Objetivos de aprendizaje. Esta guía es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos:

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1 FIS120: FÍSICA GENERAL II GUÍA#7: Campo magnétco, orgen. Objetvos de aprendzaje. Esta guía es una herramenta que usted debe usar para lograr los sguentes objetvos: Analzar los fenómenos que organ los campos magnétcos. Determnar el campo magnétco provocado por cargas en movmento. I. reguntas Conceptuales Responda usando argumentos técncos las sguentes preguntas. Apóyese en gráfcos y ecuacones según corresponda. Sea precso y claro en sus respuestas. Ver capítulo 35 del lbro 1 a) Cuáles son las ventajas y desventajas de la lay de Ampere y la ley de Bot-Savart respecto del cálculo práctco del campo magnétco? b) Bajo qué condcones se puede utlzar la Ley de Ampere para determnar el campo magnétco? c) Dbuje las líneas de campo magnétco en el nteror y exteror de un clndro, por el cual crcula una corrente dstrbuda unformemente en la dreccón longtudnal del clndro. d) Suponga que tene tres alambres paralelos largos, dspuestos de modo que, vstos en seccón transversal, se hallan en los vértces de un trángulo equlátero. Hay alguna manera de dsponer la correntes de modo que los tres alambres se atragan mutuamente? Y de modo que los tres alambres se repelen unos a otros? Explque su respuesta. e) Determne la veracdad de las sguentes afrmacones:. El campo magnétco debdo a un elemento de corrente es paralelo a este elemento.. El campo magnétco producdo por un elemento de corrente varía en razón nversa con el cuadrado de la dstanca al elemento.. El campo magnétco debdo a un conductor largo varía en razón nversa con el cuadrado de la dstanca al conductor. v. las líneas de campo magnétco son sempre curvas cerradas. 1 Hallday, Resnck and Krane, volumen 2 cuarta edcón. Y/O los capítulos correspondentes de cualquera de los otros lbros de consulta. 1

2 II. roblemas propuestos. (1) Un delgado solenode de 12[cm] de largo tene un total de 420 vueltas de alambre y porta una corrente de 2[A]. Calcule la magntud del campo en el nteror del solenode, cerca del centro. (2) Se tene un cable formado por dos conductores concéntrcos, tal como se muestra en la fgura. El del centro, clíndrco de rado R 1 lleva una corrente y el del exteror, cascaron clíndrco de rados nteror R 2 y exteror R 3, lleva una corrente 2 en sentdo contraro, determnar a que dstanca r del eje, el campo magnétco es cero. (3) La fgura representa dos conductores nfntos que están en dreccones perpendculares sobre los ejes x e y respectvamente, por ambos conductores crcula una corrente de magntud y dreccones mostradas en la fgura. Determne el vector de campo magnétco en el punto, ubcado en la poscón r = (R,,0). Hnt: desprece el efecto de la ondulacón en el orgen del sstema de coordenadas. Los alambres no están undos ẑ y x (4) Consdere una espra formada por dos semcírculos coplanares concéntrcos, de rados R y respectvamente, undos por dos segmentos como muestra la fgura. Suponga que por la espra crcula una corrente de magntud I, determne el vector de campo magnétco en el centro O de los semcírculos. R O (5) 4 cables vertcales, nfntos, paralelos y equdstantes (separados por dstanca L) se colocan en un plano vertcal. or cada uno de ellos crcula una corrente I haca arrba. Calcule la magntud de la fuerza magnétca, por undad de largo, que actúa sobre el segundo cable. (6) UnaespraderadoR = 0,3[m],porlacual crcula una corrente I 1 = 5[A], está ubcada al costado de un alambre nfnto por el cual crculauna correntei 2, comomuestra la fgura. ara que el campo magnétco en el centro de la espra sea nulo, la corrente I 2 debe ser aproxmadamente. (use π 3) I (7) or el alambre de la fgura, crcula una corrente. El campo magnétco en el punto (punto medo tramo vertcal) producdo por la corrente que crcula por el trazo A B del conductor de la fgura, se puede escrbr como: B() = (B x,b y,b z ). a) Determne el sgno de cada una de las componentes de dcho vector. b) Además s le gustan los desafíos, determne el vector B(). z y I x 2

3 A a a ca afuera de esta hoja, está unformemente dstrbuda a través de la seccón transversal del conductor (parte achurada ). Determne el vector de campo magnétco en el punto. 2a B (8) La fgura muestra las seccones crculares de dos clndros muy largos de rado R, de ejes paralelos, por los cuales crculan correntes de gual ntensdad I, en sentdos opuestos. Calcule el vector de campo magnétco que producen en los puntos y Q, suponendo que las correntes están unformemente dstrbudas y los puntos están frente al centro de ambos clndros. R R R (9) Un largo conductor clíndrco de rado R tene dos cavdades de dámetro R a través detodasulongtud,comoseveenlafgura. Una corrente de ntensdad I, drgda ha- Q Respuesta a problemas propuestos: (1) B = 280π 10 5 [T] (2) r = R 2 2 +R2 3 2 (3) B = 4πRẑ µ0 (4) B = µ0 8Rẑ (5) F/L = µ02 4πL (6) I 2 15[A] (7) a) B x = B y = 0 y B z < 0 b) B ( 17 = µo ) 5 2πa 85 (8) B() = µ0 2πRŷ, B(Q) = µ0 6πRŷ (9) B = 9µ0I 34πRŷ III. roblemas resueltos. (1) Dos conductores uno clíndrco de rado R (central) y otro con forma de cascaron clíndrco de rados y 3R (perférco), de largo nfnto, se ubcan concéntrcamente como muestra la Fgura. or el conductor central crcula unformemente dstrbuda una correntei 0 en dreccón ẑ, por el conductorperfércotambén crcula una corrente total de gual magntud I 0, unformemente dstrbuda en dreccón +ẑ. ara responder las sguentes preguntas, suponga que el orgen del sstema coordenado (x, y, z) = (0, 0, 0) está ubcado en el centro del conductor clíndrco. a) Determne la veracdad de la sguente afrmacón: El vector de campo magnétco en el punto (x,y,z) = (5R/2,0,0) tene dreccón ŷ. Respuesta: Verdadero. El punto (x,y,z) = (5R/2,0,0) se encuentra en el nteror del cascaron cĺındrco, dada la smetría radal de la dstrbucón de correntes, podemos usar la ley de Ampere, s 3

4 tomamos una crcunferenca de rado 5R/2 centrada en el orgen, podemos asegurar que el campo magnétco tene una magntud constante sobre dcha crcunferenca y una dreccón tangencal en cada punto. Como la corrente encerrada neta va en dreccón ẑ (la corrente del clndro I 0 va en ẑ y la corrente del cascaron de un valor menor que I 0 en dreccón ẑ). Usando regla de la mano derecha el campo ra tangencal al crculo dando vuelta en el sentdo de las manecllas del reloj. Luego en (x,y,z) = (5R/2,0,0) tene dreccón ŷ. b) Determne la veracdad de la sguente afrmacón: El vector de campo magnétco en el punto (x,y,z) = (4R,4R,0) tene magntud nula. Respuesta: Verdadero. Una crcunferenca de rado 4 pasa por el punto (x,y,z) = (4R, 4R, 0) y encerra ambos conductores, luego dada la smetría de las correntes estamos seguros que el campo magnétco no es perpendcular al vector de trayectora sobre dcha crcunferenca (el producto punto es dstnto de cero), luego como la corrente encerrada es cero, de a ley de Ampere B d l = 0, como B tangencal, la únca solucón es que el campo magnétco sea nulo. c) Determne el vector de campo magnétco en los puntos 1 = (R/2,0,0), 2 = (R,R,0) y 3 = (5R/2,0,0). Respuesta: En base a la argumentacón dada en las preguntas anterores podemos usar la ley de Ampere para determnar el campo magnétco: ara 1 = (R/2,0,0) dada la smetría de las correntes, podemos asegurar que el campo magnétco en una crcunferenca de rado R/2, tene magntud constante y dreccón tangencal a dcha trayectora crcular. Además como la corrente está dstrbuda unformemente, J es constante gual a la corrente total dvdo por la área total del conductor central, luego: B R d l = µ0 J da B 2π R 2 B 2π R 2 0 R/2 ( ) I0 = µ 0 0 πr 2 2πrdr ( ) I0 = µ 0 πr 2 π R2 4 B = µ 0I 0 4πR Como la dreccón del campo magnétco es tangencal a la crcunferenca de rado R/2 y sgue la regla de la mano derecha, en el punto 1 = (R/2,0,0) es: B(1 ) = µ 0I 0 4πR ( ŷ) ara 2 = (R,R,0), la corrente encerrada es sólo I 0, s tomamos una crcunferenca de rado r = el campo magnétco tene magntud constante y dreccón tangencal a dcha crcunferenca grando en sentdo del reloj, luego: B dl = µ 0 I enc B 2πr = µ 0 I 0 4 B = µ 0I 0 2πr

5 Sabemos que el campo magnétco es tangencal a dcha crcunferenca en el punto 2, luego el vector será: B( 2 ) = B (cos45 ˆx sen45 ŷ) µ 0 I 0 B( 2 ) = 2 2πR ( 1 1 ŷ) 2ˆx 2 B( 2 ) = µ 0I 0 4πR (ˆx ŷ) ara 3 = (5R/2,0,0), la corrente encerrada es I 0 más parte de cascaron cĺındrco que encerra una crcunferenca de rado r = 5R/2, en dcha crcunferenca el campo magnétco tene magntud constante y dreccón tangencal en sentdo del reloj, luego: B dl = µ 0 I enc ( B I0 2πr = µ 0 [I 0 5πR 2 B 2π 5R ( = µ 0 I 0 9I ) B = 11µ 0I 0 100πR ) ( π ( ) )] 2 5R 4πR 2 2 Sabemos que el campo magnétco es tangencal a dcha crcunferenca en el punto 3, luego el vector será: B( 3 ) = B ( ŷ) B( 3 ) = 11µ 0I 0 100πR ( ŷ) (2) Dos alambres conductores nfntos tenen la forma mostrada en la fgura, ambos con dos tramos rectos y un tramo crcular (1/4 de crcunferenca) de rado R. or uno de los alambres crcula una corrente de magntud gual al doble del otro, en las dreccones que se ndcan. Cuál es el vector de campo magnétco en el punto, que representa el centro de los tramos crculares? I I I B R A #$ R C 2I D 2I!" 2I Respuesta: Usando la ley de Bot-Savart, sabemos que el campo magnétcoes: B = µ 0 4π r donde 2 r es el vector que va desde el elemento de corrente hasta el punto donde queremos medr el campo magnétco. S calculamos por tramos tenemos: Tramo desde el nfnto hasta el punto A, de B hasta el nfnto, de D hasta el nfnto y desde el nfnto hasta C: En estos casos en todo el tramo el vector r y d l son paralelos, por lo tanto el campo debdo a esos tramos es cero. Tramo desde punto A hasta B: Es un tramo crcular de rado R, en este caso el vector r va, en todo el tramo, en dreccón radal y el vector d l es tangencal a la trayectora crcular, por lo cual d lˆr 5

6 ambos vectores son perpendculares para todo punto en el cuarto de crcunferenca, luego: B1 = µ0 4π µ0 d l ˆr r 2 I(dl ˆt) ˆr B1 = 4π R 2 B1 = µ 0I 4πR 2 dl ( ẑ) B1 = µ 0I πr 4πR 2 2 ( ẑ) B1 = µ 0I 8R ( ẑ) Observacón: la dreccón del vector se determna usando regla de la mano derecha. Tramo desde punto C hasta D: Es un tramo crcular de rado R, en este caso el vector r va, en todo el tramo, en dreccón radal y el vector d l es tangencal a la trayectora crcular, por lo cual ambos vectores son perpendculares para todo punto en el cuarto de crcunferenca, luego: µ0 d B2 = lˆr 4π r 2 µ0 2I(dl ˆt) ˆr B2 = 4π R 2 B2 = µ 02I 4πR 2 dl (ẑ) B2 B2 = µ 02I 4πR 2 πr 2 (ẑ) = µ 0I 4R (ẑ) Observacón: la dreccón del vector se determna usando regla de la mano derecha. El campo magnétco total es la suma del campo producdo por cada tramo del alambre: B = B1 + B 2 B = µ 0 I B = µ 0 I 8R (ẑ) 8R ( ẑ)+ µ 0I 4R (ẑ) 6