3.3 Caracterización de grupos: Estadísticos de forma de la distribución

Transcripción

1 3.3 Caracterzacón de grupos: Estadístcos de forma de la dstrbucón 1. Smetría 2. Apuntamento o curtoss 3. Descrpcón estadístca de una varable: tabla resumen Ya ha sdo abordado en temas precedentes el análss de la forma de la dstrbucón de frecuencas desde una apromacón gráfca. De hecho, se trata de la forma más drecta e ntutva de hacerse una dea acerca de la forma de la dstrbucón de una varable. Como se vo en su momento, conocer la forma de una dstrbucón resultaba mportante, por ejemplo, a la hora de decdr qué estadístcos de poscón y dspersón era oportuno aplcar con varables cuanttatvas. En cualquer caso, el eamen de la forma de la dstrbucón de una varable va a aportar nformacón relevante por sí msma a la hora de descrbr esa varable. Ejemplo: Qué nos dce la forma de la dstrbucón de la varable Salaro actual que se muestra en el sguente hstograma? Profs. J. Gabrel Molna y María F. Rodrgo 1

2 En este tema se presentan dversos índces que permten cuantfcar esa forma de la dstrbucón, en concreto, dos facetas de la msma: la smetría y el apuntamento (o curtoss). 1. Smetría La smetría de una dstrbucón de frecuencas hace referenca al grado en que valores de la varable, equdstantes a un valor que se consdere centro de la dstrbucón, poseen frecuencas más o menos guales. Cuanto más smlares sean, más smétrca será la dstrbucón; cuanto más dstntas, más asmétrca. Es un concepto que resulta más ntutvo de comprender a nvel vsual, especalmente, s se observa una representacón gráfca de la dstrbucón de frecuencas de la varable (gráfco de barras, hstograma ). Ésta será smétrca s la mtad zquerda de la dstrbucón es la magen especular de la mtad derecha. Ejemplos de dstrbucón smétrca: Meda y medana concden en las dstrbucones smétrcas. S sólo hay una moda (dstrbucón unmodal), el valor de ésta tambén será gual a las dos anterores En dstrbucones unmodales, el nvel de smetría se suele descrbr de acuerdo a tres grandes categorías: dstrbucones smétrcas, dstrbucones asmétrcas postvas (o asmetría a la derecha) y dstrbucones asmétrcas negatvas (o asmetría a la zquerda). Tomando como eje de referenca a la moda, estas categorías de asmetría venen defndas por el dferente grado de dspersón de los datos a ambos lados (colas) de ese eje vrtual. La cola más dspersa en el lado de los valores altos de la varable caracterza a la asmetría postva; s en el lado de los más bajos, a la asmetría negatva; y s la dspersón es gual o muy smlar a ambos lados, a una dstrbucón de frecuencas smétrca. Profs. J. Gabrel Molna y María F. Rodrgo 2

3 Frecuenca Frecuenca Estadístcos de forma de la dstrbucón T. 5 En caso de asmetría, los valores de la meda, de la medana y de la moda dferen. En concreto, s la asmetría es postva: X > Mdn Mo; s negatva: X < Mdn Mo. Ejemplo de las puntuacones de un grupo de sujetos en un test de habldades socales antes, durante y después de recbr 6 sesones de entrenamento en habldades socales. Antes ( X =3,26; Mdn=3; Mo=2) Durante ( X =4,97; Mdn=5; Mo=5) Después ( X =6,67; Mdn=7; Mo=8) A contnuacón se presentan dferentes índces estadístcos que permten cuantfcar el grado de smetría de una varable. Destacar antes que para varables categórcas no tene sentdo el plantear este tpo de índces, dado que no este un orden ntrínseco a los valores de la varable. Ver, por ejemplo, los dos gráfcos de barras de una msma dstrbucón de frecuencas de la varable Estado cvl en las que lo únco que se ha cambado es la poscón de las barras: Vudo/a Separado/a Soltero/a Casado/a Estado cvl 0 Soltero/a Casado/a Separado/a Vudo/a Estado cvl Casos ponderados por Frec_abs Casos ponderados por Frec_abs Profs. J. Gabrel Molna y María F. Rodrgo 3

4 1.1. Varables ordnales: el índce de asmetría ntercuartl El índce de asmetría ntercuartl se basa en las dstancas entre los cuartles a fn de establecer un resumen de la asmetría de la dstrbucón. La fórmula es la sguente: As Q Q 3 1 ( Q Q ) ( Q Q ) Q Q 2Q Q Q Q Q Interpretacón: oscla entre -1 y 1, lo cual faclta su comuncacón y comprensón. Q 1 Q 2 Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 Q 3 Q 2 < Q 2 Q 1 Q 3 Q 2 = Q 2 Q 1 Q 3 Q 2 > Q 2 Q 1 As Q3-Q1 < 0 Asmetría As Q3-Q1 = 0 Smetría As Q3-Q1 > 0 Asmetría + Ejercco 1: Obtener el As Q3-Q1 para las dstrbucones de frecuencas de 3 grupos de 100 casos cada uno (A, B y C) que, en el desarrollo de una nvestgacón, cumplmentaron un test que constaba de 10 ítems, cada uno de los cuales era valorado con 1 punto s estaba ejecutado de forma totalmente correcta, un 0 en cualquer otro caso. La puntuacón en el test para cada sujeto se obtenía como suma de las puntuacones de los ítems, pudendo por tanto osclar entre 0 y 10 (aunque la varable podría consderarse como cuanttatva, asúmase para este ejercco que es ordnal). Obtener tambén los respectvos gráfcos de caja y bgotes. Grupo A Grupo B Grupo C Nota n n n Profs. J. Gabrel Molna y María F. Rodrgo 4

5 1.2. Varables cuanttatvas: el coefcente de asmetría de Fsher. Estadístcos de forma de la dstrbucón T. 5 El coefcente de asmetría de Fsher se basa en las desvacones de los valores observados respecto a la meda. La fórmula para su cálculo es la sguente: As F n 1 ( X X) n S 3 X 3 (versón para dstrbucón de frecuencas: As F n ( X X ) n S 3 X 3 ) Interpretacón: los valores menores que 0 ndcan asmetría negatva; los mayores, asmetría postva; y cuando sea 0, o muy prómo a 0, smetría. No está lmtado a un rango de valores. El coefcente de asmetría de Fsher es precsamente el que obtene el paquete estadístco SPSS cuando se le solcta el cálculo de la asmetría de una varable. Obtendremos tambén con este programa, por defecto, el valor del error típco asocado a este estadístco, un concepto que se tratará más adelante (ver fgura a contnuacón). Sn embargo, convene señalar ya ahora que ambos valores nos van a permtr obtener un crtero más objetvo en la valoracón de la asmetría de la dstrbucón de una varable: s se dvde el valor del coefcente de asmetría de Fsher entre el correspondente error típco, se obtendrá un valor que: s es nferor a 2, se consdera como ndcatvo de dstrbucón asmétrca negatva; s entre 2 y 2, de dstrbucón smétrca, y s superor a 2, de dstrbucón asmétrca postva. Ejercco 2: Valora la smetría de la varable Nota meda de acceso a partr de la salda de SPSS obtenda para esta varable. Profs. J. Gabrel Molna y María F. Rodrgo 5

6 Escala mpulsvtat Estadístcos de forma de la dstrbucón T. 5 Acorde al tpo de varable que nos ocupa, el hstograma representa la mejor opcón en la vsualzacón de la smetría de una varable cuanttatva, s ben, el gráfco de caja y bgotes tambén consttuye una opcón válda para tal fn. A contnuacón se presenta un ejemplo con ambos tpos de gráfcos superpuestos (Barón-López, 2005) en que se muestran 3 varables que lustran dstrbucones con dferente nvel de smetría. Señalar que el gráfco de caja y bgotes aparece tumbado a la derecha, algo que no es habtual en la presentacón de este tpo de gráfco, aunque se ha consderado así en esta lustracón con fnes ddáctcos. s 78 % s 66 % s 78 % Tal como ya se destacó en el capítulo prevo, una ventaja mportante de los gráfcos de caja y bgotes es la facldad para representar varos de ellos conjuntamente y, en consecuenca, para realzar comparacones entre dferentes dstrbucones. Ejemplo con las puntuacones en un test de mpulsvdad para un grupo de sujetos ntrovertdos y para otro grupo de etravertdos en que se pone de manfesto como para los prmeros la varable es algo asmétrca negatva, mentras que para los segundos es asmétrca postva: N = 45 Introvertt 37 Etravertt Factor etraversó-ntroversó Profs. J. Gabrel Molna y María F. Rodrgo 6

7 2. Apuntamento (curtoss) El apuntamento o curtoss de una dstrbucón de frecuencas no tene un referente natural como en el caso de la smetría, sno que se sustenta en la comparacón respecto a una dstrbucón de referenca, en concreto, la dstrbucón normal o campana de Gauss. En consecuenca, su obtencón sólo tendrá sentdo en varables cuya dstrbucón de frecuencas sea smlar a la de la curva normal en la práctca ello se reduce, báscamente, a que sea unmodal y más o menos smétrca. El apuntamento epresa el grado en que una dstrbucón acumula casos en sus colas en comparacón con los casos acumulados en las colas de una dstrbucón normal cuya dspersón sea equvalente (Pardo y Ruz, 2002). Así, de forma análoga a la asmetría, se dferencan 3 grandes categorías de apuntamento: - Dstrbucón platcúrtca (apuntamento negatvo): ndca que en las colas hay más casos acumulados que en las colas de una dstrbucón normal. - Dstrbucón leptocúrtca (apuntamento postvo): justo lo contraro. - Dstrbucón mesocúrtca (apuntamento normal): como en la dstrbucón normal. Ejemplos gráfcos de estas tres formas de apuntamento en la dstrbucón: El coefcente de apuntamento de Fsher permte descrbr el apuntamento o curtoss de una dstrbucón de datos y se basa en las desvacones de los valores observados respecto a la meda. La fórmula para su cálculo es la sguente: Ap F ( X X) N S 4 X 4 3 (versón para dstr. de frecuencas: Ap F n ( X X ) N S 4 X 4 3 ) Profs. J. Gabrel Molna y María F. Rodrgo 7

8 Interpretacón: el valor de este coefcente para la dstrbucón normal será gual a 0, o sea que cualquer dstrbucón para la que se obtenga un valor de Ap F gual o prómo a 0 sgnfcará que su nvel de apuntamento es como el de la dstrbucón normal (mesocúrtca). Valores mayores que 0, epresan que la dstrbucón es leptocúrtca, mentras que s son menores que 0 ponen de manfesto que la dstrbucón es platcúrtca. No está lmtado a un rango de valores. Ejercco 3: Valorar la curtoss a partr del hstograma de la dstrbucón de la varable con las puntuacones en el test de habldades socales. En el msmo aparece superpuesta la curva suavzada de esta varable en el caso en que se dstrbuyese según la curva normal. El coefcente de apuntamento de Fsher es el que obtene el paquete estadístco SPSS cuando se le solcta el cálculo de la curtoss de una varable. Obtendremos tambén con este programa, por defecto (ver fgura a contnuacón), el valor del error típco asocado a este estadístco. Ambos valores nos van a permtr obtener un crtero más objetvo en la valoracón de la curtoss de la dstrbucón de una varable: s se dvde el valor del coefcente de apuntamento de Fsher entre el correspondente error típco, se obtendrá un valor que: s es nferor a 2, se consdera como ndcatvo de dstrbucón platcúrtca; s entre 2 y 2, de dstrbucón mesocúrtca, y s superor a 2, de dstrbucón leptocúrtca. Profs. J. Gabrel Molna y María F. Rodrgo 8

9 Ejercco 4: Valora el apuntamento de la varable Nota meda de acceso a partr de la salda de SPSS obtenda para esta varable. 3. Descrpcón estadístca de una varable: tabla resumen En este tema y los precedentes (temas del 2 al 5) se han presentado una sere de procedmentos estadístcos, tanto numércos como gráfcos, adecuados para descrbr y/o resumr los valores obtendos al medr una varable en un conjunto de casos. En la tabla sguente se resume esta nformacón clasfcada en funcón de la escala de medda de la varable que se desea descrbr. Gráfcos Tendenca central Varabldad Smetría Curtoss Categórca Gráfco de sectores Gráfco de barras Pctograma Ordnal Cuanttatva smétrca Polígono de frecuencas Gráfco de caja y bgotes Hstograma (sólo para varables contnua) Moda Medana Meda artmétca Índce de varacón cualtatva Rango (Ampltud) Rango ntercuartl Índce de asmetría ntercuartl Varanza Desvacón estándar Coefcente de varacón Cuanttatva asmétrca Medana Meda recortada Rango ntercuartl Coefcente de asmetría de Fsher Coefcente de apuntamento de Fsher Profs. J. Gabrel Molna y María F. Rodrgo 9

10 Referencas: Barón-López, J. (2005). Boestadístca: métodos y aplcacones. Apuntes y materal dsponble en Pardo, A. y Ruz, M. A. (2002). SPSS: Guía para el análss de datos. Madrd: McGraw-Hll. Profs. J. Gabrel Molna y María F. Rodrgo 10