Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Transcripción

1 cnológco Subsecretaría de Educacón Superor Dreccón General de Educacón Superor Tecnológca Coordnacón Sectoral Académca Dreccón de Estudos de Posgrado e Investgacón Centro Naconal de Investgacón y Desarrollo Tecnológco Subdreccón Académca Departamento de Ingenería Electrónca TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS Análss de Robustez de Lnealzacón Exacta Prealmentada para Sstemas No Lneales Multvarables con Incertdumbre Paramétrca: Enfoque de Aplanamento Dferencal presentado por Ing. Manuel de Jesús López Pérez como requsto para la obtencón del grado de Maestro en Cencas en Ingenería Electrónca Drector de tess Dr. Alejandro Rodríguez Palacos Codrector de tess Dr. Carlos Danel García Beltrán Cuernavaca, Morelos, Méxco. Febrero de 3.

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4 DSDS Abstract A new strategy of dfferental flatness-based controllers desgn, n control theory, called exact feedforward lnearzaton was proposed recently. Ths strategy s used for the trajectory trackng from a class of non-lneal dynamc systems, called flats. For ths class of systems, there exsts an output, called flat output, such that parameterzes to all system varables (state, nput and output). The bass of power of exact feedforward lnearzaton s the dfferental flatness property. For ths system class, a nomnal feedforward nput sgnal s deduced from dfferental flatness, such that lnearzes the system exactly by feedforward when beng on the desred trajectory. Moreover, va exact feedforward lnearzaton, t s possble to desgn a feedback controller to stablze the devatons from the desred trajectory. Stablty of ths control strategy s acheved wth the stablzaton of the trackng error dynamc. Ths dynamc s defned as the dfference between the behavor real system and the desred. To stablze the trackng error dynamc, a stablty result by Kelemen s ntroduced. The problem of the extenson of exact feedforward lnearzaton to multvarables flat non-lneal systems wth parametrc uncertanty was treated n ths work. Robustness analyss of exact feedforward lnearzaton for two flat no-lneal systems was acheved. An academc system and a magnetc bearng were the analyzed systems. Those systems are flat. Hence, a control law s desgned for the trajectory trackng when the systems are nomnal,.e., they do not have parametrc uncertanty. The control law desgn methodology consst of two parts, a feedforward part, whch makes the system converge to the desred trajectory, and feedback part, n ths case an extended PID, whch forces the system to keep t n the desred trajectory. In the case of structured parametrc uncertanty, even have sense to apply the control law (nomnal), because, t consderng the results that n ths work are presented, the trajectory trackng s done, at least, n a vcnty of desred trajectory. For the robustness analyss of exact feedforward lnearzaton, the trackng error dynamc was studed, and a stablty result by Kelemen was used to verfy that the uncertanty n the parameters do not affect the stablty of trackng error dynamc, and consequence, t does the trajectory trackng. In the case of structured parametrc uncertanty, the robustness analyss of exact feedforward lnearzaton for the academc system was formally verfed. However, n the case of magnetc bearng, only va computer smulatons the robustness analyss was done. The results of those cases of studo that n ths work were presented, they exhbted that s possble to extend the robustness analyss of exact feedforward lnearzaton methodology to multvarables flat nonlneal systems wth parametrc uncertanty.

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6 DSDS Resumen Recentemente, en la teoría de control, se ha propuesto una nueva estratega de control basada en aplanamento dferencal denomnada lnealzacón exacta prealmentada. Medante esta estratega se logra el segumento de trayectora de una clase de sstemas dnámcos no lneales, denomnados planos. Para esta clase de sstema, exste una salda fctca, denomnada salda plana, que parametrza a todas las varables del sstema (estado, entrada y salda). La base de esta novedosa estratega se basa en la propedad de aplanamento dferencal que poseen los sstemas no lneales planos. Para esta clase de sstemas, se puede deducr una señal de entrada nomnal, deducda de aplanamento dferencal, que lnealza al sstema exactamente por prealmentacón cuando se está en la trayectora deseada. Además, se puede dseñar un controlador retroalmentado, que establza las desvacones de la trayectora deseada. La establdad de esta estratega se consgue medante la establzacón de la dnámca del error de segumento, el cual está defndo como la dferenca entre el comportamento real del sstema y el deseado. Para establzar dcha dnámca se ntroduce un resultado de establdad de Kelemen. En este trabajo se abordó el problema de la extensón de la estratega de control de lnealzacón exacta prealmentada a sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre paramétrca. Así, se analzó la robustez de la ley de control dseñada medante lnealzacón exacta prealmentada para dos sstemas no lneales planos, a saber, un sstema académco y un rodamento magnétco. Estos sstemas no lneales poseen la propedad de aplanamento dferencal, y se les puede dseñar una ley de control para segumento de trayectora cuando son nomnales, es decr, cuando no presentan ncertdumbre. Esta ley de control se consttuye de dos partes, una prealmentada, la cual hace que el sstema converja a la trayectora deseada, y otra parte retroalmentada, en este caso un PID extenddo, que fuerza al sstema a mantenerse en dcha trayectora. En el caso de ncertdumbre paramétrca estructurada, todavía tene sentdo aplcar dcha ley de control (nomnal), porque, de acuerdo a lo que se presenta en este trabajo de tess, aún se puede realzar el segumento de trayectora en, al menos, una vecndad de la trayectora deseada. Para el análss de robustez de la ley de control de lnealzacón exacta prealmentada, se estuda la dnámca del error de segumento y se hace uso del resultado de establdad de Kelemen para verfcar que la ncertdumbre en los parámetros no afecta la establdad de la dnámca del error de segumento, y en consecuenca, se realza el segumento de trayectora. Para el caso de ncertdumbre paramétrca estructurada, se verfcó formalmente el análss de robustez de lnealzacón exacta prealmentada para el sstema académco; mentras que para el rodamento magnétco sólo se comprobó medante smulacones en computadora. Los resultados de los casos de estudo de este trabajo de tess, muestran que es posble extender esta metodología para sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre paramétrca.

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8 DSDS Dedcatora A ms abueltos, Elgo y Eloísa, por el ejemplo tan grande de dedcacón y fortaleza que sempre fueron para mí, que en donde quera que estén, este trabajo tambén es para ustedes. A ms padres, Alejandro y Felcta, con toda m admracón y respeto. Por ser los mejores padres del mundo, por apoyarme sempre en todas ms decsones. Por ustedes, he llegado hasta acá. Los amo. A ms hermanos, Alejandra y Crstan, por compartr juegos, travesuras y momentos nolvdables que llevo en ms memoras. A m esposa, Cecla, ya que le dste a m vda el equlbro, la paz y la felcdad que me hacían falta. Te amo.

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10 DSDS Agradecmentos A m famla, hoy y sempre, por su apoyo ncondconal que me han otorgado en cada momento de m vda. Sn ustedes, este logro no lo hubese culmnado. A m esposa, Cecla Barragán, por toda su comprensón, carño y apoyo que me permteron culmnar esta etapa de m vda. Gracas por compartr conmgo las rsas, las lágrmas, las desveladas, las buenas rachas y tambén las malas. Muchas gracas por estar conmgo en todos y cada uno de esos momentos que han hecho esta etapa de m vda algo realmente trascendente. Al Doctor Alejandro Rodríguez Palacos por su nterés en m formacón. Muchas gracas por todas sus enseñanzas, consejos y sugerencas, no sólo en el ámbto académco, tambén en lo personal. Al Doctor Carlos Danel García Beltrán por compartr su conocmento e nsprar en mí una gran admracón. A ms profesores Gerardo V. Guerrero Ramírez, Carlos M. Astorga Zaragoza, Víctor M. Alvarado Martínez, Manuel Adam M, Guadalupe López L., Lus G. Vela Valdés, Guadalupe Madrgal, José Martín Gómez y Pedro R. Mendoza, por su sabduría que me transmteron en el desarrollo de m formacón profesonal. A ms amgos y compañeros de la maestría: Alfredo, Fernando Martínez, Félx, Raquel, Héctor, Lus, Carlos, Elfrch y Emanuel Sosa. Gracas por hacer placentera m estanca en la maestría. En especal, a m amgo Alfredo Gl Velasco, por toda su ayuda ncondconal, que me facltó culmnar esta travesía. Al GBGCIAC (Grupo de Becaros de la Gerenca de Control e Instrumentacón Asocados y Conexos), actualmente GH del IIE: Indra, Emanuel Sotelo, Fernando Solís, Pedro, Martha y Jazmín, por todos los momentos que hemos pasado. Agradezco al Consejo Naconal de Cenca y Tecnología y a la Secretaría de Educacón Públca por el apoyo económco que me facltaron para culmnar ms estudos de maestría. Y fnalmente, agradezco al Centro de Investgacón y Desarrollo Tecnológco, por permtrme segur crecendo profesonalmente. A todos, ml gracas Manuel de Jesús López Pérez

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12 DSDS Índce general Índce general Índce de fguras... v Introduccón... Antecedentes y motvacón Aplanamento dferencal Planeacón de trayectoras Curvas de Bézer Segumento de trayectora.... Lnealzacón exacta prealmentada..... Planteamento del problema... 3 Fundamentos teórcos y estado de la metodología Introduccón Lnealzacón exacta prealmentada Establdad de lnealzacón exacta prealmentada Un resultado de establdad de Kelemen Lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales monovarables Dseño de la ley de control Estructura de la dnámca del error Control PID extenddo Establdad para la estratega de control Lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales multvarables Dseño de la ley de control... 35

13 Índce general.5. Estructura de la dnámca del error Control PID extenddo Establdad para la estratega de control Lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales monovarables con ncertdumbre Dseño de la ley de control Estructura de la ecuacón del error Análss de robustez Lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales planos Sstemas no lneales planos monovarables Casos de estudo Sstema de levtacón magnétca Manpulador de unón flexble Levtador magnétco de orden reducdo Sstemas no lneales planos multvarables Casos de estudo Sstema académco Rodamento magnétco Sstemas no lneales planos monovarables con ncertdumbre paramétrca Caso de estudo Levtador magnétco de orden reducdo Lnealzacón exacta prealmentada para sstema no lneales planos multvarables con ncertdumbre paramétrca Introduccón y motvacón Análss de robustez de lnealzacón exacta prealmentada Casos de estudo... 93

14 DSDS Índce general 4.. Sstema académco Rodamento magnétco Formulacón de una posble generalzacón del análss de robustez de lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre paramétrca Dseño de la ley de control Dnámca del error de segumento bajo ncertdumbre paramétrca Análss de robustez Conclusones Aportacones de la tess Dscusón y trabajos futuros Ventajas y desventajas de la metodología Ventajas Desventajas... Dagramas de smulacón y códgos de programacón... 5 A. Sstema de levtacón magnétca... 5 A.. Códgos de programacón... 6 A. Manpulador de unón flexble... 8 A.. Códgos de programacón... 9 A.3 Levtador magnétco... 3 A.3. Códgos de programacón... 3 A.4 Sstema académco A.4. Códgos de programacón A.5 Rodamento magnétco Códgos de programacón Bblografía... 43

15 Índce general v

16 DSDS Índce de fguras Índce de fguras Fgura.- Correspondenca entre las trayectoras (solucones) del sstema y curvas arbtraras... 9 Fgura - Curvas de Bézer de dferentes grados... Fgura 3.- Solucón del sstema en la vecndad de la trayectora deseada Fgura 4.- Sstema de levtacón magnétca... 5 Fgura 5.- Trayectora nomnal del levtador magnétco Fgura 6.- Segumento de trayectora del sstema nestable usando sólo un control prealmentado Fgura 7.- Dagrama de bloques del esquema de control mplementado en el sstema de levtacón magnétca Fgura 8.- Segumento de trayectora utlzando un control prealmentado más un retroalmentado Fgura 9.- Esquema de control de lnealzacón exacta prealmentada Fgura.- Trayectora nomnal a segur Fgura.- Efecto del control prealmentado Fgura.- Segumento de trayectora con condcón ncal consstente Fgura 3.- Segumento de trayectora con dferentes condcones ncales... 6 Fgura 4.- Gráfca de la salda plana y sus dervadas hasta el segundo orden Fgura 5.- Segumento de trayectora utlzando sólo el control prealmentado Fgura 6.- Segumento de trayectora con la ley de control (3.43) Fgura 7.- Segumento de trayectora para cx con el controlador prealmentado Fgura 8.- Segumento de trayectora para x con el controlador prealmentado Fgura 9.- Segumento de trayectora para x con lnealzacón exacta prealmentada Fgura.- Segumento de trayectora para x con lnealzacón exacta prealmentada Fgura.- Rodamento Magnétco v

17 Índce de fguras Fgura.- Curva de Bézer para x... 8 Fgura 3.- Curva de Bézer para x... 8 Fgura 4.- Segumento para x sn lnealzacón exacta prealmentada... 8 Fgura 5.- Segumento para x 3 sn lnealzacón exacta prealmentada... 8 Fgura 6.- Segumento para x con lnealzacón exacta prealmentada... 8 Fgura 7.- Segumento para x 3 con lnealzacón exacta prealmentada... 8 Fgura 8.- Gráfca de la salda plana y sus dervadas Fgura 9.- Segumento de trayectora a dferentes valores del parámetro m Fgura 3.- Segumento de trayectora a dferentes valores del parámetro k Fgura 3.- Segumento de trayectora con parámetros nomnales Fgura 3.- Segumento de trayectora con ncertdumbre en el parámetro c Fgura 33.- Segumento de trayectora x bajo ncertdumbre en el parámetro θ Fgura 34.- Segumento de trayectora x bajo ncertdumbre en el parámetro θ Fgura 35.- Segumento de trayectora x bajo ncertdumbre en el parámetro θ... Fgura 36.- Segumento de trayectora x bajo ncertdumbre en el parámetro θ... Fgura 37.- Segumento de trayectora x bajo ncertdumbre en el parámetro θ 3... Fgura 38.- Segumento de trayectora x bajo ncertdumbre en el parámetro θ 3... Fgura 39.- Segumento de trayectora de x cuando los parámetros no son los nomnales.... Fgura 4.- Segumento de trayectora de x cuando los parámetros no son los nomnales.... Fgura 4.- Segumento de trayectora para x con ncertdumbre en el parámetro m... 5 Fgura 4.- Segumento de trayectora para x 3 con ncertdumbre en el parámetro m... 5 Fgura 43.- Segumento de trayectora para x con ncertdumbre en el parámetro R... 6 Fgura 44.- Segumento de trayectora para x 3 con ncertdumbre en el parámetro R... 6 Fgura 45.- Segumento de trayectora para x con ncertdumbre en el parámetro R... 7 Fgura 46.- Segumento de trayectora para x 3 con ncertdumbre en el parámetro R... 7 Fgura 47.- Segumento de trayectora para x con ncertdumbre en el parámetro L... 7 Fgura 48.- Segumento de trayectora para x 3 con ncertdumbre en el parámetro L... 7 v

18 DSDS Índce de fguras Fgura 49.- Segumento de trayectora para x con ncertdumbre en el parámetro I... 8 Fgura 5.- Segumento de trayectora para x 3 con ncertdumbre en el parámetro I... 8 Fgura 5.- Segumento de trayectora para x con ncertdumbre en el parámetro k... 8 Fgura 5.- Segumento de trayectora para x 3 con ncertdumbre en el parámetro k... 8 Fgura 53.- Segumento de trayectora para x con ncertdumbre en todos los parámetros... 9 Fgura 54.- Segumento de trayectora para x 3 con ncertdumbre en todos los parámetros... 9 Fgura 55.- Esquema de control para el sstema de levtacón magnétca... 6 Fgura 56.- Esquema de control para el manpulador de unón flexble Fgura 57.- Esquema de control para el levtador magnétco de orden reducdo Fgura 58.- Dagrama en SIMULINK para el sstema académco Fgura 59.- Dagrama en SIMULINK del esquema de control para el rodamento magnétco Fgura 6.- Interfaz para la modfcacón de los parámetros del rodamento magnétco... 4 v

19 Índce de fguras v

20 DSDS Introduccón Introduccón Una técnca nueva relatvamente en la teoría de control es la de aplanamento dferencal. Este concepto se remota a los trabajos de E. Cartan y D. Hlbert en el contexto de conjuntos subdetermnados de ecuacones dferencales. Sn embargo, la formulacón precsa de aplanamento dferencal en el contexto de sstemas de control se debe a la nvestgacón de Mchel Fless y sus colaboradores: Jean Lévne, Phlppe Martn y Perre Rouchon [Fless et al., 99, 994, 999]. Aplanamento dferencal es una propedad estructural que poseen certos sstemas dnámcos. Un sstema plano es aquel que tene la propedad de aplanamento dferencal. En térmnos generales, un sstema plano es aquel cuyas curvas ntegrales (curvas que satsfacen el sstema de ecuacones dferencales) se pueden mapear de forma nyectva en curvas algebracas (las cuales no necestan satsfacer nnguna ecuacón dferencal) en un espaco apropado [Rathnam, 997]. Uno de los problemas en el control de sstemas no lneales es la planeacón y el segumento de trayectora. La cual se refere al hecho de generar una trayectora que la dnámca del sstema debe de segur. S un sstema es plano, se puede utlzar la propedad de aplanamento dferencal para generar trayectoras de solucones nomnales de una forma fácl. De esta forma se solucona el problema de planeacón de trayectoras. El problema central en el control de sstemas es encontrar una manera factble técncamente para actuar en un proceso dado de tal manera que el proceso se comporte, tan cercanamente como sea posble, como algún comportamento deseado. A este problema se le conoce como segumento de trayectora. Una contrbucón muy útl para la solucón del problema de segumento de trayectoras es la de Hagenmeyer y Delaleau. Ellos ntrodujeron la nocón de lnealzacón exacta prealmentada basada en aplanamento dferencal, para enfatzar que la propedad de aplanamento dferencal se puede usar para dseñar leyes de control [Hagenmeyer y Delaleau, 3a, b]. Este concepto permte dseñar controladores para sstemas no lneales planos aplcando una entrada nomnal prealmentada deducda de aplanamento dferencal y un controlador retroalmentado establzante smple.

21 Introduccón En el contexto de sstemas en varables del estado, para el desarrollo de un sstema de control, la estructura matemátca más empleada es la lneal. Sn embargo, esta estructura no está presente en los sstemas no lneales. Para desarrollar un sstema de control para los sstemas no lneales, se recurre a la lnealzacón, la cual es una técnca con la que se obtene un sstema lneal equvalente cuando se cancelan las no lnealdades del sstema orgnal; lo que faclta la mplementacón de un controlador. Una técnca que lnealza un sstema es la lnealzacón por retroalmentacón del estado [Isdor, 995]. En la práctca, la ncertdumbre sempre está presente en los sstemas, y al utlzar esta técnca para lnealzar un sstema, se puede presentar una cancelacón mperfecta. La cancelacón mperfecta de las no lnealdades de un sstema, puede provocar que el controlador a dseñar nduzca un comportamento ndeseado en el msmo. Además, cuando se utlza esta técnca, se tene la desventaja de perder nformacón físca del sstema, debdo a la cancelacón de los parámetros de los térmnos no lneales. Por tanto, al cerrar el lazo en presenca de ncertdumbre, el sstema controlado no será robusto [Drenmeyer et al., 5]. Sn embargo, la técnca de lnealzacón exacta prealmentada no comparte las nconvenencas de la lnealzacón por retroalmentacón, ya que la prmera no hace uso del estado para cancelar las no lnealdades del sstema. De esta manera, la lnealzacón exacta prealmentada se converte en una metodología general de control para sstemas no lneales planos. Hablando de segumento de trayectoras, éste se debe de lograr aun en presenca de ncertdumbre en el proceso y de perturbacones externas no controlables actuando en el proceso. Con esta motvacón, Hagenmeyer y Delaleau en [Hagenmeyer y Delaleau, 3c] presentan una metodología para analzar la robustez de lnealzacón exacta prealmentada como técnca de control de sstemas no lneales planos monovarables que presenten ncertdumbre paramétrca. En la práctca, muchos de los sstemas no lneales son sstemas planos [Fless et al., 994]. Entre ellos se encuentran los sstemas mecáncos langranganos tales como la grúa y el carro de n remolques. En [Murray et al., 995] se presenta una lsta de estos sstemas, además, en [Lévne et al., 996] se demuestra que el rodamento magnétco es uno de ellos. Por lo tanto, a estos sstemas se les puede aplcar lnealzacón exacta prealmentada para el dseño de controladores que realcen segumento de trayectoras. Sn embargo, sólo se ha presentado una metodología de análss de robustez de esta técnca para sstemas no lneales planos monovarables con ncertdumbre paramétrca.

22 DSDS Introduccón Propósto de la tess Según la revsón de la lteratura realzada antes del nco de esta tess, se encontró que no se había aplcado lnealzacón exacta prealmentada a sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre paramétrca. Por lo tanto, el objetvo de esta tess fue el extender la aplcacón de lnealzacón exacta prealmentada a sstemas no lneales multvarables que presenten ncertdumbre en los parámetros. Para extender la aplcacón de lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales planos multvarables que presenten ncertdumbre en los parámetros, fue necesaro trasladar las deas presentadas en [Hagenmeyer y Delaleau, 3a, b, c] a éste tpo de sstemas. En resumen, la prncpal contrbucón de esta tess en la metodología de control de lnealzacón exacta prealmentada es el análss de robustez de ésta en dos sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre paramétrca. Los sstemas analzados fueron: un sstema académco y un rodamento magnétco. Organzacón de esta tess Esta tess está organzada en cnco capítulos. En el Capítulo uno se presenta la motvacón de este trabajo. Se descrbe en orden cronológco el surgmento del método de lnealzacón exacta prealmentada. En el Capítulo dos se ntroducen los fundamentos y generaldades de la metodología de lnealzacón exacta prealmentada. Además, se descrben los prncpales conceptos que forman la base de los resultados obtendos. En el Capítulo tres se presentan los resultados del estudo de lnealzacón exacta prealmentada aplcada a sstemas no lneales planos nomnales: monovarables y multvarables, así como a monovarables con ncertdumbre paramétrca. En el Capítulo cuatro se presenta la aplcacón de la metodología de lnealzacón exacta prealmentada a sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre paramétrca. Esto es, se presenta el análss de robustez de lnealzacón exacta prealmentada aplcada a dos casos de estudos. Fnalmente, en el Capítulo cnco se menconan las conclusones y algunos trabajos futuros. 3

23 Introduccón Notacón. A contnuacón se ntroducen algunas notacones que se usan a lo largo de esta tess. := denota la gualdad por defncón denota al campo de los números reales. X denota un espaco vectoral de dmensón n sobre el campo. n denota un conjunto {,,, n} n x, denota un vector columna n -dmensonal x col ( x,, x n ) =. Todos los vectores se consderan como vectores columnas, sempre y cuando no se ndque lo contraro. n m Sea f : Ω dferencable en x Ω con Ω, la matrz Jacobana se denota medante a matrz Df ( x ) de orden n m defnda por Df ( x ) donde D es el operador dervada. Además, s m orden n n. ( ) k C X, con k dferencables en X. f f ( x) ( x) x x n f = = x x= x fm fm ( x) ( x) xn x n = n, entonces la matrz Jacobana de f es de < <, denota la clase de funcones que son k veces contnuamente denota la norma Eucldana de un vector. El superíndce se utlza para denotar una cantdad deseada. p denota el valor nomnal del parámetro p 4

24 Capítulo Antecedentes y motvacón En este capítulo se presenta un panorama general de los antecedentes de la metodología de lnealzacón exacta prealmentada en el contexto de ncertdumbre paramétrca para el control de sstemas no lneales planos. Esta revsón comprende una descrpcón breve de la teoría de aplanamento dferencal, en la cual se basa lnealzacón exacta prealmentada para el dseño de leyes de control para sstemas no lneales planos.. Aplanamento dferencal Aplanamento dferencal es una propedad que poseen certos sstemas dnámcos, la cual permte smplfcar las tareas de planeacón de trayectoras, sn resolver nnguna ecuacón dferencal. La propedad de aplanamento permte una completa parametrzacón de todas las varables (estado, entradas y saldas) en térmnos de un conjunto de varables lbres, llamadas saldas planas, y un número fnto de sus dervadas [Fless et al., 994]. Esta dea general se remonta a los trabajos de D. Hlbert y E. Cartan en sstemas subdetermnados de ecuacones dferencales, donde el número de ecuacones es estrctamente menor que el número de ncógntas. A ellos se les consdera los antecesores de aplanamento dferencal, ya que en sus trabajos buscaban transformacones espacales y temporales que volveran al sstema de estudo en uno ntegrable fáclmente, además de un conjunto de varables que parametrzaran las solucones del sstema sn resolver nnguna ecuacón dferencal. Fless y colaboradores, en [Fless et al., 994], caracterzaron orgnalmente el concepto de aplanamento dferencal usando herramentas de algebra dferencal. En ese contexto, se puede ver a un sstema como un campo dferencal que se genera por un conjunto de varables (estado y entrada). Se dce que el sstema es plano s se puede encontrar un conjunto de varables, 5

25 Antecedentes y motvacón llamadas saldas planas, tal que el sstema es algebraco sobre el campo dferencal que se genera por el conjunto de las saldas planas [Neuwstadt et al., 994], [Martn et al., 3]. En térmnos generales, un sstema es plano s se puede encontrar un conjunto de saldas (gual al número de entradas) tal que todas las varables de estado y de la entrada se puedan determnar de estas saldas sn resolver nnguna ecuacón dferencal. Para ser más precsos, s el sstema tene un estado n x, y entrada m u, entonces el sstema es plano s se puede encontrar un conjunto de saldas m y de la forma ( r) (,,,, ) y = h x u u u (.) tal que ( q) (,,, ) ( q+ ) ( ) x = ϕ y y y u = ϕ y, y,, y. (.) Esta técnca es muy útl en stuacones donde se requere la generacón explcta de trayectoras. Sn embargo, es dfícl aplcar los resultados del algebra dferencal [Fless et al., 994], s el sstema tene una estructura más geométrca. Desde hace un par de décadas, la nocón de aplanamento dferencal se ha defndo en un contexto más geométrco, donde las herramentas para el control de sstemas no lneales están dsponbles comúnmente. En [Neuwstadt et al., 994] se presenta un nuevo contexto, donde aplanamento dferencal se puede descrbr en térmnos de la nocón de equvalenca absoluta que fue defnda por E. Cartan. Indudablemente, aplanamento dferencal está relaconado con la nocón de equvalenca. De hecho, en [Fless et al., 994], se mencona que los sstema planos son equvalentes a sstemas lneales medante un tpo de retroalmentacón llamada endógena. En [Neuwstadt et al., 994] se demuestra que un sstema monovarable es dferencalmente plano, s y sólo s, es lnealzable por retroalmentacón estátca del estado, en el contexto de equvalenca absoluta. Y en [Fless et al., 999] se estuda la relacón de equvalenca de sstemas utlzando el marco de la geometría dferencal de jets de orden nfnto y sus prolongacones. 6

26 . Aplanamento dferencal En el marco de jets de orden nfnto, se dce que dos sstemas son equvalentes s cualquer varable de un sstema se puede expresar como una funcón de las varables del otro sstema y un número fnto de sus dervadas temporales. Esto se conoce como somorfsmo de Le-Bäcklund. Además, se dce que dos varedades que se mapean de manera nyectva y dferencable, son equvalentes en el sentdo de Le-Bäcklund (por brevedad, equvalente L-B). En este contexto, un sstema dnámco es plano, s y solo s, es equvalente L-B a un sstema trval, es decr, un sstema sn dnámca. En otras palabras, s se descrbe por un conjunto de varables y ( y y ) =,, m para las cuales no exste una relacón entre éstas y sus dervadas [Fless, 999]. En consecuenca, los sstemas trvales son equvalentes a sstemas lneales controlables. La exstenca de esta equvalenca L-B, garantza la suprayectvdad de las funcones ϕ y ϕ de (.). Desde la aparcón de aplanamento dferencal en la teoría de control, se ha ncrementado su aplcacón a sstemas planos para la solucón de problemas de control. Es mportante menconar que muchas clases de sstemas que se utlzan comúnmente en la teoría de control son sstemas planos. De hecho, cualquer sstema que se puede transformar en un sstema lneal por un cambo de coordenadas, por retroalmentacón estátca o por retroalmentacón dnámca, es un sstema plano. En [Charlet et al., 989] se demuestra que cualquer sstema de una sola entrada que es lnealzable por retroalmentacón dnámca, tambén lo es por retroalmentacón estátca. Por lo tanto, muchos de los sstemas a los que se pueden aplcar estas técncas, son sstemas planos. Desde su aparcón, aplanamento dferencal se ha desarrollado actvamente en el contexto de sstemas de control. En [Murray, et al. 995] se concentra en la caracterzacón de aplanamento dferencal para sstemas de control mecáncos (Langranganos) y se demuestra cómo las propedades de nerca y smetría están relaconadas con aplanamento dferencal. Para el caso especal de este tpo de sstemas de control, se presenta mucha más nformacón en el aspecto matemátco y geométrco. Precsamente, en este trabajo se exploran las mplcacones y característcas de esta clase de sstemas. En [Fless y Márquez, ] se presenta una conexón muy nteresante entre aplanamento dferencal y control predctvo para el caso de sstemas lneales. En este desarrollo se muestra la 7

27 Antecedentes y motvacón facldad relatva con la que aplanamento dferencal se relacona con respecto a algunos enfoques de dseño de controladores ya establecdos. Por lo que, la conexón de aplanamento dferencal con muchas otras técncas de dseño de control moderno y tradconal puede ser muy ventajosa. En [Morllo, ], el autor desarrolla un método para generar trayectoras en sstemas no lneales de control que presentan la propedad de aplanamento dferencal, debdo a que con esta técnca permte trasladar el problema de la generacón de trayectoras de la dnámca de los sstemas, a la de construr curvas smples en el espaco de las saldas planas. Sn embargo, este método se restrnge sólo a sstemas no lneales que son lnealzables por retroalmentacón estátca. En [Sra-Ramírez y Fless, ] se utlza aplanamento dferencal para resolver el problema de la regulacón del chapoteo líqudo de contenedores en movmento, y presenta un enfoque de control GPI basado en aplanamento dferencal, debdo a que los controladores basados en esta técnca representan una alternatva al control optmo tradconal basado en esquemas de regulacón. En [Sra-Ramírez y Agrawal, 4] se examna y explota la propedad de aplanamento dferencal en una gran varedad de sstemas dnámcos controlados. Medante varos ejemplos, se resalta la ventaja y sencllez que tene aplanamento dferencal para su uso en sstemas físcos, tanto lneales como los no lneales. Jean Lévne, en [Lévne 9], proporcona todas las herramentas matemátcas para comprender la nocón de aplanamento dferencal, desde sus fundamentos teórcos, en donde nos presenta aplanamento dferencal desde el punto de vsta geométrco, en los marcos de la geometría dferencal exteror y el de jets de orden nfnto, así como el de equvalenca entre los sstemas dnámcos de control. Tambén se presenta las relacones que hay entre aplanamento dferencal, controlabldad y lnealzacón; hasta las aplcacones donde se pone en práctca y se evdenca lo anteror. Como se ha menconado con anterordad, la estructura de aplanamento dferencal se utlza para la solucón de los problemas más generales de control, a saber, planeacón, generacón y segumento de trayectoras. 8

28 . Aplanamento dferencal.. Planeacón de trayectoras En general, aplanamento dferencal se reduce a la exstenca de una salda plana tal que todas las varables del sstema se puedan expresar como funcones de dcha salda y un número fnto de sus dervadas temporales. Lo que resulta en que, s se quere construr una trayectora cuya condcón ncal y fnal estén especfcadas, es sufcente calcular la trayectora de la salda plana correspondente, y no es necesaro resolver las ecuacones dferencales del sstema. Es decr, s un sstema es plano, entonces tene una salda plana tal que parametrza a todas las varables del sstema. Luego, s se especfcan los valores ncales y fnales de x y u, entonces, por la suprayectvdad de las funcones ϕ y ϕ, recordando el somorfsmo de Le Bäcklund (ver Fgura ) se pueden encontrar los valores ncales y fnales de y y sus dervadas con respecto al tempo, es decr, ( ) ( y, y,, y q+ ). x Espaco de las saldas planas x ϕ Espaco de las varables del estado y Fgura.- Correspondenca entre las trayectoras (solucones) del sstema y curvas arbtraras El problema de planeacón y generacón de trayectoras se resuelve al encontrar una trayectora t yt ( ) que sea dferencable q + veces, tal que satsfaga la condcón ncal y fnal especfcada. Así, las trayectoras del sstema t xt ( ) y t ut ( ) se pueden deducr de las funcones ϕ y ϕ, es decr, de la salda plana y y sus dervadas sucesvas hasta el orden q +. Además esta salda t yt ( ) no necesta satsfacer nnguna ecuacón dferencal. Entonces, se puede calcular medante una nterpolacón polnomal o por una curva de Bézer. 9

29 Antecedentes y motvacón.. Curvas de Bézer La curva de Bézer es un sstema desarrollado por el Dr. Perre Bézer en la década de 96 para el trazado de dbujos técncos, en el dseño aeronáutco y de automóvles. Estas curvas suaves se pueden usar para nterpolar, aproxmar, ajustar curvas y representar objetos. Fgura - Curvas de Bézer de dferentes grados En la Fgura se muestran dferentes curvas de Bézer. A los puntos P, P se les denomna puntos de control, los cuales están conectados por segmentos, formando así un polígono no cerrado que se le conoce como polígono de control. El número de lados de este polígono representa el grado de la curva. Una curva de Bézer pasa por el prmer y últmo punto de control, y es tangente al polígono de control en estos puntos fnales. Una curva de Bézer se defne por la sguente expresón [Sederberg, ]: donde P y grado de la curva. P, t < t n n n tf t t t Pt ( ) = P, t < t< tf = tf t tf t (.3) Pf, t > tf P son los valores ncal y fnal en los tempos t f y t, respectvamente y, n es el f Entonces, hablando de un sstema plano, la expresón (.3) se puede utlzar para planear un movmento, es decr, dseñar una curva algebraca en el espaco de las saldas planas y, medante la byectvdad de esta curva con respecto al espaco de las varables de estado, ésta, n

30 . Aplanamento dferencal representa la trayectora del sstema dnámco. Además, con (.3) se puede enfrentar el problema partcular de llevar a un sstema dnámco de un estado ncal en reposo a otro estado fnal en reposo, que se conoce como problema de control reposo a reposo (rest-to-rest). Luego, para realzar el segumento de esta trayectora se necesta dseñar un control que cumpla con esta tarea...3 Segumento de trayectora En general, es muy dfícl dseñar un controlador lneal que otorgue un segumento de trayectora satsfactoro, establdad y rechazo a perturbacones en un ntervalo amplo de puntos de operacón, por lo que en [Trumper et al., 997] se utlza la lnealzacón por retroalmentacón para enfrentar este problema, demostrando la superordad de estos controladores no lneales sobre los controladores convenconales. La lnealzacón por retroalmentacón del estado es una técnca muy conocda [Isdor, 995]. Con ésta se dseña una ley lnealzante que cancela las no lnealdades de un sstema no lneal, y faclta el desarrollo de un controlador que realce el segumento de una trayectora. Sn embargo, en la práctca, la ncertdumbre sempre está presente en los sstemas, y al utlzar esta técnca para lnealzar un sstema, se puede presentar una cancelacón mperfecta. La cancelacón mperfecta de las no lnealdades de un sstema, puede ocasonar que el controlador a dseñar nduzca un comportamento ndeseado en el msmo. Además, cuando se utlza esta técnca, se tene la desventaja de perder nformacón físca del sstema, porque se cancelan los parámetros de los térmnos no lneales. Por tanto, al cerrar el lazo en presenca de ncertdumbre, el sstema controlado no será robusto [Drenmeyer et al., 5]. Hagenmeyer y Delaleau, en [Hagenmeyer y Delaleau, 3a, b] ntroducen la nocón de lnealzacón exacta prealmentada como una metodología general de control de sstemas no lneales planos. Ésta utlza la propedad de aplanamento dferencal para desarrollar controladores que realcen el segumento de trayectoras. Además, los autores demuestran que lnealzacón exacta prealmentada no comparte las nconvenencas de la lnealzacón por retroalmentacón que se menconaron anterormente.

31 Antecedentes y motvacón. Lnealzacón exacta prealmentada El enfoque de lnealzacón exacta prealmentada permte el control, para el segumento de trayectoras deseadas, de sstemas no lneales planos como una combnacón específca de una entrada nomnal prealmentada, basada en aplanamento dferencal, y un controlador retroalmentado establzante smple, cuando no exste ncertdumbre en el sstema. Cuando un sstema no lneal plano presenta ncertdumbre en sus parámetros, aún es posble utlzar lnealzacón exacta prealmentada para el segumento de una trayectora deseada. De hecho, en [Hagenmeyer y Delaleau, 3c] se presenta una metodología de análss de robustez de lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales planos monovarables cuando los parámetros del sstema son desconocdos, pero constantes. Medante el estudo de la dnámca del error de segumento y un resultado de establdad de Kelemen, se muestra que es posble realzar el segumento aceptable de una trayectora deseada, a pesar del desconocmento del valor numérco de los parámetros del sstema. En [Hagenmeyer y Delaleau, 8] se presenta una estructura general basada en aplanamento dferencal para control predctvo no lneal en tempo contnuo, en el marco de lnealzacón exacta prealmentada que se presentó en [Hagenmeyer y Delaleau, 3a, 3b]. Se extenden los resultados presentados en [Fless y Márquez, ] para el caso no lneal. De este modo el aplanamento dferencal proporcona un cálculo sencllo de las trayectoras predchas consderando las restrccones respectvas del sstema. En [Antrtter, 8], el autor realza la comparacón de tres esquemas de control basados en aplanamento dferencal para el segumento de trayectoras: lnealzacón exacta prealmentada, operador dferencal lneal y salda retroalmentada dnámca. En ese trabajo se muestran las smltudes y dferencas de esos esquemas de control, las cuales se aplcaron a un sstema de levtacón magnétca. En su línea de nvestgacón, Hagenmeyer y Delaleau, en [Hagenmeyer y Delaleau, ], extenden su metodología para análss de robustez de lnealzacón exacta prealmentada, presentado en [Hagenmeyer y Delaleau., 3c], pero ahora con respecto a perturbacones

32 . Lnealzacón exacta prealmentada externas. El análss toma en consderacón el segumento de la ecuacón del error junto con los resultados de establdad de Kelemen. En [Formentn y Lovera, ] se aborda el problema del dseño de una ley de control para un helcóptero de cuatro motores. El problema de control lo dvden en el segumento de trayectoras para la poscón y la postura del helcóptero. Ellos utlzan la propedad de aplanamento dferencal que posee la dnámca de la poscón del helcóptero para dseñar un controlador basado en lnealzacón exacta prealmentada. Mentras que, para la postura utlzan un controlador basado en pasvdad. Los resultados que se presentan en ese trabajo muestran que el esquema de control resultante posee un grado de robustez que permte el segumento de trayectora aun en presenca de ncertdumbre... Planteamento del problema Según la revsón de la lteratura realzada hasta el momento, se encontró que no se ha aplcado la metodología de lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre paramétrca. Por lo tanto, el propósto de esta tess es obtener una respuesta a la sguente pregunta: Es posble extender la metodología de lnealzacón exacta prealmentada a sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre en los parámetros? Con este propósto se planteó el objetvo general de la tess: Analzar la robustez de la metodología de lnealzacón exacta prealmentada basada en aplanamento dferencal con un controlador tpo PID en un sstema dnámco multvarable con ncertdumbre paramétrca. Para lograr dcho objetvo se parte de la sguente hpótess: Dado un sstema no lneal plano multvarable que tene saldas planas ndependentes de los parámetros es posble extender la metodología de lnealzacón exacta prealmentada con respecto a ncertdumbre paramétrca. 3

33 Antecedentes y motvacón En el capítulo sguente se presenta los fundamentos teórcos de la estratega de control de lnealzacón exacta prealmentada basada en aplanamento dferencal. Estos fundamentos se utlzaron en el Capítulo 3 para realzar el segumento de trayectoras deseadas para sstemas no lneales planos, y en el Capítulo 4, se extende esta metodología al analzar la robustez de ésta cuando se aplca a dos sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre en sus parámetros. 4

34 Capítulo Fundamentos teórcos y estado de la metodología En este capítulo se presentan los fundamentos teórcos que sustentan la estratega de control del enfoque de lnealzacón exacta prealmentada basada en aplanamento dferencal para sstemas no lneales planos. Este trabajo tene como objetvo extender la aplcacón de lnealzacón exacta prealmentada a sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre paramétrca. Esta extensón se pretende lograr medante el análss de robustez de lnealzacón exacta prealmentada a esa clase de sstemas. Por lo anteror, se requere el estudo de la metodología de control de lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales planos. Así, los temas que se abordarán en este capítulo son elementales para el desarrollo de esta metodología en el Capítulo 3 y para la extensón de la aplcacón de la msma en el Capítulo 4.. Introduccón La metodología de lnealzacón exacta prealmentada es un nuevo enfoque de aplanamento dferencal para el control de sstemas no lneales planos. El segumento de trayectora vía lnealzacón exacta prealmentada es posble a través de la propedad de aplanamento dferencal [Hagenmeyer y Delaleau, 3a, b]. La dea de realzar segumento de trayectora cuando el sstema no lneal plano presenta ncertdumbre surgó en [Hagenmeyer y Delaleau, 3c] con el análss de robustez de lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales planos monovarables con ncertdumbre en los parámetros. Ahora, la dea es realzar segumento de trayectora para sstemas no lneales planos multvarables con ncertdumbre paramétrca. Los fundamentos teórcos se presentan de acuerdo con su jerarquía conceptual dentro del contexto de lnealzacón exacta prealmentada. Para esto, prmero se presenta la nocón general 5

35 .Fundamentos teórcos y estado de la metodología de esta metodología para el control de sstemas no lneales planos. Después, la establdad de ésta se descrbe medante el análss del comportamento de la dnámca del error de segumento cuando se aplca un resultado de establdad de Kelemen. Luego, se muestra la metodología de lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales planos monovarables, y posterormente para multvarables. Por últmo, se explora el análss de robustez de lnealzacón exacta prealmentada para sstemas no lneales planos monovarables con ncertdumbre paramétrca.. Lnealzacón exacta prealmentada En la teoría de control, la nocón de aplanamento dferencal se ha orentado a la solucón de los problemas de planeacón y generacón de trayectoras. Sn embargo, aplanamento dferencal no se restrnge a la solucón de estos problemas, ya que tambén se puede utlzar para realzar segumento de trayectoras. Así, la nocón de lnealzacón exacta prealmentada se ntroduce para enfatzar que la propedad de aplanamento dferencal tambén se puede consderar para dseñar leyes de control que no lnealzan a un sstema no lneal plano como lo haría la lnealzacón por retroalmentacón [Hagenmeyer y Delaleau, 3a, b]. La metodología de lnealzacón exacta prealmentada consste en obtener una entrada prealmentada para una trayectora nomnal tal que, s la condcón ncal de ésta últma es consstente con la del sstema no lneal plano, entonces cuando se aplca dcha prealmentacón al sstema no lneal plano se obtene una forma de Brunovský lneal sn cerrar el lazo. En otras palabras, s las condcones ncales de la trayectora nomnal y del sstema son consstentes, entonces se puede obtener una prealmentacón nomnal tal que, s se le aplca al sstema no lneal plano, éste últmo es equvalente a una forma de Brunovský lneal. Por otro lado, s las condcones ncales, de la trayectora y del sstema, no son consstentes pero son muy cercanas, entonces exste una solucón del sstema tal que ésta se encuentra en una vecndad de la solucón de la forma de Brunovský menconada con anterordad. Además, medante lnealzacón exacta prealmentada se puede desarrollar un controlador retroalmentado que establce las desvacones de la trayectora deseada con una facldad relatva. La establdad de este esquema de control se demuestra cuando se utlza un controlador retroalmentado tpo PID extenddo y un resultado de establdad de Kelemen. Por lo tanto, el esquema de control total de lnealzacón exacta prealmentada consste de dos partes: un controlador prealmentado, deducdo de aplanamento dferencal, el cual hace que el sstema converja a una trayectora deseada; y un controlador retroalmentado, que fuerza al sstema a mantenerse en dcha trayectora. 6

36 .3 Establdad de lnealzacón exacta prealmentada A contnuacón se presenta el escenaro en el cual el resultado de establdad de Kelemen se utlza para demostrar la establdad de la metodología de lnealzacón exacta prealmentada..3 Establdad de lnealzacón exacta prealmentada La establdad del esquema de control de lnealzacón exacta prealmentada es otro problema de control que se debe abordar. A través de lnealzacón exacta prealmentada, es posble ndcar en que parte de la señal prealmentada se debe agregar la salda del controlador retroalmentado con el fn de establzar las devacones de la trayectora deseada. Con el propósto de establzar las desvacones de la trayectora de un sstema no lneal plano, se necesta estudar el comportamento de éste bajo la ley de control que se dseña medante lnealzacón exacta prealmentada. Para dcho estudo se ntroduce la dnámca del error de segumento e, donde el error de segumento e se defne como la dferenca entre el comportamento real del sstema no lneal plano y el deseado. Al analzar la dnámca del error de segumento se concluye que s ésta dverge, entonces el error de segumento nunca será cero y por lo tanto el sstema es ncapaz de realzar un segumento de trayectora. Por otro lado, s el error de segumento se encuentra acotado, entonces el sstema no lneal plano realza un segumento de trayectora en la vecndad de la trayectora deseada. Y s, la dnámca del error de segumento converge exponencalmente a cero, entonces se garantza que el comportamento del sstema no lneal plano es el deseado, es decr, se encuentra sobre la trayectora planeada. Con este resultado se muestra que se pueden establzar a los sstemas no lneales planos alrededor de trayectoras deseadas cuando se aplca lnealzacón exacta prealmentada con un controlador retroalmentado. El problema de la establdad de la estratega de lnealzacón exacta prealmentada se replantea como un problema de convergenca asntótcamente a cero de la dnámca del error de segumento. Un resultado de establdad de Kelemen establece las condcones que deben cumplrse para garantzar dcha convergenca. Usando este resultado, se verfca la establdad de la estratega de control de lnealzacón exacta prealmentada para el segumento de una trayectora deseada. Dcho resultado de establdad se presenta en la seccón sguente. En el contexto de ncertdumbre paramétrca estructurada, para realzar el segumento de trayectora, se debe verfcar que la ncertdumbre en los parámetros del sstema no lneal plano no afecte la establdad de la dnámca del error de segumento. Para ello, se analza la robustez de esta estratega medante un resultado de establdad de Kelemen. Se determna la longtud máxma del ntervalo de ncertdumbre numérca en los parámetros que garantza la establdad de la dnámca del error de segumento, y en consecuenca, el segumento de trayectora. 7

37 .Fundamentos teórcos y estado de la metodología.3. Un resultado de establdad de Kelemen Medante la estratega de control de lnealzacón exacta prealmentada es posble establzar la trayectora de un sstema no lneal plano alrededor de una trayectora deseada. S se utlza un controlador retroalmentado tpo PID, la establdad de lnealzacón exacta prealmentada se verfca medante un resultado de establdad de Kelemen presentado en [Kelemen, 986], y que fue renterpretado por Lawrence y Rugh en [Lawrence y Rugh]. A contnuacón se presenta dcho resultado. Dado un sstema no lneal de la forma: donde η ( t) es el vector de estado de n y ( t) (H): g : ( ( t) ( t) ) ( ) t t η = g η, ν, η = η, (.) n m n es de clase ν es el vector de entrada de m. Se asume que: C con respecto a sus argumentos, m (H): hay un conjunto aberto y acotado Γ y una funcón dferencable n contnuamente σ : Γ tal que, para cada valor de entrada constante υ Γ, ( ( ) ) g σ υ, υ =, (H3): hay un (, υ) g κ > tal que, para cada υ Γ, los egenvalores de σ( υ) partes reales no mayores que κ. η tenen La Hpótess H garantza que el sstema (.) tene al menos una solucón. La Hpótess σ υ, υ, donde ( ) H dce que el sstema tene un conjunto de puntos de equlbro de la forma ( ) para toda υ Γ exste un σ( υ ) tal que el campo g se anula, es decr, g ( ( ), ) σ υ υ =. La Hpótess H3 garantza que dchos puntos de equlbros sean hperbólcos y estables. Y del Teorema de Hartman-Grobman [Perko, 99], se tene que s se defne un sstema dnámco lneal medante la matrz Jacobana η = A η, (.) g A = ( σ( υ), υ) (.3) η 8