Cálculo Numérico. Luis Castellanos. Maracaibo, Estado Zulia, Venezuela

Transcripción

1 Cálculo Numérco Lus Castellanos Maracabo, Estado Zula, Venezuela

2 Cálculo Numérco Lus Castellanos Tabla de Contendo. INTRODUCCIÓN.... CONCEPTOS BÁSICOS. ERROR ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS:..... TIPOS DE ERRORES CIFRAS SIGNIFICATIVAS FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ERRORES EJERCICIOS MÉTODOS QUE USAN INTERVALOS MÉTODO GRÁFICO MÉTODO DE BISECCIÓN MÉTODO DE REGLA FALSA EJERCICIOS MÉTODOS ABIERTOS ITERACIÓN DE PUNTO FIJO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MÉTODO DE LA SECANTE MÉTODO DE RAÍCES MÚLTIPLES EJERCICIOS SISTEMAS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES MATRICES ELIMINACIÓN GAUSSIANA SIMPLE MÉTODO DE GAUSS-JORDAN MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL EJERCICIOS AJUSTE DE CURVAS REGRESIÓN LINEAL REGRESIÓN POLINOMIAL INTERPOLACIÓN DE NEWTON INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE INTERPOLACIÓN CÚBICA SEGMENTARIA EJERCICIOS : DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES... 5

3 Cálculo Numérco Lus Castellanos 7.. INTEGRACIÓN DE ROMBERG CUADRATURA GAUSSIANA EJERCICIOS SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO DE EULER MÉTODO DE EULER CON SERIE DE TAYLOR DE ORDEN SUPERIOR MÉTODO DE RUNGE-KUTTA SISTEMAS DE ECUACIONES MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÉNDICE. MATEMÁTICOS ILUSTRES BROOK TAYLOR COLIN MACLAURIN ISAAC NEWTON JOSEPH RAPHSON CARL FRIEDRICH GAUSS WILHELM JORDAN PHILIPP LUDWIG VON SEIDEL JOSEPH-LOUIS DE LAGRANGE THOMAS SIMPSON ROGER COTES LEWIS FRY RICHARDSON WERNER ROMBERG ADRIEN-MARIE LEGENDRE LEONHARD EULER CARL RUNGE MARTIN WILHELM KUTTA APÉNDICE. FÓRMULAS RESALTANTES... 88

4 Cálculo Numérco Lus Castellanos v Tabla de Grácos Gráco. Eacttud y Precsón... Gráco. Funcón ep--. Generado en 8 Gráco 3. Método de Bseccón... 9 Gráco 4. Método de la Regla Falsa... Gráco 5. Método de Newton-Raphson... 7 Gráco 6- M;étodo de la Secante... 8 Gráco 7. Regresón Lneal Gráco 8. Resultado de la Regresón Lneal. Generado con MS Ecel Gráco 9. Regresón Polnomal Gráco 0. Interpolacón Lneal... 4 Gráco. Interpolacón Polnomal Gráco. Interpolacón de Lagrange Gráco 3. Interpolacón Cúbca Segmentara Splne Gráco 4. Regla del Trapeco... 5 Gráco 5. Regla de Smpson. /3 y 3/ Gráco 6. Cuadratura Gaussana... 65

5 Cálculo Numérco Lus Castellanos. Introduccón Los métodos numércos orecen solucones apromadas muy cercanas a las solucones eactas. La dscrepanca entre una solucón verdadera y una apromada representa un error. En la práctca proesonal, los errores pueden resultar costosos, y en algunas ocasones catastrócos. Por ello, los errores se deben: Identcar Cuantcar Mnmzar Cálculo Numérco es una matera de Cálculo o Matemátcas Aplcada, que muestra como a través de órmulas e teracones podemos obtener resultados bastante apromados para dversos problemas que se pueden plantear. Se deben tener conocmentos de Cálculo Matemátco, Seres, Algebra Lneal, Artmétca y Trgonometría, entre otras cosas. La presente guía es un resumen del teto de Métodos Numércos para Ingeneros, de los autores Chapra y Canale.

6 . Conceptos Báscos. Error... Algunos conceptos báscos: Precsón: qué tan cercanos se encuentran los valores unos de otros Imprecsón: esparcmento de las medcones Eacttud: apromacón de un número o de una medda al valor verdadero Ineacttud: alejamento sstemátco de la realdad Ineacto e Imprecso Eacto e Imprecso Ineacto y Precso Eacto y Precso.. Tpos de Errores Error por Truncamento: Gráco. Eacttud y Precsón o Derenca entre una ormulacón matemátca eacta de un problema y la apromacón dada por un método numérco.

7 Cálculo Numérco Lus Castellanos 3 Error por Redondeo: o Resulta del uso de cantdades con un número nto de dígtos. o El últmo dígto que se conserva aumenta en s el prmer dígto que se descarta es mayor o gual a 5. o S es menor a 5, el últmo dgto que se conserva permanece con el msmo valor. Error Numérco Total: Error por equvocacón Error de ormulacón Error por ncertdumbre en los datos Ejemplo: Tomemos el valor de π p π= 3, Por truncamento Por redondeo 3,45 3,46.3. Cras Sgncatvas Número de dígtos que se pueden usar con conanza. Incluyen enteros y decmales. Ejemplos: a.,,768 cras sgncatvas,,768 = 0,43 0,4 b. 0,064 4,8 3 cras sgncatvas 0,064 4,8 = 0,3086 0,3

8 Cálculo Numérco Lus Castellanos 4 c ,385 4 cras sgncatvas 945 0,385 = 967, Fórmulas para el cálculo de errores En la ntroduccón se menconó que la dscrepanca entre una solucón verdadera y una apromada representa un error. El Error Verdadero E T vene dado por: E T = Valor Verdadero Valor Apromado El Error Relatvo Porcentual E V se obtene: E V ValorVerdadero ValorApromado ValorVerdadero 00% El Error normalzado a un valor apromado se obtene: E a ErrorApromado ValorApromado 00% En certos métodos numércos, se usan esquemas teratvos para calcular resultados, y se hace la apromacón en base a la apromacón anteror, para calcular más y mejores apromacones. E a ApromacónActual Apromacón Preva ApromacónActual 00% En esta últma, normalmente se repte hasta que su valor absoluto sea menor que una toleranca prejada ES, donde

9 Cálculo Numérco Lus Castellanos 5 n E S 0,50 % Quedando entonces dendo el crtero de aceptacón: E a < E S El resultado será correcto en al menos n cras sgncatvas Ejemplos: a. Se debe medr la longtud de un puente y de un remache, obtenendo y 9 cms respectvamente. S los valores reales son y 0 cm, calcule para cada caso el Error Verdadero y el Error Relatvo Porcentual. Puente E T = E T = cm E V E V = 0,0% 00% Remache E T = 0 9 E T = cm EV 00% 0 E V = 0% b. Calcule la uncón eponencal e X empleando la epansón de Maclaurn para Seres de Taylor, para =0,5; agregando térmnos hasta que E a < E S, con tres 3 cras sgncatvas. Se halla el valor real de e 0,5 =, Scarborough 966

10 Cálculo Numérco Lus Castellanos 6 Sea la Sere de Taylor: 3 Se halla el error de toleranca 0,50 % E S 0,50 % E S = 0,05% Aplcando las órmulas correspondentes, se arma la tabla sguente: Térmno Sumatora Ev Ea 39, ,5,5 9, , ,5,65, , , , ,75656, , , , , , , , , =, con un error del 0, %..5. Ejerccos a. Redondee a tres 3 cras sgncatvas: a. 8,755 a , a. 0, a.4. 5, b. Eectúe las sguentes operacones y emplee las cras sgncatvas necesaras: b ,4 b.3. 8, , b. 4, , 0 B.4.,06 /888 c. Use la Sere de Taylor, epansón Maclaurn, para estmar e X con = y =,5, con tres cras sgncatvas. E S

11 Cálculo Numérco Lus Castellanos 7 3. Métodos que usan ntervalos Son métodos que necestan dos valores ncales de la raíz, para reducr sstemátcamente el tamaño del ntervalo y así converger a la respuesta correcta. 3.. Método Gráco Se graca la uncón y se observa dónde cruza o corta al eje X. Ese punto proporcona una apromacón ncal de la raíz. Ejemplo: Obtenga grácamente la raíz de la ecuacón = e - Prmero se selecconan valores ncal y nal del ntervalo que se va a gracar. 0,0,000 0, 0,69 0,4 0,70 0,6-0,05 0,8-0,35,0-0,63 Y luego se gracan los puntos en el eje cartesano. Raíz: valor de =0. Es decr, valor de que hace que la uncón sea cero 0.

12 Cálculo Numérco Lus Castellanos 8 Gráco. Funcón ep--. Generado en Grácamente se puede observar que el valor donde la curva ntersecta el eje X está alrededor de 0,57. Entonces, la raíz será = 0,57. Los métodos grácos tenen un valor lmtado, ya que no son precsos. Pero son útles para obtener apromacones a la raíz. Los valores obtendos pueden ser usados como valores ncales en otros métodos numércos. 3.. Método de Bseccón O corte Bnaro, es un método de búsqueda ncremental, donde el ntervalo se dvde sempre en dos. S la uncón camba de sgno sobre un ntervalo, se evalúa el valor de la uncón en el punto medo. La poscón de la raíz se determna stuándola en el punto medo del subntervalo dentro del cual ocurre el cambo de sgno. El proceso se repte hasta obtener una mejor apromacón.

13 Cálculo Numérco Lus Castellanos 9 Es muy parecdo a cuando buscamos una palabra en el dcconaro. Abrmos el dcconaro y evaluamos s la palabra estará en las hojas que tenemos en la mano zquerda o en la mano derecha. Depende de esa evaluacón, usamos el ntervalo donde se supone que está la palabra, y abrmos de nuevo. Y así hasta que encontremos la palabra que buscamos. Algortmo del Método de Bseccón: Gráco 3. Método de Bseccón. Escoger valores ncales X y X u de tal manera que la uncón cambe de sgno sobre el ntervalo.. Se halla el valor real al trabajar con errores de toleranca. 3. La prmera apromacón se determna con la órmula X r X X u

14 Cálculo Numérco Lus Castellanos 0 4. Se evalúa el producto de X X r. S X X r < 0 la raíz está en el er subntervalo X u = X r S X X r > 0 la raíz está en el do subntervalo X = X r S X X r = 0 la raíz es X r. Fn. 5. Se determna el error verdadero y el error acumulado éste luego de la da teracón. 6. Se evalúa el error acumulado. S es menor o gual al error de toleranca, Fn. S es mayor, volver al paso 3. Ejemplo: Use el método de bseccón para hallar la raíz de la ecuacón = e -. El valor real es de 0, Tome un valor ncal de 0 y un valor nal de. Consdere un error de tres 3 cras sgncatvas. Iteracón u r u r *r Condcón Ev Ea 0 0,5-0,63 0,0653 0,0653 > 0,8389 0,5 0,75 0,0653-0,63-0,776-0,096 < 0-3,4 33, ,5 0,75 0,65 0,0653-0,776-0,0897-0,0096 < 0-0, ,5 0,65 0,565 0,0653-0,0897 0,0078 0,00078 > 0 0,887, 5 0,565 0,65 0, ,0078-0,0897-0,045-0,0003 < 0-4,694 5, ,565 0, ,5783 0,0078-0,045-0,07-0,000 < 0 -,9363, ,565 0,5783 0,5703 0,0078-0,07-0,005-4E-05 < 0-0,5588, ,565 0,5703 0,5664 0,0078-0,005 0,006 8,4E-06 > 0 0,996 0, ,5664 0,5703 0, ,006-0,005-0,009 -E-06 < 0-0,44 0, ,5664 0, , ,006-0,009-0,0004-4E-07 < 0-0,04 0,7 0,5664 0, , ,006-0,0004 0, ,5E-07 > 0 0, ,0863 0, , ,5674 0, ,0004 7,E-06,8E-09 > 0 0,0008 0,04305 La raíz de la ecuacón es 0, , con un error de 0,04305%, en la ª teracón.

15 Cálculo Numérco Lus Castellanos 3.3. Método de Regla Falsa Es una versón mejorada del Método de Bseccón. Este método une los puntos etremos del ntervalo con una línea recta, y la nterseccón de la msma con el eje X proporcona una mejor estmacón de la raíz. Al reemplazar la curva de la uncón, por una recta, da una poscón alsa de la raíz. Tambén se conoce como Interpolacón Lneal. El Algortmo es déntco al del Método de Bseccón. Sólo camba la manera de hallar X r. Algortmo del Método de Regla Falsa:. Escoger valores ncales X y X u de tal manera que la uncón cambe de sgno sobre el ntervalo.. Se halla el valor real al trabajar con errores de toleranca. 3. La prmera apromacón se determna con la órmula X r X u X X u X X X Gráco 4. Método de la Regla Falsa u u

16 Cálculo Numérco Lus Castellanos 4. Se evalúa el producto de X X r. S X X r < 0 la raíz está en el er subntervalo X u = X r S X X r > 0 la raíz está en el do subntervalo X = X r S X X r = 0 la raíz es X r. Fn. 5. Se determna el error verdadero y el error acumulado éste luego de la da teracón. 6. Se evalúa el error acumulado. S es menor o gual al error de toleranca, Fn. S es mayor, volver al paso 3. Ejemplo: Use el método de bseccón para hallar la raíz de la ecuacón = e -. El valor real es de 0, Tome un valor ncal de 0 y un valor nal de. Consdere un error de tres 3 cras sgncatvas. Iteracón u u r r *r Condcón Ev Ea 0-0,63 0,67-0,0708-0,0708 < 0-8, ,67-0,0708 0,578-0, ,00789 < 0-0, , ,578-0, ,5677-0, ,00088 < 0-0, , ,5677-0, ,567-9,8E-05-9,8E-05 < 0-0,0098 0, ,567-9,8E-05 0,5675 -,E-05 -,E-05 < 0-0,00 0,00976 La raíz de la ecuacón es 0, , con un error de 0,00976%, en la 5 ta teracón. Comparacón de Métodos: El valor real es de 0, Raíz Error Iteracón Gráco 0, Bseccón 0, ,04305% Regla Falsa 0, ,00976%, 5

17 Cálculo Numérco Lus Castellanos Ejerccos Determne las raíces reales, grácamente, por Bseccón y por Regla Falsa, de las sguentes ecuacones: a. = - 0,874 +,75 +,67 =,9; u =3,; 3 teracones b. = -, + 6, 3,9 + 0,667 3 =0,4; u = 0,6; E s =4% c. = -3, ,35 88,09 + 4,6 3 8, ,658 5 =4,5; u =5,0; E s = % d. ln = 0,5 =; u = ; 3 teracones e. 0,6 =,5; u =,0; 3 teracones

18 Cálculo Numérco Lus Castellanos 4 4. Métodos abertos En los métodos que usan ntervalos, la raíz se encuentra entre un límte neror y otro superor. Son métodos convergentes, ya que se acercan progresvamente a la raíz a medda que crece el número de teracones. Al contraro, los métodos abertos se basan en órmulas que requeren de un solo valor de, o de un par de ellos que no necesaramente encerran la raíz. A veces dvergen o se alejan de la raíz a medda que aumentan las teracones. Pero cuando convergen en general lo hacen mucho más rápdo que los métodos que usan ntervalos. Iteracón de Punto Fjo Método de Newton-Raphson Método de la Secante Raíces Múltples 4.. Iteracón de Punto Fjo Para aplcar este método se transorma la uncón medante operacones algebracas. Algortmo de Punto Fjo:. Dada una uncón =0, y un valor ncal X o. De la uncón se despeja para encontrar una nueva uncón de llamada g. Se puede hacer de dos maneras: a. Sumar a ambos térmnos de la ecuacón b. Despejar la del térmno de er grado de la ecuacón.

19 Cálculo Numérco Lus Castellanos 5 Evaluar convergenca.. Se derva la uncón g. El valor ncal debe cumplr el crtero de convergenca g <. 3. Se obtene una nueva apromacón evaluando la órmula general del método X n+ =gx o 4. Evaluar la apromacón relatva E a < E s Ea X n X X n n 00% S es also, repetr. S es verdadero, Fn. Xn+ es la raíz. Ejemplo: Use el Método de Punto Fjo para hallar la raíz de la ecuacón = -3, con un X o =4 Igualamos a cero -3 = 0 = +3 3 g 3 Se prueba Convergenca: g= +3 ½ g = ½ +3 - ½ g = +3 - ½ g 4 = - ½ g 4= 0, < CONVERGE

20 Cálculo Numérco Lus Castellanos 6 Iteracón X g Ea 4 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0004 0, ,0004 3, , , , , , , , , , , , , ,87E , , ,904E , , ,30E , , ,4337E , , ,779E , ,593E-07 Donde la raíz sería 8 =3, con un E a de,5930-7

21 Cálculo Numérco Lus Castellanos Método de Newton-Raphson Dado un valor ncal de X, se puede etender una tangente desde el punto [X, X ]. El punto donde la tangente cruza al eje representa una apromacón mejorada a la raíz. Se derva geométrcamente: ' X X X 0 X Reordenando: X X X ' X Gráco 5. Método de Newton-Raphson

22 Cálculo Numérco Lus Castellanos 8 Ejemplo: Use el método de Newton-Raphson para hallar la raíz de la ecuacón = e -, con X o =0. = e - = - e - X X e e Iteracón X ' + Ea 0-0,5 00 0,5 0, , ,5663, ,5663 0, , , , ,567437,9648E-07 -, ,567439,06E , ,4409E-5 -, , ,0897E-3 6 0, ,0E-6 -, ,567439,9576E-4 7 0, , , Se obtene la raíz gual a 0,567439, en la 7a teracón, con un E a = 0% Método de la Secante Un problema que presenta el método de Newton Raphson es que esten algunas dervadas que no son muy ácles de evaluar. Por ello se puede apromar la dervada medante una derenca. Gráco 6- M;étodo de la Secante

23 Cálculo Numérco Lus Castellanos 9 El método de la secante usa una derenca en vez de la dervada, para apromar la pendente. ' X X X X X Reordenando: X X X X X X X Ejemplo: Use el método de la Secante para hallar la raíz de la ecuacón = e -, con X - =0 y X o = Iteracón X- X X- X X+ Ea 0-0, % 0, , , ,0559 % 0, , , , , , , % 0, , , , ,49E-05 0, , % 5 0, , ,49E-05 -,538E-08 0, , % 6 0, , ,538E-08,43E-3 0,567439,8556E-06 % 7 0, ,567439,43E-3 0 0,567439,3977E- % Se halla una raíz de 0, con un E a de, % de Error, en la 7ª teracón. Comparacón de Métodos: El valor real es de 0,

24 Cálculo Numérco Lus Castellanos 0 Raíz Error Iteracón Gráco 0, Bseccón 0, ,04305% Regla Falsa 0, ,00976%, 5 Newton Raphson 0, % 7 Secante 0,567439, % Método de Raíces Múltples Una raíz múltple corresponde a un punto donde una uncón es tangencal al eje, y varos valores de hacen que sea cero 3. Para hallar las raíces múltples, se emplea el Método de Newton Raphson Modcado. X X X ' X ' X X '' X Ejemplo: Use el Método de Newton Raphson Modcado para evaluar la raíz múltple de la ecuacón: = ; con un X o =0 = = 6 0 Iteracón X 'X ''X X+ Ea , , , , ,368405, , , ,8964E-05-0,0987-3,98500, , , ,343E- -9,56E-06-3, , ,495E F=---3

25 Cálculo Numérco Lus Castellanos Se halla la raíz de,00 con un error de 0,000385%, con 4 teracones Ejerccos Hallar las raíces de las sguentes uncones: a. = - 0,875 +,75 +,75. Xo= 3,. E s = 0,00% b. = -, + 6, - 3,9 + 0, E s = 0,0% c. = -3, , ,6 3 8,68 4-0,658 5 c.. Xo = 3,5 c.. Xo = 4,0 c.3. Xo = 4,5 d. = 9,36, ,965 3, E s con 3 cras sgncatvas. e. = 4 8,6 3 35, ,46 e.. X = 7 Newton Raphson e.. X - = 7; X = 9 Secante. = 0,6 /.. X =,5 Newton Raphson.. X - =,5; X = Secante g. = E s = 0,% h. = h.. X = 3,6 Newton Raphson

26 Cálculo Numérco Lus Castellanos h.. X - =,5; X = 3,6 Secante. = e / 3 ; X o =,5; E s = % j. = ; X o = 0,5; E s = 0,5% k. = ; X o = 5; E s = 5% l. = ; X o =,35; E s = 0,5% m. = 5 e ; X o = 4,9; E s = 0,05% n. = ; X o = 5; E s = 0,5%

27 Cálculo Numérco Lus Castellanos 3 5. Sstemas y Ecuacones Algebracas Lneales Los métodos numércos vstos con anterordad nos srven para determnar el valor de que satsace a una sola ecuacón, = 0. A contnuacón se usarán métodos para determnar los valores de,,, n, que satsagan smultáneamente un conjunto de ecuacones. Estas ecuacones pueden ser lneales o no lneales. 5.. Matrces Una matrz consta de un arreglo rectangular de elementos representados por un símbolo smple. [A] es la notacón abrevada para la matrz, y a j representa un elemento ndvdual de la matrz. Normalmente se reere a la la del elemento, y j a la columna. a a a 3 a n [A] = a a a 3 a n a m a m a m3 a mn Suma y Resta de Matrces Sólo se pueden eectuar suma y resta de matrces, s tenen las msmas dmensones. Al sumar o restar dos matrces [A] y [B], el resultado se mostrará en la matrz [C], y se calcula: c j = a j ± b j

28 Cálculo Numérco Lus Castellanos 4 Producto de Matrces Para multplcar una matrz [A] por un escalar g, se multplca cada elemento de [A] por g. g a g a. g a n [B] = g. [A] = g a m g a m. g a mn Para multplcar dos matrces [A] y [B], la dmensón de columnas de [A] debe ser gual a la dmensón de las de [B]. c j n k a k. b kj Ejemplos: Sean las sguentes matrces: [B] = 7 [A] = [C] = 3-0 Resuelva las sguentes operacones: a. [B] + [C] [D]= = 7-0 6

29 Cálculo Numérco Lus Castellanos 5 b. [B] - [C] [D]= = c. 4 [C] [D]= d. [A] [B] [D]= = Elmnacón Gaussana Smple Se usa para resolver un conjunto de n ecuacones. a + a + + a n n = c a m + a m + + a mn n = c n. Se dvde la ra la entre el coecente de la ra ncógnta Normalzacón. Se multplca la ra la por el coecente de la ra ncógnta de la da la.

30 Cálculo Numérco Lus Castellanos 6 3. Se resta la ra la a la da la. 4. El proceso se repte hasta que se elmna la ra ncógnta de las ecuacones restantes. 5. Se repte para el resto de las ecuacones. 6. Se repte para el resto de las ncógntas. La órmula general queda así: c n j a a j. j Ejemplo: Úsese la Elmnacón Gaussana para resolver: 3-0, -0, 3 = 7,85 0, -7-0,3 3 = - 9,3 0,3-0, = 7,4 3-0, -0, 3 = 7,85 7, , = - 9,567 0, = 70, = 7, = -, = 3,000 00

31 Cálculo Numérco Lus Castellanos 7 Desventajas: Dvsón entre cero Errores de redondeo Sstemas mal condconados 5.3. Método de Gauss-Jordan Varacón de la Elmnacón Gaussana, donde el paso de Elmnacón genera una matrz dentdad, en vez de una matrz trangular.. Se epresan los coecentes y el vector de térmnos ndependentes como una matrz aumentada.. Se normalza la ra la se dvde entre el coecente de la ra ncógnta. 3. Se multplca la ra la por el er Coecente de las sguentes las, y se restan. 4. Se normalza la da la. 5. Se multplca la da la por el do coecente de las otras las y se restan. 6. Se normalza la 3ra la. 7. Se multplca la 3ra la por el 3er coecente de las otras las y se restan. 8. Contnuar hasta la la n.

32 Cálculo Numérco Lus Castellanos 8 Ejemplo: Úsese el Método de Gauss-Jordan para resolver el sguente sstema de ecuacones: 3-0, -0, 3 = 7,85 0, 7-0,3 3 = - 9,3 0,3-0, 0 3 = 7,4 3-0, -0, 7,85 0, 7-0,3-9,3 0,3-0, 0 7,4-0, , , , , , , 0, , , , , , ,0 0 70,084 3 = 3, = -, = 7, , , ,000 03

33 Cálculo Numérco Lus Castellanos Método de Gauss-Sedel Debdo a los errores de redondeo, los métodos de elmnacón algunas veces son nadecuados para resolver sstemas de ecuacones muy grandes. El Método de Gauss-Sedel es un método teratvo, que se basa en obtener valores ncales que en sucesvas operacones se van apromando a las solucones reales. Sea un conjunto de n ecuacones:. S los elementos de la dagonal son derentes a cero, la ra ecuacón se resuelve 4 para, la da ecuacón para y así sucesvamente. c a a 3 a 3... a n n c a a3 a 3... a n n c a a a n n n... nn n n ann 4 Se epresa en uncón a la ncógnta

34 Cálculo Numérco Lus Castellanos 30. Se empeza el proceso de solucón usando un valor ncal para las. Todas las valen cero Se susttuyen los valores en la ra ecuacón para hallar. 4. Se susttuye el valor hallado de en la da ecuacón para hallar, y así sucesvamente hasta llegar a la últma ecuacón. 5. Se calcula el error acumulado y se evalúa. 6. S se acepta el error, FIN. S no, se regresa a la ra ecuacón. Ejemplo: Úsese el método de Gauss-Sedel para resolver el sguente sstema de ecuacones: 3-0, -0, 3 = 7,85 0, 7-0,3 3 = - 9,3 0,3-0, 0 3 = 7,4 3 7,85 0, 0,3 3 9,3 0, 0,33 7 7,4 0,3 0, 0 Hacendo =0 y 3 =0, se susttuye en la ecuacón de : 7,85 0, 0 0,0 3 7,85 3,66666

35 Cálculo Numérco Lus Castellanos 3 9,3 0,, ,30 7 7,4 0,3, ,, , , Los valores obtendos se reemplazan en las ecuacones ncales y se hallan nuevos valores en la da teracón, y se calcula el E a : =, E a =,5% = -, E a =,8% 3 = 7, E a = 0,076% Convergenca Sn embargo, éste método puede no converger. Una condcón de convergenca es que los coecentes sobre la dagonal de cada ecuacón sean mayores que la suma de los otros coecentes Ejerccos a j > Ʃ Sstemas dagonalmente domnantes Resuelva los sguentes sstemas de ecuacones: = = = -64

36 Cálculo Numérco Lus Castellanos = 4, = = = = = = = = = = = = = = -86

37 Cálculo Numérco Lus Castellanos = = = = = = 4

38 Cálculo Numérco Lus Castellanos Ajuste de Curvas El Método más smple de ajustar una curva es trazar sus puntos y unrlos con una línea recta. Pero los resultados dependen de la precsón de quen traza la curva. Los métodos a ver serán: Regresón Lneal Regresón Polnomal Interpolacón de Newton Polnomos de Interpolacón de Lagrange Interpolacón Segmentara 6.. Regresón Lneal Tambén se conoce como Apromacón por Mínmos Cuadrados. El Método consste en hallar una línea recta que pase entre el conjunto de datos dados. La epresón de una línea recta es: Gráco 7. Regresón Lneal y = a + b Pero la recta a trazar va a generar un error E. y = a + b + E

39 Cálculo Numérco Lus Castellanos 35 Quedando dendo el error como: E = y - a - b El error o Resduo es la derenca entre el valor real de y, y el valor apromado. Para obtener la mejor línea a través de los puntos, se debe mnmzar la suma de los errores resduales: n n a b y E Pero esta estratega, y otras más, son nadecuadas. La mejor estratega consste en mnmzar la suma de los cuadrados de los resduos S : n n b a y E S n b a y S Para hallar a y b, se derva la ecuacón con respecto a cada coecente: n b a y b S n b a y a S Igualando las dervadas a cero: b a y 0

40 Cálculo Numérco Lus Castellanos 36 b a y 0 Hallamos las ecuacones normales. Y se resuelve a través de un sstema de ecuacones:. n y y n a a y b En donde y y son la medda de y y respectvamente. n y y n Error Estándar de la Apromacón: Cuantca la dspersón alrededor de la línea de dspersón: / n Sr S y La ecenca del ajuste se cuantca con el Coecente de Determnacón: t r t S S S r Y con el Coecente de Correlacón: t r t S S S r

41 Cálculo Numérco Lus Castellanos 37 Ejemplo: Ajuste una línea recta a los valores: y 0,5, , ,5 Se amplía la tabla para calcular los resultados parcales: y *y Ʃ 0,5 0,5, ,5 7, ,5 38,5 49 Ʃ 8 4 9,5 40 n=7 a 7*9,5 8*4 7*40 8 a 0, y y 3, b 3, , * 4 b 0,074857

42 Cálculo Numérco Lus Castellanos 38 Solucón: y 0, , Regresón Lneal Gráco 8. Resultado de la Regresón Lneal. Generado con MS Ecel. S,99 S 7 y / y / 0,7735 r,743,99 r,743 0,868 El 86,8% de la ncertdumbre se ha eplcado.

43 Cálculo Numérco Lus Castellanos Regresón Polnomal En algunos casos, las tendencas de las ecuacones se representan mejor ajustando una curva a los datos presentados, y sendo una línea recta una representacón pobre del patrón. El procedmento de Regresón Lneal se ajusta a un polnomo de un m- ésmo grado. y = a 0 + a + a + + a m m La suma de los cuadrados de los resduos es: S r = Ʃ y - a 0 - a - a - - a m m Se derva con respecto a cada coecente: n m m r a a a a y a S n m m r a a a a y a S 0... n m m r a a a a y a S 0... n m m m m r a a a a y a S 0... Gráco 9. Regresón Polnomal

44 Cálculo Numérco Lus Castellanos 40 El sstema de ecuacones resultante se puede resolver aplcando cualquera de los métodos descrtos en el capítulo anteror, con m+ ecuacones y m+ ncógntas. a 0 n + a + a + a m m = y a 0 + a + a 3 + a m m+ = y a 0 + a 3 + a 4 + a m m+ = y a 0 m + a m+ + a m+ + a m m = m y Error Estándar de la Apromacón: S y / Coecente de Determnacón: Sr n m r S v S S v r Coecente de Correlacón: r S v S S v r Ejemplo: Ajústese un Polnomo de do Orden a los sguentes datos: y 0, 7,7 3,6 3 7, 4 40,9 5 6,

45 Cálculo Numérco Lus Castellanos 4 n=6, m= 5,6 5 y y 5,433, y *y Ʃ Ʃ 3 Ʃ 4 Ʃ y 0, ,7 7,7 7,7 3,6 7, ,4 3 7, 8, ,8 4 40,9 63, ,4 5 6, 305, ,5 Ʃ 5 5,6 585, ,8 Se arma el sstema de ecuacones: 6a a +55a = 5,6 5a a +5a = 585,6 55a a +979a = 488,8 Resolvendo se obtene: a 0 =, a =, a =,860 7 La ecuacón queda: y =, , ,860 7

46 Cálculo Numérco Lus Castellanos 4 El Error Estándar de Apromacón queda: S 3,74657 S 6 3 y / y / Y el Coecente de Determnacón queda:, r 53,39 3,74657 r 53,39 0,9985 Se resuelve la ncertdumbre en un 99,85% Interpolacón de Newton El Polnomo de Interpolacón 5 consste en determnar el únco polnomo de n-ésmo orden que se ajusta a los n+ puntos dados. Este polnomo proporcona una órmula para calcular los valores ntermedos. Interpolacón Lneal Gráco 0. Interpolacón Lneal 5 Interpolacón: estmacón de valores ntermedos entre valore conocdos.

47 Cálculo Numérco Lus Castellanos 43 La orma más smple de nterpolacón es la de conectar dos puntos con una línea recta. Usando trángulos semejantes: Reordenando: Ejemplo: Calcule ln, usando nterpolacón lneal, sabendo que ln = 0 y que ln 6 =, El valor real de ln = 0, Lo cual representa un E v = 48,3%, = 0, Usando un ntervalo más pequeño, con ln 4 =, , reduce el E v = 33,3% Interpolacón Cuadrátca El error tan grande en el ejemplo anteror se debe al uso de una línea recta para apromar una curva. Con 3 datos, se puede emplear un polnomo cuadrátco: = b 0 + b b - 0-0

48 Cálculo Numérco Lus Castellanos 44 Gráco. Interpolacón Polnomal Por sstema de ecuacones, se obtenen: b 0 = b b Ejemplo: Ajústese el polnomo de do grado a los tres puntos dados, para hallar ln. 0 = 0 = 0 X = 4 =, X = 6 =,

49 Cálculo Numérco Lus Castellanos 45 b 0 = 0 b b, b 4 0,460983,797595,386944, b = 0 + 0, , = 0, ; con un E v = 8,4% 6.4. Interpolacón de Lagrange 0, El Polnomo de Interpolacón de Lagrange es una reormulacón del Polnomo de Newton, que evta los cálculos de las derencas dvddas. n n 0 L Donde L n j 6 j0 j j Gráco. Interpolacón de Lagrange 6 producto de

50 Cálculo Numérco Lus Castellanos 46 La versón lneal es: La versón cuadrátca es: Ejemplo: Usese el Polnomo de Interpolacón de Lagrange de er y do Orden para evaluar ln, en base a los datos: er Orden: 0 = 0 = 0 X = 4 =, X = 6 =, , , do Orden: ,386944, , E v = 33,33%; E v = 8,37%

51 Cálculo Numérco Lus Castellanos Interpolacón Cúbca Segmentara Esten casos donde la nterpolacón con polnomos puede llevar a resultados erróneos. Para evtar esos errores se pueden usar Funcones de Interpolacón Segmentara Splne Functons. Lneal: Se halla la pendente de la recta entre los dos puntos del ntervalo, y se susttuye en la ecuacón de la recta para hallar el valor buscado. m Ejemplo: Ajuste los datos con nterpolacón segmentara de er orden para =5, de acuerdo a los sguentes datos: 3,0,5 4,5,0 7,0,5 9,0 0,5 m,5,0 7,0 4,5 m 0,60 y,0 0,60 5,3 5,0 4,5

52 Cálculo Numérco Lus Castellanos 48 Cuadrátca: El objetvo es obtener un polnomo de do Orden para cada uno de los ntervalos entre los puntos. Normalmente el polnomo para cada ntervalo se representa como: = a + b + c y a + b + c a + b + c a 3 + b 3 + c Intervalo Intervalo Intervalo =0 = = =3 Gráco 3. Interpolacón Cúbca Segmentara Splne Para los n+ puntos, esten n ntervalos, con 3n ncógntas para evaluar a, b, c

53 Cálculo Numérco Lus Castellanos Ejerccos : Utlce Regresón Lneal Mínmos Cuadrados para ajustar una línea recta y calcule Error Estándar, Coecente de Correlacón, graque los puntos y la recta, a los sguentes puntos: y y y y Utlce Regresón Polnomal para ajustar los datos del ejercco anteror. Calcule el log 4 usando Interpolacón Lneal y Cuadrátca Newton y Lagrange o Entre log 3 = 0,477 3 y log 5 = 0, y o Entre log 3 = 0,477 3 y log 4,5 = 0,653 5 Dados los datos respectvos, calcúlese usando Polnomos Lneales y Cuadrátcos Newton y Lagrange: 0 0,5,0,5,0,5,9,90 3,945 5,70 8,695

54 Cálculo Numérco Lus Castellanos ,75 4 5,5 9,75 36

55 Cálculo Numérco Lus Castellanos 5 7. Derencacón e Integracón Numérca 7.. Fórmulas de Integracón de Newton-Cotes Las órmulas de ntegracón de Newton-Cotes son los esquemas más comunes en la ntegracón numérca. Se basan en la estratega de reemplazar una uncón complcada, o un conjunto de datos tabulares, con alguna uncón apromada que sea más ácl de ntegrar. Las órmulas a revsar serán: Regla del Trapeco Regla de Smpson b I d d Newton-Cotes de Orden Superor Regla del Trapeco a O Regla Trapezodal, es una órmula cerrada 7 de Newton-Cotes, y corresponden al caso donde el Polnomo es de er Orden. b a a a b a b a n 7 Se conocen los puntos al prncpo y al nal de los límtes de ntegracón.

56 Cálculo Numérco Lus Castellanos 5 b b a I a a d b a a I b a a b Ancho * Altura Promedo 8 Geométrcamente, la Regla Trapezodal es equvalente a apromar el área del Trapeco bajo la línea recta que une a a y a b. El Error en la Regla Trapezodal es: Gráco 4. Regla del Trapeco E t '' b a 3 8 El área de un trapeco se obtene al multplcar ancho por la altura promedo.

57 Cálculo Numérco Lus Castellanos 53 Ejemplo: Aplque la Regla del Trapeco para ntegrar = 0, ; desde a = 0 hasta b = 0,8 0= 0,; 0,8 = 0,3 I 0, 0,3 0,8 I 0,78 Regla de Smpson Una manera más eacta para obtener una estmacón de una Integral, es usar Polnomos de Orden Superor para conectar los puntos. A las órmulas resultantes de calcular la ntegral bajo estos polnomos se les llama Reglas de Smpson. Se conectan los tres puntos /3 con una parábola, y los cuatro puntos 3/8 con un Polnomo de 3er orden. Gráco 5. Regla de Smpson. /3 y 3/8

58 Cálculo Numérco Lus Castellanos 54 - Regla de Smpson de /3 Se susttuye un Polnomo de do Orden en la ecuacón: b I d d a b Integrando y reordenando térmnos, luego de susttur a y b por 0 y, y representando a medante un polnomo de Lagrange de do Grado, resulta: a I h La etqueta de /3 vene al dvdr h entre 3. Reepresando la ecuacón, se tene: I b a Ancho * Altura Promedo Donde a= 0, b= y = b a punto medo entre a y b El Error de Truncamento vene dado por: E v h

59 Cálculo Numérco Lus Castellanos 55 Ejemplo: Use la Regla de Smpson /3 para ntegrar: = 0, desde a= 0 hasta b= 0,8 0 = 0, 0,8 = 0,3 0,4 =,456 I 0, 4,456 0,3 0,8 0 6 I =, Regla de Smpson de 3/8 Se ajustan Polnomos de Lagrange de 3er Orden. b I d d a b 3 a I 3h b a h Donde 3

60 Cálculo Numérco Lus Castellanos 56 Y se puede reepresar como: I b a 8 El Error vene dado por: E v h b a 6480 La Regla de Smpson 3/8 es más eacta que la regla /3, sn embargo, la regla /3 usa 3 puntos, y la regla 3/8 usa 4 puntos. Ejemplo: Use la Regla de Smpson 3/8 para ntegrar: = 0, desde a= 0 hasta b= 0,8 0 = 0, 0,8 = 0,3 0,66 7 =, ,533 3= 3, I 0, 3, , ,3 0,8 0 8 I =,

61 Cálculo Numérco Lus Castellanos 57 - Formulas de Newton-Cotes de Orden Superor Las Formulas de Newton-Cotes de Orden Superor, con más de cuatro puntos, rara vez se utlzan. La Regla Trapezodal y/o las Reglas de Smpson son sucentes en la mayor parte de las aplcacones. Comparacón de resultados al Integrar = 0, desde a= 0 hasta b= 0,8 0,8 0 0, d I , 6 0, 8 0 Regla del Trapeco 0,78 Regla de Smpson /3, Regla de Smpson 3/8, Teorema Fundamental del Cálculo Valor real, Integracón de Romberg El uso de las Reglas del Trapeco y de Smpson, tenen como consecuenca que para valores muy grandes de n, el error aumenta por los errores de

62 Cálculo Numérco Lus Castellanos 58 redondeo. De gual orma, se necesta un número muy grande de segmentos y esuerzo de cálculo muy grande, para alcanzar altos nveles de eacttud. La nterpolacón de Romberg es un método dseñado para evtar esos nconvenentes, y está basado en la aplcacón sucesva de la Regla del Trapeco, y en la Etrapolacón de Rchardson. De hecho, el algortmo que mplementa la etrapolacón de Rchardson en su orma más ecente es la Integracón de Romberg. - Etrapolacón de Rchardson Este método combna las apromacones de ntegracón numérca para la obtencón de un tercer valor más eacto. El cálculo y el error asocado con la Regla Trapezodal de segmentos múltples se representa como: I = Ih + Eh En donde: I es el valor eacto de la Integral Ih es la apromacón de la Integral usando Regla del Trapeco con n segmentos y con tamaño de paso h = b a / n Eh es el error de truncamento S se obtenen dos apromacones por separado usando tamaños de paso h y h, y se tene el valor eacto del error, entonces:

63 Cálculo Numérco Lus Castellanos 59 Ih + Eh = Ih + Eh Al reordenar, susttur y resolver, queda: I 4 3 I h I 3 h Cuando el ntervalo se dvde en dos partes, con una estmacón de 0h 4. Para una estmacón de 0h 6 de eacttud se tene: I 6 I n I l Para una estmacón de 0h 8 de eacttud se tene: I 64 I n I l Ejemplo: Calcule mejores estmacones con 0h 6 y 0h 8 partendo de los sguentes datos: 9 I n Estmacón más eacta. I l Estmacón menos eacta

64 Cálculo Numérco Lus Castellanos 60 Segmentos h Integral 0,8 0,7 8 0,4, ,,484 8 Con y segmentos: I 4 3,0688 0,78 3 I, Con y 4 segmentos: I 4 3,4848, I, h 6 : I 6 5, , I, h 8 : I 64 63, , I, Método de Romberg En análss numérco, el Método de Romberg genera una matrz trangular, cuyos elementos son estmacones numércas de la ntegral denda sguente:

65 Cálculo Numérco Lus Castellanos 6 b a d Usando la etrapolacón de Rchardson de orma reterada en la regla del trapeco. El método de Romberg evalúa el ntegrando en puntos equespacados del ntervalo de ntegracón estudado. Para que este método uncone, el ntegrando debe ser sucentemente dervable en el ntervalo, aunque se obtenen resultados bastante buenos ncluso para ntegrandos poco dervables. Aunque es posble evaluar el ntegrando en puntos no equespacados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussana o la cuadratura de Clenshaw Curts son más adecuados. El método se dene de orma recursva así:.. Dado que es la etrapolacón de Rchardson aplcada a un conjunto de estmacones de la ntegral por la regla trapezodal, la prmera de las columnas se obtene consderando, 3, 5, 9, etc. k+, para k = 0,,,... puntos en el ntervalo de ntegracón, lo que supone que los valores

66 Cálculo Numérco Lus Castellanos 6 sucesvos de 'h' se obtenen dvdendo por el valor anteror, sendo el valor ncal h 0 =b-a. El resto de las columnas resulta de aplcar la etrapolacón a los valores obtendos en la columna nmedatamente anteror. Aunque los ejerccos sempre ncluyen un número jo de las, el cálculo de una la se realzaría sólo s con las las anterores no se ha producdo la convergenca al valor requerdo con la precsón deseada. Se puede plantear una orma general: I j k 4 I j. k I, k k 4 j. k Donde: I j.k es la Integral mejorada I j+.k- es la Integral más eacta I j.k- es la Integral menos eacta El índce k ndca el nvel de Integracón. k= es la estmacón de Regla del trapeco orgnal, k= 0h 4, k=3 0h 6, y así sucesvamente. El índce j dstngue entre las estmacones mejores j+ y las menores j. Dcha órmula se le atrbuye a Romberg y su aplcacón sstemátca es la denomnada Integracón de Romberg.

67 Cálculo Numérco Lus Castellanos 63 Ejemplo : 0h 0h 4 0h 6 0h 8 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ejemplo : Obtener la ntegral por Romberg de la uncón = 5 en el ntervalo [,4] dando el resultado con cuatro cras decmales correctas. Usando la órmula trapezodal con k subntervalos que tambén podemos poner como

68 Cálculo Numérco Lus Castellanos 64 Esta órmula tene como error de truncamento una epresón del tpo por lo que es posble aplcar la etrapolacón de Rchardson a un conjunto de estmacones realzadas con esta regla, y esto consttuye el método de ntegracón de Romberg. Las derentes estmacones las haremos subdvdendo el ntervalo de ntegracón por, por lo que la estmacón T0 k que aparece anterormente es la obtenda con k aplcacones de la regla del trapeco. Se ha vsto que para calcular T0 k podemos utlzar el valor T0 k prevamente calculado, de orma que solo necestaríamos evaluar la uncón en los k puntos nuevos. Para obtener el resto de columnas aplcaremos la sguente órmula recurrente, tal como nos ndca la órmula general de la etrapolacón de Rchardson: La tabla resultante es:

69 Cálculo Numérco Lus Castellanos Cuadratura Gaussana Las órmulas de Newton-Cotes y otras órmulas de ntegracón se basan en la estmacón de ntegrales en puntos equespacados. Por ello, la poscón de los puntos está ja o predetermnada. Gráco 6. Cuadratura Gaussana Con el uso de la Regla del Trapeco, se puede generar un error muy grande, al pasar el trapeco por los puntos límtes. La cuadratura Gaussana elmna la restrccón de jar los puntos equespacados, y los evalúa lbremente. Colocando los puntos límtes de manera adecuada, se evalúa una línea recta que balancee los errores negatvos y postvos y orezca una solucón más eacta.

70 Cálculo Numérco Lus Castellanos 66 - Método de Coecentes Indetermnados La ecuacón de la Regla del Trapeco es: I b a a b Dcha órmula se puede reepresar como: I c a c b En donde las c son constantes. Al gualar, susttur, resolver y reordenar, la ecuacón equvalente a la Regla Trapezodal queda: I b a b a a b - Dervacón de la Fórmula de Gauss-Legendre basada en dos puntos La cuadratura gaussana determna los coecentes de una ecuacón de la orma: I = c + c En donde las c son los coecentes ncógntas. En contraste a la Regla del Trapeco, que usa los puntos etremos a y b, los argumentos de la uncón y ahora no están jos a los puntos etremos, sno que son ncógntas. Por lo tanto, esten cuatro ncógntas que se deben evaluar, y se requeren de cuatro condcones para determnarlas eactamente.

71 Cálculo Numérco Lus Castellanos 67 Al gual que con la Regla del Trapeco, se pueden obtener dos de estas ncógntas suponendo que la ecuacón señalada ajusta eactamente la ntegral de una constante y de una uncón lneal. Para llegar a las otras condcones, se etende dcho razonamento al suponer que tambén se ajusta la ntegral a una uncón parabólca y= y a una uncón cúbca y= 3. Hacendo eso, se determnan las cuatro ncógntas, convnendo en dervar una órmula de ntegracón de doble punto que sea eacta para cúbcas. Se susttuyen y se resuelven las ecuacones, y se obtene la Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos: I 3 3 Se toman, para acltar la ormulacón del modelo, los límtes de ntegracón desde - hasta, y se susttuye la varable orgnal por una nueva varable d, para trasladar los límtes de ntegracón en una ecuacón lneal: = a 0 + a d tomando = a para d =- y = b para d =, se obtene: b a b a d

72 Cálculo Numérco Lus Castellanos 68 cuya dervada es: d b a d d Con esas ecuacones se susttuyen en la ecuacón por ntegrar y d por d y d d respectvamente, para cambar el ntervalo de ntegracón sn cambar los valores de la Integral. Ejemplo: Evalúe la Integral sguente, usando la Cuadratura Gaussana: = 0, desde a= 0 hasta b= 0,8 Se hace un cambo de varable para trasladar los límtes: 0,8 0 0,8 0 d = 0,4 + 0,4 d Al dervar: d = 0,4 d d

73 Cálculo Numérco Lus Castellanos 69 Estos valores se susttuyen en la ntegral 0,8 0 0, d 0, 5 0,4 0,4-000,4 0,4 6750,4 0, d d d ,4 0,4 d 4000,4 0,4 d 0,4dd Se evalúa la ntegral en 3 y 3 : 0, ,, I 3 3 I, Fórmulas de Gauss-Legendre con más de dos puntos La orma general de más de dos puntos es: I = c + c c n n Debdo a que la Cuadratura Gaussana requere de evaluacones de la uncón en puntos que no están equespacados, dentro del ntervalo de ntegracón, no es aplcable a los casos en que la uncón se desconoce. Por ello, no se adapta a muchos problemas de la Ingenería donde se manejan datos tabulares. Sn embargo, en donde se conoce la uncón, su ecenca tene grandes ventajas.

74 Cálculo Numérco Lus Castellanos Ejerccos Dadas las sguentes ntegrales, evalúelas usando: Medos analítcos Teorema Fundamental del Cálculo Regla del Trapeco Regla de Smpson /3 Regla de Smpson 3/8 Integral de Romberg Cuadratura Gaussana 0 4 a d e. e d ,5 b. 4 3 d. 5.3 d 3 6 c. 8 d g. d 3 4 d ,4 3,8,7 0,079 d

75 Cálculo Numérco Lus Castellanos 7 8. Solucón Numérca de Ecuacones Derencales 8.. Método de Euler 8.. Método de Euler con Sere de Taylor de Orden Superor 8.3. Método de Runge-Kutta 8.4. Sstemas de Ecuacones 8.5. Métodos de Pasos Múltples

76 Cálculo Numérco Lus Castellanos 7 9. Reerencas Bblográcas CHAPRA & CANALE: Métodos Numércos para Ingeneros. Edtoral Mc Graw Hll. GRAU, Mguel & NOGUERA, Mguel: Cálculo Numérco. Edcones UPC. Barcelona, 00. Webgraía: Método de Romberg o Ejerccos del Método de Romberg o Gracador de uncones: o

77 Cálculo Numérco Lus Castellanos Apéndce. Matemátcos lustres. 0.. Brook Taylor Brook Taylor Edmonton, Mddlese, Inglaterra, 8 de agosto de Somerset House, Londres, 9 de dcembre de 73 ue un matemátco brtánco. Hjo de John Taylor, del Parlamento de Brons, y de Olva Tempest hja de Sr Ncholas Tempest. Entró en la Unversdad de St. John de Cambrdge como estudante en 70. Se lcencó en Derecho en 709, y se doctoró en 74. Estudó matemátcas con John Machn y John Kell. En 708 encontró una mportante solucón del problema del "centro de osclacón" que, sn embargo, no se publcó hasta mayo de 74 "Phylosophycal Transactons o the Royal Socety" vol.8, lo que provocó una dsputa sobre su autoría con Johann Bernoull. En su Methodus Incrementorum Drecta et Inversa Londres, 75 desarrolló una nueva parte dentro de la nvestgacón matemátca, que hoy se llama cálculo de las derencas ntas. Entre las dstntas aplcacones, se usó para determnar la orma del movmento de una cuerda vbrante, reducdo por él por vez prmera con éto a prncpos mecáncos. El msmo trabajo contenía la amosa órmula conocda como Teorema de Taylor, cuya mportanca sólo se reconocó en 77, cuando Lagrange se do cuenta de su valor y lo denó como "el derencal prncpal del undamento del cálculo". En su Ensayo sobre la prospectva lneal Londres, 75 Taylor epresó los verdaderos prncpos de la prospectva de modo más orgnal y general que los anterores; pero el trabajo tuvo algún problema por su brevedad y su oscurdad, deectos que se pueden aplcar a la mayor parte de sus obras; este trabajo necestó el perecconamento que desarrollaron Joshua Krby 754 y Danel Fourner 76. Taylor ue elegdo membro de la Royal Socety a prncpos de 7 y el msmo año pasó a ormar parte del comté para el juco sobre reclamos de Sr Isaac

78 Cálculo Numérco Lus Castellanos 74 Newton y Gottred Lebnz; desde el 3 de enero de 74 al de octubre a 78 ue secretaro de la socedad. Desde 75 sus estudos dan un gro lósoco y relgoso. A partr de este año mantuvo correspondenca con Perre Rémond de Montmort sobre las doctrnas de Ncolas Malebranche; a raíz de ello, se encontró entre sus cartas y tratados nacabados tratados Sobre los sacrcos hebreos y Sobre la legtmdad de comer sangre, escrtos por él a su regreso de Aqusgrán en 79. Su matrmono en 7 con una dama de Wallngton, Surrey le enemstó con su padre, que acabó en 73 tras la muerte de su mujer durante el parto, en el que tambén muró el nño. Los dos años sguentes los pasó con su amla en Brons; en 75 se casó, esta vez con la aprobacón de su padre, con Sabetta Sawbrdge de Olantgh, que tambén muró de parto en 730; en esta ocasón, sn embargo, su hja sobrevvó. Su rágl salud hzo que su estado degenerara con rapdez; muró en Somerset House, y le enterraron en la glesa de St Ann's, Soho. Desde la muerte de su padre 79 había heredado la propedad de Brons. Como matemátco, era el únco nglés tras Isaac Newton y Roger Cotes capaz de competr con matemátcos como Johann Bernoull. Sn embargo, gran parte de los resultados de su demostracón no tuveron repercusón o se perderon a causa de su ncapacdad de epresar sus deas completamente y con clardad. Un trabajo póstumo ttulado Contemplato Phlosophca ue mpreso en 793 por su sobrno, Sr Wllam Young, que tenía un prólogo sobre la vda del autor y las cartas recbdas por Bolngbroke, Bossuet. Muchos de sus artículos breves se publcaron en la "Phylosophycal Transactons o the Royal Socety", volúmenes del 7 al 33, ncluyendo los normes de algunos epermentos nteresantes sobre el magnetsmo e sobre la atraccón del vaso caplar. Publcó en 79 una versón mejorada de su trabajo sobre la prospectva, con el título Nuevos prncpos de la prospectva lneal, revsada por Colson en 749, e mpresa con el retrato y la bograía del autor en 8. Taylor en su obra Methodus Incrementorum hzo una prmera apromacón completa sobre la reraccón astronómca. En 75, Taylor encuentra que el movmento de un punto arbtraro de la cuerda es el de un péndulo smple y determna su tempo de vbracón perodo. Obtene en su lenguaje propo, un tanto dstnto del nuestro, la ecuacón derencal de la cuerda vbrante, es decr la ecuacón undmensonal

79 Cálculo Numérco Lus Castellanos 75 de ondas, y a partr de ella halla una solucón: la orma de la curva que toma la cuerda en un nstante dado es snusodal Coln Maclaurn Coln MacLaurn Klmodan, ebrero de Edmburgo, 4 de juno de años ue un matemátco escocés. Hjo de un mnstro de parroqua en Argyll Escoca, quedó huérano de padre a los ses meses y huérano de madre a los nueve años de edad. A los once años ngresó en la unversdad de Glasgow y se graduó a los catorce. En 75 Maclaurn ue recomendado por Isaac Newton para un puesto en la Unversdad de Edmburgo, donde pasó el resto de su vda. Ocho años después se casó con Ana Stewart, con quen tuvo sete hjos. En 74 publcó Treatse o luons, donde ntroduce la llamada sere de Maclaurn, que permte evaluar uncones. Tambén en 74 halló la órmula que relacona la velocdad de rotacón de una esera autogravtante con su achatamento. Para deducrla consderó el equlbro hdrostátco entre dos columnas de líqudo, una polar y otra ecuatoral, que conluyen en el centro de la Terra. En 748, póstumamente, se publca Treatse o Algebra. En este tratado usó determnantes para resolver ecuacones de cuatro ncógntas. Dos años después este método ue popularzado por Gabrel Cramer como Regla de Cramer Isaac Newton Sr Isaac Newton 5 de dcembre de 64 JU 0 de marzo de 77 JU; 4 de enero de 643 GR 3 de marzo de 77 GR ue un ísco, lósoo, teólogo,

80 Cálculo Numérco Lus Castellanos 76 nventor, alqumsta y matemátco nglés, autor de los Phlosophae naturals prncpa mathematca, más conocdos como los Prncpa, donde descrbó la ley de la gravtacón unversal y establecó las bases de la mecánca clásca medante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrmentos centícos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptca que se presentan prncpalmente en su obra Optcks y el desarrollo del cálculo matemátco. Newton comparte con Lebnz el crédto por el desarrollo del cálculo ntegral y derencal, que utlzó para ormular sus leyes de la ísca. Tambén contrbuyó en otras áreas de la matemátca, desarrollando el teorema del bnomo y las órmulas de Newton-Cotes. Entre sus hallazgos centícos se encuentran el descubrmento de que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prsma es nherente a esa luz, en lugar de provenr del prsma como había sdo postulado por Roger Bacon en el sglo XIII; su argumentacón sobre la posbldad de que la luz estuvera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de conveccón térmca, que descrbe la tasa de enramento de los objetos epuestos al are; sus estudos sobre la velocdad del sondo en el are; y su propuesta de una teoría sobre el orgen de las estrellas. Fue tambén un ponero de la mecánca de ludos, establecendo una ley sobre la vscosdad. Newton ue el prmero en demostrar que las leyes naturales que gobernan el movmento en la Terra y las que gobernan el movmento de los cuerpos celestes son las msmas. Es, a menudo, calcado como el centíco más grande de todos los tempos, y su obra como la culmnacón de la revolucón centíca. El matemátco y ísco matemátco Joseph Lous Lagrange , djo que "Newton ue el más grande geno que ha estdo y tambén el más aortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sstema que rja el mundo."

81 Cálculo Numérco Lus Castellanos Joseph Raphson Joseph Raphson ue un matemátco Inglés mejor conocdo por el método de Newton-Raphson. Poco se sabe sobre su vda, e ncluso sus años eactos del nacmento y la muerte son desconocdas, aunque la matemátca hstoradora Floran Cajor señaló como las echas apromadas Raphson asstó al Jesus College en Cambrdge, donde se graduó con una maestría en 69. Fue nombrado membro de la Real Socedad el 30 de novembre de 689, después de haber sdo propuesto como membro por Edmund Halley. El trabajo más notable de Raphson es el "Analyss Aequatonum Unversals", que ue publcado en 690. Contene un método, conocdo actualmente como el método de Newton-Raphson, para apromar las raíces de una ecuacón. Isaac Newton había desarrollado una órmula muy smlar en su Método de las luones, escrto en 67, pero este trabajo no sería publcado hasta 736, cas 50 años después del análss de Raphson. Sn embargo, la versón Raphson del método es más smple que la de Newton, y por lo tanto, se consdera generalmente superor. Por esta razón, es la versón Raphson del método, en lugar de Newton, que se encuentra en los lbros de teto en la actualdad. Raphson ue un rme partdaro de la armacón de que Newton, y no Gottred Lebnz, es el únco nventor del cálculo. Además, Raphson tradujo la "Arthmetca Unversals" de Newton al nglés.

82 Cálculo Numérco Lus Castellanos Carl Fredrch Gauss Johann Carl Fredrch Gauss Gauß? 30 de abrl de 777, Brunswck 3 de ebrero de 855, Göttngen, ue un matemátco, astrónomo, geodésco, y ísco alemán que contrbuyó sgncatvamente en muchos campos, ncluda la teoría de números, el análss matemátco, la geometría derencal, la estadístca, el álgebra, la geodesa, el magnetsmo y la óptca. Consderado «el príncpe de las matemátcas» y «el matemátco más grande desde la antgüedad», Gauss ha tendo una nluenca notable en muchos campos de la matemátca y de la cenca, y es consderado uno de los matemátcos que más nluenca ha tendo en la Hstora. Fue de los prmeros en etender el concepto de dvsbldad a otros conjuntos. Gauss ue un nño prodgo, de quen esten muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocdad. Hzo sus prmeros grandes descubrmentos mentras era apenas un adolescente y completó su magnum opus, Dsqustones Arthmetcae a los ventún años 798, aunque no sería publcado hasta 80. Fue un trabajo undamental para que se consoldara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes Wlhelm Jordan Wlhelm Jordan ue un geodessta alemán que hzo trabajos de topograía en Alemana y Árca. Es recordado entre los matemátcos por su algortmo de Elmnacón de Gauss-Jordan que aplcó para resolver el problema de mínmos cuadrados. Esta técnca algebráca aparecó en su Handbuch der Vermessungskunde 873. Wlhelm Jordan, en su trabajo sobre topograía, usó el método de mínmos cuadrados de orma habtual. Como en astronomía, cuando se realzan observacones geodéscas este una redundanca en

83 Cálculo Numérco Lus Castellanos 79 meddas de ángulos y longtudes. No obstante, esten relacones que conectan las meddas, y se pueden escrbr como un sstema lneal sobre-determnado más ecuacones que ncógntas al cual se le aplca el método. El propo Jordan partcpó en trabajos de geodesa a gran escala en Alemana como en la prmera topograía del deserto de Lba. En 873 undó la revsta alemana Journal o Geodesy y ese msmo año publcó la prmera edcón de su amoso Handbuch. Como los métodos de mínmos cuadrados eran tan mportantes en topograía, Jordan dedcó la prmera seccón de su Handbuch a este asunto. Como parte de la dscusón, do una detallada presentacón del método de elmnacón de Gauss para convertr el sstema dado en trangular. Entonces mostró cómo el técnca de susttucón haca atrás permtía encontrar la solucón cuando se conocían los coecentes. Sn embargo, anota que s se realza esta susttucón, no numérca sno algebraca-mente, se pueden obtener las solucones de las ncógntas con órmulas que nvolucran los coecentes del sstema. En la prmera y segunda edcón 879 de su lbro smplemente do estas órmulas pero en la cuarta edcón 895 do un algortmo eplícto para resolver un sstema de ecuacones con matrz de coecentes smétrca, que son las que aparecen en los problemas de mínmos cuadrados. Este algortmo es, en eecto, el método de Gauss-Jordán. Aunque Jordan no usó matrces como lo hacemos actualmente, realzaba el trabajo sobre tablas de coecentes y eplcaba cómo pasar de una la a la sguente, como muchos tetos hacen hoy en día. La mayor derenca entre su método y el actual es que Jordan no hacía el pvote de cada la gual a durante el proceso de solucón. En el paso nal, smplemente epresaba cada ncógnta como un cocente con el pvote como denomnador. El Handbuch se convrtó en un trabajo estándar en el campo de la geodesa, llegando hasta dez edcones en alemán y traduccones a otras lenguas. Incluso la octava edcón de 935 contenía la prmera seccón con la descrpcón del método de Gauss-Jordan. En la edcón más recente, publcada en 96, ya no aparece. Por supuesto, en esa edcón gran parte de lo que Jordan había escrto orgnalmente había sdo modcado más allá de lo reconocble por los edtores. A medados de la década de 950 la mayoría de las reerencas al método de Gauss-Jordan se encontraban en lbros y artículos de métodos numércos. En

84 Cálculo Numérco Lus Castellanos 80 las décadas más recentes ya aparece en los lbros elementales de álgebra lneal. Sn embargo, en muchos de ellos, cuando se mencona el método, no se reerenca al nventor Phlpp Ludwg von Sedel Phlpp Ludwg Rtter von Sedel 4 de octubre de 8, Dos Puentes, Alemana 3 de agosto de 896, Múnch ue un astrónomo, óptco y matemátco alemán. En algunas uentes se le conoce smplemente como Ludwg Sedel. Su madre ue Jule Renhold y su padre ue Justus Chrstan Fel Sedel. Sedel cursó estudos unverstaros en la Unversdad de Berlín, en la Albertna de Köngsberg y en la Unversdad de Múnch. En 846 se doctoró en esta últma con la tess De optma orma speculorum telescopcorum. Desde 847 Prvatdozent, pasó en 85 a proesor etraordnaro, y en 855 a proesor ordnaro de la Unversdad de Múnch. El lósoo Imre Lakatos le da crédto a Sedel por haber descubreto en 847 el crucal concepto analítco de convergenca unorme. Según Lakatos, Sedel lo descubró mentras que analzaba una demostracón matemátca ncorrecta de Cauchy. En 855 concbó la teoría de las aberracones óptcas que lleva su nombre. En 857 publcó su lbro sobre el tema, muy ben consderado, que durante mucho tempo ue la obra de reerenca del campo: entre otros motvos, porque la gran síntess que planeaba Jose Mamlan Petzval se perdó antes de ser mpresa. En dcha obra, von Sedel descompuso la aberracón monocromátca de prmer orden en cnco aberracones consttuyentes, las cuales son comúnmente llamadas «Las cnco aberracones de Sedel». En 85 ue elegdo mebro etraordnaro de la Academa Bávara de Cencas, y en 86 pasó a membro ordnaro. Colaboró estrechamente con Carl August von Stenhel, en nvestgacones ncalmente y sobre todo metrológcas, pero

85 Cálculo Numérco Lus Castellanos 8 luego tambén íscas y otométrcas. Con su trabajo de 856 establecó los undamentos teórcos de un proceso smplcado de abrcacón de vdro óptco, para la empresa Stenhel. Junto con Stenhel, Sedel llevó a cabo las prmeras medcones otométrcas de estrellas. En 874 publcó su trabajo sobre resolucón teratva de sstemas de ecuacones lneales, un método que en cálculo numérco se conoce como de Gauss-Sedel. De 879 a 88 Sedel ue drector del Observatoro Astronómco de Bogenhausen sucedendo a Johann von Lamont. Entre sus estudantes de la Unversdad de Múnch se encontró Ma Planck. Por las grandes contrbucones de Sedel en los campos a los que se dedcó, en 970 la Unón Astronómca Internaconal UAI decdó en su honor llamarle «Sedel» a un astroblema lunar Joseph-Lous de Lagrange Joseph Lous Lagrange, bautzado como Guseppe Lodovco Lagranga, tambén llamado Guseppe Lug Lagranga o Lagrange 5 de enero de 736 en Turín - 0 de abrl de 83 en París ue un matemátco, ísco y astrónomo talano que después vvó en Rusa y Franca. Lagrange trabajó para Federco II de Prusa, en Berlín, durante vente años. Lagrange demostró el teorema del valor medo, desarrolló la mecánca Lagrangana y tuvo una mportante contrbucón en astronomía Thomas Smpson Thomas Smpson nacó en una amla de stuacón económca modesta. Su padre era un tejedor, de modo que él tambén trabajó ncalmente en este oco. Las matemátcas las aprendó estudando por su cuenta, de manera autoddacta. Alrededor de 75 se mudó a Nuneaton, Warwckshre, para

86 Cálculo Numérco Lus Castellanos 8 trabajar allí como matemátco hasta 733, lugar en el que contrajo matrmono con su esposa en 730. En el año 733 tuvo que hur haca Derby, luego de que durante una sesón de astrología él o uno de sus asstentes asustó a una nña al dsrazarse de demono. Entre 733 y 736 volvó a mudarse, esta vez haca Londres, donde naceron sus hjos, Elzabeth en 736 y luego Thomas en 738. A partr de 743 mpartó clases de matemátcas en la Royal Mltary Academy en Londres. Se le conoce por sus trabajos acerca de la nterpolacón e ntegracón numérca. Aquí la regla de Smpson lleva su nombre, la que en realdad, aunque en una varante más smple había sdo ormulada en 65 por Johannes Kepler como Regla del barrl y que se basa en conocmentos que venen de los trabajos de Newton. Sn embargo, la orma abstracta del método de Newton es de su autoría y no de Newton. Adconalmente, Smpson se dedcó a la teoría de la probabldad y a la teoría de errores Roger Cotes Roger Cotes julo 0, 68 - juno 05, 76 ue un matemátco Inglés, conocdo por trabajar estrechamente con Isaac Newton en la correccón de la segunda edcón de su amoso lbro, los Prncpa, antes de su publcacón. Él nventó las órmulas de cuadratura tambén conocdas como las órmulas de Newton-Cotes y lo que se conoce hoy en día que se ntrodujeron como la órmula de Euler. El trabajo orgnal Importante de Cotes era en matemátcas, especalmente en los campos del cálculo ntegral, logartmos, y el análss numérco. Ha publcado un solo artículo centíco en su vda, el título Logometrca, en las que logró construye la espral logarítmca. Después de su muerte, muchos de los papeles matemátcos ueron a toda prsa edtados por Robert Smth y publcados en un lbro, Harmona Mensurarum.

87 Cálculo Numérco Lus Castellanos 83 Aunque el estlo de Cotes era un poco oscuro, su enoque sstemátco para la ntegracón y la teoría matemátca estaba muy ben consderado por sus pares Lews Fry Rchardson Lews Fry Rchardson de octubre de de septembre de 953 ue un matemátco, ísco, meteorólogo y pacsta nglés. Fue ponero en las modernas técncas matemátcas de la predccón del tempo atmosérco y en la aplcacón de técncas smlares para el estudo de las causas de las guerras y el cómo prevenrlas. Tambén destacó por su trabajo ponero sobre ractales. Fue membro de la Royal Socety. Lews Fry Rchardson ue el más joven los sete hjos de Catherne Fry y Davd Rchardson Fueron una próspera amla cuáquera. Davd Rchardson corría un etoso negoco de curtdo y de manuactura de cuero. A la edad de ue envado a al nternado Bootham School en York, donde recbó una ecelente educacón en cenca, la cual estmuló su actvo nterés en la hstora natural. En 898 asstó a la Unversdad de Durham, donde tomó cursos en ísca matemátca, químca, botánca y zoología. Dos años más tarde, ganó una beca para asstr al Kng s College en Cambrdge, donde se graduó con honores en cencas naturales en 903. En 909 se casó con Dorothy Garnett , hja del matemátco y ísco Wllam Garnett. No pudo tener hjos con su esposa debdo a una ncompatbldad de sus grupos sanguíneos, pero adoptaron dos hjos y una hja entre 90 y 97. Durante su carrera recbó nluencas de Karl Pearson, G. F. C. Searle y J. J. Thomson Werner Romberg Werner Romberg nacó en Berlín y obtuvo su educacón unverstara en Hedelberg y Munch El supervsor de sus estudos de posgrado ue Arnold Sommereld. Ser crítco con el régmen

88 Cálculo Numérco Lus Castellanos 84 naz en Alemana hzo que abandonara el país nmedatamente después de su deensa de doctorado en 933. Vvó algunos años en la Unón Sovétca y Checoslovaqua antes de que llegara a Noruega en 938, gracas al proesor Hylleraas de la Unversdad de Oslo. Trabajó como asstente de Hylleraas hasta 949, sólo nterrumpdo por una estanca en Uppsala, Sueca durante la Segunda Guerra Mundal. En 949 consguó un nombramento como Docente en Físca en el Insttuto Noruego de Tecnología CLN en Trondhem y establecó un programa de educacón en la ísca matemátca. En esos años escrbó sun amosa contrbucón en DKNVS Forhandlnger. En 960, una slla de las matemátcas aplcadas se establecó en NTH, con la eperenca de Romberg con ordenadores junto con su ampla ormacón centíca lo hceron un buen canddato para el puesto, que le ue orecdo y aceptado. En su nueva poscón, Romberg do cursos en muchas áreas de las matemátcas aplcadas, y establecó la cátedra de análss numérco. En 968 le deron un nombramento como Proesor en Hedelberg, el cual que ocupó hasta su jublacón en 978 En su artículo número 955, Romberg consderó las apromacones numércas a la negral denda. Su dea era acelerar la convergenca de la regla trapezodal medante la etrapolacón. El algortmo de Romberg se conocó mundalmente luego de que Jean-Perre Laurent presentara en 963 un análss rguroso del método. Traducdo del artículo: Adren-Mare Legendre Adren-Mare Legendre París, 8 de septembre de 75 - Auteul, Franca, 0 de enero de 833 ue un matemátco rancés. Hzo mportantes contrbucones a la estadístca, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análss matemátco.

89 Cálculo Numérco Lus Castellanos 85 Gran parte de su trabajo ue perecconado posterormente por otros: sus trabajos en las raíces de los polnomos nspró la teoría de Galos; los trabajos de Abelen las uncones elíptcas se construyeron sobre los de Legendre; parte de la obra de Gauss sobre estadístca y teoría de números complementaba la de Legendre. En 830 orecó una demostracón del últmo teorema de Fermat para el eponente n = 5, cas smultáneamente con Drchlet en 88. En teoría de números, conjeturó la ley de recprocdad cuadrátca, probada posterormente por Gauss. Tambén realzó trabajos poneros en la dstrbucón de losnúmeros prmos y en la aplcacón del análss a la teoría de números. Su conjetura, en 796, del teorema de los números prmos ue probada certa por Hadamard y de la Vallée-Poussn en 898. Legendre realzó una labor undamental en el estudo de las uncones elíptcas, ncluyendo la clascacón de las ntegrales elíptcas. Pero ue Abel quen culmnó el análss al estudar las nversas de las uncones de Jacob. Se lo conoce tambén por la transormada de Legendre, utlzada para pasar de la ormulacón lagrangana a la hamltonana de la mecánca clásca. Tambén se usa en termodnámca para obtener la entalpía de las energías lbres de Helmholtz y Gbbs partendo de la energía nterna Leonhard Euler Leonhard Paul Euler Baslea, Suza, 5 de abrl de San Petersburgo, Rusa, 8 de septembre de 783, conocdo como Leonhard Euler, ue un matemátco y ísco suzo. Se trata del prncpal matemátco del sglo XVIII y uno de los más grandes y prolícos de todos los tempos. Vvó en Rusa y Alemana la mayor parte de su vda y realzó mportantes descubrmentos en áreas tan dversas como el cálculo o la teoría de graos. Tambén ntrodujo gran parte de la moderna termnología y notacón matemátca, partcularmente para el área del análss matemátco, como por ejemplo la nocón de uncón matemátca. Asmsmo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánca, óptca y astronomía.

90 Cálculo Numérco Lus Castellanos 86 Euler ha sdo uno de los matemátcos más prolícos, y se calcula que sus obras completas reundas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una armacón atrbuda a Perre Smon Laplace epresa la nluenca de Euler en los matemátcos posterores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»3 En conmemoracón suya, Euler ha aparecdo en la sere seta de los blletes de 0 rancos suzos, así como en numerosos sellos postales tanto suzos como alemanes y rusos. El asterode 00 Euler recbó ese nombre en su honor Carl Runge Carl Davd Tolmé Runge o Carl Runge 30 de agosto de de enero de 97 ue un matemátco, ísco y espectroscopsta alemán. Fue codesarrollador y co-epónmo del método de Runge-Kutta en el campo conocdo actualmente como análss numérco. Carl Runge pasó sus prmeros años en La Habana, donde su padre Julus Runge ejercía como cónsul danés. La amla se trasladó más adelante a Bremen, donde Julus muró prematuramente en 864. En 880 Carl recbó su doctorado en matemátca en Berlín, donde había estudado con Karl Weerstrass. En 886 llegó a ser proesor en Hanóver. En 904 ue a Gotnga, por ncatva de Fel Klen donde permanecó hasta su retro en 95. Una hja suya se casó con el matemátco Courant. Sus ntereses ncluían la matemátca, la espectroscopía, la geodesa y la astroísca. Además de en matemátca pura, realzó una gran cantdad de trabajo epermental estudando las líneas espectrales de varos elementos, y estuvo muy nteresado en la aplcacón de su trabajo a la espectroscopa astronómca. El cráter Runge en la Luna le debe su nombre.

91 Cálculo Numérco Lus Castellanos Martn Wlhelm Kutta Martn Wlhelm Kutta 3 de novembre de de dcembre de 944 ísco y matemátco alemán. Kutta nacó en Ptschen, Alta Slesa en la actualdad pertenece a Polona. Asstó a la Unversdad de Breslau de 885 a 890. Contnúo sus estudos en Múnch hasta 894, donde se convrtó en asstente del Pro. von Dyck, emnente matemátco alemán. En 898 pasó un año en la Unversdad de Cambrdge. Kutta se convrtó en proesor en la Unversdad de Stuttgart en 9, plaza que ocupó hasta su retro en 935. En 90 desarrolló, en colaboracón con Carle Davd Tolmé Runge, el método de Runge-Kutta para resolver ecuacones derencales ordnaras. Será recordado tambén por el método Zhukovsky-Kutta. Kutta muró en Fürsteneldbruck, Alemana.