Transcripción

1 2.- PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA Experencas de Joule. Las experencas de Joule, conssteron en colocar una determnada cantdad de agua en un calorímetro y realzar un trabajo, medante paletas conectadas a una paleta o medante un sstema eléctrco. Tenendo en cuenta que el recpente es adabátco, Joule demostró que la realzacón de un msmo trabajo adabátco, producía la msma varacón del sstema, sn mportar el dspostvo utlzado. Además Joule, demostró que la temperatura orgnal del agua podía reestablecerse por la transerenca de calor, s metíamos el agua en un recpente datérmco Trabajo termodnámco. Aplcacón al gas deal. Un sstema puede ntercambar con su entorno energía de dversas ormas, denmos el calor como el ntercambo de energía entre un sstema y sus alrededores en vrtud, úncamente de su derenca de temperatura, s el sstema y el entorno ntercamban energía en uncón de la varacón de parámetros externos, estamos hablando de trabajo. TRABAJO EN UN SISTEMA EXPANSIVO En mecánca, el trabajo se dene como dw = ur F dr r Es decr, que al actuar una uerza sobre una partícula o cuerpo, s el centro de masas de este sure un desplazamento, tendremos un trabajo elemental dw. Sn embargo, cuando se hncha un neumátco, no hay varacón aparente de la poscón del centro de masas, sn embargo, no podemos decr que el trabajo sea nulo, en termodnámc, es recuente encontrar trabajo asocado al cambo de volumen que experementa un luído. Consderemos la compresón o expansón de un gas en un clndro provocado por la accón de un pstón, tenendo en cuenta que F=pA, tenemos que la expresón correspondente al trabajo queda como: V dw = pad = pdv A Al ntegrar esta expresón nos queda: W V = V Que en un dagrama p-v vendrá dado por el área encerrada por la línea que determna la trayectora del gas: pdv

2 En cuanto al crtero de sgnos para el trabajo, tendremos en cuenta que el trabajo será postvo s éste es realzado sobre el sstema, y será negatvo s el trabajo es realzado sobre el sstema. TRABAJO INTERCAMBIADO POR UN GAS IDEAL PROCESO ISOBÁRICO Un proceso sobárco es aquel en el que la presón permanece constante, en un dagrama p-v, tendremos una línea horzontal, la expresón para el trabajo, vendrá dada por: V V ( ) W = pdv = p V V PROCESO ISÓCORO Un proceso sócoro es un proceso en el que el volumen permanece constante, en un dagrama p-v, vendrá dado por una línea vertcal, en cuanto a la expresón para el trabajo, para cualquer proceso a volumen constante, el trabajo será nulo: W = 0 PROCESO ISOTÉRMICO Un proceso sotérmco es aquel en el que la temperatura permanece constante, en un dagrama p-v, el proceso sotérmco es representado por una curva de pendente negatva de ecuacón pv=cte, en cuanto a la expresón del trabajo, tenemos: V V V nrt dv V W = pdv = dv = nrt = nrt ln V V V V V V PROCESO ADIABÁTICO Un proceso adabátco es aquel en el que no hay ntercambo de calor, es decr Q=0, en un dagrama p-v, al gual que el proceso sotérmco, se representa con una línea de pendente negatva de γ 1 ecuacón pv = CTE En cuanto a la expresón para el trabajo, tendremos: V V V CTE dv V W = pdv = dv = CTE = CTE γ γ V V V V V 1 γ 1 γ 1 2 V 1 γ PROCESO POLITRÓPICO Un proceso poltrópco es aquel en el que varían tanto la presón, como el volumen y la temperatura, al gual que en el adabátco, pero en este tpo de procesos s que hay ntercambo de calor. La expresón que nos relacona las coordenadas del estado ncal del gas y el estado nal del msmo para un proceso de este tpo es la sguente: p V = p V pv = CTE n n n 0 0 Donde n es lo que se denomna coecente de poltropía y es admensonal, en un dagrama p- V, la representacón de un proceso poltrópco es una línea curva de pendente negatva.

3 La expresón para el trabajo en un proceso poltrópco para un gas deal vendrá dado por la sguente expresón: V V V 1 n 1 n CTE dv V n V n n V V 1 n V V V W = pdv = dv = CTE = p V TRABAJO EN OTROS SISTEMAS TERMODINÁMICOS En este apartado se obtenen las expresones del trabajo para dstntos sstemas termodnámcos, dstntos del gas deal HILO METÁLICO Supongamos un hlo metálco sometdo a una tensón T, al estar sometdo a dcha tensón, surrá un alargamento elemental dl, la expresón para el trabajo elemental vene dada por: dw = Tdl Para un proceso nto, el trabajo vendrá dado por: W l = l PLACA SUPERFICIAL Supongamos una lámna sometda a una tensón supercal σ, el trabajo al surr una varacón elemental de superce ds será: Tdl dw = σ ds Para un proceso nto, el trabajo vendrá dado por: W S = S σ ds SISTEMA MAGNÉTICO En un sstema magnétco, el trabajo en un proceso nto,vendrá dado por: M W = HdM M Sendo H el campo magnétco aplcado y M la magnetzacón FÓRMULA GENERAL PARA EL TRABAJO En general, el trabajo en un sstema termodnámco vendrá dado, para un proceso nto como: x N W = X dx x = 1 Sendo x una varable extensva a la que denomnaremos desplazamento generalzado y X una varable ntensva del sstema a la que denomnaremos uerza generalzada. De esta manera, s tenemos un sstema termodnámco sometdo a varas uerzas generalzadas, la expresón del trabajo vendrá dada por x N W = X dx x = Calor. Aplcacón al gas deal. El calor es una orma de energía en tránsto entre dos cuerpos en vrtud, úncamente de su derenca de temperatura, es una magntud termodnámca extensva, es decr, que depende de la cantdad de sstema que tomemos. Además no es uncón de estado, lo cual tene una mplcacón muy

4 mportante y es que su valor va a depender del tpo de proceso que tengamos y no del punto ncal y nal de la trayectora. A contnuacón vamos a analzar los dstntos tpos de procesos vstos con anterordad y vamos a dar una expresón para el cálculo del calor en cada uno de ellos: Proceso a presón constante. En un proceso a presón constante, y para un gas deal, la expresón que nos da el calor es la sguente: Q = nc T = nc T T ( ) p p Sendo n el número de moles que sure la transormacón, c p el calor especíco a presón constante y T las respectvas temperaturas nal e ncal, usando el subíndce para denotar el estado nal y el subndce para denotar el estado ncal. Proceso a volumen constante. En un proceso a volumen constante, el calor vene dado por la expresón: Q = nc T = nc T T ( ) v v Sendo n el número de moles que sure la transormacón, c v el calor especíco a volumen constante y T las respectvas temperaturas nal e ncal, usando el subíndce para denotar el estado nal y el subndce para denotar el estado ncal. Proceso adabátco. En un proceso adabátco el calor es cero por dencón. Recordemos que cuando se denó un proceso adabátco se djo que un proceso adabátco era aquel en el que no se ntercambaba calor. Proceso sotérmco. La expresón del calor en un proceso sotérmco se verá con posterordad cuando se vea el prmer prncpo de la termodnámca. Proceso poltrópco. En un proceso poltrópco, la mejor opcón para calcular el valor del trabajo es recurrr al prmer prncpo de la termodnámca que veremos a contnuacón. En cuanto a los sgnos que utlzaremos para el calor, será de aplcacón el crtero egoísta, según el cual, s el calor es ceddo por el sstema, le asgnaremos un sgno negatvo, mentras que s el calor es absorbdo por el sstema será un calor de sgno postvo Energía nterna. Aplcacón al gas deal Las experencas de Joule sugeren la exstenca de una determnada varable de estado cuya varacón es el trabajo adabátco realzado para llevar un sstema desde un estado ncal a otro estado nal. A dcha uncón de estado le llamaremos energía nterna y en vrtud de lo que hemos dcho anterormente, podemos escrbr: U = W ad Entenderemos por energía nterna la suma de todas las energías de las partículas que orman parte del sstema. En un gas deal, la energía nterna es solamente uncón de la temperatura y, por ser una uncón de estado, su varacón no depende del tpo de proceso que se esté llevando a cabo, sno solamente de los puntos ncal y nal del proceso en cuestón. La expresón que nos da la varacón de la energía nterna de un gas deal en un determnado proceso es: U = nc T = nc T T ( ) v v Sendo n el número de moles que sure la transormacón, c v el calor especíco a volumen constante y T las respectvas temperaturas nal e ncal, usando el subíndce para denotar el estado nal y el subndce para denotar el estado ncal. Se observa que la varacón de energía nterna cero en un proceso en el que la temperatura permanezca constante, es decr, en un proceso sotérmco y que además concde con el calor en un proceso a volumen constante, por lo que, podemos decr que la energía nterna es gual al calor que ntercamba el gas en un proceso a volumen constante.

5 2.5.- Prmer prncpo de la termodnámca.. La prmera ley de l termodnámca no es más que la ley de conservacón de la energía aplcada a sstemas termodnámcos, dcha ley puede enuncarse como sgue: Para todo sstema termodnámco, exste una magntud U llamada energía nterna cuya varacón se mde por el trabajo adabátco necesaro para llevar el sstema de un estado a otro, sendo para los procesos no adabátcos la suma del trabajo más el calor Esta armacón puede expresarse matemátcamente de la manera sguente para un proceso elemental: du = d ' W + d ' Q Para un proceso nto, podemos escrbr: U = W + Q Tenendo en cuenta la dencón de trabajo dada anterormente, podemos escrbr que la varacón de energía nterna: x N U = X dx + Q x = 1 La mposbldad del móvl perpétuo de 1ª espece es una consecuenca del prmer prncpo de la termodnámca. S consderamos una máquna que uncona cíclcamente, al volver a su estado ncal U =0, por lo tanto, s un móvl perpétuo de 1ª espece produce trabajo sn que se produzca nngún otro cambo en su entorno (Q=0), se ncumple el 1º prncpo de la termodnámca, por lo que el móvl perpétuo de 1º espece no exste. Tenendo en cuenta la expresón matemátca del prmer prncpo de la termodnámca podemos obtener la expresón del calor ntercambado en un proceso sotérmco en un gas deal, dcho calor, tenendo en cuenta que la varacón de la energía nterna es cero y que el trabajo vene dado por la expresón: V W = nrt ln V V 0 = W + Q Q = nrt ln V U = W + Q En el apartado anteror habíamos dejado sn calcular el valor del calor para un proceso poltrópco y se menconó que hay que recurrr al prmer prncpo de la termodnámca, así pues, según este prncpo, el valor del calor en un proceso poltrópco vendrá dado por: U = W + Q ( ) U = nc T = nc T T v v 1 n 1 n V1 V2 ncv ( T T ) = CTE + Q 1 n 1 n 1 n V V n Q = ncv ( T T ) pv 1 n Entalpía La energía nterna es una uncón del volumen y del calor, pero en determnadas ocasones, es más útl, contar con una uncón que nos permta trabajar con la presón como varable, para ello, usamos la entalpía, ya que las reaccones químcas se producen, en su gran mayoría, a presón constante Se dene la entalpía como: H = U + pv Derencando la ecuacón anteror y tenendo en cuenta la dencón de la energía nterna tenemos:

6 dh = du + pv = d ' Q pdv + pdv + Vdp = d ' Q + Vdp por lo tanto, en un proceso a presón constante, el calor será gual a la varacón de entalpía, según lo que hemos obtendo en la ecuacón anteror: En un gas deal, la entalpía, por ser uncón de estado, toma el msmo valor, ndependentemente del camno segudo, dependendo solamente de los puntos ncal y nal de la trayectora seguda por el gas. La expresón que nos da la entalpía para un determnado proceso en un gas deal vene dada por: H = nc T = nc T T ( ) p p Sendo n el número de moles que sure la transormacón, c p el calor especíco a presón constante y T las respectvas temperaturas nal e ncal, usando el subíndce para denotar el estado nal y el subndce para denotar el estado ncal. Se observa que la varacón de entalpía de un gas deal concde con el calor a presón constante. Una de las aplcacones de la entalpía es expresar los cambos energétcos que se producen el las reaccones químcas, una manera de hacerlo es medante las ecuacones termoquímcas, en las que se recoge, los reactvos, los productos, además de su grado de agregacón y tambén la varacón de entalpía. S dcha varacón de entalpía es negatva la reaccón se dce que es exotérmca, es decr desprende calor y s es postva, la reaccón se dce que es endotérmca, es decr, absorbe calor. La ley de Hess, nos permte hallar la varacón de entalpía en una determnada reaccón químca a partr de otras reaccones, se basa en el hecho de que el ntercambo energétco es el msmo tanto s la reaccón se produce en una etapa, como s ésta se produce en varas, sempre que los reactvos ncales y los productos sean los msmos, la expresón matemátca para la ley de Hess es la sguente: H = H H reacc productos reactvos 0 Donde H representa la entalpía de ormacón estandar, es decr el calor desprenddo o absorbdo a presón constante cuando se orma un mol de compuesto en condcones estándar de presón y temperatura. A contnuacón se expone un cuadro resumen de las expresones a usar en cada proceso para calcular las magntues tratadas anterormente: W Q U H Isotérmco V V 0 0 nrt ln nrt ln V V p V V ncp T ncv T ncp T Isóbaro ( ) Isócoro 0 ncv Adabátco ncv T ncv T ncp T T 0 ncv T ncp T

7 Ejemplo 21.- Dar una nterpretacón geométrca del trabajo en un dagrama p-v. La dencón matemátca de trabajo es: W Vv = V Un dagrama p-v es un dagrama que representa en el eje x el volumen y en el eje y la presón, con lo cual, en térmnos de x y (x), podemos decr que el trabajo es: x x pdv ( ) W x dx = Con lo cual, podemos decr, que prenscndendo del sgno, el trabajo representa el área encerrada debajo de la lnea que dene la transormacón a la que está sometdo el sstema consderado: El área es el trabajo en valor absoluto, por lo que será necesaro jar un crtero para los sgnos del trabajo, de aquí en adelante, en todos los problemas usaremos el denomnado crtero egosta, según el cual, s el sstema recbe trabajo del exteror, este trabajo será consderado postvo, mentras que s el sstema realza trabajo contra el exteror, éste será consderado negatvo. Esto quere decr, que smpre que el sstema realce una compresón, es decr, el trabajo es realzado desde el exteror sobre el gas, el trabajo será postvo y sempre que tenga lugar una expansón del gas el trabajo será negatvo, ya que, es el gas el que realza el trabajo contra el exteror. Ejemplo 22.- Por qué es ncorrecto decr que un sstema termodnámco contene calor? No es correcto decr que un sstema termodnámco tene calor debdo a que el calor es una orma de energía en tránsto entre dos cuerpos que se encuentran a derente temperatura, por lo que un sstema cederá o absorberá una determnada cantdad de calor dependendo de qué tenga al lado. Por lo

8 tanto, un sstema no contene calor, sno que cede o absorbe calor al medo o al cuerpo con el que se ponga en contacto. Ejemplo 23.- Se puede calentar un trozo de helo con otro trozo de helo? S entendemos que calentar es producr un aumento de temperatura, se puede calentar un trozo de helo con otro sempre que éste últmo se encuentre a mayor temperatura que el prmero. Ejemplo 24.- En qué transormacón de un gas deal, la varacón de energía nterna es gual al calor ntercambado en el proceso? y en cuál la varacón de energía nterna concde con el trabajo? La varacón de energía nterna es gual al calor en las transormacones a volumen constante, esto se puede demostrar recurrendo el prmer prncpo de la termodnámca, según el cual: Vv U = Q + W = Q pdv S el proceso que tene lugar es a volumen constante dv=0, por lo que: Vv V = 0 V Vv U = Q + W = Q pdv V U = Q pdv U = Q La varacón de la energía nterna concde con el trabajo en el caso de la transormacón adabátca, la dencón de transormacón adabátca es que el calor ntercambado en dcha transormacón es cero, por lo que, aplcando el prmer prncpo de la termodnámca: U = Q + W U = W Ejemplo 25.- S representamos las varacones de calor especíco en uncón de la temperatura, qué sería el área bajo la curva? En esta cuestón se nos pregunta por la nterpretacón geométrca de la representacón del calor especíco en uncón de la temperatura. La respuesta es que el área representada es el calor. Usando las msmas propedades que en el problema 21, tenemos que: ' 1 Q c = Q = ncdt n T T T0 v El área representada es el valor absoluto del calor, por lo que, al gual que hcmos con el trabajo tenemos que asgnar un sgno a cada tpo de calor. Usaremos el crtero egosta tambén para el calor, esto quere decr que, s el calor es absorbdo por el sstema, tendremos un calor al que asgnaremos un sgno postvo, mentras que s el calor es ceddo por el sstema, asgnaremos un sgno negatvo al calor:

9 Ejemplo 26.- Elge una respuesta justcando la eleccón Introducmos dos cuerpos de dstnto calor especíco en una estua, alcanzarán la msma temperatura? a) No, el de mayor calor especíco se calentará hasta temperaturas más altas b) No, el de menor calor especíco se calentará hasta temperaturas más altas c) Sí, después de un tempo sucentemente largo d) S, ya que el calor especíco no nluye en el calentamento de un cuerpo dentro de una estua. La respuesta correcta es la c), cuando ponemos dos cuerpos en una estua, una vez que transcurre un determnado tempo, el sstema ormado por la estua y los dos cuerpos alcanza el equlbro térmco, caracterzado por que la temperatura es la msma en todos los puntos del sstema, por lo que la temperatura de los dos cuerpos es la msma e gual a la temperatura de la estua. Ejemplo 27.- Representa en un dagrama presón-volumen un proceso sócoro, uno sóbaro y uno sotérmco. En un dagrama p-v, un proceso sócoro, o a volumen constante se representa como una línea vertcal, es decr: Por otra parte, un proceso sóbaro, se representará como una línea horzontal, es decr:

10 Por últmo, un proceso sotérmco, es decr, a temperatura constante, se representa en un dagrama p-v como una parábola equláctera, es decr, una línea curva de pendente negatva: Ejemplo 28.- Qué es una uncón de estado? Indca cuáles de las sguentes magntudes son uncones de estado y cuales no: Calor, trabajo, entalpía, energía nterna. Una uncón de estado se dene como una varable termodnámca que caracterza al sstema en cada estado del msmo, o lo que es lo msmo, es una varable termodnámca cuya varacón no depende del camno segudo, sno de los puntos ncal y nal del sstema consderado. Son uncones de estado la entalía y la energía nterna, ya que la expresón que nos da su varacón a lo largo de un determnado proceso es la msm, mentras que, el calor y el trabajo no son uncones de estado, ya que, dependendo del tpo de proceso al que se someta el gas, la expresón y, por lo tanto, el valor del trabajo o calor, será dstnto en cada caso. Ejemplo 29.- Un mol de gas deal monoatómco evolucona desde A a B por dos camnos derentes, a) de A a B drectamente a través de la soterma de 290K y b) de A a C y de C a B, tal y como muestra la sguente gura, determna por ampos camnos el calor puesto en juego, el trabajo realzado y la varacón de energía nterna, analzando los sgnos que adqueren estas magntudes en todos los casos.

11 La varacón de la energía nterna que se produce por ambos camnos (drectamente de A a B y pasando por el punto ntermedo C), es la msma, ya que la energía nterna es una uncón de estado y no depende del camno segudo, sno de los puntos ncal y nal de la trayectora, que en este caso son los msmos en los dos camnos. Esta varacón de la energía nterna vendrá dada por: 3 U = ncv T = 1 8,31 ( ) = 0 J 2 La varacón de energía nterna en el proceso de A a B es cero en ambos casos, ya que A y B están en la mma sotérma, y, todos los punto que se encuentran sobre una msma soterma tenen el msmo valor de la varacón de la energía nterna. Por otro lado, el proceso que va de A a B es un proceso de expansón, por lo que, tenendo en cuenta el crtero de sgnos que se expuso anterormente, el trabajo será negatvo y el calor, para que se cumpla el prmer prncpo de la termodnámca, será de gual valor, pero de sgno postvo, por lo que, en el proceso de A a B el sstema absorbe calor. Para el proceso que va drectamente del punto A al punto B, podemos calcular el trabajo, usando que en un proceso sotérmco, el trabajo vene dado por la expresón: V W = nrt ln V Para nuestro caso: V B W = nrt ln VA Además, sabemos que el volumen del punto C y el volumen del punto B es el msmo y que la transormacón AC es a presón constante, por lo que: VA VC VA VB VB TC = = = T T T T V T A C A C A A Con lo que, la expresón del trabajo nos queda: T C 400 W = nrt ln = 1 8, ln = 775 J TA 290 Con lo que el calor lo sacamos del prmer prncpo de la termodnámca, tenendo en cuenta que, como es un proceso sotérmco, la varacón de energía nterna es ero (como habíamos obtendo antes) y, por lo tanto, el calor es gual al trabajo cambado de sgno: { U = Q + W Q = W = 775 J = 0 Vamos a analzar ahora los procesos AC y CB, el proceso AC es un proceso a presón constante, en el que la varacón de la energía nterna vene dada por: 3 U = ncv T = 1 8, 31 ( ) = 1371J 2

12 Por otro lado, el calor, vendrá dado por la expresón: 5 Q = ncp T = 1 8,31 ( ) = 2285J 2 Por últmo, podemos determnar el valor del trabajo en este proceso usano el prmer prncpo de la termodnámca: U = Q + W W = U Q = 914 Ahora analzaremos el proceso CB, para este proceso, la varacón de energía nterna vendrá dada por: 3 U = ncv T = 1 8,31 ( ) = 1371J 2 Por se un proceso a volumen constante, el trabajo será cero y el calor valdrá lo msmo que la varacón de la energía nterna: U = Q + W Q = U W = 1371J. Ejemplo 30.- Se realza una transormacón sotérmca en un gas perecto desde un volumen de 10 ltros, presón 5 atm y temperatura 300 K hasta que el volumen se reduce a la mtad. Calcula: a) Presón nal del gas b) Número de moles c) Trabajo y calor en la transormacón. )Tenemos que en el estado ncal el volumen es de 10 ltros y la presón es de 5 atmóseras, sendo la temperatura ncal 300 K, la transormacón que se hace es sotérmca reducendo el volumen a la mtad, por lo tanto en el estado nal tenemos un volumen de 5 ltros a una temperatura de 300 K, ya que nos dcen que la transormacón es sotérmca. Para determnar la presón en el estado nal, debemos aplcar la relacón exstente entre las coodenadas del gas en el estado ncal y en el estado nal en una transormacón sotérmca, según la cual: pv = p V 5 10 = 5 p p = 10 atm. b) Para calcular el número de moles, basta con aplcar la ecuacón de estado del gas deal a cualquera de los dos estados (el número de moles es constante, ya que, el sstema es cerrado). Aplcando la ecuacón de los gases al estado ncal obtenemos: pv 5 10 pv = nrt n = = = 2,03 moles. RT 0, c) Para calcular el trabajo en la transormacón, debemos, en prmer lugar, dencar el tpo de transormacón de que se trata y, en uncón de eso, usar una u otra expresón. En este caso tenemos una transormacón sotérmca, por lo que la expresón para el trabajo es: V W = nrt ln V Susttuyendo los datos del problema obtenemos:

13 V 5 W = nrt ln = 2, 03 8, ln = 3508J V 10 Ejemplo 31.- Calcular la cantdad de calor que hace alta para duplcar el volumen en una transormacón sóbara de 50 l de oxígeno que se encuentra a 20 ºC y a 2 atm de presón. Calcular el trabajo puesto en juego en el proceso. En prmer lugar determnaremos las coordenadas (p,v,t) de los estados ncal y nal del gas, para ello, tendremos en cuenta que los estados ncal y nal que tenemos, según los datos que nos da el problema son: Para determnar la presón del estado nal, tendremos en cuenta que el proceso es sotérmco, por lo tanto, podemos relaconar los estados ncal y nal del gas medante la ecuacón: pv = p V Susttuyendo los datos de los que dsponemos en el problema: 2 50 = p 100 p = 1atm Calcularemos tambén el número de moles que tenemos de gas, ya que, en calculos posterores necestaremos este dato para poder llevar a cabo los cálculos pertenentes, para ello, usaremos la ecuacón del gas deal en cualquera de los dos estados con los que contamos, por ejemplo, en el prmer estado, podemos sacar el número de moles como: pv 2 50 pv = nrt n = = = 4,16 moles. RT 0, Ahora pasaremos a calcular el calor y el trabajo, tenendo en cuenta que se trata de un proceso sotérmco, calcularemos el trabajo como: V W = nrt ln V Susttuyendo los datos del problema, obtenemos para el trabajo un valor de: V 100 W = nrt ln = 4,16 8, ln = 7021J V 50 Para calcular el calor, tendremos en cuenta que el proceso tratado es un proceso sotérmco, por lo que la varacón de energía nterna es cero y, tenendo en cuenta el prmer prncpo de la termodnámca, el calor será gual al trabajo cambado de sgno: U = Q + W U = 0 Q = W Q = 7021J Ejemplo 32.- Se tene 1 g de ntrógeno (masa molecular=28 g/mol) a 0ºC y a presón de 1 atm. Calcular: a) El volumen ocupado por el gas b) Se calenta el gas hasta 100 ºC a presón constante Qué cantdad de calor se necesta y cuál es la presón nal?

14 c) A partr del msmo estado ncal se calenta de nuevo a 100 ºC, pero ahora a volumen constante, calcular a la cantdad de calor que se necesta y la presón nal. Para calcular el volumen ocupado por el gas, usaremos la ecuacón del gas deal, según la cual: pv = nrt Tenendo en cuenta que el número de moles se puede poner como la masa en gramos partdo por la masa molecular, tendremos que el volumen de la ecuacón del gas deal nos queda: m( g ) m( g ) RT pv = RT V = M m M m p Usando los datos del problema nos da un volumen de: m( g ) RT 1 0, V = = = 0,80 L M m p 28 1 Ahora tenemos que se produce un proceso a presón constante hasta que el gas se calenta hasta una temperatura de 100 ºC, la representacón esquemátca del proceso es la sguente: En prmer lugar, calcularemos el volumen del estado nal. Tenendo en cuenta que el proceso es a presón constante, relaconaremos las coordenadas del estado ncal y nal medante la ecuacón: V V 0,80 V = = V = 1,09 L T T Tenendo en cuenta que tenemos un proceso a presón constante, el calor lo calcularemos como: 7 Q = ncp ( T T ) = n R( T T ) 2 El número de moles de ntrógeno que tenemos será: m( g ) 1 n = = = 0,036 moles M m 28 En donde hemos tendo en cuenta que el gas con el que estamos tratando es un gas datómco por lo que la expresón para la capacdad caloríca molar a presón constante es 7/2R. Susttuyendo los valore numércos del problema tenemos: 7 7 Q = ncp ( T T ) = n R( T T ) = 0, 036 8, 31 ( ) = 104, 7 J 2 2 c) El proceso que tenemos ahora es a volumen constante. La presón nal en este caso la calcularemos usando la relacón exstente entre las coordenadas de un gas en el estado ncal y nal en un proceso a volumen constante:

15 p T p 1 p = = p = 1,37 atm T El calor será, según la expresón expuesta en la parte de teoría: 5 5 Q = ncv ( T T ) = n R( T T ) = 0, 036 8,31 ( ) = 74,8 J. 2 2 Ejemplo 33.- Un mol de un gas deal monoatomco ncalmente a una temperatura de 27 ºC y presón de 1 atm se calenta a volumen constante hasta duplcar su presón. A contnuacón se reduce su volumen a la mtad mantenendo constante su presón. a) Representar el proceso en un dagrama p-v. b) Calcular la temperatura nal. c) Calcular el trabajo ntercambado. d) Calcular el calor ntercambado. El esquema de los estados por los que pasa el gas es el sguente: En prmer lugar, empezaremos completando los estados desconocdos. En el prmer estado, para determnar el volumen, aplcamos la ecuacón del gas deal: nrt 1 0, pv = nrt V = = = 24,6 L p 1 La prmera transormacón nos dce que es a volumen constante, hasta que se duplca la presón, por lo tanto, el volumen en el segundo estado será gual que en el prmero, es decr 24,6 L, para determnar la temperatura del segundo estado, podemos, o ben aplcar la relacón exstente entre las coodenadas del gas en el estado ncal y nal de una transormacón a volumen constante, o podemos aplcar la ecuacón del gas deal, optaremos por esta últma opcón: pv 2 24, 6 pv = nrt T = = = 600 K nr 1 0, 082 La segunda trasormacón nos dcen que se produce mantenendo constante la presón y que en dcha transormacón el volumen se reduce a la mtad, por lo que, en este tercer estado el volumen del gas será de 12,3 L, la temperatura la hallaremos usando el msmo método que en el caso anteror, por lo que, dcha temperatura será de: pv 2 12,3 pv = nrt T = = = 300 K nr 1 0, 082 Por lo tanto, el esquema de los estados por lo que pasa el gas será:

16 Una vez conocdas las coordenadas de los estados por las que pasa el gas, ya podemos representar el proceso en un dagrama p-v, dcho proceso será: b) El apartado ya está contestado en el a) medante el cálculo de las coordenadas de los puntos selecconados. c) Ahora vamos a calcular el trabajo ntercambado, el trabajo ntercambado en un proceso de varas etapas es gual a la suma de los trabajos que se ntercamban en cada uno de los procesos por separado: Wtot = W1 2 + W2 3 El trabajo en el proceso de 1 a 2 es el trabajo ntercambado en un proceso a volumen constante, por lo tanto es nulo, mentras que, el trabajo en el proceso de 2 a 3, tenemos que calcularlo medante las expresones dadas en la teoría: W1 2 = 0 Wtot = W1 2 + W W2 3 = p( V3 V2 ) = 2 1, ( 12, , 6 10 ) = 2492J El trabajo total será: W tot = = 2492 J El calor total se calculará de gual manera que el trabajo, sumando los calores de los procesos: 3 Q1 2 = ncv ( T T ) = 1 8,31 ( ) = 3739J 2 Qtot = Q1 2 + Q2 3 5 Q2 3 = ncp ( T T ) = 1 8, 31 ( ) = 6232J 2 Q = = 2492J tot ( )

17 Ejemplo 34.- Se expansonan reversble y adabatcamente un gas deal datómco desde un volumen de 2 l a presón de 2 atm y temperatura de 300 K, hasta que su temperatura nal sea la cuarta parte de la ncal. Se pde: a) Volumen y presones nales. b) Trabajo y varacón de energía nterna en la transormacón. a) Tenemos una transormacón adabátca, en esta transormacón, varían tanto la presón como el volumen como la temperatura. La representacón esquemátca del problema sería la sguente: En este caso, no podemos usar la expresón de la adabátca: γ γ pv = p V En esta expresón desconocemos tanto la presón como el volumen nales, por lo que su aplcacón no conducría a nngún resultado, por lo tanto usaremos: γ 1 γ 1 TV = T V Susttuyendo los datos que tenemos en el problema y tenendo en cuenta que el gas es datómco, por lo que: 7 R/ γ = 2 = 7 / 5 = 1,4 5 R/ 2 TV = T V = 75 V γ 1 γ 1 1,4 1 1,4 1 V = 64L La presón se calculará aplcando la ecuacón de los gases deales, tenendo en cuenta que el número de moles con los que contamos es: pv 2 2 pv = nrt n = = = 0,163 moles RT 0, nrt 0,163 0, pv = nrt p = = = 0,063 atm V 64 Por lo tanto, completando los datos desconocdos que hemos obtendo ahora,el cuadro de los estados ncal y nal del gas queda como sgue: b) El calor es nulo en una transormacón adabátca, por lo que, aplcando el prmer prncpo de la termodnámca tendremos:

18 U = Q + W Q = 0 U = W La varacón de energía nterna se calcula usando la msma expesón, ndependentemente del tpo de proceso que tengamos, por lo que, aplcado a este caso en partcular: 5 U = ncv ( T T ) = 0,063 8,31( ) = 294,5 2 Ahora, usando el prmer prncpo de la termodnámca: U = Q + W Q = 0 U = W W = 294,5J Ejemplo 35.- Hallar la varacón de energía nterna que se produce al undr 1 kg de helo a presón atmosérca. (La densdad del helo es de 0.9 g/cm 3 ). Para este caso no podemos aplcar la expresón usada para los gases deales para calcular la energía nterna, sn embargo, las órmulas del calor y del trabajo sguen sendo váldas y el prmer prncpo de la termodnámca tambén, por lo que, podemos calcular la varacón de la energía nterna sumando calor y trabajo, para los cuales s que tenemos expresones váldas. Tendremos en cuenta además, que el proceso de usón tene lugar a presón constante e gual a la presón atmosérca. El calor, como vmos en el tema anteror, se puede calcular como: Q = ml usón = = J Por otro lado, el trabajo en un proceso a presón constante, vendrá dado por: W = p V V = 1, ,9 10 = 10,13 J ( ) ( ) El calor lleva un sgno postvo, ya que, el sstema (1 kg de helo) absorbe calor, por lo que, dcho calor lo tomaremos postvo tal y como se expuso cuando se habló del crtero de sgnos en la parte teórca del tema. La varacón de energía nterna será: U = Q + W U = ,13 = ,87J Ejemplo 36.- Un gas perecto batómco sure una compresón poltrópca, pasando de ocupar un volumen de 15 ltros a una presón de 0,95 atmóseras a ocupar 4 ltros a 7 atmóseras: a) Obtener el coecente de poltropía y el calor especíco. b) Trabajo realzado durante la transormacón. c) Temperaturas ncal y nal para 1 mol de gas. El esquema de la transormacón que sure el gas es el sguente: Tenemos que hallar el índce de poltropía, para lo cual, aplcamos la ecuacón de la poltrópca, según la cual: n n pv = p V De donde podemos sacar:

19 n n p V pv = p V = p V Tomando logarítmos en ambos membros de la ecuacón podemos despejar n: p n ln p V p V p ln ln ln n ln n = = = p V V p V ln V Susttuyendo los datos que nos da el problema, podemos calcular el coecente de poltropía de la trasnormacón: p ln 0,95 p ln 7 n = = = 1,51 V 4 ln ln V 15 b) El trabajo en una trasnormacón poltrópca vene dado por la expresón, ya vsta en la parte teórca: V V V 1 n 1 n CTE dv V n V n n V V 1 n V V V W = pdv = dv = CTE = p V Susttuyendo los datos que nos da el problema, tenemos: ( ) 3 3 ( ) ( ) 1 1,51 1 1, , W = 0,95 1, = 2723J 1 1,51 c) Las temperaturas ncal y nal para 1 mol de gas, se calcularán usando las ecuacones del gas deal: pv Para el estado ncal: Para el estado nal: pv = nrt T = nr pv 0,95 15 pv = nrt T = = = 173,78 K nr 1 0, pv = nrt T = = 341, 46 K 1 0, 082 n