Cuaderno de actividades 4º ESO

Transcripción

1 Estadístca Undmensonal 1 Conceptos báscos. Cuaderno de actvdades º ESO Cualquer elemento o ente que sea portador de nformacón sobre alguna propedad en la cual se está nteresado se denomna ndvduo. El conjunto de todos los ndvduos en los que se desea estudar alguna propedad o característca se llama poblacón. Todo subconjunto fnto de la poblacón sobre el que se realce el estudo de la propedad deseada, es una muestra. Al número de ndvduos de este subconjunto se le llama tamaño de la muestra. Ejemplo 1. Para estudar la evolucón del cáncer de mama en la poblacón femenna de un país, se puede consderar que ndvduo es cada una de las mujeres resdentes en el msmo, poblacón es el conjunto de todas ellas y una muestra se obtene al observar el 1% del censo. Con mucha frecuenca se consderan como poblacón y muestra, no los conjuntos de ndvduos, sno las meddas de la característca asocadas a esos ndvduos. Ejemplo. En un banco de sangre se expermenta un nuevo sstema para aumentar el período de conservacón de la msma. En este caso cada bolsa de sangre es un ndvduo; la poblacón es el conjunto de todas las bolsas del banco y una muestra se obtene tomando un certo número de bolsas para su análss. Obsérvese que el concepto de ndvduo no va asocado necesaramente con el de persona, sno que puede ser algo de naturaleza más abstracta. Clasfcacón de los datos. Cuando los datos, es decr los resultados de las observacones, no son magntudes medbles numércamente, sno cualdades o atrbutos, se dce que se trata de datos cualtatvos, mentras que en caso contraro se habla de datos cuanttatvos. Ejemplo. Se observan las causas de muerte de 16 ndvduos de una certa poblacón, agrupándolas en las cuatro sguentes: enfermedades cardovasculares (EC), cáncer (C), accdentes (A) y otras causas (O), habéndose obtendo los sguentes datos: EC, EC, A, C, O, A, EC, A, O, C,EC, C, O, C y EC. Como los resultados no son medbles numércamente, los datos son cualtatvos. Ejemplo. Las notas obtendas en Matemátcas en una clase de COU han sdo:, 7,, 6,,,,, 8,,, 6, y 8.. Se trata de datos cuanttatvos. A su vez los datos cuanttatvos se denomnan contnuos s los resultados pueden tomar cualquer valor real dentro de un certo ntervalo, o dscretos, s sólo pueden tomar certos valores partculares. Ejemplo. Del estudo de la estatura de un certo núcleo de poblacón se han obtendo los sguentes datos: 1.6, 1.78, 1.7, 1.8, 1.8, 1.68 y 1.81metros. Son datos contnuos, pues los ndvduos de una poblacón pueden tener como estatura cualquer número real en un certo ntervalo. Ejemplo 6. Del alumbramento de un conjunto de ratas se ha observado el número de crías, obtenéndose los sguentes valores numércos:,, 1,,, 6,,,, 6,, 6,,, 6, 7 y. Por no ser posbles números no naturales, es evdente que se trata de datos cuanttatvos dscretos. Es decr los datos se clasfcan: Datos Cuanttatvos Contnuos Dscretos Cualtatvos 1 Se ncluyen los contendos, ya que no se estudaron el curso pasado en muchos grupos de º ESO s. Estadístca 1

2 Los datos pueden provenr del estudo de un sólo carácter o propedad (caso undmensonal) o de varos smultáneamente (caso multdmensonal). Varables estadístcas. Frecuencas. Los caracteres estadístcos de una poblacón son las propedades o cualdades de los ndvduos que nos nteresa estudar. Un carácter estadístco dvde a la poblacón en clases. A cada una de estas clases se la denomna modaldad. Cuando el carácter es cuanttatvo sus dversas modaldades son medbles, es decr se les puede asgnar un número. Defncón 1. Se llama varable estadístca a la aplcacón que a cada modaldad le hace corresponder ese número, es decr su medda. Ejemplo 7. En el ejemplo 6 la varable estadístca toma los valores: 1,,,,, 6 y 7. La varable estadístca será dscreta cuando sólo pueda tomar un nº fnto de valores y contnua cuando pueda tomar todos los valores de un certo ntervalo. Ejemplo 8. La varable estadístca del ejemplo es contnua y dscreta la del ejemplo 6. Defncón. Se llama frecuenca absoluta al número de ndvduos que toman un determnado valor de una varable estadístca (o una modaldad de un atrbuto). Para varables estadístcas (es decr, datos cuanttatvos) puede defnr: Defncón. Se llama frecuenca absoluta acumulada de un valor a la suma de las frecuencas absolutas de todos los valores menores o guales que él. Ejemplo. En el ejemplo 6 la frecuenca absoluta del (tener crías) es. La frecuenca absoluta acumulada del es. Defncón. Se llama frecuenca relatva a la razón entre la frecuenca absoluta y el número total de datos o tamaño de la poblacón. Defncón. Se llama frecuenca relatva acumulada de un valor de una varable estadístca a la suma de las frecuencas relatvas de todos los valores menores o guales que él. Ejemplo 1. La frecuenca relatva del es /17 y la relatva acumulada del es /17. Representacón de datos: Tablas. Las dos formas más comunes de representar los datos son las tablas y los gráfcos. Tablas estadístcas Las tablas estadístcas conssten en masas estructuradas de datos. Para la construccón de tablas de datos cuanttatvos pueden tratarse éstos ndvdualmente o agrupándolos en clases Tratamento ndvdual Para varable dscreta, o que sendo contnua tengamos pocos datos. Lo vemos con un ejemplo. Ejemplo 11. Las notas de los alumnos de una clase son:,,,, 6, 7,,,,,, 1,, 7,,,, 6,, Vamos a calcular una tabla: Varable Frecuencas absolutas Frecuencas relatvas estadístca x puntuales n acumuladas N puntuales f acumuladas F /1 / 1/1 1/1 1/ / / 1/1 /=1/ 7/ / 1/=7/1 17/ /=1 Estadístca

3 Ejercco 1. En un Insttuto hay matrculados alumnos que se dstrbuyen por edades en la forma sguente: 1 de 1 años, 7 de 1, 1 de 16, 6 de 17, 1 de 18, 1 de 1 y de. Formar la tabla de dstrbucón y de frecuencas, que ncluya frecuencas acumuladas. Tratamento por clases Cuando en la poblacón o muestra que estudamos exsten muchos valores dferentes, es convenente, aún a costa de perder algo de nformacón, dvdr el ntervalo de varacón en una sere de subntervalos que cubran el total; a cada uno de ellos se le llama una clase, a sus extremos, extremos de clase, al punto medo de cada clase, marca de clase y a la dferenca entre sus extremos, ampltud de la clase. Lo vemos con un ejemplo. Ejemplo 1. Se ha pasado un test de 7 preguntas a 6 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la sguente tabla: ntervalos m f. abs. puntual f. abs. acumulada f. rel. puntual f. rel. acumulado [, 1) [1, ) [. ) [, ) [, ) [, 6) [6, 7) [7, 8) /1 1/1 1/8 / 7/ 17/1 /1 1/ /1 1/6 7/ /1 7/6 1/1 17/1 1 Ejemplo 1. En una Caja de Reclutamento se toma una muestra de tamaño de los pesos de los mozos correspondentes a un certo reemplazo, obtenéndose los sguentes datos meddos en kg: 71., 6., 6., 7., 78., 7.7, 71., 6., 6., 68., 88., 76.1, 8.1, 6.7, 7.8, 67.,.1, 6., 66.1, 7., 7.1,.8,.7, 8.7, 61., 6.,.7, 7.7, 6., 7.. Construr una tabla de frecuencas agrupando los datos en clases de la msma ampltud. Solucón S ben no es estrctamente necesaro, en general, es convenente ordenar los datos de menor a mayor. A contnuacón se presenta la msma muestra ordenada: 7.,.1,.7,.8, 6., 6., 61., 6., 6.7, 6., 6., 66.1, 67., 68., 6., 7.7, 71., 71., 7.1, 7., 7., 7.7, 76.1, 78., 7.8, 8.7, 8.1, 88.,.7, 6.. Como los valores extremos son 7. y 6. y el número de clases aconsejado para estos datos es 6 (aplcando la fórmula de Sturges), tomaremos 6 ntervalos de ampltud 1, la tabla queda estructurada de la sguente manera: clases Marcas de frecuencas absolutas Frecuencas relatvas Estadístca

4 clase de clase acumuladas de clase acumuladas Ejercco. El número de personas que vven en cada uno de los portales de una gran barrada es:: 6, 8, 7, 7, 1, 76, 8,, 8, 7, 6, 77, 1, 7, 78,, 11, 88, 67, 8, 87,, 1, 7,, 8, 7,, 8, 67, 8, 7,, 11, 8, 71, 66, 87, 76, 6, 77, 8,, 1, 6, 6, 78, 67, 6,, 6,, 8, 76,, 76, 8,, 87, 6, 8, 6, 6, 6, 6, 68,, 16. Construye una tabla de frecuencas. Seres cronológcas Se Llaman seres cronológcas a unas tablas estadístcas que recogen observacones hechas a lo largo del tempo, normalmente a ntervalos guales. Es por tanto una sere estadístca en que la varable ndependente es el tempo. Hay dos tpos: flujo cuando sus valores se dan en ntervalos y son el resultado de acumular todas las observacones realzadas durante ese período; y nvel s las observacones son nstantáneas. Ejemplo 1. El número de médcos colegados en España en el período de 18-1: Ejercco. La produccón edtoral española de lbros de socología y Estadístca, en los años que se ndca es: Años nº Hacer una tabla de frecuencas absolutas y relatvas puntuales. Expresar la relatva en porcentajes. Representacón de datos: Gráfcos. Aunque la varable es dscreta convene agruparlos en clases ya que hay un número muy grande de datos. Estadístca

5 Los gráfcos no son más que traduccones a un dbujo del contendo de las tablas. La fnaldad de los gráfcos estadístcos es que la nformacón esté al alcance de personas no expertas, que entre por los ojos. Los hay de muy dversos tpos pero todos son muy fácles de nterpretar. Varables cualtatvas Los más usados son los dagramas de rectángulos ( de barras) y los de sectores Este Oeste Norte 1er trm. do trm. er trm. to trm. Ejercco. El censo, en mles de cabezas, del ganado en el terrtoro español, en 1 fue: Ganado Número de cabezas Bovno Ovno 187 Caprno 61 Porcno 18 Caballar 6 Mular 1 Asnar 16 Dbujar un dagrama de sectores y otro de rectángulos. Varables cuanttatvas. Dstnguremos entre varable dscreta o contnua. Tratamento ndvdual Para el tratamento ndvdual los medos de representacón más utlzados son el gráfco (o dagrama) de barras, el polígono de frecuencas y los gráfcos acumulatvos. Dagrama de barras: Se asoca a una tabla de frecuencas ya sea absoluta o relatva. Sobre un eje horzontal se representan los valores dscretos que toman los datos y sobre cada uno de ellos se coloca una barra vertcal (o un rectángulo) de longtud (altura) proporconal a la frecuenca. Ejemplo 1. Vamos a hacer un dagrama de barras de frecuencas absolutas para el ejemplo 6. f fgura 1 En ocasones se superponen dos o más dagramas para comparar datos: Ejemplo 16: Produccón y venta de automóvles en España: Estadístca

6 produccón venta exportacón Polígono de frecuencas: Como el anteror se asoca a una tabla de frecuencas. Se representan en un sstema cartesano los puntos aslados y luego se unen por medo de segmentos (polgonal). Se usa sobre todo para frecuencas acumuladas (fgura 1). Tambén para seres cronológcas. Ejercco. La esperanza de vda al nacmento ha evoluconado desde 1, como se refleja en la tabla sguente: Años Varones,,, 8, 7,1,8 67, 6,6 7,6 Mujeres,7,6,1 1,6, 6, 7, 7,1 78,6 Dbujar los polígonos de frecuencas superpuestos para poder compararlos. Gráfcos acumulatvos: Se construye a partr del msmo eje horzontal del gráfco de barras, llevando sobre cada valor dscreto una vertcal de longtud proporconal a la frecuenca acumulada, absoluta o relatva, de dcho valor. Se suele completar el gráfco dándole forma de una escalera de peldaños horzontales. Ejemplo 16. Gráfco de barras acumulatvo Tratamento por clases Estadístca 6

7 Cuando las varables son contnuas, o dscretas agrupadas, los gráfcos que más se utlzan son: el hstograma de frecuencas y los polígonos de frecuencas (absolutas o relatvas) Hstogramas de frecuencas. Sobre el eje de abscsas se marcan los extremos de las sucesvas clases y con base en cada clase se dbuja un rectángulo de altura proporconal a la frecuenca (absoluta o relatva) observada en dcha clase fgura Fgura Ejercco 6. En la sguente tabla se presenta la dstrbucón por edades del número de muertes regstradas en España (datos hasta el --) a causa del SIDA. Edad en años < Nº de muertes a) Construye la tabla de frecuencas relatvas agrupando los datos en las sguentes categorías de edad: -, 1-1, -, -, -, - y 6-6 años. b) Representa gráfcamente la nformacón obtenda en el apartado a) medante un hstograma. Polígono de frecuencas Se asoca a cada clase un punto del plano cartesano, de abscsa el valor de la marca de clase y de ordenada la frecuenca observada en dcha clase. Unendo los puntos resulta una línea quebrada que se denomna polígono de frecuencas (fgura ) Polígono de frecuencas acumuladas. Partendo del valor cero en el extremo zquerdo de la prmera clase, el polígono acumulado va tomando en los sucesvos extremos derechos de las clases un valor gual a la frecuenca acumulada. Unendo los puntos así obtendos resulta el polígono acumulatvo de frecuencas (fgura ). Esta sere cronológca es un flujo. Estadístca 7

8 1 fgura Ejercco 7. Los jugadores de un determnado equpo de baloncesto se clasfcan, por altura, según la tabla sguente: Altura 1,7-17 1,7-1,8 1, ,-1, 1,-, Nº de jugadores 1 8 Dbujar el polígono de frecuencas absolutas acumulatvo. Parámetros estadístcos. Las tablas estadístcas son una forma organzada de dar toda la nformacón, todos los datos de que dsponemos. Con las gráfcas estadístcas se perde algo de nformacón, pero el mensaje entra por los ojos, que es lo que se pretende. En cualquera de los dos casos, la cantdad de datos que se dan es excesva para que sea operatvo, por ejemplo para la comparacón con otras dstrbucones. Por ello se defnen los parámetros estadístcos, que nos van a servr para resumr en números aspectos relevantes de la dstrbucón, que puedan dar una dea de la msma o permtr compararlas con otras. Clases de parámetros estadístcos Meddas de centralzacón: meda (ya conocda), moda (el valor que se presenta con más frecuenca) y medana (el valor del ndvduo que ocuparía el lugar central sí se colocaran ordenados de menor a mayor). Tenen como msón representar con un número a la sere estadístca bajo el punto de vsta de su poscón. Meddas de dspersón: rango o recorrdo, desvacón meda, varanza, desvacón típca, coefcentes de Pearson... Srven para medr el grado de alejamento de los datos respecto de una medda central. Meddas de poscón: cuartles, decles, centles o percentles. Señalan la stuacón de algunos valores mportantes de la dstrbucón. En la ordenacón que se hzo para la medana se llaman cuartles prmero, segundo y tercero a los que superan exactamente al %, % y 7% de los valores. El segundo cuartl es la medana. Para su obtencón se usan los dagramas de cajas Para el cálculo práctco de muchos parámetros estadístcos se utlzan tablas que facltan dchos cálculos. Utlzaremos dos tpos que llamamos Tabla I y Tabla II. Las vemos, así como las fórmulas para hallar los parámetros estadístcos más usuales, en los ejemplos resueltos. Ejemplo 17. Construr la tabla I con los datos del ejemplo 11 Estadístca 8

9 x n x n x x x x n ( x x) ,6,6 1,6,6,,,, 7,, 1, 1,7 7, 1, 1,6 7,,7,,1, 18, ( x x) n, 1,6,,8,6 16,6 6,76 Observacón. Para esta tabla se necestaba la meda : n = x x = /=,6 n Ejemplo 18. Construr la tabla II con los datos del ejemplo 1. clases Marcas de clase x frecuenca n x n x x n Ejemplo 1. a) Hallar la meda y la varanza de la varable cuyos valores y frecuencas absolutas venen dadas en la tabla adjunta Valores de la varable 8 7 frecuencas b) Representar gráfcamente los datos en un dagrama de barras. Solucón a) la meda es: La varanza: x x ( n = ) x n σ = n n x, foma que se usa en la tabla II x n 1 1 x n 16 1 x 16 x n 6 7 Se tene : 8 x = =, σ = (,87) =,6 1 b) Estadístca

10 tabla: Ejercco 8. Los pacentes que acuden a una consulta médca se dstrbuyen, según la edad, en una X(edad) [, 1) [1, ) [,) [, ) [, ) [,6) N (frecuenca) Se pde: a) El hstograma de frecuencas. b) La meda, desvacón típca, medana y moda. c) Porcentaje de pacentes menores de años que acuden a la consulta. Ejemplo. Completar los datos que faltan en la sguente tabla estadístca, donde f, F y f r representan, respectvamente, la frecuenca absoluta, acumulada y relatva: x f F f r 1,8 16,16 7, b) Calcula la meda, medana y moda de esta dstrbucón Solucón 8 a) La frecuenca relatva de 1 es,8 = N, de donde N =, lo que nos permte completar la tabla. x f F f r 1,8 8,8 8 16,16 7,1 8, , 7 7,1 8,1 b) la meda x =,76; la medana es y la moda es 6. Estadístca 1

11 Ejercco. a) Hallar la meda y la varanza de la varable cuyos valores y frecuencas absolutas venen dadas en la tabla adjunta Valores de la varable 8 7 frecuencas b) Representar gráfcamente los datos en un dagrama de barras. Ejemplo 1. Se consdera una dstrbucón de datos agrupados en ntervalos cuyo polígono de frecuencas acumuladas es el de la fgura Calcula: a) Tabla de dstrbucón de frecuencas acumuladas. b) la meda. Solucón a) x n N = b) x = 6 Ejercco 1. En la fabrcacón de un certo tpo de clavos, aparecen un certo nº de ellos defectuosos. Se han estudado lotes de clavos cada uno obtenendo: Clavos defectuosos nº de lotes a) Calcular la medana y la desvacón típca. b) Dbuja un dagrama de barras. Estadístca 11

12 Estadístca es decr Ejemplo. Representa medante un dagrama de cajas las sguentes calfcacones de alumnos.,,,,,,,,,,,,,,,, 7, 7, 7, 8, 8 Como es múltplo de, : =, Q 1. M e y Q., serán los valores que hay entre el º y 6º, 1º y 11º, 1º y 16º, Q 1 =,, M e = y Q =7 Ejercco 11. Los pesos de un grupo de alumnos de º Bach son: 6, 8, 7, 7, 6, 76, 8,, 8, 7, 6, 77, 8, 77, 78,, 7, 88, 67, 8, 87,, 8, 7,, 8, 7,, 81, 67, 8, 7, 6, 71, 8, 71, 66, 87, 76, 6, 77, 8, 7, 67, 6, 6, 78, 67, 6, 6, 6, 8, 8, 76,, 76, 78,, 87, 6, 8, 6, 6, 6, 6, 68, 6, 6. Representa la dstrbucón medante un dagrama de caja. Ejemplo. En el estudo de un certo fenómeno se obtene la sguente tabla: x n Calcula los cuartles Q 1 y Q correspondentes..haz un dagrama de caja. Solucón x n N Se tene: n = 1, y = 6, que corresponde al dato 1;.6=78, correspondente al dato Luego: Q 1 =1, Q = Estadístca 1