICIONALES. 2. Defncones Supongamos que lanzamos dos dados p( ω ) con ω ( ω, ω 2 ) ω, ω 2 6 {,2,...,6} S observamos que el prmer dado muestra el número 4, Cual es la probabldad de que la suma sea gual a 6?. Las sguentes combnacones: (4,), (4,2), (4,), (4,4), (4,5), (4,6) tenen la msma probabldad condconal gual a /6. Mentras de las otras 0 tenen una probabldad gual a cero. Veamos esto con nuestra notacón. Sean: E { (ω,ω 2 ) / ω + ω 2 6 } { (,5), (2,4), (,), (4,2), (5,) } Luego P(E dado que se sabe que ocurró F) /6 F { (ω,ω 2 ) / ω 4 } { (4,), (4,2), (4,), (4,4), (4,5), (4,6) } Defncón 2. Probabldad condconal: P(E / F) P(E F) con > 0 P(E/F) : Probabldad de que E se presente dado que F ya se presentó. En consecuenca la Regla General de multplcacón es: n (I P E ) P( E) * P( E 2 / E) * P( E/ EE 2) * P( E 4 / EE 2E) *...* P( En / EE 2.. En ) Ejerccos. e)cartas numeradas del al 0 son mezcladas. S sabemos que el número de la últma carta es al menos un 5, cuál es la probabldad (condconal) de que ella sea el 0?. Con S {,2,...0}, sean E { El número de la carta es el 0 } {0} F { El número es al menos un 5 } {5,6,7,8,9,0} 8

2 E P(E F) P(E) Ω P(E/F) F Ω e2)en un retén se encuentran 2 nños ordenados por la edad, cual es la probabldad de que ambos son varones s se conoce que uno de ellos lo es?. S { (v,v),(v,h),(h,v),(h,h) } E { (v,v) } F { (v,v),(v,h),(h,v) } P(E/F) P(E F) P(E) E Ω F Ω 4 4 e)un estudante que no sabe sufcente nglés tene la oportundad de tomar un curso especalzado en Computacón en Inglés el próxmo semestre. Este estudante podrá fnancarse el curso de Inglés con probabldad /2 durante este semestre. S toma el curso de Inglés antes de tomar el curso de Computacón su probabldad de aprovechar realmente el curso de Computacón es /. Cuál es la probabldad de que el estudante aprovecha el curso en Computacón y toma el curso de Inglés? Solucón: F : El estudante toma el curso de Inglés antes del de Computacón E : El estudante aprovecha el curso en Computacón P(E/F) P (E F) P (F) > P(E F) *P(E/F) /2 * / /6 e4)en una cadena de bts se encuentran 7 bts con valor '' y 5 bts con valor '0'. S se escogen al azar dos bts, cuál es la probabldad de que ambos tengan valor ''? Solucón: F : El prmer bt escogdo esta en '' E : El segundo bt escogdo esta en '' S el prmer bt escogdo esta en '', entonces quedarían en la cadena 6 bts en '' y 5 en '0'. P(E/F) 6/ 7/2 Luego, P(E F) P(E/F) 6/ * 7/2 42/2 Tarea del lector: Hacer el ejercco anteror pero escogendo al azar bts en vez de 2. 9

3 Eventos Independentes. Defncón 2.2 E y F son ndependentes s P(E F) P(E) (Observacón: Esta defncón mplca que P(E/F) P(E) y que P(F/E) ) e) En el lanzamento de dos dados, sean: Ω { (, j ) /,j,...,6 } Ω 6 E : La suma de los números mostrados por los dados es 6 E { (,5), (2,4), (,), (4,2), (5,) } F : El prmer dado muestra un 4. F { (4,), (4,2), (4,), (4,4), (4,5), (4,6) } Entonces E y F no son ndependentes. P(E F) P({(4,2)}) /6 y P(E)* 5/6 * /6 5/26 Por el contraro s E fuese: La suma es 7, entonces E y F s serían ndependentes. Veamos, P(E F) P({(4,)}) /6 P(E) /6 * /6 /6 Generalzacón de la defncón de ndependenca. E,E 2,..,E n son eventos ndependentes { E,E 2,..,E r } con r n se cumple P( E,E,..,E ) P(E ) P(E )... P( E ) 2 r 2 r 2.2 Probabldades Totales. Sean E y F dos eventos cualquera en Ω. Tenemos que E EF EF C, y como EF y EF C son mutuamente excluyentes (dsjuntos) entonces, P(E) P(EF) + P(EF C ) P(E/F) + P(E/F C ) P(F C ) P(E/F) + P(E/F C ) [ - ] Nota: P(E) es la suma ponderada dado que ocurró F o F C. Notés que tambén puede salr el (,5)). 0

4 Ejerccos. e) En un examen de seleccón múltple con m posbles respuestas un estudante conoce la respuesta con una probabldad p y la probabldad de que advne es -p. Cuál es la probabldad de que el estudante conteste correctamente?. Sean C y R eventos defndos de la manera sguente: C : El estudante responde correctamente R : El estudante conoce la respuesta. Luego se quere saber P(C). Dado que P(C/R) y P(C/R C ) es la probabldad de que su advnanza sea correcta tendremos, con m4 y p/2, P(C)5/8. P(C) P(C/ R) P(R)+ P(C/ R )P(R ) P(C) p+( m )(- p) Generalzacón de Probabldades Totales o Regla de elmnacón. S F,F 2,..,F n son una partcón de Ω y E en Ω, entonces n P(E) P( F )P(E / F ) e2) En una fábrca se elabora un certo producto con maqunas dferentes (MI, MII, MIII). En estas maqunas el %, 5% y 2% de los productos resultan defectuosos respectvamente. Del total de la produccón de esa fábrca el 20% es elaborado por la maquna I, el 0% por la maquna II y el 50% por la maquna III. Cuál es la probabldad de que al tomar al azar un producto de esa fábrca este resulte defectuoso? Sean: F : El producto fue elaborado en M. ( I, II, III). E : El producto resulta defectuoso. donde: P(FI).2 ; P(FII). ; P(FIII).5 P(E/FI).0 ; P(E/FII).05 ; P(E/FIII).02 Luego, P(E) P(E/FI)P(FI) + P(E/FII)P(FII) + P(E/FIII)P(FIII) P(E).0 (es decr, el,% de los productos es defectuoso).

5 2. Fórmula de Bayes Sean E y F en Ω, luego se cumple: P(F / E) P(E / F) P(E / F) + P(E / F )P( F ) e) En dos cadenas de bts se conoce que en la a. cadena hay 2 bts en '' y 7 en '0' y en la 2da. cadena 5 están en '', 6 en '0' respectvamente. Con el lanzamento de una moneda se decde escoger un bt en la prmera o segunda cadena, dependendo s sale cara(c) o sello(s). Cuál es la probabldad de que el resultado fue cara dado que se escogó un bt en ''?. Sean defndos los eventos C y B de la manera sguente: B : El bt selecconado está en C : La moneda sale cara. Luego lo que se quere saber es, P(C/B) P(CB) P(B) P(B/C)P(C) P(B) P(B/C)P(C) P(B/C)P(C)+ P(B/ C.284 C )P(C C ) e2)en un examen de seleccón múltple con m posbles respuestas un estudante conoce la respuesta con una probabldad p y la probabldad de que advne es -p. Cual es la probabldad de que el estudante conocía la respuesta que contesto correctamente?. Sean C y R eventos defndos de la manera sguente: C : El estudante responde correctamente R : El estudante conoce la respuesta. Luego se quere saber: P(R/ C) P(RC) P(C) P(C/ R) P(R) P(C/ R) P(R)+ P(C/ R ) P( R ) Dado que P(C/R) y P(C/R C ) es la probabldad de que su advnanza sea correcta tendremos, P(R/ C) p p+( )(- p) m 2

6 con m5 y p/2, P(R/C)5/6 e) Los exámenes del laboratoro de una clínca prvada resultan correctos en el 95% de los casos de nfeccón cuando la nfeccón esta presente. Estos exámenes arrojan un resultado "postvo" que es falso en el % de las personas sanas que se someten al examen, es decr, que s la persona esta sana entonces el examen le puede decr con una probabldad.0 que ella esta enferma. Además se sospecha que el 5% de la poblacón tene esa nfeccón. Cuál es la probabldad de que una persona tenga la nfeccón dado que recbó un resultado postvo? S D: La persona tene la nfeccón y E: El resultado del examen es postvo, la nterrogante será P(D/E)?. P(D/ E) P(DE) P(E) P(E/ D) P(D) P(E/ D) P(D)+ P(E/ D )P(D ) (.95)(.05) (.95)(.05)+(.0)(.95) Esto sgnfca que solo el 8,% de las personas cuyos resultados fueron postvos tenen la nfeccón. Generalzacón de la fórmula de Bayes. Sean F,F 2,..,F n una partcón de Ω (son mutuamente excluyentes). Entonces, E EF P(E) P(EF ) P(E/F )P(F ). Por ello, con P(F j /E) P(EF j )/P(E) tendremos fnalmente la fórmula de Bayes: P( F /E) j n P(E / F )P( F ) j P(E / F )P( F ) j e) Supongamos que colocamos un archvo en uno de tres drectoros que se han creado. Sea p la probabldad de encontrar el archvo en el drectoro luego de una breve nspeccón en caso de que el archvo se encuentre en el drectoro (p <). Suponendo que se revsa superfcalmente el er. drectoro y no se encuentra el archvo que se busca. Cuál es la probabldad de que el archvo se encuentre efectvamente en ese drectoro?. Sea F (,2,) el evento de que el archvo se encuentra en el drectoro y sea E el evento de que una búsqueda superfcal en el drectoro no se converte en la aparcón de el archvo. En base a esto se desea conocer la P(F /E). Aplcando el teorema de Bayes tendremos: P( F /E) P(E/ F )P( F ) P(E/ F )P(F ) (- p ) (- p ) + *+ * - p -p

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