ANÁLISIS DE FRECUENCIAS

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1 ANÁLII D FRCUNCIA XPRION PARA L CÁLCULO D LO VNO PARA L PRÍODO D RORNO Y D LO RPCIVO RROR ÁNDAR D IMACIÓN RQURIDO PARA LA DRMINACIÓN D LO INRVALO D CONFIANZA D LO IMADO D LO VALOR PRADO JULIAN DAVID ROJO HRNÁNDZ. XPRIÓN GNRAL PARA L CÁLCULO DL IMADO DL VALOR PRADO D UN VNO PARA UN PRÍODO D RORNO (epresón de Ven. Chow para análss de frecuencas de eventos etremos): ea la sere de tempo X: X = {,,,.., N } la muestra observada de los N valores meddos de un fenómeno o evento cualquera (lluvas, caudales, temperaturas, ssmos, etc.), tene las sguentes característcas estadístcas (muestrales): _ X : estmado (muestral) del valor esperado del fenómeno analzado X, equvalente al valor medo o promedo de los N valores observados de la sere X; se le llama tambén meda de X. Corresponde al denomnado prmer momento muestral del arreglo X con relacón al orgen de los reales (con respecto a cero). X : estmado (muestral) de la desvacón típca (desvacón estándar) muestral (raíz cuadrada de la varanza), obtendo a partr de la utlzacón de los N valores observados de la sere X, empleando el estmador nsesgado de este parámetro. Corresponde a la raíz cuadrada del segundo momento muestral del arreglo X con respecto de la meda. g X : estmado del coefcente de asmetría muestral (raíz cuadrada de la varanza), obtendo a partr de la utlzacón de los N valores observados de la sere X, empleando el estmador nsesgado de este parámetro. Corresponde a la relacón entre el tercer momento muestral del arreglo X con relacón a la meda, y el cubo del estmado sesgado de X. Debdo a la ncertdumbre en los estmados de parámetros estadístcos muestrales de orden superor al tercer momento muestral, no se tenen en cuenta parámetros como el de kurtoss y smlares.

2 los valores de la sere X son eventos aleatoros ndependentes entre sí, pertenecentes a una msma funcón de dstrbucón (densdad) de probabldades f(;, tal que son los parámetros de la funcón de dstrbucón de probabldades, se puede obtener los valores estmados de la varable X para cualquer probabldad de ocurrenca dada p a partr de la sguente epresón general (propuesta por Ven, Chow): X p = X + p. X Donde p es un número admensonal, aleatoro, obtendo de la funcón de dstrbucón de probabldades cualquera f(; a la que pertenecen las ocurrencas aleatoras del fenómeno X. Como es sabdo, en el manejo ngenerl tradconal de las probabldades de ocurrenca de fenómenos, el concepto de defncón de la probabldad de acurrenca ha sdo asocado al concepto de período de retorno o recurrenca del evento en consderacón (), el cual, desde el punto de vsta de su formalzacón matemátca ha sdo defndo de la sguente forma: = /p Así, cuando se habla de eventos etremos mámos, la probabldad de nterés es la probabldad de ecedenca de un evento (G() = - F()), mentras cuando se trata de eventos etrmos mínmos dcha probabldad de nterés es la de no ecedenca (F() = P[X ]). Por esta razón, aunque para algunos pueda ser más lustratvo utlzar el concepto del período de retorno, su empleo en el manejo numérco de probabldades debe ser consecuente para evtar errores de cálculo graves. De esta forma, en la práctca, cuando se habla de períodos de retorno para el caso de eventos mámos, la epresón de es el nverso de la probabldad de ecedenca del evento de nterés, o sea: = /G() = /[ - F()] mentras que s se trata de períodos de retorno para el caso de eventos mínmos, la epresón de es el nverso de la probabldad de no - ecedenca del evento de nterés, o sea: = /F() Con estas advertencas, la forma más popular de la epresón de Ven. Chow para el análss de frecuencas (de mámos o de mínmos) es: _ X = X +. X ()

3 l valor de X obtendo con la epresón () corresponde al estmado del valor esperado del evento X para el período de retorno, el cual se encuentra eactamente dentro de la funcón matemátca que (se supone) descrbe el comportamento probablístco de la varable X que se está consderando.. INRVALO D CONFIANZA PARA L IMADO D X Como se ha dcho en clase, X de la epresón () es solo el valor esperado del evento X para el período de retorno, ya debe recordarse que realmente X es una varable aleatora a causa, entre otras, de la ncertdumbre orgnada en la estmacón de los parámetros de la dstrbucón de probabldades de X (y en su seleccón, por supuesto), de manera que pueden estr (son probables) valores de X dferentes al calculado con la epresón (), el cual se supone que es smplemente el valor esperado de X para ese ; es más, n squera puede afrmarse que el resultado de la epresón () sea el valor más probable, ya que la dstrbucón de probabldades de los valores de X para dcho (dstrbucón margnal de X para ) no necesaramente es smétrca (en cuyo caso el valor esperado sí es a la vez el más probable). Por lo tanto, el valor X tene ncertdumbre, la cual se calcula a partr de la estmacón de la varanza de X para dcho período de retorno, cuya raíz cuadrada es conocda como rror stándar, (). n térmnos generales, () es funcón de X,, N y la f(; a la que se supone pertenece X. De esta forma, conocdos X y el correspondente valor de () (para el msmo ), es posble calcular el ntervalo de confanza del estmado del evento X para el período de retorno y un nvel de sgnfcanca, de acuerdo con la sguente epresón: ( X + ()) < X < ( X + ()) () donde ó son respectvamente los valores (admensonales) representatvos de las probabldades de no ecedenca y de ecedenca - de la funcón de dstrbucón de probabldades margnal de los eventos de la varable X para el período de retorno, la cual tene como valor medo X y como desvacón típca ().; naturalmente, y pueden ser postvos o negatvos, según el nvel de probabldad y - que sea defndo. Lo anteror quere decr que este una probabldad de que X se encuentre por fuera del ntervalo de confanza defndo en la epresón ().

4 n este caso ( X + ()) corresponde al denomnado límte nferor de confanza, y (X + ()) al límte superor de confanza, con una confabldad de (- "(nvel de sgnfcanca. strctamente hablando, para calcular los valores se debe conocer la dstrbucón de probabldades de los valores de X para el período de retorno en consderacón (dstrbucón margnal), la cual no obstante es desconocda, por lo cual se utlza habtualmente la dstrbucón t (tudent), la cual tene la ventaja de consderar el número de datos de la muestra X. No obstante, algunos nvestgadores conceptúan que para propóstos práctcos aplcados en hdrología, para el cálculo de los límtes de confanza del un evento X en el período de retorno se puede utlzar la dstrbucón de probabldades normal (), smplfcando de esta manera la utlzacón de las dferentes herramentas de cálculo, aprovechando la estenca de smlares condcones de ncertdumbre y precsón de los resultados. enendo en cuenta esta consderacón sobre la dstrbucón probablístca de los valores de X para el período de retorno, los ntervalos de confanza para los estmados de un evento X en el período de retorno utlzando la dstrbucón de probabldades normal, queda de la sguente forma: Límte nferor del ntervalo = X + z () Límte superor del ntervalo = X + z () Donde z y z corresponden a los valores de la varable Normal estandarzada o tpfcada para probabldades de no ecedenca y de ecedenca de y -, respectvamente. se adopta un nvel de sgnfcanca del 5% (=0,05) normalmente utlzado en estudos hdrológcos, los límtes de confanza quedarán de la sguente forma: Límte nferor del ntervalo = X -,9 () Límte superor del ntervalo = X +,9 (). XPRION PARA L CÁLCULO D Y () PARA DIFRN DIRIBUCION D PROBABILIDAD UILIZADA N HIDROLOGÍA OBNIDA CON BA N L MÉODO D LO MOMNO e utlzan las epresones dervadas en dferentes tetos de estadístca aplcada a la hdrología en el análss de eventos etremos, obtendas a partr de la aplcacón de técncas de estmacón por el método de los momentos. () I, G. W. Confdence Lmts for Desgn vents. Water Resources Research, Vol, No., pp

5 Dstrbucón de probabldades presones para y () Normal = z (*) Lognormal de dos parámetros (espaco () = X. {[ + (z ) /] /N} / = ep{z ln( + C vx )] / - 0,5. ln( + C vx ) } C vx real) () = X. { [ + (C vx + C vx ) + (/) (C vx 8 + C vx + 5 C vx + C vx + ) ] /N} / ventos tremos = - 0,5-0,7797 ln { - ln[f()]} (**) po I, o Gumbel () = X. { [ +,9 +, ] /N} / = z + (z - ) (g X /) + (/) (z - z )(g X /) - (z - ) (g X /) + (z )(g X /) - (/)(g X /) 5 Pearson po III () = X.{ { + g X + ( /) ( g X / + ) + ( )( W ) (g X + g X /) + (W ) ( + g X + 5 g X /8 )}/N} / (***) (*) z : Varable normal tpfcada asocada a una probabldad p = / (**) Recuérdese que para el caso de análss de eventos mámos p = - F() = /, y para el análss de eventos mínmos p = F() = /. Por lo tanto, para el caso de análss de mámos, ln [F()] = ln(-/), mentras que para los eventos mínmos ln [F()] = ln(/) (***) W= (z - )/ + g X (z - z )/ - (g X )(z - )/ + (g X )(z )/ - 0 (g X )/ n el caso de las dstrbucón de probabldades lognormal de dos parámetros, en la tabla anteror se presentan las epresones correspondentes al cálculo de X y () drectamente en el espaco de los valores meddos de la varable X (no transformados). No obstante debe recordarse que para esta dstrbucón el análss se puede realzar tambén, en su totaldad, en el espaco de los logartmos, caso en el cual ya no se utlzan el valor medo y la desvacón típca de los valores de X, sno los parámetros estadístcos de sus logartmos naturales (neperanos); en este caso se utlzan drectamente las epresones mostradas para el caso de la dstrbucón normal, solo que X y () corresponden al valor esperado del estmado del logartmo natural del evento para el período de retorno y su correspondente error estándar (en el campo de los logartmos, por supuesto), de manera que los ntervalos de confanza se determnan en el espaco de los logartmos, de forma tal que el resultado en el espaco de medcón de la varable orgnal X se obtene a partr del cálculo del antlogartmo de los límtes de confanza antes obtendos. 5

6 n el caso de la dstrbucón de probabldades lognormal de dos parámetros, la varable C vx representa el coefcente de varacón de la varable X, el cual se calcula como la relacón entre la desvacón típca y la meda de X. l caso de la popular dstrbucón de probabldades Log Pearson po III es smlar al de la dstrbucón Lognormal, ya que tambén bastaría con utlzar las epresones antes mostradas correspondentes a la dstrbucón Pearson po III, pero aplcada a los logartmos de la varable de nterés, de manera que los antlogartmos de los resultados así obtendos corresponden a los resultados de la dstrbucón Log Pearson po III. jemplo.: e desea canalzar la quebrada La Concepcón, y para ello se dseñan obras cuya vda útl se estma en 50 años, además se admte un resgo de daño de la estructura del 50%. Determnar los caudales de dseño para la canalzacón utlzando las dstrbucones de probabldad Normal, Lognormal, Gumbel y Pearson tpo III, con sus respectvos ntervalos de confanza. Para ello consdere los datos de Caudales mámos mensuales de la estacón Los prés ubcada en nmedacones del sto de la obra. (Fgura ). Fgura : Caudales mámos mensuales de la estacón Lmngráfca prés-los sobre la Quebrada la Concepcón. olucón: Para ncar los cálculos se deben selecconar los caudales mámos anuales ( el valor mámo de los caudales de cada año), y estmar los momentos estadístcos más sgnfcatvos de la muestra de caudales mámos, ellos son la meda, la varanza ( cuya raíz corresponde a la desvacón estándar), y el coefcente de asmetría, además de determnar el coefcente de varacón.

7 AÑO X X X X X ea X la muestra observada de los N 8 caudales mámos de la estacón Los pres sobre la quebrada Concepcón. Paso : sguendo las ecuacones de los estmadores nsesgados para los prncpales momentos estadístcos de una muestra aleatora de datos se tene que: N / N 8 Meda: X X m s N Varanza: Desvacón estándar: Coefcente de asmetría: N X X m N N X X N N 0 Coefcente de varacón: Cv 0. X 75. g m 0. 7

8 Paso : Para ncar los cálculos se debe determnar el perodo de retorno necesaro para la estmacón de las probabldades de ocurrenca del evento hdrológco de dseño. Para ello se recurre la epresón que relacona el resgo R, con la vda útl n y el perodo de retorno : R n 50 De donde se obtene que 7. años Paso, por ser un dseño para caudales mámos, la probabldad de nterés corresponde a la probabldad de ecedenca de un evento de referenca X 0 que corresponde al valor del caudal mámo de dseño, así entonces: P 7. X X % 0 Paso : stmar la probabldad acumulada asocada a X 0 F X PX X PX X Paso 5: stmar los factores de frecuenca para cada una de las dstrbucones de probabldad usando las epresones de cálculo del numeral : 8

9 Dstrbucón normal: el factor de frecuenca corresponde a la varable tpfcada z de la dstrbucón normal estándar asocada a la probabldad acumulada F(X). Utlzando la tabla anea de la dstrbucón normal estándar. F X 0.98 z. Por tanto para la dstrbucón Normal z. l caudal para un perodo de retorno de 7. años, utlzando la dstrbucón normal, está dado por: X 0 9.m s X Normal 75.. / 7. l error estándar para la dstrbucón se calcula como: z N m Fnalmente las bandas de confanza para el caudal estmado medante la dstrbucón Normal serán: Para el límte nferor: Para el límte superor: L X.9 L L 0.m Ls.m Ls X.9 Ls Intervalo de 95% de confabldad: 0.,. 9

10 Dstrbucón Log-Normal: el factor de frecuenca depende de la varable normal tpfcada z y el coefcente de varacón C v, utlzando dcho factor no se requere transformar los datos aplcando el logartmo en base 0 de los datos; así pues: ep z 0.5 ln C 0.5ln C ln 0. ep. ln 0..9 v C v v Por tanto, l caudal para un perodo de retorno de 7. años, utlzando la dstrbucón log-normal, está dado por: X 0 9.m s X LogNorm / 7. l error estándar para la dstrbucón log-normal se estma como: N 0 8.m 8 C C C C 5C C v v v v v v Las bandas de confanza para el caudal estmado medante la dstrbucón Normal serán: Para el límte nferor: Para el límte superor: L X.9 L L 0.m Ls 57.m Ls X.9 Ls Intervalo de 95% de confabldad:

11 Dstrbucón Gumbel (GV tpo I): n dcha dstrbucón el factor de frecuenca solo depende de frecuenca acumulada F(): ln - ln F X ln - ln 0.98 Por tanto, l caudal para un perodo de retorno de 7. años, utlzando la dstrbucón Gumbel será: X 0.9m s X Gumbel / 7. l error estándar para la dstrbucón Gumbel se estma como: N m 0.5 Las bandas de confanza para el caudal estmado medante la dstrbucón Gumbel serán: Para el límte nferor: Para el límte superor: L X.9 L L 99.m Ls.7m Ls X.9 Ls Intervalo de 95% de confabldad: 99.;.7

12 Dstrbucón Pearson po III: n dcha dstrbucón el factor de frecuenca depende de la varable normal tpfcada z y el coefcente de asmetría g z..9 g g g z z z z z g g Por tanto, l caudal para un perodo de retorno de 7. años, utlzando la dstrbucón Pearson tpo III, está dado por: X 0.0m s X Pearson / 7. l error estándar para la dstrbucón Pearson po III se estma como: Donde W N g g W g g W g 5g z g z z z z 0g g g W W m Las bandas de confanza para el caudal estmado medante la dstrbucón Gumbel serán: Para el límte nferor: L X L L 97.8m.9 Para el límte superor: Ls X.9 Ls Ls 0.m Intervalo de 95% de confabldad: 97.8;0.

13 jemplo.: Determnar los caudales mámos, con sus respectvas bandas de confanza para la quebrada La Concepcón, para los perodos de retorno de.5,., 5, 0, 5, 50 y 00 años utlzando las dstrbucones de probabldad Normal, Lognormal, Gumbel y Pearson tpo III, Utlce los datos de caudales mámos mensuales de la estacón Los prés. olucón: Incalmente se deben estmar los prncpales momentos estadístcos de la muestra de caudales mámos anuales y su respectvo coefcente de varacón. Meda: Desvacón estándar: X 75.m 0m Coefcente de asmetría: g 0. Coefcente de varacón: C 0. Cantdad de datos: N 8 v Paso : Calcular los factores de frecuenca para cada perodo de retorno () () () () (5) () (7) P F() z normal () lognormal Gumbel k Pearson ** ** Cuando F()< 0.5 se acude a las propedades de smetría de la dstrbucón normal. Columna (): Perodo de retorno Columna (): Probabldad de ocurrenca que para eventos etremos mámos representa probabldad de ecedenca P estmada como: P, utlzando la notacón de columnas ( ) Para el perodo de retorno de.: P 0.. () Columna (): representa la probabldad de no ecedenca F () estmada como

14 F( ) P Para caudales mámos. Utlzando la notacón de columnas ( ) (). Para el perodo de retorno de. F ( ) Columna (): Varable normal estandarzada asocada a una probabldad de no ecedenca F () estmada medante el uso de la tabla de dstrbucón normal. Dcha columna tambén representa el factor de frecuenca asocado a la dstrbucón normal. Para el perodo de retorno de. F ( ) 0.57 z 0. 8 usando la tabla. Columna (5): Factor de frecuenca de la dstrbucón log-normal. stmado como: ep z 0.5 ln C 0.5ln C v v o en la notacón de columnas: Cv ep () () 0.5 ln 0.5ln C v C v v C Para el perodo de retorno de.: ep ln ln Columna (): Factor de frecuenca de la dstrbucón Gumbel, estmado como: ln - ln FX o en la notacón de columnas: ( ) ln - ln () Para el perodo de retorno de.: - ln ln Columna (7): Factor de frecuenca de la dstrbucón Pearson tpo III, estmado como:

15 5 5 g g z g z g z z g z z 5 7 (7) (7) (7) () 7) ( g g g g g z g g g g g Paso : stmar el valor esperado de los caudales para los dferentes perodo de retorno utlzando La ecuacón básca para dcha estmacón es la sguente: X X () (8) (9) (0) () Q Normal Q lognormal Q gumbel Q Pearson Columna (8): Valor esperado de los caudales mámos para la dstrbucón Normal. Normal X X o en notacón de columnas X ) ( 8) ( Para el perodo de retorno de. s m X X / Columna (9): Valor esperado de los caudales mámos para la dstrbucón Log- Normal. Norm Log X X o en notacón de columnas X ) (5 9) (

16 Para el perodo de retorno de. 0 7.m s X X /. Columna (0): Valor esperado de los caudales mámos para la dstrbucón Gumbel. X ( 0) X () X Gumbel o en notacón de columnas Para el perodo de retorno de m s X X /. Columna (): Valor esperado de los caudales mámos para la dstrbucón Pearson po III. X ( ) X (7) X Pearson o en notacón de columnas Para el perodo de retorno de m s X X /. Paso : stmacón de los errores estándar para cada perodo de retorno y tpo de dstrbucón: () () () () (5) () e Normal e lognormal e gumbel W e Pearson

17 Columna (): rror estándar de la dstrbucón Normal 0.5 z o en la notacón de columnas: N ( () ) N 0.5 Para el perodo de retorno de. 0.5 (0.8) 0 (0.8)..9m N Columna (): rror estándar de la dstrbucón log-normal N 8 C C C C 5C C 0. 5 v v v v v v n notacón de columnas 8 C C 5 C C 5C C (5) 0. 5 N v v v v v v Para el perodo de retorno de.... N 0 8.8m 8 C C 0.05 C C 5C C v v v v v v (0.05) 0.5 (0.05) 0.5 Columna (): rror estándar de la dstrbucón Gumbel y en notacón de columnas N ( ) N 7

18 Para el perodo de retorno de m s 0. / 8 Columna (): Factor W para el error estándar de la dstrbucón Pearson z g z z z z 0g g g W n notacón de columnas () () g () z () () g Para el perodo de retorno de. W W g 0g z 0.5 Columna (5): rror estándar para la dstrbucón Pearson po III N g g W g g W g 5g Utlzando la notacón de columnas N g (7) (7) g 7 5g g 5 g 5g Para el perodo de retorno de. 5.0m 8

19 Caudal Mámo Caudal Mámo Caudal Mámo Caudal Mámo Caudal Mámo Dstrbucón Normal Log-Normal Gumbel Pearson Q L Ls Q L Ls Q L Ls Q L Ls Caudales Mamos quebrada la Concepcón Perodo de retorno Normal Log-Normal Gumbel Pearson III Q ma quebrada la Concepcón -Pearson Q ma quebrada la Concepcón -Log- Nomal Perodo de retorno Perodo de retorno Q ma quebrada la Concepcón - Nomal Q ma quebrada la Concepcón -Gumbel Perodo de retorno Perodo de retorno 9

20 jemplo.:e dese a conocer el caudal mínmo con perodo de retorno de 0 años utlzando las dstrbucones de probabldad Normal, Lognormal, Gumbel y Pearson tpo III, con sus respectvos ntervalos de confanza. Para ello consdere los datos de Caudales mínmos mensuales de la estacón Los prés (Fgura ). Fgura : Caudales mínmos Qda la Concepcón estacón pres-los Paso : sguendo las ecuacones de los estmadores nsesgados para los prncpales momentos estadístcos de una muestra aleatora de datos se tene que: Meda: Desvacón estándar: X.9m 0.79m Coefcente de asmetría: g Coefcente de varacón: C 0. 7 Cantdad de datos: N 8 v Paso : por ser un estudo de caudales mínmos, la probabldad de nterés corresponde a la probabldad de no ecedenca de un evento de referenca X 0 que corresponde al valor del caudal mínmos de nterés, así entonces: P 0 X X 0. 0% 0 0

21 Paso : estmar la probabldad acumulada asocada a X 0 F X PX X P Paso : stmar los factores de frecuenca para cada una de las dstrbucones de probabldad usando las epresones de cálculo del numeral.: Dstrbucón normal: el factor de frecuenca corresponde a la varable tpfcada z de la dstrbucón normal estándar asocada a la probabldad acumulada F(X). Utlzando la tabla de la dstrbucón normal estándar del aneo. I F X 0.5 z 0 Luego z z0 Utlzando las propedades de smetría de la dstrbucón normal estándar. F( z ) P( z z ) P( z z0) P( z z0) P( z z0) F ( X ) 0.9 z 0.8 z z 0 z.8 Por tanto para la dstrbucón Normal z.8 l caudal mínmo con perodo de retorno de 0 años, utlzando la dstrbucón normal, está dado por: X m s X Normal.9 / 0

22 l error estándar para la dstrbucón normal está dado por: z N 0.79 (.8) 8 0.5m Fnalmente las bandas de confanza para el caudal estmado medante la dstrbucón Normal serán: Para el límte nferor: Para el límte superor: L X.9 L L.m L.m L X.9 L Intervalo de 95% de confabldad:.,.9 Dstrbucón Log-Normal: el factor de frecuenca depende de la varable normal tpfcada z y el coefcente de varacón C v, utlzando dcho factor no se requere aplcar el logartmo natural de los datos: ep ep z. 0.5 ln C 0.5ln C v C v 0.5.8ln ln v Por tanto, l caudal mínmo para un perodo de retorno de 0 años, utlzando la dstrbucón log-normal, está dado por:

23 X m s X LogNorm.9 / 0 l error estándar para la dstrbucón log-normal está dado por: N m 8 C C C C 5C C v v v v v v las bandas de confanza para el caudal estmado medante la dstrbucón Normal serán: Para el límte nferor: Para el límte superor: L X.9 L L.m Ls.m Ls X.9 Ls Intervalo de 95% de confabldad:... Dstrbucón Gumbel (GV tpo I): n dcha dstrbucón el factor de frecuenca solo depende de frecuenca acumulada F(): ln - ln ln - ln FX 0. Por tanto, l caudal mínmo para un perodo de retorno de 0 años, utlzando la dstrbucón Gumbel, está dado por: X m s X Gumbel.9 / 0 l error estándar para la dstrbucón Gumbel se estma como:

24 .9 N m Las bandas de confanza para el caudal mínmo estmado medante la dstrbucón Gumbel serán: Para el límte nferor: Para el límte superor: L X.9 L L.8m Ls.m Ls X.9 Ls Intervalo de 95% de confabldad:.8;. Dstrbucón Pearson po III: n dcha dstrbucón el factor de frecuenca depende de la varable normal tpfcada z y el coefcente de asmetría g z.7 g g g z z z z z g 5 g Por tanto, l caudal mínmo para un perodo de retorno de 0 años, utlzando la dstrbucón Pearson tpo III, está dado por: X 0.79 m s X Pearson.9.9 / 0 l error estándar para la dstrbucón Pearson po III se estma como: Donde N g g W g g W g 5g

25 W z g z z z z 0.8m 0g g g Las bandas de confanza para el caudal estmado medante la dstrbucón Gumbel serán: Para el límte nferor: L X L L.m.9 Para el límte superor: Ls X.9 Ls Ls.5m Intervalo de 95% de confabldad:.;.5 jemplo.: Determnar los caudales mínmos, con sus respectvas bandas de confanza para la quebrada La Concepcón, para los perodos de retorno de.5,., 5, 0, 5, 50 y 00 años utlzando las dstrbucones de probabldad Normal, Lognormal, Gumbel y Pearson tpo III, Utlce los datos de caudales mínmos mensuales de la estacón Los prés. () () () () (5) () (7) R P F() z normal () lognormal gumbel k Pearson Columna (): Perodo de retorno 5

26 Columna (): Probabldad de ocurrenca que para eventos etremos mámos representa probabldad de ecedenca P estmada como: P, utlzando la notacón de columnas ( ) Para el perodo de retorno de.: P 0.. () Columna (): representa la probabldad de no ecedenca F () estmada como F( ) P Para caudales mínmos Utlzando la notacón de columnas ( ) (). Para el perodo de retorno de. F ( ) P 0. Columna (): Varable normal estandarzada asocada a una probabldad de no ecedenca F() se estmada medante el uso de la tabla de dstrbucón normal. Dcha columna tambén representa el factor de frecuenca asocado a la dstrbucón normal. Para el perodo de retorno de. F ( ) 0. z 0. 8 usando la tabla y la propedad de smetría de la dstrbucón normal estándar. Columna (5): Factor de frecuenca de la dstrbucón log-normal. stmado como: ep z 0.5 ln C 0.5ln C v v o en la notacón de columnas: Cv ep () () 0.5 ln 0.5ln C v C v v C Para el perodo de retorno de.: ep ln ln Columna (): Factor de frecuenca de la dstrbucón Gumbel, estmado como:

27 Caudal Mámo Caudal Mámo ln - ln FX o en la notacón de columnas: ( ) ln - ln () Para el perodo de retorno de.: - ln ln Columna (7): Factor de frecuenca de la dstrbucón Pearson tpo III, estmado como: z g g g z z z z z g g g g g () (7) (7) (7) 7 g g ( 7) z e contnúa el procedmento como en el ejercco. para llegar a los sguentes resultados. Dstrbucon NORMAL Log-Normal Gumbel Pearson r Q L Ls Q L Ls Q L Ls Q L Ls Caudales Mnmos quebrada la Concepcón Perodo de retorno Normal Log-Normal Gumbel Pearson III Q mn quebrada la Concepcón - Nomal Perodo de retorno 7

28 . PRUBA D BONDAD D AJU Luego de analzar y aplcar las dferentes dstrbucones de probabldad a una muestra de datos hdrológcos para estmar eventos etremos asocados a dferentes perodos de retorno surge la pregunta de cuál es la mejor funcón de dstrbucón de probabldad para reproducr adecuadamente las leyes de probabldad asocadas a la muestra de datos y obtener meddas más confables de los caudales de dseño. Realmente no este aún un consenso entre hdrólogos sobre cual dstrbucón debería usarse. s por ello que se vuelve necesara la aplcacón de pruebas de bondad de ajuste a fn de selecconar la más adecuada fdp entre varas dstrbucones. Así pues, la bondad de ajuste de una dstrbucón de probabldad puede probarse comparando los valores teórcos y muéstrales de las funcones de frecuenca relatva o acumulada de los datos. Una prueba adconal puede hacerse calculando la suma de los cuadrados de las dferencas entre los valores observados y los calculados, o el coefcente de correlacón de Pearson entre ambos datos. 5.. Prueba de bondad de ajuste l estadístco estma el porcentaje de dferenca entre la funcón de frecuenca relatva asocada a la muestra de datos y la dstrbucón de probabldades teórca. l valor muestra del hstograma de frecuencas asocada al ntervalo (frecuenca relatva) será f n n donde n representa el número de ocurrencas observadas en el ntervalo y n corresponde al número total de datos presentes en la muestra. l valor teórco de la dstrbucón de probabldades está dado por p F ) F(. l estadístco de la prueba está dado por ) ( m n f ( ) p( ) p( ) Donde m representa el número de ntervalos del hstograma de frecuencas. La funcón de dstrbucón de probabldades se encuentra tabulada en muchos tetos de estadístca, y depende del número de grados de lbertad y es gual a m p endo p el número de parámetros que posee la funcón de dstrbucón de probabldades que se desea ajustar a la muestra de datos, además se debe selecconar un nvel de sgnfcanca para selecconar el valor de 8

29 jemplo: Para los datos de caudales mámos de la estacón Pte. Real sobre el ro Negro estmar la bondad de ajuste de las dstrbucones Normal, Log-Normal, Gumbel, Log-Gumbel. Pearson y log-pearson. 9

30 BONDAD D AJU A LA DIRIBUCION NORMAL Prevo al análss se deben estmar los caudales mámos anuales a fn de construr la muestra de caudales para el análss de bondad de ajuste. Además se requere estmar los prncpales momentos estadístcos de la muestra de datos, para el caso de los caudales mámos anuales del Ro Negro en la estacón Puente Real se tene que: Meda: Desvacón estándar: Coefcente de asmetría: X.5m.m g.5m Coefcente de varacón: C 0. 5 Cantdad de datos: N 8 v Paso : Construr el hstograma de frecuencas de los datos, para ello se dentfcan los valores mámo y mínmo de la muestra y defne el ancho y numero de ntervalos del hstograma. Para los 8 datos de caudales mámos ( n 8 ) de la estacón Pte. Real el valor mámo de caudal es de m /s y el valor mínmo es de, lo que permte defnr por comoddad 9 ntervalos que se presentan en la Fgura, para cada uno de los ntervalos se dentfca el número de datos ubcado en el rango asocado ( n ). Paso : stmar la frecuenca relatva asocada a cada ntervalo f n n donde n representa el número de ocurrencas observadas en el ntervalo y n corresponde al número total de datos presentes en la muestra. Para el presente ejemplo, con n 8 f Representa el valor empírco de funcón de dstrbucón de probabldades. 0

31 n n INRVALO RANGO f n < > Paso : stmar la frecuenca empírca acumula F ( ) asocada a cada ntervalo: corresponde a la sumatora de la frecuencas relatvas hasta el ntervalo. INRVALO RANGO n f n n F ( ) k < > f ( ) Paso : stmar la varable normal estandarzada asocada al límte superor de cada rango ( LR ): Para cada caso: z LR X Por ejemplo, para el ntervalo z LR X

32 INRVALO RANGO n f F ( ) k n n f ( ) LR z < > Paso 5: Para cada z obtendo en el paso anteror se estma la probabldad acumulada teórca F ( z ) utlzando la tabla de la dstrbucón Normal o cualquer otra apromacón, por ejemplo, cel posee la funcón DIR.NORM.AND( z ) para estmar la probabldad acumulada de z usando la dstrbucón normal estándar. INRVALO RANGO n f n n ( ) LR z F ( z ) < > Paso : Para cada ntervalo se debe estmar la probabldad teórca p ) donde: Por ejemplo, para =: p p 0.5. F ) F( ) ( P( 0) P z Pz 0.78 F( 0.78) 0. ( Para =

33 p P(0 0) P 0 P 0 F( 0.78) F( 0.78) y así sucesvamente INRVALO RANGO n f n n ( ) F ( z ) p < > Paso 7 : stmar el estadístco como: m n f ( ) p( ) p( ) INRVALO RANGO n f n n ( ) F LR z z ) F p < > uma.0 ( m n f ( ) p( ) p( ).

34 Paso 8 : stmar el valor crítco del estadístco, Crtco utlzando un nvel de sgnfcanca de 0.05 y el número de grados de lbertad asocado al tpo de dstrbucón: l número de grados de lbertad está dado por: m p endo p el número de parámetros que posee la funcón de dstrbucón de probabldades, que para el caso de la dstrbucón normal solo posee dos parámetros (la meda y la desvacón estándar), y m el número de ntervalos que para el presente ejemplo corresponde a 9. 9 Utlzando la tabla de la dstrbucón, Crtco,, Fnalmente para probar que los datos se ajustan a la dstrbucón Normal el valor estmado medante la muestra de datos debe ser nferor al Crtco, para el presente caso.0. 59, por tanto los datos No se ajustan a la dstrbucón normal. Comentaros: Para el análss de bondad de ajuste de las dversas dstrbucones de frecuenca sempre sguen los pasos,,,, 7, 8 de la msma forma que en el presente ejemplo de la dstrbucón normal. l paso es un paso ntermedo necesaro para efectuar los cálculos en la dstrbucón normal l paso 5 depende del tpo de funcón teórca de probabldades y sus parámetros Bondad de ajuste para la dstrbucón Log-Normal Probar la bondad de ajuste de los datos a la dstrbucón log normal sgnfca que una nueva varable, que equvale al logartmo en base 0 de los datos de caudales mámos se dstrbuye sguendo la fdp Normal. s por ello que ncalmente se deben trasformar los datos estmando su logartmo en base 0 y luego estmarse los prncpales momentos estadístcos de los datos.

35 Meda: X. Desvacón estándar: 0. 8 Coefcente de asmetría: g 0. Coefcente de varacón: C 0. Cantdad de datos: N 8 v Para el caso de la dstrbucón Log-Normal se sguen los pasos del al 8 del ejemplo anteror pero con los datos transformados en el espaco logarítmco: INRVALO RANGO n f n n F ( ) LR z F ( z ) p < > suma.78 n este caso 8 5.Utlzando la tabla de la dstrbucón Crtco, 5, : Para probar que los datos se ajustan a la dstrbucón Log-Normal el valor estmado medante la muestra de datos debe ser nferor al Crtco, para el presente caso , por tanto los datos se ajustan a la dstrbucón Log-normal. PRUBA D BONDAD D AJU PARA LA DIRIBUCIÓN GUMBL Con respecto a la dstrbucón normal solo camba el paso 5 para la estmacón de la funcón de dstrbucón de probabldades acumulada teórca. Para este caso se utlzan las ecuacones de la dstrbucón Gumbel. 5

36 Para el caso de los caudales mámos anuales del Ro Negro en la estacón Puente Real se tene que: Meda: Desvacón estándar: Coefcente de asmetría: X.5m.m g.5m Coefcente de varacón: C 0. 5 Cantdad de datos: N 8 v Para la dstrbucón Gumbel la funcón de probabldades acumulada está dada por: F( c) ep ep c Donde c a b endo Y a Y b X Donde Y, Y dependen de la cantdad de datos presentes en la muestra y se puede consultar en tablas o medante el uso de algunas ecuacones de ajuste como las estmadas por Rojo (0): Y Y N ln N ln ln 0.ln Y. Luego: a b X Y a n este caso el paso de ejemplos anterores se reemplaza por el cálculo de la varable c para el límte superor de cada ntervalo. Para =: c alr b Para =: c alr b

37 INRVALO RANGO n f F ( ) k n n f ( ) LR c < > Fnalmente para cada c se estma el valor de probabldad acumulada F(c) como: F( c) ep ep c y se contnua con los pasos sugerdos ejemplos anterores. INRVALO RANGO n f n n F ( ) LR c F ( c ) p < > suma. n este caso 9.Utlzando la tabla de la dstrbucón Crtco,, : Para probar que los datos se ajustan a la dstrbucón Log-Normal el valor estmado medante la muestra de datos debe ser nferor al Crtco, para el presente caso.. 59, por tanto los datos se ajustan a la dstrbucón Gumbel. 7

38 Caso de la dstrbucón Log-Gumbel Probar la bondad de ajuste de los datos a la dstrbucón log Gumbel sgnfca que una nueva varable, que equvale al logartmo en base 0 de los datos de caudales mámos se dstrbuye sguendo la fdp Gumbel. s por ello que ncalmente se deben trasformar los datos estmando su logartmo en base 0 y luego estmarse los prncpales momentos estadístcos de los datos. Meda: X. Desvacón estándar: 0. 8 Coefcente de asmetría: g 0. Coefcente de varacón: C 0. Cantdad de datos: N 8 Y Y v N ln N ln ln 0.ln Y. Luego: a b X Y a Como en el caso anteror se procede al cálculo de la varable c para el límte superor de cada ntervalo. Para =: c alr b Para =: c alr b INRVALO RANGO n f n n F ( ) LR c F ( c ) p < > suma.09 8

39 abla dstrbucón Normal 9