Principio de D Alembert

Transcripción

1 Capítulo 15 Prncpo de D Alembert 15.1 Prncpo de D Alembert En práctcamente cualquer sstema mecánca, además de las fuerzas que controlan su evolucón, exsten certo número de lgaduras que constrñen su movmento. Podemos magnar algunos ejemplos sencllos de sstemas con lgaduras: dos cuerpos undos por una barra rígda o un hlo nextensble, las cuentas de un ábaco ó las moléculas de un gas confnado en el nteror de un recpente. Tal como veremos, podemos ncorporar estas lgaduras en la descrpcón del sstema, sn necesdad de tener un conocmento precso de las fuerzas que las producen. Que un sstema esté constreñdo por lgaduras ndca que hay fuerzas presentes que no conocemos a pror. Para soslayar este desconocmento, habremos de reformular la Mecánca de modo que estas fuerzas no aparezcan explíctamente. Para ello, comencemos analzando un ejemplo muy sencllo. Consderemos dos masas M 1 y M 2 sobre dos planos nclnados lsos de ángulos α 1 y α 2 y undas por un hlo nextensble como se muestra en la fgura. Las fuerzas aplcadas sobre cada masa son el peso M g y dos fuerzas de lgadura, una producda por la reaccón del plano f y otra ejercda por el hlo f. La ecuacón de Newton para cada masa se escrbe dp = M g + f + f Consderemos ahora que congelamos el tempo y efectuamos un desplazamento dferencal arbtraro de ambas masas δr 1 y δr 2. Sumando sobre las dos masas del sstema obtenemos M 1 g dp ) 1 + f 1 + f 1.δr 1 + M 2 g dp ) 2 + f 2 + f 2.δr 2 = 0 Ahora pongamos certas restrccones sobre el desplazamento δr. Para empezar, 1

2 2 Capítulo 15. Prncpo de D Alembert podemos exgr que este desplazamento sea a lo largo del correspondente plano nclnado. En este caso, como la reaccón entre el plano nclnado y la masa es perpendcular a aquella, f.δr = 0. Por lo tanto, podemos elmnar las reaccones del plano nclnado en la ecuacón anteror, M 1 g dp ) 1 + f 1.δr 1 + M 2 g dp ) 2 + f 2.δr 2 = 0 Por otro lado, sabemos que las fuerzas de vínculo f 1 y f 2 ejercdas por el hlo sobre ambas masas son de gual magntud, y ambas apuntan haca arrba ó haca abajo de los planos nclnados. Para aprovechar este hecho, pedmos que el desplazamento de ambas masas tamben sea de la msma magntud, y que s uno apunta haca abajo por el plano nclnado, el otro apunte haca arrba. En otras palabras, estamos pdendo que el desplazamento no estre n contraga el hlo que conecta ambas masas. Con esta condcón adconal sobre el desplazamento, tenemos que f 1.δr 1 = f 2.δr 2. Por lo tanto, podemos elmnar tambén la fuerza ejercda por el hlo en la ecuacón anteror, escrbendo fnalmente M 1 g dp 1 ).δr 1 + M 2 g dp 2 ).δr 2 = 0 Vemos que con una eleccón adecuada del desplazamento δr hemos logrado elmnar las fuerzas de lgadura en la ecuacón anteror. En realdad, la nformacón sobre las fuerzas de lgadura permanece en el hecho de que el desplazamento elegdo es compatble con las lgaduras mpuestas al sstema. Quero decr que no ntenta forzar las lgaduras, empujando las masas en dreccón al plano nclnado, o contrayendo o estrando el hlo que las une. Este tpo partcular de desplazamento se denomna vrtual. Por desplazamento vrtual nfntesmal de un sstema entendemos una varacón de su confguracón como resultado de cualquer cambo nfntesmal arbtraro δr de sus coordenadas, compatble con las lgaduras mpuestas al sstema, en un nstante t. El nombre de vrtual dstngue este desplazamento de cualquer desplazamento real que se produzca en el sstema en un ntervalo de tempo durante el cual pueden haber varado las fuerzas y las lgaduras 1. Generalzamos el resultado anteror. En la ecuacón de Newton para la ésma partícula de un sstema mecánco cualquera, separamos las fuerzas de vínculo responsables de las lgaduras, escrbendo dp / = F + f. Consderemos ahora 1 Que no varíe el tempo es muy mportante, ya que en caso contraro las fuerzas de lgadura podrían realzar un trabajo vrtual) no nulo. Esto ocurrría, por ejemplo, con una bolta oblgada a moverse por un alambre móvl. S se mantene fjo el tempo, un desplazamento vrtual de la bolta es necesaramente perpendcular a las fuerzas de reaccón que, por lo tanto, no realzan trabajo. S el desplazamento es en el tempo, puede tener una componente transversal que -ahora s- conducría a un trabajo no nulo de la fuerza de lgadura.

3 15.2. Interpretacón estátca del Prncpo de d Alembert 3 un desplazamento vrtual δr. Sumando sobre todas las partículas del sstema obtenemos F + f dp ).δr = 0 Puesto que el trabajo vrtual neto de todas las fuerzas de lgadura actuantes sobre el sstema es cero f.δr = 0, obtenemos F dp ).δr = 0 Esta ecuacón se denomna Prncpo de D Alembert. Como veremos más adelante, representa el prmer paso en dreccón a una muy mportante smplfcacón de la Mecánca Newtonana, lograda pocos años más tarde por otro frances, El conde Joseph-Lous Lagrange Interpretacón estátca del Prncpo de d Alembert Todos los cuerpos tenen una tendenca a permanecer en su estado de reposo ó de movmento rectlneo y unforme. Podemos pensar en esto como una resstenca nercal al cambo ó -en otras palabras- en una fuerza nercal. La forma más conocda de fuerza nercal es la fuerza centrífuga. En la ecuacón de d Alembert, la fuerza nercal dp / aparece en un pe de gualdad con la fuerza aplcada F, reducendo el problema dnámco a un problema estátco. Esta nterpretacón fué ardentemente atacada por algunos autores, en partcular por Henrch Hertz quen en la ntroduccón a su texto de Mecánca se pregunta:... Es este modo de expresón admsble?. No ésto que hoy llamamos fuerza centrífuga más que la nerca de la pedra?. Debemos conclur que la clasfcacón de la fuerza centrífuga como una fuerza no es adecuada; su nombre, tal como el de fuerza vva, debe verse como una herenca de tempos pasados; y desde el punto de vsta de la utldad del uso de esta termnología es más fácl excusarse que justfcarla. Por otro lado, Arnold Sommerfeld defende el uso de esta termnología afrmando que el térmno fuerza centrífuga no necesta justfcacón puesto que descansa, como el concepto más general de fuerza nercal, en una clara defncón Lgaduras No soy muy afecto a las clasfcacones taxonómcas, pero debo nclur aquí algunas palabrejas: Una lgadura se denomna holónomas cuando esta descrta por una

4 4 Capítulo 15. Prncpo de D Alembert ecuacón que relacona las coordenadas de las partículas y el tempo de la forma fr 1, r 2,..., t) = 0. En caso contraro se denomna no-holónomas. Un ejemplo sencllo de una lgadura holónoma lo consttuye el caso de dos cuerpos undos por una barra rígda de longtud l, donde r 2 r 1 = l. Otro ejemplo obvo es el de una partícula oblgada a moverse a lo largo de una curva o sobre una superfce. Por otra parte, las paredes de un recpente contenendo un gas es un ejemplo de una lgadura no-holónoma. Para un recpente esférco de rado a escrbríamos la condcón de lgadura como r a. Esta necuacón representa un buen ejemplo de un caso partcular de lgadura no-holónoma, denomnado anholónoma. Una condcón de lgadura dada por ecuacones dferencales no ntegrables como las de un dsco de rado r rodando por un plano horzontal:, dx = rcosθ dφ dy = rsenθ dφ) es otra forma de lgaduras no-holónomas, llamada dferencal. Las lgaduras tambén se clasfcan atendendo a s son ndependentes del tempo esclerónomas) o lo contenen explíctamente reónomas). Un ejemplo de este últmo tpo de lgadura lo consttuye una bolta deslzando por un alambre móvl. En lo que sgue trabajaremos cas exclusvamente con lgaduras holónomas, para las cuales el trabajo vrtual es nulo. Más adelante veremos algunas técncas para ldar con lgaduras no-holónomas dferencales Prncpo de los Trabajos Vrtuales Para un sstema en equlbro, el Prncpo de D Alembert se reduce a la condcón de que el trabajo vrtual de las fuerzas aplcadas sea cero: F.δr = 0 Esta ley se conoce con el nombre de Prncpo de los Trabajos Vrtuales y representa una de las herramentas más útles para el estudo de tales sstemas. En el ejemplo, algo trval, que analzamos en la seccón anteror, esta ley nos ndca que para que el sstema esté en equlbro, debe darse una relacón muy partcular entre las masas y los ángulos de los planos nclnados M 1 senα 1 = M 2 senα 2 Esta ecuacón, denomnada Prncpo del Plano Inclnado, fue descuberta por Smon Stevn Brujas Leyden 1620) mucho años antes que el desarrollo de la Mecánca Newtonana. Este descubrmento, notable para la época, lo realzó de una manera muy ngenosa: Imagnó una cadena cerrada homogénea alrededor de un prsma trangular tal como se muestra en la fgura. Desde el reposo, es ntutvamente claro que esta cadena debe permanecer en equlbro. Pero entonces, sn alterar el equlbro, podemos suprmr la parte smétrca de la cadena que cuelga

5 15.5. Grados de lbertad y varables generalzadas 5 entre ambos extremos nferores del prsma. De esta manera, los dos trozos de cadena sobre ambos planos nclnados deben permanecer en equlbro. De ahí que las masas deben estar en proporcón a las longtudes de ambos planos nclnados M 1 /M 2 = l 1 /l 2. Y como, por smple geometría, l 1 senα 1 = l 2 senα 2, obtenemos el Prncpo del Plano Inclnado. La deduccón de Stevn es uno de los más valosos documentos de la prehstora de la mecánca y nos da un claro ejemplo sobre el proceso de formacón de la cenca a partr del conocmento ntutvo. El msmo Stevn estaba tan orgulloso de su descubrmento que el dbujo de la cadena cerrada alrededor del prsma, que fgura en la portada de su obra Hypomnemata mathematca Leden, 1605), está encabezado por la frase: La maravlla no es maravlla Grados de lbertad y varables generalzadas Con la ecuacón de d Alembert hemos logrado desembarazarnos de las fuerzas de lgadura, pero pagando el preco de que los sumandos de dcha ecuacón ya no son ndependentes, puesto que no lo son las varacones r. En el próxmo capítulo veremos que esta dfcultad puede salvarse ntroducendo el concepto de varable generalzada. Un sstema de N partículas, sn lgaduras, tene 3N coordenadas ndependentes o grados de lbertad. S exsten lgaduras holónomas expresadas por k ecuacones, podremos elmnar k de las 3N coordenadas con lo que nos quedarán 3N k coordenadas ndependentes 3. Dremos que el sstema tene 3N k grados de lbertad. Esta elmnacón se expresa ntroducendo 3N k nuevas varables ndependentes q en funcón de las cuales las antguas coordenadas r están dadas por r = r q 1,..., q 3N k, t) Cualquer tpo de magntud puede servr como coordenada generalzada. En nuestro ejemplo de las dos masas en los planos nclnados, tendríamos - en prncpo- ses coordenadas ndependentes. Sn embargo, hay varas lgaduras holónomas que lmtan el movmento. En prmer lugar, este es supuestamente plano, lo cual reduce en dos el número de grados de lbertad. Por otra parte, ambas masas están lmtadas a moverse sobre la superfce de los planos nclnados y undas por un hlo. Esto agrega otras tres condcones de lgadura que nos dejan con un solo grado de lbertad. Una posble coordenada generalzada podría ser la dstanca s que recorre una de las dos masas por la superfce del correspondente plano nclnado. 2 Wonder en s ghenn wonder. 3 S las lgaduras son no-holónomas, es mposble emplear las ecuacones que la expresan para elmnar las coordenadas ndependentes.

6 6 Capítulo 15. Prncpo de D Alembert 15.6 Para saber más F. Gantmacher: Lectures n Analytcal Mechancs Mr Publshers, Moscow, 1975). Un tratado concso y claro de Mecánca Analítca. Ernst Mach: Desarrollo Hstórco - Crítco de la Mecánca Espasa-Calpe, Buenos Ares, 1949), traduccón de José Babn. Título orgnal De Mechank n hrer Entwcklung hstorch-krstsch dargestellt 1883). Se puede hallar una nteresante dscusón del descubrmento del Prncpo del Plano Inclnado por Stevn en las págnas Arnold Sommerfeld: Mechancs Academc Press, New York, 1956), traduccón al nglés de Martn O. Stern de la versón orgnal alemana Lepzg, 1943).