METODOS NUMERICOS CATEDRA 1 5. Ingeniería Civil. Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil
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- Carmelo Fidalgo Carrasco
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1 CATEDRA 5 Facultad de Ingenería de Mnas, Geología Cvl Departamento académco de ngenería de mnas cvl METODOS NUMERICOS Ingenería Cvl
2 Captulo XV Solucón de Ecuacones Derencales Ordnaras
3 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFRENCIALES ORDINARIAS 3
4 CNTENIDO FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UN PVI MÉTODO DE EULER MÉTODO DE TAYLOR MÉTODO DE EULER MODIFICADO MÉTODO DE RUNGE-KUTTA MÉTODO DE PREDICCIÓN Y CORRECCIÓN SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN 4/7/5 4
5 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI En esta oportundad ormularemos el Problema de Valor Incal PVI analzamos e nterpretamos grácamente su solucón numérca, debemos destacar que mucas de lees generales de la naturaleza se epresan con el lenguaje de las ecuacones derencales ordnaras que es aplcado en una dversdad de campos del conocmento. En donde una ecuacón derencal se debe consderar como la razón de cambo de con respecto a. 5
6 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI.En general una de prmer orden esta dado por: d (, d..(. Teórcamente se dce que la solucón de una debe contener una constante arbtrara C, consecuentemente la solucón general de ( es: ( F(,, c 6
7 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI Observacones:.La relacón ( representa una amla de curvas en el plano, en donde cada curva se obtene para un valor partcular de C.. Cada curva representa a una solucón partcular de. 3. Las constantes C son obtendos analítcamente, egendo que la solucón de esa ecuacón pase por algún punto (, estoes: 7
8 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI (..(4.e.: que vale cuando es Interpretacón Grácamente: F 3 = Y F =, con Y(X = Y F = 8
9 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI 4. Como se menconó al nco la gran maoría de las ecuacones no pueden resolverse utlzando técncas analítcas, lo que oblgan a estudar métodos numércos. 5. Debemos resaltar que cuando usamos los métodos numércos no encontramos solucones de la orma F(,,c = pues se trabajan con números se tene resultados numércos. Pero el propósto es determnar valores de que correspondan a valores especícos de los cual es actble con métodos numércos. 9
10 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI El problema de valor ncal (P.V.I. queda ormulado así: d Una ecuacón derencal de prmer orden: (, d. Un valor de en un punto conocdo (condcón ncal. El valor es donde se quere conocer el valor de ( ( =
11 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI Matemátcamente. P.V.I. d (, d ( (? (5
12 MÉTODO DE EULER Este método consste en dvdr el ntervalo [, ]en n subntervalos de anco esto es: X n X Lo que permte determnar un conjunto de n+puntos dscretos,.e.x,,, 3, +... n n- n
13 Observando que: Para cualquer punto se tene En general,,,3,..., n CONDICIÓN INICIAL. ( representa el punto P (,, por donde pasa la curva solucón de la ecuacón PVI. lo que será denotado por F( =, en lugar de F(,,c =. 3
14 .Consecuentemente: tenendo el punto P podemos evaluar la prmera dervada de F( en ese punto P.Esto es: d...(6 F' ( (, d P 3. Tenendo esta normacón (6 trazamos una recta la que pasa por P de pendente que aproma F( en una vecndad de X. ( L, : (, :
15 4.Tomamos la recta L 3 en lugar de F( localzamos en esta recta el valor de que corresponde a. Esto es:...(7...(8 5 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA, (, (, (, (.., (.., (, ( n n n n ( F
16 Gráco F( ( error (, P (, n ( En esenca se trata de apromar la curva = F( por medo de una sere de segmentos de líneas rectas. ( El método comete un error de truncamento que es propo de el. 6
17 (3 El error de ( se puede anular tanto como se quera, reducendo la longtud de teórcamente. (4 Debdo a (3 se comete un error de redondeo más alto. Ejemplos. Resolver PVI usando Euler Ejemplo d (, d ( (? ( (? 7
18 Solucón. El ntervalo de nterés [, ]=[,]. Determnando : dvdmos el ntervalo [,] en 5 subntervalos 3. Determnar los argumentos: 8 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA. 5 5( ( (. 3.4 (.. (
19 4. Determnando los valores de ( ( ( ( ( (,,, 3 4,,, Comparando con la solucón analítca La solucón analítca es:.364 El error absoluto El error relatvo (..(.6.6. (.,.6.6.( (.4,.3.3.( ( ( E A * E E A.6 R E. 9 R
20 Ejemplo Dada la sguente ecuacón derencal con la condcón ncal: Apromar NOTA Prmero observamos que esta ecuacón sí puede resolverse por métodos tradconales de ecuacones derencales. Por ejemplo, podemos aplcar el método de separacón de varables. Veamos las dos solucones
21 Solucón Analítca. Susttuendo la condcón ncal: Por lo tanto, tenemos que la curva solucón real está dada Y por lo tanto, el valor real que se pde es:
22 Solucón Numérca, Aplcamos el método de Euler para ello, observamos que la dstanca entre no es lo sucentemente pequeña. S dvdmos esta dstanca entre cnco obtenemos un valor de por lo tanto, obtendremos la apromacón deseada en cnco pasos. De esta orma, tenemos los sguentes datos:
23 Susttuendo estos datos en la ormula de Euler, tenemos, en un prmer paso: Aplcando nuevamente la ormula de Euler, tenemos, en un segundo paso: 3
24 Y así sucesvamente asta obtener resultados en la sguente tabla. Resummos los n
25 Conclumos que el valor apromado, usando el método de Euler es: Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relatvo porcentual que se cometó al aplcar la ormula de Euler. Tenemos que: 5
26 Ejemplo Aplcar el método de Euler para apromar, dada la ecuacón derencal. Solucón Nuevamente vemos que nos convene dvdr en pasos la apromacón. Así, elegmos nuevamente para obtener el resultado nal en tres pasos. Por lo tanto, aplcamos el método de Euler con los sguentes datos: 6
27 En un prmer paso, tenemos que: Resummos los resultados en la sguente tabla: n
28 MÉTODO DE TAYLOR Podemos observar que el método anteror usa los dos prmeros térmnos de la sere de Talor para su prmera teracón,.e. F( F( F'( (.( De manera natural se puede pensar que para determnar se epandó de nuevo F( en la sere de Talor. Así: F( F( F'( (...( 8
29 Pero se debe resaltar que no dsponemos de los valores eactos de F( F (, los que se usan en la epansón de Talor de F( alrededor de lo que permte no evaluar la parte dereca ( consecuentemente para los otros valores de se usa: (, (... (3 F( F'( ( La relacón (3 tene muca smltud con la epansón en sere Talor. S aplcamos la normacón acerca de las seres de Talor con la naldad de mejorar la eacttud del método de Euler, obtendremos los llamados Algortmos de Talor. 9
30 Usemos tres térmnos en lugar de dos en la epresón de F(,.e. ( F( F( F'( ( F''( (4! Pero df'( d (, F' '( d d Luego d (, (! d,,.(5 3
31 Entonces se sugere consderar (5 para obtener, 3,..., n mejoraría la eacttud obtenda con ( consecuentemente se propone la ormula: d (, (,,! d (6 La utldad de la relacón (6 depende de cuan ácl sea la derencacón de (, 3
32 S (, es una uncón solo de, la derencacón con respecto a es relatvamente ácl la ormula propuesta es mu práctca. En general (, es una uncón de,, abrá que usar dervadas totales La dervada total de (, con respecto a esta dada por d (, d (, (, d d 3
33 Ejemplos. Resolver por el método de Talor d d ( (?. Cálculo de: =..Cálculo de,,,,, Aplcando (. ( (,!. d (, (, d,! d ( d, 5 33
34 En donde 34 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA (! (, ( ( (, (, (, ( d d.66 ( (..( ( (.4 ( (..66.(..66
35 Contnuando 35 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA 9.5% ( ( (..544.( (..47.(.4.47 % E E E R A
36 MÉTODO DE EULER MODIFICADO En el método de Euler se tomó como válda para todo el ntervalo la dervada encontrada en un etremo. F(, Y X X S queremos obtener una eacttud razonable se toma mu pequeña, a cambo de un maor error de redondeo 36
37 El método presente trata de evtar tal problema utlzando un valor promedo de la dervada tomada en los etremos del ntervalo. Constado de pasos: Se nca de (,, usar el método de Euler para determnar correspondente a, valor que será denotado por, puesto que se trata de un valor transtoro de. Este paso se le llama paso predctor. 37
38 Este paso se llama corrector, pues trata de corregr la predccón en el nuevo punto (, se evalúa la ( dervada, usando la ecuacón derencal ordnara P.V.I. que se está resolvendo, se obtene la meda artmétca de esta dervada la dervada en el punto ncal (, Dervada Promedo = (, (, Usamos la dervada promedo para calcular el nuevo valor conlaecuacóndeeuler,queserámaseacto que 38
39 (, (, Que será el valor dentvo de. El proceso se repte asta llegar a n. Prmero: Paso de Predccón (, Segundo: Una vez obtenda se calcula (,, la dervada en el punto (, se promeda con la dervada preva (, para encontrar la dervada promedo Dervada Promedo,, 39
40 Solucón Consderando las msmas condcones del ejercco tenemos: =.; =; (, =(,=-=- Prmera teracón (,.(.6 (, (, ( ( dervada promedo.(.7.(
41 Segunda nteracón (,.66.(..66 (, (, (..66 ( ( Tercera nteracón,.66.( (.47.( (, (, (.4.47 ( /7/5 4
42 Ejemplo Aplcar el método de Euler mejorado, para apromar s: Solucón Vemos que este es el msmo ejemplo del método anteror. Así que denmos encontraremos la apromacón después de cnco teracones. 4
43 A derenca del método de Euler, en cada teracón requermos de dos cálculos en vez de uno solo: prmero el de posterormente el de. Para aclarar el método veamos con detalle las prmeras dos teracones. Prmero que nada, aclaramos que tenemos los sguentes datos ncales 43
44 En nuestra prmera teracón tenemos: Nótese que el valor de concde con el (Euler, es el únco valor que va concdr, pues para calcular se usará no Esto lo veremos claramente en la sguente teracón: 44
45 Nótese que a no concden los valores de (Euler el de El proceso debe segurse asta la qunta teracón. Resummos los resultados en la sguente tabla: n /7/5 45
46 METODO DE RUNGE-KUTTA METODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN Estos métodos que se encuentran relaconados a los nombres de Runge (885, Kutta (9, Heun (9 otros, para soluconar P.V.I.Consste en obtener un resultado que se obtendrá al utlzar un número nto de térmnos de una sere de Talor de la orma: 3. (, '(, ''(,...! 3! ( 46
47 Con una apromacón en la cual se calcula de una ormula del tpo: ( En donde: α, u,bson determnados de modo que s se epandera con, en sere de Talor alrededor de (, ; debemos observar que los coecentes de,, 3, etc., concdrían con los coecentes de la ecuacón (. Supongamos p= tendremos 47 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA, (..., (, (, ( b u b u b u p p p
48 Observacones: ;. ( u ; b...(3. En esta relacón se evalúa (, en ; ( u ; b donde es tal que: u, para mantener la abscsa del segundo punto dentro del ntervalo de nterés, con lo que. u Grácamente + ( +u, +λk (, + + (, + 48
49 . b puede ser manejado más lbremente epresarse se puede usar como ordenada arrba o debajo de la ordenada que da el método de Euler smple. b ( ; k (4 Con k =(, 3.Queda por determnar α, α, μ, λ tal que la ecuacón (3 tenga una apromacón en potencas de, cuos prmeros térmnos concden con los prmeros térmnos de ecuacón (. 4.Para cumplr con (3 epandmos prmero en sere de Talor 49
50 .(5 Todas las dervacones son evaluadas en Susttuendo en la ecuacón (3 Arreglando en potencas de, tenemos..(6 5 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA 3!! (, ( k k u u k u k u, 3!!, (, ( k k u u k u 4 3 3, (, (, (, ( u u u
51 Para que los coecentes correspondentes de, concdan en las ecuacones ( (6 se requere que: u,..(7 5.Observamos que esten 4 ncógntas para solo tres ecuacones, por tanto se tene un grado de lbertad en la solucón de la ecuacón (7. Podríamos pensar en usar este grado de lbertad para acer concdr los coecentes de 3. Sn embargo, es obvo que esto es mposble para cualquer orma que tenga la uncón (,. Este entonces un número de nnto de solucones de la ecuacón (7, pero quzás la más smple sea : ; u 5
52 6. La relacón de (5 conduce a la ormula o ben.(8 7. La relacón (8 es conocda como algortmo de Runge-Kutta de segundo orden. 5 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA, (, (, (, ( ;, ( con :, k k k k k
53 Lo de segundo orden por concdr con los tres prmeros térmnos de la sere de Talor que es la ormula de Euler Modcado. Este método proporcona maor eacttud que la de Euler. Se puede usar un valor de no tan pequeño como el prmero.el preco de es la evaluacón (, dos veces en cada subntervalo contra uno en el método de Euler. 8.Las ormulas de Runge-Kutta de cualquer orden se puede dervar de manera análoga que la de segundo orden. 53
54 METODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN.(9 54 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA k k k k I, ( k, ( k k, ( 3 k k, ( 3 4 k k
55 9. La ecuacón (9 tene muca concdenca con los 5 prmeros térmnos de la sere de Talor lo que sgnca gran eacttud sn calculo de dervadas, pero a cambo, se tene que evaluar la uncón (,cuatro veces en cada subntervalo. 55
56 Ejemplo d d PV.. I ( (? Usando Runge-Kutta de cuarto orden. 56
57 Solucón: Prmera Iteracón: Calculo de constantes k,k,k 3,k 4 k, ( k k k (, (,...7 (.,. k 3, k k (,..(.7 (. (, 7.(
58 k 4 (, k3 (, k3 (.,.( Cálculo De 6. 6 k k k k
59 Segunda Iteracón: Calculo de constantes k,k,k 3,k 4 k (, (., k, k ( Cálculo De : (....(.7,.656.( k..(.58 k3 (, k4 (, k ( k k k k (
60 Contnuando se tene Observacón: Los métodos descrtos se llaman tambén métodos de un solo paso porque se apoan usan (, para el cálculo de +. Estos Métodos además se apoan en puntos + pero nunca en puntos anterores a. 6
61 Ejemplo Usar el método de Runge-Kutta para apromar sguente ecuacón derencal: dada la Solucón Prmero, dentcamos el msmo ejemplo de los dos métodos anterores. Segundo, procedemos con los msmos datos: 6
62 Para poder calcular el valor de debemos calcular prmeros los valores de k,k,k 3,k 4. Tenemos entonces que: 6
63 Con el n de un maor entendmento de las órmulas, veamos la sguente teracón: 63
64 El proceso debe repetrse asta obtener lo requerdo. Resummos los resultados en la sguente tabla: n
65 Conclumos que el valor obtendo con el método de Runge-Kutta es: Fnalmente, calculamos el error relatvo verdadero: Con lo cual vemos que eectvamente se a reducdo mucísmo el error relatvo. De eco observamos que tenemos 6 cras sgncatvas en la apromacón 65
66 MÉTODOS DE PREDICTOR-CORRECTOR Recordemos que en el método de Euler modcado se utlza la sguente relacón,,.( Obsérvese, que el segundo térmno del membro de la dereca recuerda el método de ntegracón trapezodal compuesta, en donde es el anco del trapezode = +, podemos decr que, ( 66
67 Equvalentemente..(3 Que es la ecuacón de correccón del método de Euler modcado, esto sugere la obtencón de un esquema teratvo para la solucón del PVI por medo de la regla de Smpson u otro método de ntegracón numérca que usan maor numero de puntos. Consderando esta releón se derva un método corrector basado en el método de Smpson /3 4/7/5 67
68 Consderando la relacón,...(4,...(5 Tenemos,..(6 68
69 Entonces se llega a la relacón de correccón,...(7 En donde se debe de obtener con un predctor, a partr de (, la ultma relacón tomara la orma de,,..(8 Para la prmera predccón es calculada con un predctor que requere de (, en consecuenca se requere de un paso de ncalzacón que mu ben puede ser usado el método de Runge-Kutta por una sola vez en el proceso teratvo. 69
70 Ejemplo: Resolver el PVI PV.. I d d ( (? Usar el método de predccón correccón 7
71 Solucón =(-/5=., Prmera teracón Incalzacón. (Usando Euler modcado obtenemos (,.(.6 (, (, ( ( dervada promedo. Luego.(.7.(
72 , MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA Predccón (se usa Euler Modcado para tomar el valor (,.66.( (.66.(.4.47 (, (, (..66 ( Correccón; usamos la relacón 8 7
73 ,, MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA Segunda Iteracón Predccón, Correccón usamos la relacón 7 73
74 ,, MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA Tercera Iteracón Predccón Correccón usamos la relacón 7 74
75 ,, 3.. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA Cuarta Iteracón Predccón Correccón usamos la relacón 7 75
76 EJERCICIOS I. Utlzar los métodos de Euler de Runge Kutta para dar solucón a las sguentes ecuacones derencales con valor rontera. d d ( (? d d ( 4 (9 ( ( ( ( d ( d ( 3 (.5? (3 (4 d (5 d (6 (.5? d ( 4 (.5? d d (.5? d ( (.5? d d ( 4 (.5? d d ( (.8? 76
77 EJERCICIOS, I. Utlzar los métodos de Euler de Runge Kutta para dar solucón a las sguentes ecuacones derencales con valor rontera. d sen d ( ( ( (3 (4 (.5? d d ( 4 (? d d ( (? d d ( (? d (5 d (6 (7 d (8 ( (? d d ( (? d ( (? d d ( (? 77
78 EJERCICIOS II.- Estructurar un modelo para las problemátcas sguentes luego soluconarlo Aplcando Euler Runge Kuta..- Un tanque clíndrco de ondo plano con dámetro metros contene un líqudo; de densdad.8 kg/l a una altura H de 4 metros. Se desea saber la altura del líqudo dentro del tanque mnutos después que abre completamente de la válvula de salda ubcada en la parte neror zquerda, la cual da una gasto de m 3 /s, donde A es el área secconal del tubo de salda que tene un valor de m, consderar g = 9.8m/s. 78
79 EJERCICIOS.- Se tene un tanque esérco de rado de 8 metros calcular el tempo necesaro para que el nvel del líqudo de dco tanque pase de 6 metros a 7 metros, la velocdad de salda por el orco del ondo es v =5.5 m/s el dámetro de dco orco es de cm. Donde a es la altura de líqudo. 3.- En un tanque perectamente agtado se tene 5 ltros de una salmuera en la cual este dsuelto 3 Kg de sal común en un momento determnado se ace llegar al tanque un gasto de 9 l/mn de una salmuera que contene.5 Kg de sal común por ltro s se tene un gasto de salda de 9 l/mn. Determne: a.- Que cantdad de sal a en el tanque transcurrdo mn. b.- Que cantdad de sal transcurrdo un tempo mu grande. 79
80 EJERCICIOS 4.- Se ace reacconar sotérmca mente 3gr de acetato de etlo con gr de dródo de sodo en solucón acuosa ajustando el volumen total a ltros para dar acetato de sodo alcool etílco de acuerdo con lo sguente ecuacón estequometra: Acetato de etlo + dródo de sodo = acetato de sodo + alcool etílco Donde la constante de velocdad de reaccón k esta dado por k =.44 - Determne la cantdad de acetato de sodo alcool etílco presente 4mn después presentada la reaccón. 5.- Se conecta un nductor de.5 enres en sere con una resstenca de oms un capactador de.5 arados un generador de corrente al terna dad por la uncón 6 sen 5t voltos t. a.- Establezca una ecuacón derencal para la carga nstantánea en el capactor. b.- Encuentre la carga en dstntos tempos 8
81 EJERCICIOS 6.- Se tene un tanque de orma cónca de 5 metros de dámetro superor con metros de altura contenendo un líqudo asta metros de altura, s al momento de llegar el nvel del líqudo de. 5 metros se ace llegar un gasto de almentacón de.5 m 3 /s el nvel de líqudo aumentara. Determne el tempo necesaro para que el nvel se recupere nuevamente a 6 metros. 7.- El tempo que requere el tanque del ejercco anteror para recuperar su nvel de.5 a 6 metros con un gasto de almentacón de.5 m 3 /s es apromadamente 5 s calcule el gasto de almentacón que se requere para reducr este tempo en la mtad. 8
82 Mucas Gracas
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VII. Solucón numérca de ecuacones derencales VII. Antecedentes Sea dv dt una ecuacón derencal de prmer orden : g c m son constantes v es una varable dependente t es una varable ndependente c g v I m Las
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