EL SOLENOIDE... ES INFINITO? IS THE SOLENOID INFINITELY LONG?

Transcripción

1 E SOENOIDE... ES INFINITO? IS THE SOENOID INFINITEY ONG?, María u Franquero, Gastón Manestar, Eduardo Poggo, Gabrel Raffa,,,3, lana I. Pere, Gullermo Santago Marana Mesaros, Departamento de Físca, Facultad de Ingenería, UA- Grupo de Óptca Vsón, Departamento de Físca, Facultad de Ingenería, UA- 3 CONICET- aboratoro áser, Departamento de Físca, Facultad de Ingenería, UA mmesaro@f.uba.ar Habtualmente, en los cursos de Electrcdad Magnetsmo, el cálculo del campo magnétco generado por una bobna de seccón crcular es abordado usando muchas pero no especfcadas aproxmacones, tanto desde la e de ot Savart como desde la e de Ampère (consderando materales lneales. En el prmer caso se consdera un modelo de solenode fnto o nfnto como superposcón de muchas espras se usa el resultado del campo generado en el eje para una espra crcular por la que crcula corrente. De este modelo se obtene un resultado para la determnacón del campo magnétco en el eje del solenode que se supone tambén váldo para todo punto dentro del msmo desprecando efectos de borde. En el segundo, se supone que el solenode es nfnto o que se desprecan efectos de borde se acepta como acto de fe que el campo fuera del solenode puede consderarse nulo. En este trabajo, realado entre docentes alumnos a formados, proponemos una manera poco usual de abordar la enseñana del problema en las clases de Físca II de la Facultad de Ingenería de la UA comparar los resultados analítcos con resultados numércos obtendos a partr de programas comercales. Tambén se muestran dstntos métodos de resolucón, dejando en claro las suposcones que se hacen para usar cada modelo, se propone un análss de las ventajas desventajas de la enseñana de cada uno desde el punto de vsta ddáctco. Palabras claves: e de ot Savart, e de Ampère, Campo Magnétco, Solenode In elementar Electrct and Magnetsm courses the magnetc feld of a solenod s computed usng ether the ot & Savart s aw or the Ampère s aw (consderng lnear materals, assumng man -but not clearl specfedapproxmatons. In the frst case, a fnte of nfnte solenod s modeled through the superposton of a lot of loops, and the generated magnetc feld s computed on the axs usng the expresson for a sngle col. Then the obtaned result s assumed vald for ever pont nsde the solenod, not takng nto account edge effects. In the second case, t s supposed that the solenod s nfnte or that edge effects can be neglected, and t s accepted that the magnetc feld outsde the solenod vanshes. In ths paper, made b professors and formed students, we propose an unusual wa to approach the teachng of the problem that can be used n the Phscs II courses at the Engneerng School of uenos Ares Unverst. We compare the analtcal expressons wth numercal results obtaned usng commercal software. The dfferent resoluton strateges are analed, clarfng the assumptons made for each model. Also, the advantages and dsadvantages of each of them from a ddactc pont of vew are presented. Ke Words. ot and Savart s aw, Ampère s aw, Magnetc Feld, Solenod I. INTRODUCCIÓN as dfcultades en la enseñana de Electrcdad Magnetsmo en cursos báscos de las Facultades de Ingenería dependen de muchos factores como, por ejemplo, la cantdad de alumnos en algunas Facultades, la relacón alumnos/docente, la dsponbldad de equpamento personal técnco adecuado acorde a la cantdad de alumnos para realar experencas de aboratoro, los escasos o nulos conocmentos de los alumnos sobre estos temas, los frágles conocmentos prevos de matemátca elemental (aunque generalmente bastante buenos de Análss Matemátco las correlatvdades exgdas. Sn embargo, la dfcultad más apremante dfícl de sobrellevar es el poco tempo dsponble para el dctado de la matera. En nuestra Facultad, el tempo asgnado a Electrcdad Magnetsmo (desde la e de Coulomb a las Ecuacones de Maxwell la Ecuacón de Ondas es de 96 horas reloj en semanas e ncluen los trabajos práctcos de aboratoro. Es por ello que algunos docentes de la matera nos propusmos hacer las clases teórcas más práctcas para lo que nos es mprescndble dsponer de apuntes detallados de determnados temas. Por otra parte, el extenso temaro nos puede llevar, nevtablemente a enseñar problemas típcos (los de lbro sn analar la necesdad de modelos menos o más smples la valde de las aproxmacones realadas en cada uno de ellos para dstntas aplcacones tecnológcas. Son más que conocdas las smples sentencas desprecable, mu chco, mu largo, nfnto, etc. sn hacer nnguna referenca al patrón de comparacón. Algunas afrmacones más completas son mucho más largo que ancho o a dstancas mucho maores que los tamaños característcos sn especfcar en cuánto camba el resultado al aplcar un modelo más complejo o menos

2 complejo. Uno de los objetvos de este trabajo es exponer cual-cuanttatvamente las dferencas entre los resultados obtendos en la determnacón del campo magnétco generado por un solenode en vacío al usar dstntos modelos. Es decr, la realacón de este trabajo tuvo en prncpo un doble propósto. El prmero de ellos fue ntroducr a alumnos avanados de las Carreras de Ingenería de la UA (Audantes- alumnos Colaboradores de la matera Físca II en la profundacón de un tema aparentemente mu estudado cerrado, habtuarse a hacer análss crítcos sobre los que aparece en la blografía famlararse con la búsqueda bblográfca comparatva. El segundo fue dsponer de un sstema que permtera enseñar las lmtacones de los modelos de solenode a los estudantes de la matera sn caer en los lugares comunes o mtos, tales como mucho menor sgnfca la décma parte. Comenamos determnando el campo magnétco generado en todo el espaco por una dstrbucón estrctamente nfnta superfcal clíndrca de corrente (aunque esto sea una dealacón sn el uso del potencal vector -, tema que no corresponde a un curso básco ( que solamente lo estudarán los alumnos que cursen más adelante Electromagnetsmo. Este modelo de solenode es luego consderado como límte de una dstrbucón fnta superfcal clíndrca de corrente se analan las nfluencas de las relacones no solamente entre el largo el rado, sno tambén entre estas cantdades constructvas el punto de observacón. Por últmo, se analan las formas típcas de resolucón (a través de la e de ot Savart de la e de Ampere analando en detalle las restrccones suposcones de las msmas. Tambén se proponen estrategas para superar algunas mprecsones que aparecen en la blografía. II. CÁCUO DE CAMPO MAGNÉTICO II. Campo generado en todo el espaco por un solenode modelado como una dstrbucón superfcal de corrente. A contnuacón proponemos un método para el cálculo del campo magnétco generado por un solenode que no es habtualmente usado en un curso de Electrcdad Magnetsmo. Nos referremos al msmo, como Método modelaremos dcha confguracón medante un clndro de longtud, rado R espesor desprecable por el que crculará una dstrbucón unforme de corrente eléctrca en la dreccón amutal K (Fg.. Analaremos tanto el caso de un solenode de longtud nfnta como el de uno de longtud fnta hallaremos expresones analítcas para los campos creados por estas confguracones en todo punto del espaco. Con este modelo, aplcado a un solenode de longtud nfnta, las expresones de las componentes del campo magnétco pueden ser resueltas analítcamente sn mucha dfcultad, a sea a través de programas comercales de ntegracón analítca (Maple, Mathematca, Mathcad, etc. o a través de tablas poco Fgura.: Clndro de espesor desprecable (superfce clíndrca por el que crcula corrente eléctrca en la dreccón amutal. conocdas en el ambente estudantl 5. a únca dfcultad corresponde a la comprensón de la extensón de la e de ot Savart Idl ( r r ( r 3 μπ ( Γ r r cuando se debe relaconar a la corrente I con la corrente superfcal K utlada en este modelo. Sn embargo, de la Fg. resulta sencllo deducr que δ I K δξ 6,7, mentras que el elemento de longtud dl en el solenode se corresponde conδl ϕ. En consecuenca 3 I dl K ds ( δ n δξ δl Fgura. El vector K representa la corrente eléctrca que crcula por undad de longtud perpendcular al eje del clndro. a expresón de ot Savart aplcada a este modelo de corrente superfcal resulta μ K ( r r ds ( r 3 π (3 r r S Como calcularemos el campo magnétco para cualquer punto del espaco tenemos que el punto campo será r ρ cosϕ xˆ+ ρsnϕ ˆ+ ˆ, mentras que el punto fuente resultará r Rcos ϕ xˆ+ Rsen ϕ ˆ + ˆ. A partr de las ecuacones anterores obtenemos las componentes del campo magnétco en todo punto del espaco: π μkr ( cos ϕ d x dϕ π ρ + R + ( ρr( cosϕcos ϕ + snϕsn ϕ ( K 3/

3 π μkr ( sn ϕ d dϕ π ρ + R + ( ρr( cosϕcos ϕ + snϕsn ϕ (5 π μkr ( ρcosϕcos ϕ ρsnϕsn ϕ + R d dϕ π ρ + R + ( ρr( cosϕcos ϕ + snϕsn ϕ (6 Como por la smetría de revolucón del problema las componentes x e deben tener tenen las msmas solucones, resolveremos estas ntegrales para el plano x π μkr ( cos ϕ d x dϕ 3/ π ρ + R + ( ρrcos ϕ (7 π μkr ( ρcos φ + Rd dϕ 3/ π ρ + R + ( ρrcos ϕ (8 a admensonalacón de estas ecuacones ρ R, β δ permte encontrar expresones complejas de las componentes de los campos pero que son menos dfcultosas en el momento de nterpretar los resultados. De esta manera π μkr cos ϕ x dϕ π R ( + cos ϕ + ( β cos ϕ R ( + cos ϕ + ( + β (9 π μ KR β ϕ ( ( cos dϕ π R ( + cos ϕ + ( β ( + β( cos ϕ R ( + cos ϕ + ( + β ( Estas ntegrales se pueden resolver a partr de programas comercales o por tabla. El prmer recurso resulta especalmente útl porque los alumnos pueden drectamente evaluar los campos en dstntos puntos del 3/ 3/ espaco. El segundo requere de un manejo de tablas cláscas de uso poco habtual entre los estudantes de las carreras de Cencas. En el caso partcular del presente trabajo, realado con alumnos avanados, se recurró al uso de varos de los programas comercales dsponbles. Sn embargo, la resolucón para algunos casos partculares requró del uso de Ref.. Solenode nfnto De la smple observacón del ntegrando de la ec.(9, se deduce que las componentes x e del campo magnétco son nulas. a componente resulta ( ρ + R ( ρ+ R Kμ ρ+ R+ ρ + R ( ρ + R ( ρ + R ( ( ρ + R ( ρ + R ( ρ + R que puede reescrbrse en forma más senclla como μk ρ + R + ρ + R ( De esta manera se obtene el conocdo resultado (no completamente justfcado en los lbros de texto como veremos más adelante μk ρ < R (3 ρ > R para todo ρ ( x En la Fg. 3 se representa el campo magnétco normalado para todo valor de en funcón de la coordenada radal tambén normalada para el caso en que el solenode es nfnto. μ K Fgura 3: Componente del campo magnétco normalado para un solenode matemátcamente nfnto en funcón de la dstanca al centro del msmo (normalada con el rado Solenode fnto a resolucón de las ecs. (9 ( resulta mu complcada no corresponde al nvel de los alumnos de la matera. Sn embargo, resultó mu adecuada su evaluacón numérca para poder hacer un análss acerca de qué sgnfca que un solenode pueda consderarse nfnto. Medante uno de los programas comercales

4 dsponbles se obtuvo que las componentes del campo magnétco en funcón de los parámetros los factores de admensonalacón son (, β μk ( f (, β + g (, β (5 π ρ (, β μk ( m( β, p( β, (6 π ( β f ( β, + β + θ + ( ( ( θ ( + EllptcK + ( β θ ( + + θ ( + EllptcP, ( + ( β + θ ( + g ( β ( + β ( + ( + β + θ ( +, θ ( + EllptcK + ( + β + θ ( + θ ( + EllptcP, ( + ( + β + θ ( + m ( β, ( β + θ ( + ( β + θ ( + ( β + θ ( + EllptcK EllptcE p ( β, θ θ θ ( β + θ ( + ( β θ ( θ θ + + ( + β + θ ( + ( + β + θ ( + ( β θ ( θ θ ( β θ ( ( β θ ( + EllptcK EllptcE θ θ θ (7 (8 (9 ( donde EllptcK EllptcΠ son las funcones elíptcas de segunda tercera espece, respectvamente. Al calcular los valores de las componentes del campo magnétco para dstntas poscones respecto del centro del solenode, se encuentran los apartamentos de los valores de las componentes respecto a los valores que corresponden a un solenode estrctamente nfnto. En la Fg. se muestran los resultados obtendos para dos solenodes. Uno es denomnado corto el otro largo. Es mu nteresante observar que en el plano el campo en el solenode corto depende notablemente de la dstanca al orgen su valor dfere hasta en un 3% del valor correspondente al del solenode largo, que a nuestros objetvos resultaría nfnto (aunque este nfnto corresponda a una relacón largo/rado de. Tambén se observa que el campo es menor en el centro que en onas cercanas al borde lateral del solenode que exste campo fuera del solenode (de una magntud aprecable. A medda que el punto de observacón se aleja del plano, ambas componentes del campo comenan a ser más notoras. Como puede observarse en la Fg. d el valor del campo fuera del solenode es de alrededor de un % del valor en el eje para en el solenode corto, mentras que para el largo es del orden del 5%. Cuando el punto de observacón corresponde a (Fg. e f, no se observan dferencas sgnfcatvas entre ambos solenodes. Ya fuera del solenode, el campo generado por el solenode comena a ser menos sgnfcatvo. En la Fg. g h se grafcan las componentes del campo para ambos solenodes cuando,5. Tambén es posble determnar sn extrema dfcultad (aunque solamente lo recomendamos para alumnos avanados el valor de las componentes en el eje de la espra. Para ello, reemplaando en las ecs. (5-( el parámetro, se obtene que ρ ( μ K + β β ( + β + θ ( β + θ ( expresones que serán comparadas con las que se obtenen por otros métodos. II. Superposcón de espras A contnuacón se descrbe el cálculo del campo magnétco generado por un solenode de longtud rado R por el que crcula una corrente eléctrca de ntensdad I. Este método es el que utlan algunos lbros de Electrcdad Magnetsmo permte calcular el campo sólo en puntos pertenecentes al eje del solenode 8-. El sstema de referenca escogdo para la resolucón del problema se esquemata en la Fgura 5. Este análss está basado en el campo magnétco creado por una espra crcular de rado R ubcada en el plano por la que crcula una corrente lneal I. Es conocdo cómo calcular el campo magnétco en cualquer punto del espaco r consderando que dl Rdϕ ˆ ϕ (3

5 μk μ a K b μk μ c K d μk μ K e f μk μ K h g Fgura : Componentes ρ (en aul (en rojo del campo generado por dstrbucones superfcales de corrente K e ρ para un solenode largo con R (columna querda un solenode corto con R (columna derecha. os gráfcos a b corresponden a, c d a /, e f a g h a 3/.

6 Fgura 5: (a Solenode nfnto por el que crcula una corrente I. El eje del msmo concde con el eje del sstema cartesano. Se ndca tambén la poscón de un punto genérco del espaco ubcado en r ρρˆ + ˆ [ ρ cos ϕ, ρ cos ϕ, ] (b Vsta transversal de una espra de corrente cualquera centrada en el punto ˆ. x π μi R ( cos ϕ dϕ 3/ π ρ + R + ( Rρcos( ϕ ϕ ( Todas las espras que conforman el solenode son paralelas, es decr, están contendas en planos perpendculares al eje del solenode. as dstancas exstentes entre cada par de espras son de dmensones desprecables comparadas con el rado del solenode. as espras se dstrbuen unformemente a lo largo del eje del solenode. De esta forma, el número de espras por undad de longtud se consdera constante. Sn embargo, todos los lbros consultados (a excepcón de algunos como la Ref.8 hablan del campo generado por un solenode en el eje pero termnan calculándolo en el punto(,,. Otros hablan, erróneamente, de un dferencal de corrente que crcula por un dferencal de espra en la dreccón. es decr, consderan que s el solenode tene n espras por undad de longtud, un elemento del msmo de longtud d es equvalente a una smple espra que transporta una corrente d nid 9, donde I es la corrente que crcula por cada espra de dcho elemento. Proponemos aquí una forma que consderamos mu clara de sumar las contrbucones de cada una de las espras sobre cualquer poscón sobre el eje del solenode El solenode (Fg. 5 puede dvdrse en pequeñas rodajas de espesor Δ (Fg.6. Cada una de éstas contendrá nδ espras, sendo n el número de espras por undad de longtud. μ ϕ ϕ π ρ + R + Rρ μ π I R ( sen d ( cos( ϕ ϕ π I R Rρcos( ϕ ϕ dϕ π ρ + R + ( Rρcos( ϕ ϕ 3/ 3/ (5 (6 Como estas expresones tenen la msma complejdad matemátca que la de un solenode con corrente superfcal, en los cursos se anala cómo es el campo para el eje de la espra (ρ. De esta forma vemos que las ntegrales ( (5 se anulan debdo a que se ntegran funcones armóncas en un período completo. Fnalmente, sólo sobrevve la componente del campo. Cuando ρ se obtene: π μi Rdϕ μi Rπ 3/ 3/ π R ( π + R + ( (7 Por lo tanto, el campo magnétco sobre todo punto del eje de la espra resulta: μir ( ˆ (8 3/ R + ( En la aplcacón de este método de resolucón se hacen varas suposcones que no sempre quedan claras a la hora de su enseñana. as más sgnfcatvas son: Fgura 6: Rodaja de espesor Δ con un número de espras gual a N nδ. Consderamos el ntervalo [, del eje tomamos la partcón regular del msmo { < < < 3 < <... < N }. Centramos en cada punto de la partcón (excepto en los puntos ncal fnal un pequeño elemento de espras, como el mostrado en la Fg. 7, de forma tal que el espesor de un elemento cualquera ubcado en esté contendo en el segmento (, +, es decr, Δ < + con [, N]. El número total de espras contendo en cada elemento corresponderá a N nδ. Para calcular el campo magnétco en todo punto del eje del solenode, realaremos la sguente aproxmacón: El campo magnétco en un punto r ˆ creado por cada ]

7 espra pertenecente a un elemento cualquera de espesor es aproxmadamente gual. Δ Fgura 7: Elemento de espras de espesor Δ centrado en un punto de la partcón. El espesor está contendo en el Δ ntervalo (., + Por lo tanto, en vrtud de la ecuacón (8 de la aproxmacón menconada, vemos que cada elemento de espras ubcado en el punto r ˆ producrá, sobre puntos del eje del solenode, una contrbucón al campo magnétco total dada por: μir d ˆ nδ 3/ (9 R + ( En consecuenca, al superponer los efectos de todos los elementos de espras se deduce que el campo magnétco total resulta aproxmadamente: N μir ˆ ( r ˆ nδ 3/ (3 R + ( Al refnar la partcón, la aproxmacón es cada ve mejor en el límte, cuando la partcón tende a un número nfnto de puntos, resulta exacta. En dcho límte los espesores Δ de cada elemento de espras se transforman en longtudes nfntesmales ( Δ d los puntos donde se centran dchos elementos toman cualquer valor posble del eje (. Por lo tanto, el campo magnétco creado por un solenode (en prncpo, de longtud en todo punto de su eje resulta: N μir ( r ˆ límδ nδ ˆ 3/ (3 R + ( μir n d ˆ ( r ˆ 3/ (3 R + ( ( r ˆ μ ni + ( + + R ( + R ˆ (33 S la longtud del solenode es nfnta obtenemos la expresón para el campo magnétco generado por un solenode de longtud nfnta rado R por el que crcula una corrente I: r ˆ μ niˆ (3 ( Es mu fácl comprobar la concdenca entre las ecs. (33 (3 las ecs. (3 (, respectvamente, s se hace la correcta relacón entre la corrente superfcal K la corrente lneal I correspondente a N espras dstrbudas en una altura d: N NI ( πr ˆ ϕ K ( πrd ˆ ϕ K I ni (35 d II.3 e de Ampère Como es amplamente conocdo, esta le permte calcular el campo magnétco creado por un solenode de longtud nfnta en todo punto del espaco,8,9,-6. Para ello se realan las sguentes suposcones. ( En todo punto nteror a un solenode nfnto, el campo magnétco es paralelo al eje del msmo. Esto puede ser demostrado en forma cual-cuanttatva (a nvel de los alumnos de grado (Apéndce. ( En todo punto exteror a un solenode nfnto, el campo magnétco es nulo. Su demostracón no resulta senclla a través de la e de ot Savart 8 por lo que consderamos que el Método es el más adecuado. a le de Ampère establece que la ntegral de línea del campo magnétco a lo largo de un lao cerrado es gual a una constante multplcada por la corrente eléctrca que atravesa la regón encerrada por dcho lao dl J nds I (36 Γ. μ ˆ. μ s S Para utlar la le de Ampère en nuestro problema, observemos la Fg.8. Fgura 8: Corte en el plano del solenode nfnto. Se observa que las líneas de campo magnétco resultan paralelas al eje del solenode. En dcha fgura se muestra una curva de Ampère dvdda en cuatro segmentos. a crculacón del campo magnétco a través de la curva puede calcularse sumando las ntegrales de línea a lo largo de cada uno de los cuatro segmentos: 3 d Curva de Ampère

8 dl. dl. + dl. + dl. + dl. Γ 3 (37 a ntegral de línea sobre el segmento son nulas debdo a la suposcón (. a ntegral sobre 3 es nula debdo a la superposcón ( 7. Por otra parte, el campo magnétco vale lo msmo en todo punto del segmento. Esto se debe a una smetría de traslacón a lo largo del eje del solenode. Es decr, supongamos que calculamos el campo magnétco en el punto r ρρˆ + ˆ nteror al solenode luego, lo calculamos en el punto r ρρˆ + ˆ (tambén nteror al msmo. Como el solenode es nfnto, no exste nnguna raón físca para suponer que el campo magnétco en ambos puntos deba ser dferente. Tenendo en cuenta esto últmo, además de la suposcón (, s llamamos a la magntud del campo magnétco en todo punto del segmento, vemos que: dl. dl dl (38 Como se ndca en la Fg.8, el segmento recorre una dstanca d dentro del solenode además, la corrente eléctrca total que atravesa la superfce concatenada por dcho segmento corresponderá al número de espras encerradas por la curva, multplcado por la corrente que transporta cada espra. Por ende, medante la le de Ampère obtenemos:. dl. dl d μndi μni (39 Γ Fnalmente, en vrtud de la suposcón ( según nuestro sstema de referenca, el campo magnétco en el nteror del solenode nfnto resulta: r μ n I ( ( ˆ Vemos que recuperamos el resultado obtendo en la ec.(3 cuando utlamos el método de superposcón de espras. Además, debdo a que podemos realar este msmo tpo de análss para cualquer segmento nterno paralelo al eje del solenode, se deduce que el resultado ( es váldo para todo punto nteror a dcha confguracón. Conclusones A partr del nterés en que los estudantes avanados (Colaboradores o Audantes Segundos en la matera Físca II de la Facultad de Ingenería de la Unversdad de uenos Ares comenaran a famlararse con el estudo profundo (con las herramentas matemátcas comunes a todas las carreras de un problema aparentemente sencllo, obtuvmos una herramenta que puede ser no solamente utlada sno tambén comprendda por los alumnos de la matera. Se presentaron tres métodos de resolucón (que no nclue el conocmento del potencal vector con dversas dfcultades matemátcas. a profundacón acerca de las suposcones que subacen en cada uno de los modelos fue una de las consecuencas más mportantes de este trabajo: el estudo crítco de los métodos de resolucón típcos de los lbros de texto. Se encontraron, ncluso, algunos pasos cuestonables en varos de ellos lo que llevó a que los alumnos avanados buscaran un procedmento para el cálculo del campo magnétco de un solenode fnto por el método de superposcón de espras que, hasta lo que nosotros sabemos, es novedoso. En el caso de la resolucón a través de la e de Ampere, se puntualaron algunos procedmentos cuestonables que aparecen, ncluso, en mu buenos lbros de texto. a resolucón analítca modelando a los solenodes como dstrbucones superfcales de corrente en la dreccón amutal permtó darle sustento a algunas de las afrmacones (a veces correctas otras veces ncorrectas acerca de la pertnenca del uso del modelo de solenode nfnto o del solenode fnto. En este últmo caso se compararon los resultados obtendos en el eje del solenode con los obtendos analítcamente con resultados no solo cualtatvos sno tambén cuanttatvos. os análss realados permten cumplr con el segundo propósto de este trabajo: brndarle a los alumnos de la matera la posbldad de analar las dferencas cuanttatvas entre los dferentes modelos dejar ben en claro las suposcones realadas. Por últmo, consderamos que este trabajo otorga a los docentes formados un benefco adconal: la posbldad de corregr algunas mprecsones /o aclarar puntos oscuros que se encuentran en los lbros de texto. Apéndce Para justfcar que en todo punto nteror a un solenode nfnto, el campo magnétco es paralelo al eje del msmo, analaremos una confguracón formada por tres espras rado R equdstantes entre sí. as msmas se encuentran centradas en los puntos r ˆ, r ˆ r ˆ, respectvamente, transportan una corrente de ntensdad I en sentdo anthoraro tal como se esquemata en la Fg. 9. Pretendemos calcular el campo magnétco creado por esta confguracón, en todo punto del plano. En efecto, en vrtud de las ecuacones (, (5 (6 reemplaamos en las msmas obtenemos que para la espra ubcada en Fgura 9: Tres espras crculares de corrente ubcadas en los planos, - respectvamente. as msmas poseen rado R transportan una corrente I. π μi R cos ϕ dϕ x (A. 3/ π ρ + R + Rρcos( ϕ ϕ

9 π I Rsen d μ ϕ ϕ π ρ + R + Rρcos( ϕ ϕ π μi R Rρcos( ϕ ϕ dϕ cos( π ρ + R + Rρ ϕ ϕ 3/ 3/ (A. (A.3 Para la espra ubcada en x (A. (A.5 π μi R Rρcos( ϕ ϕ dϕ 3/ π ρ + R Rρcos( ϕ ϕ Fnalmente, para la espra ubcada en - π 3 μi R cos ϕ dϕ x π ρ + R + Rρcos( ϕ ϕ π 3 I Rsen d μ ϕ ϕ π ρ + R + Rρcos( ϕ ϕ π 3 μi R Rρcos( ϕ ϕ dϕ π ρ + + ρcos( ϕ R R ϕ 3/ 3/ 3/ (A.6 (A.7 (A.8 (A.9 Para obtener la componente x del campo magnétco total, sumamos (A., (A. (A.7; para la componente sumamos (A., (A.5 (A.8, fnalmente, sumamos (A., (A.6 (A.9 para la componente del campo total. as componentes x e resultan nulas solamente sobrevve la componente 3 r + + ˆ (A. ( ( Hemos probado que el campo magnétco total en el plano generado por esta confguracón de espras posee sólo componente en el versor ẑ. Es decr s aumentamos el número de espras equdstantes obtendremos el msmo resultado, es decr, las contrbucones radales al campo total se anularán de a pares. Será posble, entonces, aumentar aún más el número de espras hasta obtener un solenode con un número nfnto de las msmas el resultado obtendo será el msmo (el campo magnétco resultará paralelo al eje del solenode. Es más, como el solenode será nfnto, el resultado hallado para el plano será el msmo para cualquer otro plano paralelo a éste. Por lo tanto, la suposcón ( resulta vable. Referencas - Fenman, R.; eghton, R..; Sands, M.: Físca, Vol. II. Electromagnetsmo Matera. Méxco: Addson-Wesle Iberoamercana ( D.rck; W.Snder: External dc Feld of a ong Solenod, Am. J. Phs. 33, 95 ( W. Hauser: On the magnetc nducton feld of an deal solenod, Am. J. Phs. 53, 66 ( R. J. Protheroe; D. Koks: The transent magnetc feld outsde an nfnte solenod, Am. J. Phs. 6, 389 ( M. Abramowt; I. A. Stegun: Handbook of mathematcal functons wth Formulas, WGraphs, and Mathematcal Tables. USA: Natonal ureau of Standards Appled Mathematcs Seres 55. ( F. Rodrígue Trelles Temas de Electrcdad Magnetsmo, uenos Ares EUDEA (98 7- Como puede aprecarse no es necesaro defnr a la corrente I K n dξ, lo que smplfca el tratamento. a través de ( C 8- Purcell, E.M.: Electrcdad Magnetsmo, arcelona: erkele Phscs Course Vol., Ed. Reverté S.A. ( Tpler, P.A.: Físca**. arcelona: Ed. Reverté S.A. ( F. Munle: Magnetc feld of a solenod of arbtrar crosssectonal shape, Am. J. Phs. 53, 779 ( Dasgupta: Magnetc feld due to a solenod, Am. J. Phs. 5, 58 (98. - Alonso, M.; Fnn, E.J.: Físca, Méxco: Addson-Wesle Iberoamercana ( McKelve, P.; Grotch, H.: Físca para Cencas e Ingenería. Tomo II. Méxco: Ed. Harla. (98. - SEARS; - Zemansk; Young ; Freedman: Físca Unverstara: Vol. II, Méxco: Prentce Hall (. - - SERWAY, R.: Físca para Cencas e Ingenería. Vol.. Méxco: MCGraw-Hll (. Ampere 6- Hallda; Resnck; Krane: Físca Vol.. Méxco: Cía. Ed. Contnental (999. Ampere 7- Usualmente la separacón de los dstntos segmentos no se reala de esta manera sno consderando otros segmentos: los dos vertcales los dos horontales aunque la anulacón de la crculacón no se corresponda con esta dvsón. 8- O. Espnosa; V. Slusarenko: The magnetc feld of an nfnte solenod, Am. J. Phs. 7, 953 (3. Agradecmentos Este trabajo ha sdo realado con el apoo de dos Subsdos UACYT.