Estadística Empresarial I

Transcripción

1 Estadístca Empresaral I Tema Concepto de Estadístca EE I - Carlos G. García González - ULL

2 Qué es la Estadístca? Concepto de Estadístca: La Estadístca forma parte de los métodos cuanttatvos que utlza la Cenca Económca para descrbr, analzar, predecr y modelzar la realdad. El térmno estadístca tene su raíz en la palabra estadsta, que a su vez provene del térmno latín status. Dcconaro de la Lengua Española Estadístca Censo o recuento de poblacón, de los recursos naturales e ndustrales, del tráfco o de cualquer otra manfestacón del Estado, provnca, pueblo o clase. Coleccón de datos numércos ordenados. Ejemplos: Estadístcas de empleo, del censo de un muncpo, de un acontecmento deportvo,... -Dseño de expermentos Sn embargo, la Estadístca, además, ncluye: -Reduccón y procesamento de los datos -Toma de decsones EE I

3 Para comprender mejor la Estadístca, hablaremos de la exstenca de dos tpos de fenómenos. FEÓMEOS CO REGULARIDAD ESTADÍSTICA CAUSALES O DETERMIISTAS ALEATORIOS O ESTADÍSTICOS Se pueden repetr tantas veces como se quera en guales condcones. S ben no se puede predecr el resultado fnal, las frecuencas relatvas de cada posble resultado se establzan alrededor de un valor determnado. Esa regulardad estadístca o ley del azar es la base de la Tª de Probabldades. Son aquellos en los que se puede saber el resultado fnal sempre que se realce en las msmas condcones. Ejemplo: Medr la altura de una mesa. Son aquellos en los que no se puede prever el resultado fnal al repetrlos en análogas condcones. SI REGULARIDAD ESTADÍSTICA Ejemplo: Lanzar una moneda, IPC. En ellos ntervenen, además del azar, estrategas o poscones humanas, surgendo así el concepto subjetvo de probabldad, que se realza en térmnos de grados de creenca, opnones,..., dentro de lo que se conoce por Estadístca Bayesana. EE I 3

4 ESTADÍSTICA Cenca que estuda los fenómenos (aleatoros o estadístcos), prescndendo de los casos aslados y consderando las regulardades y propedades del conjunto, nfrendo en su caso sobre la totaldad del fenómeno o poblacón, a partr de los resultados que aporta una subpoblacón o muestra, con un grado de certeza o fabldad medda probablístcamente. Se puede dvdr la Estadístca en dos grandes ramas, undas por la Teoría de la Probabldad. ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PROBABILIDAD IFERECIA ESTADÍSTICA Es la encargada de la recoplacón, estudo, clasfcacón e nterpretacón de un grupo de datos, sn sacar conclusones e nferencas para un grupo mayor. Es la herramenta matemátca utlzada por la Estadístca para modelzar los fenómenos reales. Es la relaconada con el proceso de utlzar datos procedentes de un determnado subcolectvo o muestra, para tomar decsones para el grupo más general del que forman parte esos datos. EE I 4

5 Ejemplo: Se quere llevar a cabo un estudo sobre la edad de los estudantes unverstaros canaros. Para ello, se obtene una muestra representatva de manera que se obtene una edad meda de años. Podría asegurarse que la edad meda de todos los estudantes canaros está en torno a ese valor? En resumen: S se quere resumr la dstrbucón de los caracteres observados, usaremos la Estadístca Descrptva. S, por el contraro, se espera generalzar las característcas obtendas a la poblacón, estaremos ante la Estadístca Inferencal. Hoy en día, el desarrollo de la nformátca ha permtdo poner a dsposcón de los estadístcos nuevos y potentes nstrumentos de observacón y análss de la realdad multdmensonal, englobadas en lo que se conoce como Técncas de Análss Multvarante. Dchas técncas permten analzar, verfcar, probar y poner a prueba certas hpótess, renovando y generalzando los métodos de la Estadístca Descrptva, utlzando numerosos resultados de la Inferenca Estadístca. EE I 5

6 Evolucón hstórca de los contendos de la Estadístca: ª ETAPA Cvlzacones anterores al s. XVI ª ETAPA Del s. XVII a fnes del s. XIX 3ª ETAPA De fnes del s. XIX a prmeros del s. XX Censos de poblacón y de benes del Estado. Eran meros recuentos ya que no se extraían conclusones. Mejoras en el conocmento cuanttatvo de las cosas del Estado, en las facetas de recogda de la nformacón, descrpcón y análss de la msma, extrayendo conclusones y realzando predccones. A partr de los juegos de azar, se ncorpora el Cálculo de Probabldades como nstrumento para el estudo de fenómenos económcos y socales. Surge la Estadístca Inferencal, gracas a la fusón de las dos vertentes exstentes hasta ese momento: la Estadístca Descrptva y la Teoría de la Probabldad. 4ª ETAPA s. XX Formalzacón rgurosa de la modelzacón matemátca y el desarrollo teórco de la Tª de la Probabldad y la Inferenca Estadístca. Introduccón de la nformátca en el análss estadístco, Tª de los Procesos Estocástcos, Tª de la Decsón, Análss Multvarante, aplcacones de la Estadístca en la Economía (Econometría, Control de Caldad, Smulacón y Análss Conjunto). EE I 6

7 Aplcacones de los métodos estadístcos a la economía y la empresa: Descrbr la realdad socoeconómca (produccón, costes, mercado,...), obtenendo de los msmos sus prncpales característcas. Utlzacón del Muestreo y la Inferenca Estadístca para nferr característcas de una muestra a la poblacón que representan. Es útl para: Realzacón de audtorías, control nterno y verfcacón de la empresa, la estmacón sobre el total o el mporte medo de una cuenta, contrastar el valor probable de la msma. El control de caldad, ya sea en los procesos de produccón, el dseño de nuevos productos, o la caldad de los servcos públcos o prvados. El análss fnancero, en la smulacón de proyectos de nversón. Medante las técncas de predccón, cualquer organzacón puede realzar predccones de las actvdades futuras y elegr las accones a tomar a partr de ellas. Las técncas multvarantes son de gran utldad en el campo comercal y de mercados, donde será necesaro nvestgar el consumo de un producto en una determnada zona, realzar sondeos sobre la aceptacón de un producto, etc. Las técncas de decsón cláscas (estmacón y contraste de hpótess), así como las técncas de decsón bayesanas y determnstas, se utlzan en la toma de decsones para la admnstracón de empresas, en el sector produccón, etc. EE I 7

8 Estadístca Empresaral I Tema Seres Estadístcas. Tabulacón y Representacón EE I - Carlos G. García González - ULL 8

9 Introduccón El estudo estadístco de cualquer fenómeno conlleva una sere de etapas: Defncón de los objetvos del estudo, lo cual permtrá al nvestgador decdr sobre cuáles son los datos y la documentacón estadístca que necesta. Elaboracón de los datos. Para ello, necesta realzar una sere de observacones sobre las cuales poder analzar e nterpretar los datos obtendos. Se requere que esos datos puedan ser: Ordenados medante una tabulacón adecuada. Presentados en base a representacones gráfcas. Utlzacón de los datos para su análss, nterpretacón y, s es posble, predccón, para los que podrán ser caracterzados con meddas que resumen la cantdad de nformacón observada, con las que nterpretar posterormente los datos. EE I 9

10 Conceptos Prevos Toda nvestgacón estadístca empeza esencalmente por observar y anotar las característcas del fenómeno que se quere estudar. Por ello, partremos de una sere de conceptos: Undad estadístca: Es el dato ndvdual, objeto de la observacón, cualquera que sea su naturaleza. Puede ser un ser vvo, un objeto o un hecho, y debe ser defndo sn ambgüedad. Poblacón: Se entende por poblacón estadístca un conjunto de undades estadístcas sobre las que se verfca un determnado crtero, de manera que tengan alguna característca en común. Las poblacones pueden estar formadas por undades estadístcas varables o nvarables a lo largo del tempo. Ejemplos: Grupo de alumnos de º, muncpos de Tenerfe. Según su tamaño, las poblacones pueden ser fntas (que poseen un número fnto de undades estadístcas) o nfntas (poseen un número nfnto). Ejemplos: Profesores de estadístca de empresarales de la ULL, bolígrafos fabrcados. EE I 0

11 Muestra estadístca: Se trata de un subconjunto de la poblacón elegdo de una forma representatva. Caracteres: Son las dstntas característcas o cualdades que poseen las undades estadístcas de una determnada poblacón, y que se pueden estudar desde el punto de vsta estadístco. CARACTERES CUALITATIVOS O ATRIBUTOS: o pueden descrbrse numércamente, sno con letras. o son susceptbles de meddas y son observables sólo cualtatvamente. Ejemplos: Profesón, sexo, naconaldad Atrbutos: A, B, C,... Modaldades: a, a,... CUATITATIVOS O VARIABLES ESTADÍSTICAS: Son descrtos numércamente, por lo que son medbles y cuantfcables. Varables: X, Y, Z,... Valores: x, x,... Ejemplos: Altura, edad, peso, nº de hjos VARIABLES ESTADÍSTICAS DISCRETAS: Sólo pueden tomar valores numércos aslados. COTIUAS: Pueden tomar cualquer valor dentro de un ntervalo. OTA: En realdad, la dstncón entre varable dscreta y varable contnua es en muchos casos arbtrara, ya que todas las meddas pueden convertrse en dscretas. Además, en el caso de muchas varables, estamos lmtados por los nstrumentos de medda. EE I

12 Ordenacón y Tabulacón Al estudar los datos de una poblacón o muestra, lo más frecuente es que se obtenga un gran volumen de nformacón. Una vez ordenados los valores de forma crecente o decrecente, se lleva a cabo una reduccón de las observacones llamada tabulacón, obtenendo así una tabla estadístca. La tabla estadístca debe reunr la máxma nformacón posble del objeto de estudo, lo cual requere: Un título que precse su contendo. Una ndcacón sobre las undades utlzadas. Una especfcacón clara de los subtítulos de cada columna. otas aclaratoras al pe de la tabla sobre la fuente de los datos o sobre algún térmno ambguo. EE I

13 Conceptos: FRECUECIA TOTAL (): Es el número total de datos o undades estadístcas consderadas. FRECUECIA ABSOLUTA (n ): Es el número de veces que se repte cada una de las modaldades de un atrbuto, o cada uno de los valores de una varable. FRECUECIA RELATIVA (f ): n f Refleja la proporcón, en tantos por uno, de los ndvduos de cada modaldad o valor FRECUECIA ABSOLUTA ACUMULADA ( ): Es la suma acumulada de las frecuencas absolutas una vez ordenados los valores (o modaldades) de la varable (o atrbuto) de forma crecente. n j FRECUECIA RELATIVA ACUMULADA (F ): Es el cocente entre la frecuenca absoluta acumulada y la frecuenca total. F j EE I 3

14 ITERVALOS [L, L + ): Cuando el número de valores de la varable es muy elevado, se pueden reducr agrupándolos en ntervalos. Por conveno, se consderan los ntervalos solapados y semabertos por la derecha. Al agrupar en ntervalos se perde nformacón. AMPLITUD DE U ITERVALO (a ): Es la dferenca exstente entre el límte nferor y superor del ntervalo. MARCA DE CLASE (X ): Es el punto medo de cada ntervalo. Se utlza como representante del ntervalo a la hora de hacer cálculos. [L,L + ) a X L + L + L L + Puede ser constante para todos los ntervalos o varar de uno a otro (varable). DESIDAD DE FRECUECIA (d ): Es el cocente entre la frecuenca absoluta y la ampltud del ntervalo. d n a Este concepto sólo se utlza en el caso de varables cuyos valores están agrupados en ntervalos de ampltud varable. EE I 4

15 Ejemplo : Dstrbucón de frecuencas del número de hjos de 50 famlas en Canaras. º de hjos n f F ,3 45 0,3 60 0,4 05 0,7 0,4 6 0, , 4 0, , , , Ejemplo : Dstrbucón de frecuencas de las estaturas de un grupo de 50 personas. Intervalos n f F X a d [40,60) 9 0,06 9 0, ,45 [60,70) 75 0,5 84 0, ,5 [70,75) 45 0,3 9 0,86 7,5 5 9 [75,80) 5 0, 44 0,96 77,5 5 3 [80,00) 6 0, ,3 50 EE I 5

16 Clasfcacón de las seres estadístcas: Las seres estadístcas pueden clasfcarse según dversos crteros: SERIES ESTADÍSTICAS (según dependenca del tempo) SERIES ESTADÍSTICAS (según nº de caracteres estudado) SERIES ESTADÍSTICAS (según su consttucón) TEMPORALES: Las undades estadístcas dependen del ntervalo de tempo tomado como undad. Se consdera como una tabla estadístca con dos varables, sendo una de ellas el tempo. ATEMPORALES: Las undades estadístcas se recogen en un momento determnado, sn que nterese su evolucón en el tempo. SIMPLES: Cuando en ellas se estuda un solo carácter. Tambén se denomnan dstrbucones de frecuencas undmensonales. MÚLTIPLES: Se estudan varos caracteres smultáneamente. Se conocen como dstrbucones de frecuencas n-dmensonales. DE VARIABLES: Están consttudas por varables dscretas o contnuas. Se tabula cuántas veces se repte cada valor o n-upla de valores. Según los tpos de frecuencas, pueden ser: dstrbucones de frecuencas untaras, dstrbucones de frecuencas no agrupadas en ntervalos o dstrbucones de frecuencas agrupadas. DE ATRIBUTOS: Se tabula cuántas veces se repte cada modaldad o combnacón de modaldades. MIXTAS: Dentro de la tabla aparecen las veces que se repten las combnacones de valores y modaldades. EE I 6

17 Representacones gráfcas Consttuyen un conjunto de herramentas que permten representar las observacones estadístcas medante magntudes o fguras geométrcas. El objetvo de la representacón gráfca es proporconar una magen de los datos numércos que complemente a la tabla estadístca. Ventajas: - Permten realzar una labor de síntess buscando las regulardades y perodos. - Consttuyen un método de control ya que descubren las varacones anormales debdas a alguna razón o a un error. - Se pueden descubrr errores de mprenta o de cálculo. - En un únco gráfco se pueden representar varas tablas estadístcas, lo que permtrá el estudo y comparacón de fenómenos relaconados entre sí o contrapuestos. Inconvenentes: - o susttuyen a la tabla estadístca, sno que la completan. - Deben rotularse con un título adecuado, en el que estén perfectamente delmtados los hechos observados en el espaco y en el tempo. - La lectura de un gráfco es menos precsa que la de una tabla estadístca, ya que se basa en mpresones vsuales de longtud, áreas o dversas tonaldades cromátcas. - Las undades de las escalas de los gráfcos pueden amplarse o reducrse, exagerando hechos nsgnfcantes o atenuando los mportantes. EE I 7

18 Ejemplo: Las exportacones en mles de mllones de ptas en España entre el año 98 y 99 fueron las que se presentan a contnuacón. Analzando los datos adjuntos, se obtene que las exportacones en España se ncrementaron en un 49 5 %, entre 98 y 99. Por qué en el segundo gráfco no se apreca que aumenten tanto? Exportacones Exportacones Años Años EE I 8

19 Dstrbucones de frecuencas undmensonales: varables no agrupadas en ntervalos: Dagrama de barras Polígono de frecuencas úmero de famlas úmero de hjos úmero de famlas úmero de hjos DIAGRAMA DE BARRAS: Para cada valor x de la varable, se levanta una barra de altura n o f. POLÍGOO DE FRECUECIAS: Se obtene unendo los extremos superores de cada barra del dagrama de barras. DIAGRAMA ACUMULATIVO: Se representan los valores de la varable frente a las o F. El gráfco se confeccona medante escalones entre un valor de la varable y el sguente. EE I 9

20 Dstrbucones de frecuencas undmensonales: varable agrupada en ntervalos. Densdades Hstograma Densdades Polígono de frecuencas 0 [40,60) [60,70) [70,75) [75,80) [80,00) Estaturas 0 [40,60) [60,70) [70,75) [75,80) [80,00) Estaturas HISTOGRAMA: Para cada ntervalo, se levanta una barra de altura n o f s los ntervalos son de ampltud constante. S la ampltud es varable, se usa d. POLÍGOO DE FRECUECIAS: Se construye sobre el hstograma unendo los puntos medos superores a cada barra. Polígono acumulatvo Estaturas POLÍGOO ACUMULATIVO: Se construye trazando, sobre cada ntervalo, líneas hasta la altura o F de cada uno. EE I 0

21 Dstrbucones de frecuencas bdmensonales: ube de puntos Renta naconal Produccón eléctrca UBE DE PUTOS O DIAGRAMA DE DISPERSIÓ: Se representa medante un punto cada uno de los pares de valores de las varables. DEODOGRAMA: Se realza en un espaco trdmensonal, de forma que en dos de los ejes se representan los valores de la varable bdmensonal, y en el tercer eje, los n j o f j (s los datos no están agrupados en ntervalos) o d j (s están agrupados). Asocado a cada par de valores se levanta un paralelepípedo. EE I

22 Representacones gráfcas de seres temporales: Exportacones Años COORDEADAS POLARES: Se utlzan para fenómenos que presentan movmentos peródcos de año. COORDEADAS CARTESIAAS: Se representan los perodos de tempo frente a los valores de la varable a estudar. Otras representacones: PIRÁMIDES DE EDADES: Son hstogramas de frecuencas, pero con los ejes cambados. Se usan mucho para estudar la dstrbucón de los habtantes según su edad y sexo. Oeste Este Sur orte º DIAGRAMAS DE SECTORES: Se trata de un círculo dvddo en tantos sectores como modaldades del atrbuto. n de grados.360º EE I

23 Estadístca Empresaral I Tema 3 Dstrbucones de frecuencas undmensonales EE I - Carlos G. García González - ULL 3

24 Introduccón La tabla estadístca obtenda medante la clasfcacón de los datos nos ofrece toda la nformacón dsponble y su estructura fundamental. Sn embargo, en muchas ocasones resulta complcado nterpretar toda esa extensa nformacón, por lo que se ntentará resumr medante una sere de meddas obtendas a partr de las dstrbucones de frecuencas. Meddas de poscón: Sntetzan la nformacón obtenda reducéndola a un solo valor. TIPOS DE MEDIDAS Meddas de dspersón: Determnan s las meddas de poscón son representatvas o no del conjunto de datos. Meddas de forma: Establecen una dstncón de las dstrbucones según la forma de su representacón gráfca. Meddas de concentracón: Hacen referenca al mayor o menor grado de equdad en el reparto total de los valores de la varable. EE I 4

25 Meddas de poscón Para tener un valor que represente un fenómeno, en lugar de manejar todos los datos, la dstrbucón de frecuencas se puede caracterzar medante las meddas de poscón, alrededor de las cuales, se encuentran dstrbudos los valores de la varable. Las meddas de poscón ncluyen a las meddas de tendenca central o promedos (meda artmétca, geométrca, armónca, medana y moda) y a las meddas no centrales (cuantles). Con respecto a las meddas de tendenca central, éstas deben reunr las sguentes característcas: La característca del valor central debe ser defnda objetvamente, a partr de los datos de la dstrbucón de frecuencas. Debe basarse en todas las observacones de la sere, para que represente a la dstrbucón. o debe tener un carácter matemátco muy abstracto, debe ser concreta y senclla. Debe ser fácl de calcular. Ha de adaptarse con facldad a cálculos algebracos posterores. EE I 5

26 Meda artmétca: Es la suma de todas las observacones dvdda entre el tamaño de la poblacón o muestra. x x + x. n x k. n k. nk x. ota: Para dstrbucones de frecuencas agrupadas en ntervalos, se utlzarán las marcas de clase X en lugar de los valores de la varable. n Ejemplo: x n x.n x '4 PROPIEDADES: ) La suma de las desvacones de los valores respecto a su meda es cero. k ( x x). n 0 ) S sumamos o restamos a todos los valores una constante k, la meda aumentará o se reducrá en esa constante. Luego, la meda artmétca queda afectada por los cambos de orgen. 3) Multplcando o dvdendo los valores de X por una constante k, la meda quedará multplcada o dvdda por dcha constante. Por tanto, tambén le afectan los cambos de escala. EE I 6

27 x x a + b. z Ejercco: Sea X una varable de meda y sea X a Z (a y b constantes). Demostrar que: b Ventajas - Es fácl de calcular. - Intervenen todos los valores de la varable Inconvenentes - Es bastante sensble a valores extremos, lo cual puede dstorsonar su valor y su representatvdad. Ejercco: Sean las calfcacones (entre 0 y 50) obtendas para 5 alumnos las sguentes: 0.4, 0.8,.0,.4, 50. Obtener la meda artmétca y estudar la representatvdad de la msma. x 0.7 Meda geométrca: Es la raíz -ésma del producto de los valores de la varable elevados a sus respectvas frecuencas absolutas. Es de utldad en problemas relatvos a números índces. G k n n nk n x x x.... k x log G k n.log x Es la meda artmétca de los logartmos de los valores de la varable EE I 7

28 Ventajas - Es menos sensble que la meda artmétca a valores extremos. - Intervenen todos los valores de la varable Inconvenentes - Su sgnfcado estadístco es menos ntutvo que el de la meda artmétca. - Su cómputo es más dfícl que el de la meda artmétca. - S un valor de la varable es 0, la meda geométrca no será representatva. OTA: Qué ocurrrá s alguno de los valores de la varable es negatvo? Se podrá determnar? Ejemplo: x n log x n. log x log G G ant log EE I 8

29 Meda armónca: Es la nversa de la meda artmétca de los nversos de los valores de la varable. Su aplcacón resulta adecuada cuando se promedan velocdades y tasas de tempo. H k n x n x n + x n x k k Ventajas - Intervenen todos los valores de la varable. - En algunos casos, es más representatva que la meda artmétca. Inconvenentes - Influenca de los valores pequeños de la varable, destacando su no determnacón cuando alguno de los valores de la varable es gual a 0. Ejemplo: Un coche recorre 60 Km a 50 Km/h y 40 Km a 70 Km/h. Obtener la velocdad meda. Usando la meda artmétca: v s t Km / h t horas t horas Tempo total : t t + t RELACIÓ ETRE LOS TRES PROMEDIOS: H G Velocdad meda v s Km h t / Usando la meda armónca: 00 H 56.4 Km / h n n x x x EE I 9

30 Moda: Es el valor de la varable que más veces se repte, luego será el que tenga una mayor frecuenca absoluta asocada (o mayor densdad de frecuenca) en la dstrbucón de frecuencas. DISTRIBUCIOES O AGRUPADAS E ITERVALOS: Mo x j / n max j n Ejemplos: Determnar la moda de cada una de las dstrbucones de frecuencas sguentes: x n x n EE I 30

31 DISTRIBUCIÓ AGRUPADA E ITERVALOS: En este caso, prmero se determnará el ntervalo modal, que será aquel que tenga asocado una mayor frecuenca absoluta (s la ampltud es constante) o densdad de frecuenca (s la ampltud es varable). ITERVALO MODAL [ L j,l j+ ) Dstrbucón de frecuencas agrupada en ntervalos de ampltud constante [ L j, L j+ ) / n j max,..., k n Dstrbucón de frecuencas agrupada en ntervalos de ampltud varable [ L j, L j+ ) / d j max,..., k d Una vez determnado el ntervalo modal, habrá que darle a la moda un valor puntual dentro de ese ntervalo. Para ello, usaremos dos métodos basados en el prncpo de que la moda estará más cerca del de aquel ntervalo contguo que posea una frecuenca absoluta o densdad de frecuenca mayor, según sean los ntervalos de ampltud constante o varable. EE I 3

32 Ejemplo: Determnar el ntervalo modal para la sguente dstrbucón de frecuencas. Qué extremo del ntervalo modal está más cercano a la moda? EE I 3

33 EE I 33 Los métodos utlzados para obtener la moda son los sguentes: (a) Método de las frecuencas: Las dstancas de la moda a los ntervalos contguos son nversamente proporconales a las frecuencas (o densdades de frecuencas) contguas. a d d d h d d h a h a d d d L Mo d d + d - L L + h

34 EE I 34 (b) Método de la dferenca de frecuencas: Las dstancas de la moda a los ntervalos contguos son drectamente proporconales a las dferencas contguas de frecuencas (o densdades de frecuenca). Ejemplo: Para el ejemplo de la dstrbucón de edades se obtene el sguente valor de la moda en cada caso.. a h h h h h h h a h a h h h L Mo d d h y d d h con OTAS: - El valor de la moda no concde por ambos métodos, ya que son ambos métodos aproxmados. - S la ampltud de los ntervalos es constante, las densdades de frecuenca se susttuyen por las frecuencas absolutas.,666 3) (5 4) (5 4 5, Mo Mo

35 Medana: Es aquel valor tal que, una vez ordenados los valores de la varable en orden crecente, deja a su zquerda y a su derecha gual número de frecuencas. DISTRIBUCIOES O AGRUPADAS E ITERVALOS: mpar La medana será el dato que ocupa la poscón (+)/ par La medana será la meda artmétca de los datos que ocupan las poscones / y / +. Ejemplos: Obtener la medana en cada dstrbucón de frecuencas. x n x n EE I 35

36 DISTRIBUCIOES AGRUPADAS E ITERVALOS: Usando el polígono acumulatvo de frecuencas, determnaremos el ntervalo medano, buscando el valor en el eje de las abscsas al que le corresponde una valor de / en el polígono acumulatvo. Dstrbucón de las edades de jóvenes. - h L L + [L,L + ) n [,4) [4,7) 3 5 [7,9) 7 [9,) 8 [,0) 4 a b h Teorema de Tales sobre ABC c h / d a n / n a EE I 36

37 Por tanto, para obtener la medana, usaremos la expresón: Me L + n a Ejemplo: Obtener la medana asocada a la dstrbucón de frecuencas del ejemplo anteror. 6 5 Me Facldad de cálculo. Ventajas - o es sensble a valores extremos, ya que no los tene en cuenta. Inconvenentes - En su determnacón no ntervenen todos los valores de la varable, por lo que no utlza toda la nformacón dsponble. OTA: Las ventajas e nconvenentes concden tambén para el caso de la moda. EE I 37

38 RELACIOES ETRE LAS MEDIDAS DE TEDECIA CETRAL: La meda artmétca da mucha mportanca a los valores extremos de la dstrbucón, mentras que la meda geométrca y la armónca destacan la nfluenca de los valores pequeños y reducen la de los grandes. En las dstrbucones unmodales la medana sempre está comprendda entre la meda artmétca y la moda, pudendo llega a concdr con alguna o con ambas. La convenenca de una u otra medda dependerá del tpo de varable analzada y de los fnes de la nvestgacón. Así, en el caso de los atrbutos, sólo tendrá sentdo el cálculo de la moda, que será la modaldad más frecuente. Ejemplo: Supongamos una dstrbucón sobre los Km en los que están stuados los barros de un muncpo. Dónde localzarías el ayuntamento y el hosptal? EE I 38

39 Cuantles: Son los valores de la dstrbucón que la dvden en partes guales. Dentro de ellos tenemos los cuartles, decles y percentles. CUARTILES: Son 3 valores de la dstrbucón que la dvden en 4 partes, de modo que cada una engloba el 5 % de los datos. DECILES: Son 9 valores de la dstrbucón que la dvden en 0 partes, de modo que cada una engloba el 0 % de los datos. PERCETILES: Son 99 valores de la dstrbucón que la dvden en 00 partes, de modo que cada una engloba el % de los datos. En el caso de dstrbucones no agrupadas en ntervalos, para obtener Q k, D k y P k, se procederá de manera smlar al caso de la medana, pero ahora con k./4, k./0 y k./00, respectvamente. Para las dstrbucones agrupadas, se usarán las expresones: Ejemplo: Obtener, para la dstrbucón de edades anteror, Q, D 6 y P 73. EE I 39

40 Meddas de dspersón Las meddas de poscón permtían sntetzar la nformacón proporconada por la dstrbucón de frecuencas, sn embargo convene estudar el grado de representatvdad que poseen como síntess de toda la nformacón. Medr la representatvdad de estas meddas equvale a cuantfcar la separacón de los valores de la dstrbucón respecto a esa medda (dspersón o varabldad). De esta forma se ntroducen las meddas de dspersón, con el fn de mostrar el grado de representatvdad de las meddas de poscón. Ejemplo: Supongamos dos stuacones dstntas en las que la edad meda del fallecmento en carretera es de 40 años. En cuál de los dos casos será la meda artmétca más representatva? EE I 40

41 MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS: Son aquellas que venen expresadas en unas determnadas undades. RELATIVAS: Son aquellas que carecen de undades (son admensonales). Meddas de dspersón absolutas: Exsten algunas meddas que hacen referenca a la dspersón de la dstrbucón, pero que no ndcan nada sobre la representatvdad de las meddas de poscón. Rango o recorrdo R x k x Recorrdo ntercuartílco RI Q 3 Q Ejemplo: Obtener el rango y el recorrdo ntercuartílco de la sguente dstrbucón de frecuencas: R 5 3 RI 4 x n EE I 4

42 Para medr la representatvdad de una medda de tendenca central P parece lógco emplear las dstancas de todas la observacones respecto de ella. k ( x P). n ( x P). n (Meda de las desvacones respecto a P) Sn embargo, algunas desvacones (x -P) serán postvas y otras negatvas, con lo que se compensarán, obtenéndose una dspersón nferor a la real. Para evtar esto, se consderan desvacones absolutas y cuadrátcas. Susttuyendo P por meddas k k x P. n ( x D P). n de poscón concretas, se D obtendrán varas meddas de dspersón. EE I 4

43 Desvacón meda respecto a la meda k x x n Dx Desvacón meda respecto a la medana k x Me n DMe Desvacón meda respecto a la moda k x Mo n DMo OTA: Estas tres meddas de dspersón venen expresadas en las msmas undades de los valores de la varable. Ejemplo: Determnar las meddas de dspersón anterores para la sguente dstrbucón de frecuencas: x n x n x -x.n x -Me.n x -Mo.n x 3. Me 3 Mo 3 D 0.74 D 0.7 D 0. 7 x Me Mo EE I 43

44 S Varanza ( x x n S k ) k x n x Ejemplo: Obtener la varanza de la sguente dstrbucón de frecuencas: x n x n x. n S x undades Ventajas - Es una buena medda de dspersón cuando se ha utlzado la meda como medda de poscón. Inconvenentes - Vene expresada en una undad dstnta a la de la varable, concretamente, en las undades de la varable al cuadrado. EE I 44

45 PROPIEDADES DE LA VARIAZA: () La varanza nunca puede ser negatva, es decr, 0 S < +. () A mayor varanza, mayor dspersón de los valores en torno a la meda. (3) S a todos los valores de la varable le sumamos una constante h, la varanza permanece nalterada. Sea X una v.a., y defnmos Z X + h. Entonces S Z S X. Intutvamente, las desvacones en torno a la meda se mantenen. (4) S multplcamos todos los valores de la varable por una constante h, la varanza se multplcará por el cuadrado de dcha constante. Sea X una v.a., y defnmos Z X. h. Entonces S Z h. S X. EE I 45

46 Desvacón típca o estándar S + X S X Al consderar la raíz cuadrada de la varanza, se obtene una medda que vene expresada en las msmas undades que los valores de la varable. Ejemplo: Calcular la desvacón típca de la dstrbucón de frecuencas del ejemplo anteror. S X EE I 46

47 Meddas de dspersón relatvas: Estas meddas se caracterzan por su admensonaldad (ausenca de undades), lo que permte comparar la representatvdad de las meddas de poscón en dos dstrbucones de frecuencas, aún cuando vengan expresadas en dferentes undades de medda. Ejemplo: El dnero que gasta daramente en máqunas tragaperras un rco ludópata tene por meda ptas y por desvacón típca ptas, mentras que la dstrbucón del dnero gastado por otro vcoso más moderado tene por meda 800 ptas y por desvacón típca 500 ptas. Cuál presentará una mayor dspersón? Las meddas de dspersón relatvas son el cocente entre una medda de dspersón absoluta y su correspondente medda de poscón. Coefcente de varacón de Pearson S S CVP CVP x x 00 Este coefcente mde el número de veces en tantos por uno o en porcentaje, según se exprese, que la desvacón típca S X, contene a la meda artmétca. Por tanto, cuanto mayor sea CVP, más dspersos estarán los datos y por tanto menos representatva será la meda artmétca. EE I 47

48 Ejemplo: Para comparar la dspersón en el ejemplo anteror, utlzaremos el CVP CVP X 0' 5 CVPY 0' Luego, la dspersón del dnero gastado por el vcoso moderado es mayor que la del ludópata rco. Así, el ludópata rco es más constante en su gasto, estando sus gastos daros más próxmos al gasto medo. Coefcente de varacón respecto a la meda Dx CVM ( x) x Dx CVM ( x).00 x Coefcente de varacón respecto a la medana DMe CVM ( Me) Me DMe CVM ( Me).00 Me Coefcente de varacón respecto a la moda DMo CVM ( Mo) Mo DMo CVM ( Mo).00 Mo Este índce mde el número de veces (o porcentaje) que la desvacón meda respecto a cada medda de poscón P contene a dcha medda P. Cuanto mayor sea CVM, menos representatva será la medda de poscón P. EE I 48

49 EE I 49 Momentos Los momentos son valores que caracterzan a una dstrbucón, de manera que dos dstrbucones son guales s todos sus momentos lo son. Momento de orden r respecto a P k r r n P x P M ) ( ) ( Momentos respecto al orgen k r r n x a Momentos centrales o respecto a la meda k r r n x x m ) ( P 0 P x Casos partculares: k k n x a x x n a a 0 Casos partculares: k n x x m S m m m ) ( 0

50 Relacones entre los momentos: m a a EE I 50

51 Meddas de forma Las meddas de forma establecen una tpología de las dstrbucones según la forma de su representacón gráfca. Se van a clasfcar en: meddas de asmetría y meddas de curtoss o apuntamento. MEDIDAS DE ASIMETRÍA: Su fnaldad es elaborar un ndcador que permta establecer el grado de asmetría de los valores de la varable en la dstrbucón sn necesdad de llevar a cabo su representacón gráfca. Se dce que la dstrbucón de frecuencas es smétrca s exsten pares de valores equdstantes a la meda artmétca y los valores de cada par tenen las msmas frecuencas. Entonces, s la dstrbucón es unmodal, se verfcará que: x Me Mo Dstrbucón smétrca unmodal P x Me Mo EE I 5

52 Dstrbucón smétrca bmodal: Puede ser campanforme o en forma de U. CAMPAIFORME P x Me E FORMA DE U P x Me EE I 5

53 Dstrbucón asmétrca : Puede serlo a la derecha o a la zquerda. Una dstrbucón es asmétrca a la derecha o postva s la dstrbucón se orenta más haca la derecha que a la zquerda de la meda artmétca (los datos están más dspersos a la derecha de la meda). Una dstrbucón es asmétrca a la zquerda o negatva s la dstrbucón se orenta más haca la zquerda que a la derecha de la meda artmétca (los datos están más dspersos a la zquerda de la meda). EE I 53

54 S la dstrbucón es asmétrca a la derecha, de las dos ramas de la curva que separa la meda, la de la derecha es más larga que la de la zquerda. S es asmétrca a la zquerda, ocurrrá lo contraro. Para medr el grado de asmetría de una dstrbucón o compararlo con el de otra, podemos utlzar el coefcente de asmetría de Pearson y el de Fsher. COEFICIETE DE ASIMETRÍA DE PEARSO x Mo A p S A A A p p p < 0 0 > 0 Asmétrca Smétrca Asmétrca a a la la zquerda derecha COEFICIETE DE ASIMETRÍA DE FISHER 3 m3 a3 3aa + a g 3 3 S S g g g < 0 Asmétrca a la zquerda 0 Smétrca > 0 Asmétrca a la derecha EE I 54

55 Coefcente de asmetría de Pearson VETAJAS Coefcente de asmetría de Fsher VETAJAS - Facldad de cálculo - Es más precso que el de Pearson, pudendo aplcarse en cualquer caso. ICOVEIETES ICOVEIETES - Sólo se puede utlzar s la dstrbucón es unmodal y campanforme. - Al basarse sólo en la dstanca entre la meda y la moda, no es muy precsa. - Su cálculo no es tan nmedato como el de Pearson. g Ejemplo: Indcar el grado de asmetría que presenta la sguente dstrbucón de frecuencas: a A p 3aa 3 S x Mo S + a ' ' x n x. n x. n x 3. n x 4. n EE I 55

56 MEDIDAS DE CURTOSIS O APUTAMIETO: Exste un tpo de dstrbucón campanforme y smétrca, de manera que la mayoría de los valores están cerca de la meda, y a medda que nos alejamos de ésta, las frecuencas dsmnuyen. Es la dstrbucón normal. Las meddas de apuntamento comparan cualquer dstrbucón de forma campanforme y smétrca con la dstrbucón normal. (mesocúrtca) (más apuntada que la normal) (menos apuntada que la normal) EE I 56

57 Para medr el apuntamento y comparar éste con el de otra dstrbucón se utlza el coefcente de apuntamento de Fsher. COEFICIETE DE APUTAMIETO DE FISHER 4 m4 a4 4aa3 + 6a a 3a g 4 4 S S g < 3 Platcúrtca g 3 Mesocúrtca g > 3 Leptocúrtca El coefcente de apuntamento de Fsher tambén nos permte determnar, sn necesdad de la representacón gráfca, s la dstrbucón es campanforme o en forma de U. La frontera entre ambos tpos de dstrbucones es la dstrbucón unforme, para la que g 8. Así: g g g < '8 En forma de U '8 Unforme > '8 Campanforme Ejemplo: Para el ejemplo anteror se obtene un valor g 7, qué podrías comentar acerca de su apuntamento y forma? EE I 57

58 Meddas de concentracón Las meddas de concentracón reflejan el mayor o menor grado de gualdad o equdad en el reparto total de los valores de la varable. Ejemplo: En una dstrbucón estadístca de rentas, desde el punto de vsta de la equdad económca, n la meda n la varanza son sgnfcatvas. Lo que verdaderamente nteresa es la mayor o menor gualdad en su reparto entre los componentes de la poblacón. Sean h ndvduos cuyos salaros son x, x,..., x h. h P x " Dnero total repartdo entre los h ndvduos". Las stuacones que se pueden presentar están entre dos stuacones extremas: Concentracón máxma o menor equdad en el reparto 0 para,,..., h x P para h Concentracón mínma o mayor equdad en el reparto P x,,..., h. h EE I 58

59 Para medr la concentracón se utlzan dos tpos de meddas: una de tpo gráfco (curva de Lorenz) y otra en forma de coefcente (índce de Gn). CURVA DE LOREZ: Sea la dstrbucón de frecuencas (x,n ),,...,k, cuyos valores están ordenados de menor a mayor, x < x <... < x n, donde X representa los nveles de salaros percbdos por ndvduos. Se defnen los pares (p,q ),,...,k, como: p F 00 p " porcentaje que representanlos prmeros ndvduos" u q 00, donde u x jn j q " porcentaje que representael salaro u sobre el u 0 p, q n 00 j total de salaros u k " El par (p,q ) nforma del porcentaje de ndvduos, p, que percbe un porcentaje de salaros, q, del salaro total. EE I 59

60 x n x.n u p ( /).00 q (u /u k ).00 x n x.n u p q x n x.n u p q : : : : : : : : : : : : : : x k n k x k.n k k u k p k 00 q k 00 u k Esta dstrbucón de rentas se puede materalzar gráfcamente medante la curva de concentracón o curva de Lorenz. Para obtenerla se dbuja un cuadrado cuyos lados están dvddos en una escala de 0 a 00. En el eje de abscsas se representa p y en el de ordenadas q. A contnuacón, representamos los puntos (p, q ), que al unrlos darán lugar a la curva de Lorenz. EE I 60

61 PROPIEDADES: CASOS EXTREMOS S los valores de la varable están ordenados de menor a mayor, se verfca que p q. La curva de Lorenz se stuará entre los dos casos extremos que se consderan. Ejemplo: Dstrbucón de los sueldos percbdos por los 300 trabajadores de una empresa. Sueldos (mles de ptas) X n x.n u p q EE I 6

62 Para el ejemplo anteror, la curva de Lorenz obtenda será: EE I 6

63 EE I 63 ÍDICE DE GII: Con el índce de Gn se pretende obtener un ndcador que exprese el grado de concentracón manfestado, desde el punto de vsta gráfco, con la curva de Lorenz. Ejemplo: Obtener el índce de Gn para la dstrbucón de frecuencas anteror. I 0, ) ( G k k G p q p I CASOS EXTREMOS Concentracón mínma: p q,,..., k. 0 0 ) ( k k k G p p q p I Concentracón máxma: q 0,,..., k-. ) ( k k k k G p p p q p I Cuanto más próxmo esté el índce de Gn a 0, menor concentracón exstrá, por lo que habrá una mayor equdad en el reparto de salaros.

64 k- p q p -q S ben el índce de Gn tene la ventaja de resumr en una sola cfra las complejas nformacones expresadas en la curva de Lorenz, puede darse el caso de que dos dstrbucones de frecuencas dferentes presenten el msmo valor del índce de Gn, aún sendo la estructura del reparto de los valores de cada varable dferentes. Ejemplo: Las dstrbucones de frecuencas A y B generan las curvas de Lorenz sguentes, que muestran una estructura de reparto dstnta. Sn embargo, puede comprobarse que:. I G k ( p ) 59'4 4'3 k q p 0'4 Por tanto, podemos conclur que la dstrbucón está poco concentrada, estando los salaros bastante ben repartdos. I A G I B G EE I 64

65 Estadístca Empresaral I Tema 4 Dstrbucones de frecuencas q-dmensonales EE I - Carlos G. García González - ULL 65

66 Introduccón En el tema anteror estudamos las característcas más mportantes que presentaba una varable X consderada de forma aslada. Sn embargo, para una poblacón o muestra determnada, se pueden estudar smultáneamente dos o más caracteres dferentes. Ejemplo: Sobre un grupo de empresas podemos observar sus ngresos (X) y sus gastos (Y), o ben, su número de trabajadores (X), los salaros que percben (Y) y las horas de trabajo que realzan (Z). Sobre un grupo de personas estudamos su altura (X) y su peso (Y). El objetvo de este análss smultáneo de o más caracteres es estudar las posbles relacones entre ellos para detectar algún tpo de dependenca o varacón conjunta (covaracón). En este tema vamos a estudar cuestones generales como son la tabulacón, representacón gráfca, dstrbucones margnales y condconadas, así como los momentos, tanto para el caso bdmensonal como para el q-dmensonal. Independenca Ausenca de relacón Dependenca estadístca Exste relacón aunque no funconal Dependenca funconal Funcón matemátca que los relacóna EE I 66

67 Dstrbucones bdmensonales: Tabulacón Una dstrbucón bdmensonal está formada por el conjunto de pares de valores de dos caracteres (x,y j ), dspuestos medante una tabla de doble entrada llamada tabla de correlacón. X\Y y y.. y j.. y k n. x n n.. n j.. n k n. x n n.. n j.. n k n. : : :.. :.. : : x n n.. n j.. n k n. : : :.. :.. : : x h n h n h.. n hj.. n hk n h. n.j n. n... n.j.. n.k Frecuenca absoluta conjunta n j : º de veces que se presenta el par (x,y j ). Frecuenca relatva conjunta: Frecuenca absoluta margnal: n. k j n Frecuenca relatva margnal n. f. j f. j n h n. n j.j j f j n j h k j n j h k j f j h n. k j n.j EE I 67

68 Ejemplo: En una determnada oposcón se quere estudar la relacón entre la edad de los 5 asprantes (X) y la calfcacón que han obtendo (Y). A partr de las observacones obtener la tabla de correlacón. X Y Cuando la dstrbucón tenga pocas observacones, aunque la tabla de correlacón sga sendo válda, resulta más cómodo tabular tabular los datos en columnas de la sguente forma: x y j n x y n x y n : : : x k y k n k Ejemplo: A contnuacón se muestran las edades (X) y número de hjos (Y) de un grupo de mujeres. X Y 3 4 Tabular los datos de manera adecuada. EE I 68

69 Dstrbucones margnales y condconadas DISTRIBUCIOES MARGIALES Partendo de una dstrbucón bdmensonal, nos puede nteresar estudar asladamente cada una de las varables sn hacer referenca alguna a los valores de la otra. De esta manera, obtenemos dos dstrbucones margnales, una respecto de X y otra respecto de Y. DISTRIBUCIOES CODICIOADAS Partendo de una dstrbucón bdmensonal, podemos determnar otro tpo de dstrbucones undmensonales, fjando una determnada condcón. Así, obtendremos la dstrbucón de X condconada a que Y y j, así como la de Y condconada a que X x. X x n. x n. x n. : : x h n h. Y y j n.j y n. y n. : : y k n.k X x / Yy j x x n /j n j n j : : x h n hj n.j Y y j / Xx y y n j/ n n : : y k n k n. f f / j j/ n n n n j.j j. n j n.j n j n. f f f f j. EE I 69 j.j

70 Ejemplo: Para el ejemplo anteror de la oposcón, obtener: X (edad) Y (nota) (a) Dstrbucones margnales respecto de X y de Y. (b) Dstrbucón de las edades de los asprantes que obtuveron un 4 de puntuacón. (c) Dstrbucón de las puntuacones para los asprantes de años. (d) Son X e Y ndependentes? IDEPEDECIA ESTADÍSTICA: X e Y son ndependentes f j n j n. n.j f. f. j,, j S X e Y son ndependentes estadístcamente, entonces f /j f. y f j/ f.j nj n n.. j n n f j. j. j / j f f. j / f. j n n.. j ndep n j. j n n ndep. n.. n n j n. n. j n EE I 70

71 Dstrbucones Q-dmensonales Habtualmente, en los problemas reales ntervenen más de dos característcas, por lo que se hace necesaro el estudo de las dstrbucones Q- dmensonales. Dada una varable Q-dmensonal (X, X,..., X Q ), el conjunto de observacones de esta varable acompañadas de sus correspondentes frecuencas absolutas conjuntas, consttuye la dstrbucón conjunta Q-dmensonal, que se tabula de la sguente forma: X X... X Q n X,X,...,X ) X Y Z ( Q n (X,Y,Z) x x... x Q n x x... x Q n x x... x Q n Q 3 x y z n x y z n x y z n x h x h... x Qh n h x h y h z h n h EE I 7

72 DISTRIBUCIOES MARGIALES Y CODICIOADAS DE (X,Y,Z) Dstrbucones margnales Análogamente, las dstrbucones condconadas podrán ser undmensonales y bdmensonales. X Y Z Ejemplo: Para la sguente dstrbucón de frecuencas trdmensonal, obtener: (a) Dstrbucón margnal respecto de X. (b) Dstrbucón respecto de (X,Y). Undmensonales: Margnales respecto de X, de Y y de Z. Se obtenen consderando ndvdualmente cada varable, prescndendo de los valores de las otras dos. Bdmensonales: Margnales respecto de (X,Y), de (X,Z) y de (Y,Z). Se obtenen prescndendo de los valores de una de las tres componentes y consderando la dstrbucón conjunta de las otras dos. (c) Dstrbucón de Z condconada a que X e Y3. (d) Dstrbucón de (X,Y) condconada a que Z. n (X,Y,Z) EE I 7

73 Momentos bdmensonales. Independenca. Momentos de órdenes r y s respecto a los parámetros P y Q M r s (P,Q) h k j (x P) r (y j Q) s n j P 0, Q 0 P x, Q y Momentos de órdenes r y s respecto al orgen h k r s x y j nj a r s j Momentos de órdenes r y s respecto a la meda (o centrales) m r s h k j (x x) r (y j y) s n j a a 0 0 Casos partculares: x h a 0 x n y. a 0 k j y j n.j m m h m (x 0 Casos partculares: 0 x) n. S X m 0 k j (y j y) n. j S Y EE I 73

74 m COVARIAZA (x x)(y y) n h k j j SXY j Se trata de una medda que hace referenca a la dependenca lneal exstente entre ambas varables. S la covaranza es postva, las dos varables varían en el msmo sentdo, y s es negatva, lo harán en sentdo opuesto. m Relacones entre los momentos centrales y los momentos respecto al orgen 0 a 0 a0 m0 a 0 a 0 m a a0. a 0 Ejercco: Sea una dstrbucón bdmensonal (X,Y), y otra (Z,W) construda a partr de la anteror de manera que: X P Y Q Z y W a b Comprobar que: S a.b. S X Y ZW IDEPEDECIA Y COVARIACIÓ: S X e Y son ndependentes S XY 0 Comprobar que a a 0.a 0 ota: El recíproco, en general, no es certo. EE I 74

75 Momentos Q-dmensonales. M Matrz de covaranzas. r r...r Momentos de órdenes r, r,..., r Q respecto a los parámetros P, P,..., P Q Q (P,P,..., P Q ) k (x P ) r (x P ) r...(x Q P Q ) r Q n Momentos de órdenes r, r,..., r Q respecto al orgen a r r...r Q k x r x r...x r Q Q n m r r Momentos de órdenes r, r,..., r Q respecto a la meda k r r r (x x ) (x x)...(x Q xq)...r Q Q n a m m x S S Casos partculares: a m m x S L a S L m L m x Q S QQ S Q Q MATRIZ DE COVARIAZAS S S S M S Q S S M S Q L L M L S S Q S Q M QQ EE I 75

76 Estadístca Empresaral I Tema 5 Regresón y correlacón bdmensonal y múltple EE I - Carlos G. García González - ULL 76

77 Introduccón A partr de una dstrbucón de frecuencas bdmensonal (X,Y) podemos determnar el grado de dependenca estadístca que exste entre las dstrbucones margnales X e Y, y analzar la relacón exstente entre ellas. Esto se llevará a cabo en dos procedmentos: Explcar los valores que toma una de las varables (varable dependente) en funcón de los valores de la otra (varable ndependente). De esto se encargará la regresón. Medr el grado de dependenca exstente entre las varables, para lo que se estudará la correlacón. Las técncas estadístcas de regresón y correlacón deben aplcarse sobre varables entre las que se sepa que exste algún tpo de nfluenca, ya que podría ocurrr que la dependenca estadístca fuera debda al azar o ben fuera ndrecta (exste una tercera varable que nfluye sobre ambas). Ejemplos: úmero de nacmentos y número de aprobados en EE I; el gasto en vacacones y el gasto en electrodoméstcos pueden moverse en la msma dreccón debdo a la renta. EE I 77

78 La regresón de Y sobre X consstrá en encontrar una funcón que explque el comportamento de la varable Y a partr de los valores que toma la varable X. De análoga forma, la regresón de X sobre Y explcará el comportamento de X a partr de los valores de Y. Y f (X) Varable dependente Varable ndependente Para encontrar estas funcones se suelen aplcar dstntos métodos de ajuste. Por tanto, el ajuste consstrá en encontrar la ecuacón de la curva que más se aproxme a las observacones. Elegr el tpo de funcón que mejor se adapte a los datos representados en la nube de puntos. Qué tpo de ajuste plantearías en cada caso? Calcular los parámetros que caracterzan la funcón ajustada, medante el método de los mínmos cuadrados (es el más representatvo). EE I 78

79 Ajuste mínmo-cuadrátco Sean observacones (x,y ),,...,, con frecuenca untara (podemos suponerlo sn pérdda de generaldad), de manera que al representar su correspondente dagrama de dspersón o nube de puntos, decdmos ajustarle una funcón que depende de R parámetros. Y f ( X, a, a,..., a R ) y : valor observado Dado x y t : valor teórco o ajustado y t f ( x, a, a,..., a R ) RESIDUO: d y y t y - f ( x, a, a,..., a R ) La funcón de ajuste o curva de regresón de Y sobre X será aquella que mnmce: H d EE I 79

80 EE I 80 R )),...,a,a f (x (y mn d mn H mn 0 a H 0 a H 0 a H R L AJUSTE LIEAL: y t f (x, a, b) a + b x + + x b x a y x 0 b H x b a y 0 a H AJUSTE PARABÓLICO: y t f (x, a, b, c) a + b x + c x x c x b x a y x 0 c H x c x b x a y x 0 b H x c x b a y 0 a H

81 EE I 8 AJUSTE EXPOECIAL: y t f (x, a, b) x a b ln y t ln a + x ln b + + x ln b x ln a ln y x x ln b ln a ln y AJUSTE POTECIAL: y t f (x, a, b) b a x ln y t ln a + b ln x + + ) (ln x b ln x ln a ln y ln x ln x b ln a ln y y t f (x, a, b) x a + b + + x b x a y x x b a y AJUSTE HIPERBÓLICO:

82 TIPOS DE AJUSTES EE I 8

83 Ejemplo : Ajustar a las sguentes observacones la funcón que mejor explque Y a partr de X. Los datos son: (,), (,), (3,5), (4,6), (5,8). Ejemplo : Ajustar a las sguentes observacones la funcón que mejor explque Y a partr de X. Los datos son: (,), (,8), (3,36), (4,), (5,). Y X Ejercco: Ajustar a las sguentes observacones la funcón que mejor explque Y a partr de X. Los datos son: (,0 5), ( 5, 7), (,4), ( 5,8), (3,3 5). Y X 7 X EE I 83

84 EE I 84 Regresón Lneal. Coefcentes de regresón. A partr de las ecuacones del ajuste lneal por mínmos cuadrados se van a obtener las rectas de regresón de Y sobre X y de X sobre Y: + + x S S y a S S b x b x a y x x b a y X XY X XY Recta de regresón de Y sobre X x) (x S S y y X XY Recta de regresón de X sobre Y y) (y S S x x Y XY

85 Condcón sufcente de mnmzacón: H a H H a a b > 0 y H H H b a b > 0 Ajuste lneal H. > 0 a H..S > 0 X COEFICIETES DE REGRESIÓ: Indcan la pendente de la recta de regresón correspondente. Recta de regresón S Recta de regresón S XY XY b b ' de Y sobre X de X sobre Y S SY Ejercco: Indcar cómo se comportan las pendentes de la rectas de regresón según el sgno de la covaranza. X EE I 85

86 Coefcente de determnacón y de correlacón lneal Una vez que se ha realzado un ajuste para tratar de explcar una varable Y en funcón de otra varable X, necestaremos obtener un ndcador de la bondad del ajuste planteado. Varanza total (VT) (y y) VT SY Varanza resdual (VR) VR S ry d (y y t ) Varanza explcada (VE) VT VE + VR EE I 86

87 Para medr la bondad del ajuste planteado podría consderarse la proporcón de la varanza total que queda explcada por la regresón. VT VR VT Coefcente de determnacón R Así, cuanto mayor sea el valor de R, mejor será el ajuste realzado, ya que la varanza resdual sería pequeña. 0 R Para el caso de la regresón lneal, la varanza resdual tomará el valor sguente: SXY Sr y SY SX S XY SY SY Coefcente de Sr y SY S r y S X SXY r determnacón lneal S S S S S OTA: En el caso lneal, el coefcente de determnacón R concde para ambas rectas de regresón. VE VT R 0 S ry S Y (Ajuste pésmo) R S ry 0 (Ajuste perfecto) Y Y VR VT Y S S r y Y X Y EE I 87

88 Coefcente de correlacón lneal smple r r r S S X XY S Y Este coefcente está drectamente relaconado con los coefcentes de regresón lneal, b y b, ya que: S S Y r b.b' b r. b' X S r. S Usando estas relacones, las rectas de regresón pueden expresarse de la sguente forma: X Y Recta de regresón de Y sobre X y y S r S Y X (x x) Recta de regresón de X sobre Y x x S r S X Y (y y) - r El sgno de r vendrá dado por el de la covaranza S XY, por lo que, s X e Y varían en el msmo sentdo, r será postvo, y s lo hacen en sentdo opuesto, r será negatvo. EE I 88

89 CASOS POSIBLES: Concden las dos rectas de regresón r CORRELACIÓ LIEAL PERFECTA POSITIVA r - CORRELACIÓ LIEAL PERFECTA EGATIVA r CORRELACIÓ LIEAL ULA (o exste relacón lneal) - < r < 0 CORRELACIÓ LIEAL POSITIVA 0 < r < CORRELACIÓ LIEAL EGATIVA EE I 89

90 Cuanto más se aleje r de 0, mejor será el ajuste lneal planteado entre ambas varables. El sgno de r sólo nos ndcará el sentdo de la varacón entre X e Y. En resumen: A efectos de nterpretar la bondad del ajuste lneal entre dos varables, se suele utlzar con más frecuenca el coefcente de determnacón lneal r en lugar del coefcente de correlacón lneal r. S queremos obtener el sentdo de varacón de ambas varables, sí que debemos recurrr a r (o ben a S XY ). Cuando se plantea un ajuste no lneal entre dos varables, debemos obtener el coefcente de determnacón general R para poder analzar la bondad de dcho ajuste. En este caso, no tene mucho sentdo hablar de coefcente de correlacón general R, ya que el sgno carece de nterpretacón. EE I 90

91 Predccón La aplcacón más nteresante de la técnca de regresón es la de predecr valores de la varable dependente para determnados valores de la varable ndependente, que no aparezcan en la dstrbucón de frecuencas. Cuando la predccón se realza para valores de la varable ndependente que pertenecen al ntervalo de varacón de los datos observados, de denomna nterpolacón. S la predccón se hace para valores de la varable ndependente stuados fuera de dcho ntervalo, recbe el nombre de extrapolacón. EE I 9

92 Ejemplo: Supongamos que hemos obtendo una recta de regresón que nos explca el gasto mensual por ndvduo en bebdas alcohólcas (Y) en funcón del sueldo mensual (X). Predecr el gasto en bebdas alcohólcas para un ndvduo que gana mensualmente ptas, y para otro que gana ptas. Y X A contnuacón, comparar los valores obtendos con los obtendos a partr del gráfco sguente, al que se le han añaddo más observacones. EE I 9

93 Algunas consderacones que hay que tener en cuenta a la hora de realzar predccones son: La fabldad de la predccón será mayor cuanto mejor sea el ajuste, es decr, cuanto mayor sea el R. La fabldad de la predccón dsmnuye a medda que nos alejamos de los datos de partda. Al r más allá de los datos orgnales, la predccón debe contemplarse desde una perspectva nferencal para abordarla correctamente, quedando encuadrado fuera del marco de la Estadístca Descrptva. EE I 93

94 Estadístca Empresaral I Tema 7 úmeros Índces EE I - Carlos G. García González - ULL 94

95 Introduccón Los números índces tratan de establecer una comparacón de una sere de observacones de una varable estadístca (normalmente económca) respecto a una stuacón ncal fjada arbtraramente. Ejemplos: Para la varable preco de un artículo determnado: - Cuánto se ha ncrementado el preco con respecto al año 995? - Según el nvel de vda de cada año, cuándo es más caro, ahora o en 995? Habrá que tener en cuenta dos aspectos: Fjacón arbtrara del perodo ncal al que se referrán las comparacones, lo más adecuada posble a los objetvos persegudos. Comparacón de magntudes smples y complejas, lo que supone en muchos casos la agregacón de magntudes. En defntva, un número índce es una medda estadístca abstracta que muestra los cambos de una varable en un perodo actual respecto a un perodo base o de referenca, temporal o espacal. La magntud o varable que se estuda suele ser el preco p, la cantdad q o el valor vp.q. EE I 95

96 Índces Smples Los índces smples son aquellos que hacen referenca a una magntud medble. Dada una magntud X y su evolucón temporal (espacal): T 0... t X x 0 x x... x t Índce smple de la magntud X en el perodo actual t respecto al perodo base 0. t I0 (X) El índce smple recoge el porcentaje de ncremento o dsmnucón de la magntud de un solo ben o servco. Según el tpo de magntud con la que se trabaje, se obtene: Índce de precos 0 pt It (P) 00 p 0 Índce cuántco 0 q t It (Q) 00 q 0 Índce de valor vt ptq t (V) I v p q OTA: Los números índces pueden expresarse en tanto por cento, pero a la hora de trabajar con ellos se hace en tantos por uno. I 0 t x x t 0 t 0 (P).I 00 t 0 (Q) EE I 96

97 PROPIEDADES DE LOS ÍDICES SIMPLES: Exstenca: Todo número índce smple debe exstr y tomar un valor fnto no nulo. Identdad: Inversón: Crculardad: 0 t I0 (X) It (X) I (X) 0 t (X) Cambo de base: Podemos obtener los índces respecto a otro perodo base o de referenca t : Índce de producto de magntudes: Índce de cocente de magntudes: I t 0 t' t'' t It (X).It' (X).It''(X) t I t '(X) I I t 0 t' 0 (X) (X) t I0 (X.Y) X Y t t Proporconaldad: S x t (+k) x t, entonces I' 0 (X) ( + k) I0(X) Homogenedad: A un número índce no le afectan las undades de medda. I t 0 I I t o t o I t 0 (X) (Y) (X) I t 0 (Y) EE I 97

98 Ejemplo: A contnuacón se muestran los precos en mles de ptas de un determnado artículo en varos años dferentes: T X (a) Indcar cúanto ha varado el preco de dcho artículo para cada año con respecto al año 998. (b) Calcular los índces de precos para cada año consderando como perodo base el año 999. Para cada uno de los artículos que ntegran un determnado sector, se puede calcular un número índce smple que ndque la evolucón de su preco, cantdad o valor; pero puede ser nteresante obtener un número índce únco que represente de manera conjunta a todos los artículos, a partr de los números índces smples calculados. A esos número índces que representan a un conjunto de magntudes se les llama números índces complejos. EE I 98

99 Índces Complejos Los índces complejos son los que hacen referenca a una magntud compleja. Se van a obtener a partr de un conjunto de índces smples, resuméndolos de manera que refleje el comportamento global de la magntud. Sea la magntud X referda a artículos: Artículo/Perodo 0 t Índces smples x 0 x t I x t / x 0 x 0 x t I x t / x 0 : : : : x 0 x t I x t / x 0 Los índces complejos pueden ser no ponderados o ponderados. La ponderacón recoge la mportanca relatva de cada magntud smple dentro del conjunto de todas ellas. EE I 99

100 EE I 00 ÍDICES COMPLEJOS O PODERADOS: ÍDICES COMPLEJOS PODERADOS: Tenen en cuenta la mportanca relatva de cada magntud smple dentro del conjunto de ellas. Índce meda artmétca + + I I... I I Índce meda armónca + + H I I I I... Índce meda geométrca G I I I I... Índce meda agregatva t t t A x x x x x x I o es un índce obtendo a partr de los números índces smples, tene sentdo en aquellos casos en que alguno de los índces smples no está defndo (da un valor 0 o ). Sólo puede emplearse s las magntudes venen expresadas en la msmas undades. Índce meda artmétca ponderado + + w w I w w I w I I *... Índce meda armónca ponderado + + H w I w w I w I w I *... Índce meda geométrca ponderado w w w w w G I I I I *...

101 Índce meda agregatva ponderado I x w x w S la magntud X consderada es el preco, se han consderado cuatro sstemas de ponderacón: () w p 0 q 0 valor de la cantdad del ben -ésmo en el perodo base, a precos de dcho perodo. () w p t q t valor de la cantdad del ben -ésmo en el perodo actual, a precos de dcho perodo. (3) w p 0 q t valor de la cantdad del ben -ésmo en el perodo actual, a precos del perodo base. (4) w p t q 0 valor de la cantdad del ben -ésmo en el perodo base, a precos del perodo actual. OTAS: Los sstemas () y () corresponden a stuacones reales, mentras que (3) y (4) no. Los sstemas () y (3) tenen el gran nconvenente de que necestan conocer las cantdades consumdas en el perodo actual, lo cual no es smple posble. Los sstemas más utlzados son el () y (3). S la magntud X es la cantdad, se utlzan los msmos sstemas de ponderacón, cambando precos (p) por cantdades (q). * t t A x0w x 0w x x t 0 w w EE I 0

102 Índce de precos de Laspeyres: Se trata de un índce meda artmétca ponderado obtendo usando el sstema de ponderacón (): w p 0 q 0 L t Iw p0q 0 p0 p I(P) w p p 0 q 0 p p t 0 q q 0 0 Determna el ncremento de valor que expermenta un conjunto de artículos o benes entre los perodos 0 y t, suponendo que las cantdades consumdas son las msmas para ambos perodos e guales a q 0. Índce de cuántco de Laspeyres: Se trata de un índce meda artmétca ponderado obtendo usando el sstema de ponderacón (): w q 0 p 0 L t Iw q0p 0 q0 q I(Q) w q q 0 p 0 q q t 0 p p 0 0 Determna el ncremento de valor que expermenta un conjunto de artículos o benes entre los perodos 0 y t, suponendo que los precos son las msmos para ambos perodos e guales al del perodo 0, p 0. Índce de precos de Paasche: Se trata de un índce meda artmétca ponderado obtendo usando el sstema de ponderacón (3): w p 0 q t P p t Iw p0q t p0 I(P) w p p 0 q t p p t 0 q q t t Determna el ncremento de valor que expermenta un conjunto de artículos o benes entre los perodos 0 y t, suponendo que las cantdades consumdas son las msmas para ambos perodos e guales a q t. EE I 0

103 Índce de cuántco de Paasche: Se trata de un índce meda artmétca ponderado obtendo usando el sstema de ponderacón (3): w q 0 p t P t Iw q0p t q0 q I(Q) w DEFLACTACIÓ: q q 0 p t q q t 0 p p t t Determna el ncremento de valor que expermenta un conjunto de artículos o benes entre los perodos 0 y t, suponendo que los precos son las msmos para ambos perodos e guales al del perodo t, p t. A partr del índce de precos de Paasche P p se puede estmar el valor de los benes y servcos del perodo actual en undades monetaras del perodo base. p 0 q t p P t t p 0 q t A esta propedad se le conoce como deflactacón, y permte corregr el efecto de la pérdda del valor del dnero y hacer comparacones en una undad común. Cuando se valoran los benes y servcos a precos de un msmo perodo, hablaremos de precos constantes o reales. Cuando se valoran los benes y servcos a precos de cada perodo, hablaremos de precos constantes o reales. EE I 03

104 En la práctca, se presenta el problema de que el Índce de Paasche no se suele obtener, ya que necesta las cantdades consumdas en el perodo actual (q t ). Por ello, se suele utlzar como deflactor el Índce de Laspeyres o el Índce de Precos al Consumo (IPC). DEFLACTACIÓ Valor real o cons tan te Valor monetaro o corrente Deflactor Ejemplo: El preco del klogramo de plátanos entre los años 995 y 998 y el IPC de cada año (con respecto al año 995) aparecen en la tabla adjunta. En qué año estuvo más barato y más caro el Kg de plátanos? Ejemplo: Conocdos los precos y cantdades de artículos de consumo correspondentes a tres años, determnar los índces de precos y de cantdades de Laspeyres y Paasche con base 998. Años Artículo A t Preco (kg) IPC Artículo B Preco Cantdad Preco Cantdad EE I 04

105 Índce de Precos de Consumo El IPC es un índce de precos que se obtene en España por parte del IE, a nvel naconal, por comundades autónomas y por provncas, con una perodcdad mensual, recogendo el ncremento de valor de un grupo representatvo de los productos y servcos consumdos por todas las famlas del país, que forman la cesta de la compra. Hasta el año 997, se utlzaba un índce de Laspeyres con perodo base fjo. El prncpal problema que presenta es que la estructura de ponderacones perde vgenca con el paso del tempo. A partr del segundo trmestre de 997 se mplantó la Encuesta Contnua de Presupuestos Famlares (ECPF), que permte dsponer de nformacón sobre el gasto de las famlas de forma más detallada y con una perodcdad menor que antes. Este nuevo sstema es más dnámco, al permtr: Actualzar las ponderacones en perodos cortos de tempo. Inclur nuevos productos cuando su consumo comence a ser sgnfcatvo, así como elmnar los que sean poco sgnfcatvos. EE I 05

106 De esta forma, se crea un sstema de actualzacón contnua de la estructura de consumo, basado en un flujo de nformacón entre el IPC y el ECPF. Esta actualzacón se materalza en: Una revsón anual de las ponderacones. Un completo cambo de base cada 5 años: composcón de la cesta de la compra, revsón profunda de las ponderacones y de la defncón del IPC. Para obtener el IPC base 00, se utlzará una cesta de la compra que clasfca los productos y servcos en grupos:. Almentos y bebdas no alcohólcas.. Bebdas alcohólcas y tabaco. 3. Vestdo y calzado. 4. Vvenda. 5. Menaje. 6. Medcna. 7. Transporte. 8. Comuncacones. 9. Oco y cultura. 0. Enseñanza.. Hoteles, café y restaurantes.. Otros. Para calcular el nuevo IPC se utlzará un índce de Laspeyres encadenado, que consste en referr los precos del perodo corrente a los precos del año anteror, actualzándose las ponderacones con nformacón de la ECPF. IPC I t t t w w p p t p p t t q q t t I I Estos índces se enlazan a través de un coefcente de enlace C C0 EE I 06

107 Estadístca Empresaral I Tema 8 Seres Temporales EE I - Carlos G. García González - ULL 07

108 Introduccón Hasta ahora, se han estudado las observacones de una determnada varable estadístca, organzadas medante una dstrbucón de frecuencas, sn tener en cuenta el nstante en el tempo en que fueron tomadas. Sn embargo, en muchos problemas económcos, nteresa dsponer de datos regstrados en ntervalos de tempo sucesvos, que consttuyen una sere temporal. Un hecho que dstngue las observacones ordenadas en el tempo del resto es que las dferentes observacones que forman una sere temporal no son ndependentes una de otras. Ejemplo: El número de automóvles fabrcados en enero de 989 no es ndependente de los que se fabrcaron en dcembre de 988. Por tanto, las varables que se estudan en las cencas socales y económcas están sujetas a cambos a lo largo del tempo. EE I 08

109 Análss de Seres Temporales Una sere temporal es una sucesón de observacones numércas referdas a un fenómeno, medante una varable o conjunto de varables, dspuestas en orden cronológco de ocurrenca. Así, la sere temporal descrbe la varacón de los valores de la varable en el tempo, como resultado del comportamento sstemátco o aleatoro de dcha varable. S una sere muestra alguna tendenca en su varacón durante un perodo de tempo prolongado del pasado, parece lógco suponer que tales regulardades segurán exstendo en el futuro, y podrán establecerse así predccones sobre valores futuros. Las observacones pueden obtenerse: En un momento dado. Ejemplos: nº de coches en la cola de una gasolnera, preco de un producto, etc. Como suma de cantdades asocadas a un perodo. Ejemplos: produccón anual de energía, nº de nacmentos al mes, etc. Como promedo de un perodo. Ejemplos: Meda mensual de trabajadores aflados a la S.S., tasa trmestral de actvdad, etc. EE I 09

110 Las publcacones de datos estadístcos contenen en su mayor parte seres temporales que venen expresadas en cfras absolutas y en cfras relatvas. Aunque los datos de las seres temporales requeren una menor organzacón prelmnar que los datos asocados a una dstrbucón de frecuencas, convene tomar certas precaucones: Las fechas a las que se aplcan las cfras deberán entenderse claramente y estar defndas de forma precsa. Los datos correspondentes a los dstntos perodos consderados deben ser comparables entre sí, y obtendos en las msmas condcones y undades. EE I 0

111 Cuando se dspone de datos correspondentes a una sere temporal, convene comenzar su análss medante una representacón gráfca, sendo la más utlzada el gráfco en coordenadas cartesanas, consderando en el eje de las abscsas la varable tempo y en el de ordenadas la varable estudada. EE I

112 aturaleza de las Seres Temporales Una sere temporal está formada por varas componentes, que son las encargadas de explcar los cambos observados en la varable a lo largo del tempo. La descomposcón más común es la que dstngue las componentes tendencal, estaconal, cíclca y aleatora, propuesta por el enfoque clásco de las seres temporales.. Tendenca regular o secular: Es el comportamento a largo plazo que presenta la sere, gnorando las fluctuacones a corto y medo plazo. Esta componente tendencal puede presentar pautas de crecmento, decrecmento o establdad. EE I

113 . Varacones estaconales: Son las osclacones a corto plazo que se reproducen de forma peródca más o menos regular con perodo constante gual o nferor al año, debdas prncpalmente a las nfluencas de las estacones del año, causas clmatológcas, costumbres, etc. Ejemplos: Las temperaturas medas mensuales tenen cada año un máxmo en verano y un mínmo en nverno, por lo que presentan perodcdad anual; el volumen de compras daras que se realza en un supermercado presenta máxmos y mínmos a prncpos y a fnales de mes, respectvamente, luego presenta perodcdad mensual,... En la gráfca sguente se representa la sere del IPI (Índce de Produccón Industral) y se observa la caída del mes de agosto, comportamento que se repte de forma regular y peródca. 3. Movmentos cíclcos: Son movmentos a medo plazo que se reproducen de manera peródca, pero no tan regular como los de la componente estaconal. Con un perodo no constante y más amplo que los perodos estaconales, los cclos observados en seres económcas están asocados prncpalmente a la alternanca de etapas de prosperdad y depresón de la actvdad económca. EE I 3

114 4. Varacones rregulares o aleatoras: Son comportamentos que no muestran carácter peródco n regular y que se deben a fenómenos catastrófcos o fortutos que afectan de manera casual a la varable, como pueden ser nundacones, terremotos, ncendos, accdentes, huelgas,... Dada una sere temporal, el objetvo será descomponerla en cada una de las cuatro componentes consderadas. Generalmente, las componentes de la sere temporal se pueden combnar medante tres esquemas o modelos: MODELO ADITIVO: MODELO MULTIPLICATIVO I: MODELO MULTIPLICATIVO II: Y + Y T.E.C. I T + E + C I Y T.E.C + I EE I 4

115 Un supuesto fundamental en el análss clásco de las seres temporales es la ndependenca de las varacones resduales respecto a las demás componentes. Este supuesto se verfca en el modelo adtvo y en el multplcatvo II. De los dos ctados, se utlza más en la práctca el modelo multplcatvo, ya que las varacones relatvas o porcentuales representan mejor las stuacones que las varacones absolutas. En él, sólo la componente tendencal vene expresada en térmnos absolutos, mentras que las demás componentes venen expresadas en forma de números índce. EE I 5

116 Análss de la Tendenca Secular Los procedmentos estadístcos que se utlzan para estmar la componente tendencal (responsable del comportamento a largo plazo de la sere) se dvden en analítcos y no analítcos. MÉTODOS O AALÍTICOS:. Ajuste gráfco: Consste en trazar una línea, ajustada a las observacones, que refleje el comportamento a largo plazo de la sere, gnorando fluctuacones a corto y medo plazo. EE I 6

117 EE I 7. Ajuste por medas móvles: Consste en hallar las medas de cada grupo de R observacones consecutvas, sendo R generalmente el número de observacones anuales de las que se dspone. S R es par, las medas móvles quedan descentradas, por lo que habrá que calcular de nuevo las medas móvles de orden. M R y... y y y R y... y y y R y... y y y p R p 3 3 R p R M y y y y y y y y y 7 R 5 R 6 R 5 R 3 R 4 R 3 R R R R IMPAR R PAR MEDIAS MÓVILES DE ORDE R

118 Ejemplos: Consderemos las dos seres sguentes, una cuatrmestral y otra trmestral. Con este método se suavza la sere, ya que se consguen elmnar las osclacones estaconales. Sn embargo, cuanto mayor sea el orden R, más observacones se perden. EE I 8

119 MÉTODOS AALÍTICOS: En muchos casos, la tendenca puede representarse mejor medante una funcón matemátca Y f(t) que medante la polgonal de las medas móvles. Para obtener dcha funcón, prmero habrá que representar gráfcamente la sere temporal, y decdr qué tpo de ajuste es el más adecuado para la regresón de Y sobre t. A contnuacón, se obtenen los coefcentes de la curva de regresón a través del método de los mínmos cuadrados, pudéndose medr la bondad del ajuste planteado medante el coefcente de determnacón R. Es nteresante señalar que s la sere temporal presenta un cambo brusco en su tendenca, es aconsejable ajustar dferentes funcones a cada conjunto de datos que presenten una tendenca homogénea. Ejemplo: La sguente sere refleja la evolucón de las mportacones del extranjero en Canaras en mles de mllones de ptas entre 980 y 99. EE I 9

120 Ajuste de una recta: Y a + b. t.a + b Y t Y a + b t t t Y t Con el fn de smplfcar los cálculos, se consdera como año 0 el año 986, ya que es el año central entre los trece. S hubera un nº par de años, se escoge uno de los dos años centrales como año 0. EE I 0

121 Varacones Estaconales Las varacones estaconales son osclacones peródcas de perodo fjo gual o nferor al año, debdas prncpalmente a las nfluencas de las estacones del año, causas clmatológcas, costumbres, etc. En su estudo se presentan dos problemas fundamentales: Cómo medr las varacones estaconales? Exsten muchas formas de medr las varacones estaconales, aunque todas tenen como objetvo básco la obtencón de un índce que pueda utlzarse para ajustar los datos orgnales a las varacones estaconales. Dchos índces permten nterpretar el comportamento de la varable estudada en los perodos consderados respecto a la meda del año, comparando de forma relatva. Cómo elmnar la nfluenca de las varacones estaconales en el análss de la tendenca? Se realza medante el proceso de la desestaconalzacón, que consste en dvdr cada valor de la sere orgnal entre el índce de varacón estaconal correspondente. EE I

122 Cálculo de los índces de varacón estaconal: Uno de los métodos más utlzados para la obtencón de los índces de varacón estaconal es el método de la medas móvles. Se trata de obtener una medda generalzada y en térmnos relatvos del comportamento de la sere en cada uno de los perodos consderados. El método consste en: () Obtener las medas móvles, utlzando tantos valores R como perodos consderados dentro del año. S el número de perodos R es par, las medas móvles obtendas no estarán centradas, por lo que habrá que centrarlas utlzando la semsuma de cada par de las anterores. () A partr de las medas móvles centradas, se obtenen las razones de las medas móvles, que relaconan los valores reales de la varable con las medas móvles centradas. Valor orgnal Razón medas móvles Meda móvl centrada (3) Ordenando las razones de las medas móvles por perodos, se obtendrán los índces generales de varacón estaconal, calculando la meda asocada a cada perodo. EE I

123 La meda de los índces generales de varacón estaconal (IGVE) en el año deberá ser gual a 00 (o en tantos por uno), por lo que la suma de todos ellos será gual a R.00 (R, en tantos por uno), sendo R el número de perodos consderados en el año. S por razones de redondeo, dcha suma no alcanzara el valor ctado, se podrían consegur los IGVE medante smples reglas de tres. S las RMM no tenen un comportamento smlar en gual perodo en la mayoría de los años consderados, no tene sentdo obtener los IGVE, ya que sgnfcaría que su nfluenca dentro de la tendenca de la sere no es grande. En tal caso, nos conformaríamos con las RMM, que actuarían como índces estaconales defntvos. EE I 3

124 Ejemplo: Se cuenta con una sere temporal de los precos medos por trmestre de un determnado producto, entre los años 995 y 998. EE I 4

125 Los IGVE mden el nvel porcentual del componente estaconal con respecto al nvel medo o tendenca. La meda de los IGVE debe ser gual a 00 (o a ), ndcando que en un perodo anual las fluctuacones estaconales se deben compensar; al no poder exstr fluctuacones estaconales superores al año. La magntud en estudo sufre un ncremento de un 5 % respecto al valor de la tendenca, debdo a la estaconaldad observada en el er trmestre. Se produce, tambén, una dsmnucón del 6 5 % respecto al valor tendencal, debdo a la estaconaldad del º. Se obtene una dsmnucón del 55 % respecto al valor tendencal, causada por la estaconaldad del 3º; y, por últmo, se produjo un ncremento del 75 % respecto a la tendenca, debdo a la estaconaldad del 4º trmestre. EE I 5

126 Desestaconalzacón: El proceso de desestaconalzacón consste en suprmr la nfluenca de las varacones estaconales en una sere temporal. Para ello, se dvde cada valor de la sere orgnal entre el correspondente IGVE expresado en tantos por uno. Y I.G.V.E. Y d Y E Una vez desestaconalzada la sere temporal, se debe obtener la tendenca, ya que en la sere resultante Y d se ha elmnado la nfluenca de las varacones estaconales. Para ello, se planteará un ajuste Y d f(t), obtendo aplcando el método de los mínmos cuadrados. A contnuacón, habrá que determnar los valores de la tendenca, que serán los valores desestaconalzados teórcos obtendos a partr del modelo de regresón consderados. T f (t ) EE I 6

127 Sere de los precos medos por trmestre de un producto Sere desestaconalzada de los precos medos por trmestre de un producto Y 0 Yd Tempo (t) Tempo (t) Y d 9'39 + 0'4 t' r 0' 88 EE I 7

128 Los valores de la tendenca se obtendrán a partr del ajuste lneal: ' T 9'39 + 0'4 t,,...,6 Supongamos que se quere predecr cuál va a ser el comportamento de los precos del producto en los cuatro trmestres de 999. EE I 8

129 Movmentos Cíclcos Son movmentos a medo plazo que se reproducen de manera peródca, con un perodo no constante y más amplo que los perodos estaconales. Puesto que la componente cíclca no sempre presenta un carácter tan sstemátco como en el caso de las componentes tendencal y estaconal, no exsten muchos métodos que permtan su obtencón. Un método que puede ser váldo es el sguente: A partr de un esquema multplcatvo I, se despeja C.I. Y T. E. C. I C. I T. E Y Y T d Los índces de los movmentos cíclcos se obtendrán a través de las medas móvles de orden 3 de los valores C.I. EE I 9

130 Los valores de la componente cíclca del ejemplo se muestran a contnuacón: EE I 30

131 Movmentos Irregulares Son comportamentos que no muestran carácter peródco n regular y que se deben a fenómenos catastrófcos o fortutos que afectan de manera casual a la varable. Para la estmacón de la componente rregular se dvdrán los valores de C.I entre los índces obtendos para la componente cíclca: I C. I C Cuanto más cerca esté cada valor I a 00 (o a, en tantos por uno), menor será el resduo asocado a esa observacón. EE I 3

132 Los valores obtendos para la componente rregular son los sguentes: EE I 3

133 COMPOETES OBTEIDAS PARA LA SERIE TEMPORAL DEL EJEMPLO EE I 33

134 Estadístca Empresaral I Tema 9 Teoría de la probabldad EE I - Carlos G. García González - ULL 34

135 Introduccón Se entende por fenómeno o expermento cualquer stuacón u operacón en la que se puede presentar un conjunto de posbles resultados. La Estadístca estuda dos tpos de fenómenos o expermentos: FEÓMEOS CAUSALES O DETERMIISTAS ALEATORIOS O ESTOCÁSTICOS Son aquellos en los que se puede saber el resultado fnal sempre que se realce en las msmas condcones. Ejemplo: Medr la altura de una mesa. Son aquellos en los que no se puede prever el resultado fnal al repetrlos en análogas condcones. Son el objeto de estudo de la Teoría de la Probabldad. Ejemplo: Lanzar una moneda. En el campo de la economía y de la empresa, los fenómenos o expermentos aleatoros son los más comunes, y sus prncpales característcas son las sguentes: EE I 35

136 Se conocen prevamente los posbles resultados del expermento. Es mposble predecr el resultado del expermento antes de realzarlo. En sucesvas realzacones del expermento en las msmas condcones ncales, se pueden obtener resultados dferentes. La Teoría de la Probabldad srve de enlace entre las dos prncpales ramas de la Estadístca: ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PROBABILIDAD IFERECIA ESTADÍSTICA Es la encargada de la recoplacón, estudo, clasfcacón e nterpretacón de un grupo de datos, sn sacar conclusones e nferencas para un grupo mayor. Es la herramenta matemátca utlzada por la Estadístca para modelzar los fenómenos reales. Es la relaconada con el proceso de utlzar datos procedentes de un determnado subcolectvo o muestra, para tomar decsones para el grupo más general del que forman parte esos datos. EE I 36

137 Espaco muestral y sucesos Espaco muestral E: Es el conjunto de todos los posbles resultados de un expermento aleatoro. Ejemplos: Determnar el espaco muestral de los sguentes expermentos aleatoros: (a) Lanzamento de un dado. (b) Lanzamento de dos dados. (c) º de coches que entran daramente en un garaje. (d) Tempo de vda de una bomblla. (e) Temperatura dara de un lugar. En funcón del número de resultados posbles, podemos dstngur varos tpos de espacos muestrales: ESPACIO MUESTRAL FIITO IFIITO Contene un conjunto fnto de resultados. UMERABLE O UMERABLE O COTIUO Contene nfntos resultados que se pueden poner en byeccón con los números naturales. Contene nfntos resultados que forman un ntervalo. EE I 37

138 Un suceso es un subconjunto del espaco muestral E, que será elemental s sólo contene un únco elemento de E, o será compuesto s contene varos. Ejemplo: Para el expermento del lanzamento de un dado, ndcar cuáles de los sguentes sucesos son elementales y cuáles compuestos: (a) Salr un (b) Salr un número par (c) Salr un número mayor que 3 (d) Salr un 5 OPERACIOES CO SUCESOS: Dados dos sucesos A y B asocados a u expermento aleatoro: Se llama unón de A y B, A B, al suceso que ocurre s alguno de los dos ocurre. Se llama nterseccón de A y B, A B, al suceso que ocurre sempre que A y B ocurran a la vez. Se llama suceso complementaro de A, A, a aquel suceso que ocurre s no ocurre A. Se llama dferenca de A y B, A B, al suceso que ocurre sí y solo sí ocurre A y no ocurre B. Se verfca que: A B A I B EE I 38

139 TIPOS DE SUCESOS: Exsten dstntos tpos de sucesos: Suceso seguro E: Es aquel suceso que ocurre sempre, concdendo con el espaco muestral. Dado un suceso A, sempre se cumple que: A U A Suceso mposble : Es aquel suceso que no ocurre nunca. Se cumplrá que: E E E Dados dos sucesos A y B asocados a un expermento aleatoro. Se dcen que son ncompatbles o mutuamente excluyentes s no pueden ocurrr smultáneamente, luego se verfcará que: A I B Se dce que A está contendo o ncludo en B s cada vez que ocurre A, tambén ocurre B, denotándose por. A B Se defne el suceso A condconado a B, denotado por A / B, como aquel suceso que consste en que ocurre A sabendo que B ha ocurrdo. Ejemplo: Sea el expermento consstente en el lanzamento de un dado, y sean los sucesos A sale un número par, B sale un número mayor o gual que 3 y C sale un ó un 5. Determnar los sguentes sucesos: A, C, A U B, B U C, A I B, A I C, B C, C / B EE I 39

140 PROPIEDADES DE LA UIÓ Y LA ITERSECCIÓ DE SUCESOS: (a) Asocatva: A U (B U C) (A U B) U C A I (B I C) (A I B) I C (b) Conmutatva: A U B B U A A I B B I A (c) Elemento neutro: A U A A I E A (d) Dstrbutva: A U (B I C) (A U B) I (A U C) A I (B U C) (A I B) U (A I C) (e) Leyes de Morgan: A U B A I B A I B A U B Ejerccos: Smplfcar las sguentes expresones: () () A U ( B I A) ( A U ( A U B ) I B EE I 40

141 La probabldad y sus enfoques Ya se ha ndcado que en cualquer expermento aleatoro es mposble predecr el resultado de antemano. Sn embargo, la Probabldad ntenta explcar la aparcón de los dstntos resultados. El concepto de probabldad se puede nterpretar de varas maneras: Interpretacón objetva, clásca o de Laplace: La probabldad de un suceso se obtene como el cocente entre los casos favorables al suceso y los casos posbles totales del expermento, suponendo que todos los sucesos elementales de E son equprobables. Pr obabldad º de casos favorables º de casos posbles Ejemplo: Para el expermento que consste en extraer una carta de la baraja española, determnar la probabldad de los sguentes sucesos: (a) Salr una copa (b) Salr un rey (c) Salr una fgura EE I 4

142 Interpretacón frecuentalsta: Se basa en la posbldad de repetr un expermento bajo las msmas condcones. Al aumentar el número de pruebas realzadas n, la frecuenca relatva f de un suceso A tende a establzarse en torno a un valor fjo. Se entende por frecuenca relatva asocada a un suceso el cocente entre el número de veces que ocurre, m, y el número de pruebas realzadas, n. m n (A) f (A) P (A) n n Ejemplo: Sea el expermento que consste en lanzar un clavo al are, pudendo caer de punta o de lado (no equprobables). Suponendo que se repte el expermento 000 veces y que en de ellas cayó el clavo de punta, determnar la probabldad de que el clavo caga de punta. Propedades de las frecuencas: n(a) m n(e) n n( ) 0 ( ) 0 f (A) ( ) f (E) f ( ) 0 n n n n n n (3) S A y B son sucesos ncompatbles : f (A U B) n(a U B) n n(a) + n(b) n m + m' n m n + m' n f (A) + f (B) EE I 4

143 Interpretacón subjetva o personalsta: En este caso, la probabldad se consdera como una medda de opnón personal sobre la ocurrenca de un suceso, de manera que dos personas pueden plantear dferentes valores. Esta nterpretacón se basa en la experenca del decsor, sus creencas, su aversón al resgo, etc. Ejemplo: Cuál es la probabldad de que el Tenerfe se mantenga en ª? EE I 43

144 Defncón axomátca de probabldad Esta defncón se basa en un conjunto de axomas que permtrán construr un modelo matemátco de la probabldad que sea capaz de explcar las regulardades observadas en los sucesos asocados a un expermento aleatoro. Dado un espaco muestral E y una σ-álgebra Å, dremos que la sguente funcón P es una probabldad s verfca los tres axomas de Kolmogorov. Una coleccón de sucesos Å es una σ- P: Å [0,] álgebra s verfca: A P(A) ota : Este modelo matemátco debe englobar tanto la nterpretacón clásca como la frecuentalsta de la probabldad. ota : A la terna (E, Å, P) se le denomna espaco probablístco. () A Å se verfca que A Å () Dada una sucesón nfnta de sucesos de Å: A, A,..., se verfca que: U A Å EE I 44

145 Axoma : A Å : 0 Axoma : P (E) Axoma 3:Sea AXIOMAS DE KOLMOGOROV A,A P (A) COSECUECIAS DE LOS AXIOMAS: Entonces :,..., A ncompatbles P k k dos U Å una sucesón de sucesos A a dos (A k A P (A ) j, ota: Estos tres axomas son equvalentes a las propedades de las frecuencas relatvas. ( A) P (A) ( a) A Å : P ( b) P ( ) 0 ( c.) A, B Å : P (A B) P (A) + P (B) P (A B) (c.) A, B,C Å : P (A B C) P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) j) EE I 45

146 A B (A B) (A B) (B A) R P (A) + P (B) + P (C) A (A B) (A B) S P (A B) + P (A C) + P (B C) B (B A) (A B) T P (A B C) ( d) A,B Å : A B P (A) P (B) y P (B A) P (B) P (A) Ejemplo : Sean A y B dos sucesos tales que A B E, P (A) 0 8 y P(B) 0 5. Calcular: ( a) P (A B) (b) P (A B) (c) P (A B) (d) P (A B) Ejemplo : Es posble una asgnacón de probabldad con P (A) /, P(B) /3, P (A B) /3? EE I 46

147 Probabldad condconada Anterormente hemos ntroducdo el concepto de probabldad consderando que la únca nformacón dsponble sobre el expermento era el espaco muestral E. Sn embargo, hay stuacones en las que se cuenta con nformacón adconal sobre dcho expermento, lo que puede hacer cambar la probabldad de ocurrenca de un suceso (aumentándola o dsmnuyéndola) o ben no modfcarla. Ejemplo : Para el expermento del lanzamento de un dado, consderamos el suceso A salr un y B salr nº par. Calcular P (A) y P (A/B). Ejemplo : Para el ejemplo anteror, consderando B salr nº mpar, determnar P (A/B). Ejemplo 3: Para el expermento consstente en lanzar dos veces un dado, se consdera n los sucesos A salr un en el º lanzamento y A salr un 3 en el º. Calcular P (A) y P (A/B). EE I 47

148 Sea E el espaco muestral asocado a un expermento aleatoro y sean A y B Å, tales que P (B) > 0. Se defne la probabldad de A condconada al suceso B como: P (A / B) P (A B) P (B) Esta defncón se aceptará s verfca los tres axomas de Kolmogorov, es decr, s verfca que: Axoma : A Å : 0 P (A/B) Axoma : P (E / B) Axoma 3:Sea A, A Entonces :,..., A ncompatbles dos a dos P k k U Å una sucesón de sucesos A (A / B k A j P (A, / B) j) EE I 48

149 Sea un espaco probablístco (E, Å, P), y dos sucesos cualesquera A y B de Å. Se dce que A y B son estocástcamente ndependentes cuando la ocurrenca de B no nfluye en la de A, y vceversa. En este caso, se verfcará que: P (A / B) P (A) P (B / A) P (B) P (A B) P (A).P (B) Dados tres sucesos A, B y C, dremos que son globalmente ndependentes s se cumple que: P (A B) P (A).P (B) P (A C) P (A).P (C) P (B C) P (B).P (C) P (A B C) P (A).P (B).P (C) EE I 49

150 En general, n sucesos A, A,..., A n son globalmente ndependentes s se verfca que: P (A P (A P (A A A A j j ) A P (A ).P (A k ) L A P (A ).P (A n ) j P (A ).P (A ).P (A ) LP (A Dremos que los sucesos A, A,..., A n son ndependentes dos a dos s cualquer par de dchos sucesos son estocástcamente ndependentes. ota: S A, A,..., A n son globalmente ndependentes son ndependentes dos a dos. Ejemplo: Tenemos un expermento consstente en observar la descendenca de una famla selecconada al azar. Consderemos los sucesos A la famla tene como mucho una hja y B la famla tene hjos de ambos sexos. Determnar s A y B son ndependentes en cada una de las sguentes stuacones: (a) La famla tene descendentes. (b) La famla tene 3 descendentes. j j k n ) j LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL ), ), k EE I 50

151 Teoremas de la Interseccón, Probabldad total y de Bayes TEOREMA DE LA ITERSECCIÓ: Dados dos sucesos A y B, se verfca que: Dados n sucesos A, A,..., A n, se verfcará que: Sstema completo de sucesos: Un conjunto de n sucesos A, A,..., A n se dce que forman un sstema completo de sucesos s cumplen las dos n condcones sguentes: a) A E (b) A A, j TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: P (A B) P (B).P (A / B) P (A B) P (A).P (B / A) P (A A L An ) P (A).P (A / A).P (A3 / A A) LP (An / A A K A U ( j Dado un sstema completo de sucesos A, A,..., A n, y un suceso B, entonces se verfca que: n P (B) P (A ).P (B / A ) n ) EE I 5

152 B B E B U n A Ejemplo: Tres máqunas de funconamento ndependente elaboran toda la produccón de una empresa: la prmera, la mtad; la segunda, una qunta parte; y la tercera, el resto. Estas máqunas venen producendo un %, 4 % y 3 % de undades defectuosas, respectvamente. (a) Qué porcentaje de pezas defectuosas produce la empresa? (b) Calcular la probabldad de que, elegda una peza al azar, haya sdo producda por la prmera máquna o no sea defectuosa. Probabldades a pror y a posteror: Los sucesos A de un sstema completo de sucesos pueden nterpretarse como causas que nfluyen en un suceso cualquera B, por lo que las P (A ) recben el nombre de probabldades a pror. Sn embargo, estas probabldades P (A ) pueden verse modfcadas por la ocurrenca del suceso B, obtenendo las probabldades a posteror, P(A / B). EE I 5

153 TEOREMA DE BAYES: Sea A, A,..., A n un sstema completo de sucesos y sea B un suceso cualquera. Entonces: P (A j / B) n P (A j ).P (B / A P (A ).P (B / A ) j ) Ejemplo: Tenemos dos urnas, una con 3 bolas blancas y negras, y la otra con bolas blancas y 3 negras. Se seleccona una urna al azar y extraemos una bola. (a) Cuál es la probabldad de que la bola sea blanca? (b) Determnar la probabldad de que la bola selecconada proceda de la ª urna, sabendo que fue blanca. EE I 53

154 Estadístca Empresaral I Tema 6 Estadístca de Atrbutos EE I - Carlos G. García González - ULL 54

155 Introduccón Este tema se va a centrar en el estudo de los caracteres de los ndvduos de la poblacón que no pueden medrse numércamente, denomnados cualtatvos o atrbutos. Atrbutos: A, B, C,... Modaldades: a, a,...; b, b,...; c, c,... Ejemplos: Sexo, profesón o naconaldad. El estudo de los atrbutos es de gran nterés en campos como el Marketng o el Dseño de Encuestas, ya que en muchas ocasones no es aconsejable hacer preguntas en las que el encuestado tenga que cuantfcar. Ejemplo: A Tpo de mercancía exportada por cada empresa Tenen sentdo las frecuencas acumuladas? Y las prncpales meddas de poscón: meda, medana y moda? a n f Benes de consumo Benes de captal Benes ntermedos 0 0 EE I 55

156 Tabla de contngenca En el caso bdmensonal (A, B), podremos plantearnos el estudo del grado de asocacón exstente entre ambos atrbutos. Para ello, habrá que dsponer los datos en una tabla de doble entrada denomnada tabla de contngenca. A \ B b b... b j... b k n. Dstrbucones margnales a n n... n j... n k n. a n n... n j... n k n. : : : : : : : : a n n... n j... n k n. : : : : : : : : a h n h n h... n hj... n hk n h. n.j n. n.... n.j... n.k a n. a n. a n. : : a h n h. b j n.j b n. b n. : : b k n.k h k n. n.j j j h k n j EE I 56

157 Independenca De análoga forma al caso de las varables, podemos decr que, dados dos atrbutos A y B: A y B son ndependentes n j n. n.j, j n j n. n. j, j Frecuenca observada F.O. n j Frecuenca teórca F.T. n' j n. n.j Así: A y B son ndependentes F.O. F.T., j Se verfca, además, que: h k j n' j EE I 57

158 Tablas de contngenca x A contnuacón, vamos a tratar de obtener un coefcente que cuantfque el grado de asocacón entre dos atrbutos, en el caso en que los dos atrbutos presenten dos modaldades. A \ B b b n. a n n n. a n n n. n.j n. n. Q de Yule: Coefcente que permte medr la asocacón entre dos modaldades de dferentes atrbutos, a y b j..hj Qj, ; j n n + n n sendo H F.O. F.T., Q j 0 (H j 0) Independenca entre a y b j. Q j > 0 (H j > 0) Exste atraccón o asocacón postva entre a y b j Q j < 0 (H j < 0) Exste repulsón o asocacón negatva entre a y b j EE I 58

159 Para medr el grado de asocacón, se suele utlzar más el coefcente Q de Yule que H, debdo a que este últmo no se encuentra acotado y el prmero sí. Repulsón completa entre ambas modaldades Q Además, se va a verfcar que: Atraccón completa entre ambas modaldades () La atraccón entre a y b mplca una atraccón entre a y b y una repulsón entre a y b, y a y b. () La repulsón entre a y b mplca una repulsón entre a y b y una atraccón entre a y b, y a y b. Ejercco: Comprobar que H H - H - H. Ejemplo: A contnuacón se ndca la dstrbucón de 50 personas según sexo y su condcón de fumador/no fumador. Determnar el grado de asocacón entre: Fuma/Sexo H M n. Sí 0 3 o 6 8 n.j (a) (b) (c) (d) mujer y no fumador. hombre y no fumador. hombre y fumador. mujer y fumador. EE I 59

160 Tablas de contngenca hxk En este apartado se tratará de obtener algún coefcente que permta medr el grado de asocacón entre dos atrbutos A y B, con h y k modaldades, respectvamente. Coefcente de contngenca χ de Pearson χ h k (n j n' n' j ) j j j j j h k n n' j h k F.O. F.T. Propedades: () χ 0 Coefcente de contngenca C de Pearson C χ χ + () χ no está acotado superormente. Propedades: () 0 C () C 0 Independenca entre los atrbutos. (3) C Perfecta asocacón entre los atrbutos (Sólo se logra s los atrbutos tenen nfntas modaldades). EE I 60

161 Coefcente de contngenca T de Tschuprow T (h χ )(k ) Propedades: () 0 T, sea cual sea el número de modaldades de cada atrbuto (h y k). () T 0 Independenca entre los atrbutos. (3) T Perfecta asocacón entre los atrbutos. Ejemplo: La sguente tabla recoge la dstrbucón de las calfcacones del prmer parcal de EEI del curso 9/9 para los 398 alumnos matrculados, tenendo en cuenta el grupo al que pertenecen. Curso / ota Susp. Aprob. otab. Sobre. Total º A º B º C º D Total Dscutr la asocacón entre el grupo de cada alumno y la calfcacón obtenda. EE I 6

162 Correlacón ordnal Exste un tpo de atrbutos que, aunque no se puedan medr numércamente, son susceptbles de algún tpo de ordenacón. Estaremos, pues, ante un atrbuto jerarquzado, que se caracterza porque entre sus modaldades se puede establecer una ordenacón o clasfcacón, según dos crteros dferentes de ordenacón. La correlacón ordnal parte de un atrbuto A cuyas modaldades están jerarquzadas, y se centra en el estudo del grado de concordanca exstente entre los dos crteros de ordenacón (X e Y) establecdos sobre las modaldades de dcho atrbuto. Ejemplo: Órdenes de preferenca de dos jueces X e Y sobre 5 canddatas en un concurso de belleza. PEPA MARY LOLA PACA ROSA X Y EE I 6

163 Correlacón por rangos de Spearman Sea A el atrbuto jerarquzado según los crteros X e Y. Coefcente de correlacón ordnal o por rangos de Spearman ρ 6 3 d d x y ota: La expresón de ρ se puede deducr a partr de la defncón del coefcente de correlacón lneal r. ρ ρ ρ Así pues: - ρ 0 d 0,,,..., x y, Dsconcordanca perfecta Independenca,,..., Concordanca perfecta x y, x y -,..., x - y, x y EE I 63

164 Correlacón por rangos de Kendall Sea A el atrbuto jerarquzado según los crteros X e Y. Coefcente de correlacón por rangos de Kendall τ S.( ) Se basa en el concepto de nversón de los rangos respecto al orden natural. Para determnar el valor de S, procedemos como sgue: () Se ordena uno de los crteros de forma crecente, X por ejemplo, dando lugar a X* y obtenendo, a la vez, un determnado orden para el otro crtero, Y*. () Se compara cada rango Y * con cada rango posteror Y j *, obtenendo un valor f j de una funcón que asgna el valor + s Y * < Y j * y un - s Y * > Y j *. ( ) (3) Fnalmente: S fj max S ( ) + ( ) + K+ + < j Así pues, - τ. Exste concordanca s τ >0 y dscordanca s τ <0. Ejemplo: Para el ejemplo anteror, hallar el coefcente τ e nterpretarlo. EE I 64

165 Informacón real del IPC Ponderacones empleadas para determnar el IPC naconal y el IPC de Canaras en el año 003. () Almentos y bebdas no alcohólcas () Bebdas alcohólcas y tabaco 9,3 4,36 3,8 9,93 Ponderacones empleadas para el IPC (3) Vestdo y calzado 98,99 83,64 50,00 (4) Vvenda 06,84 00,45 00,00 (5) Menaje (6) Medcna (7) Transporte (8) Comuncacones (9) Oco y cultura 64,0 7,53 53,3 7,35 68,34 67,08 34,76 63,89 7,4 77,6 50,00 00,00 50,00 0, IPC aconal IPC Canaras (0) Enseñanza 6,75 9,8 () Hoteles, café y restaurante,8 06,7 () Otros 73,93 65, EE I 65

166 IPC aconal con base 00 0/0 0/0 03/0 04/0 05/0 06/0 07/0 08/0 09/0 0/0 /0 /0 0,3 0,4 0, 03,6 03, , 03,5 03,9 04,9 05, 05,5 0/03 0/03 03/03 04/03 05/03 06/03 07/03 08/03 09/03 0/ , 06 06,8 06,7 06,8 06, 06,6 06,9 07,7 Gráfco de evolucón del IPC entre EE 0 y OCT 03 Índce con base nov-0 feb-0 may-0 sep-0 dc-0 mar-03 jun-03 oct-03 ene-04 Meses IPC aconal IPC Canaras EE I 66