UNIVERSIDAD DE SONORA

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1 UNIVERSIDAD DE SONORA Dvsón de Cencas Exactas y Naturales Departamento de Matemátcas Estadístca Aplcada a las Lcencaturas: Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva. Fascículo II: Estadístca Descrptva Dr. Francsco Javer Tapa Moreno

2 Prólogo. Este es el segundo olleto correspondente al Tema II de Estadístca Aplcada a las Lcencaturas: Negocos y Comerco Internaconales, Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva que se orecen de la Unversdad de Sonora. Los temas presentados aquí son congruentes con el programa vgente de la matera de Estadístca I del área económco- admnstratvo. En el segundo tema del programa ttulado Estadístca descrptva, el alumno conocerá y utlzará adecuadamente las herramentas de la estadístca descrptva para recoplar, organzar y analzar adecuadamente la normacón, construrá e nterpretará correctamente normacón gráca y tabular (ver seccones.1-.5). Calculará e nterpretará adecuadamente las meddas estadístcas de localzacón y dspersón; utlzará adecuadamente las meddas de tendenca central ante dversas stuacones presentadas; ntegrará las meddas de localzacón y dspersón en problemas relaconados con la toma de decsones; conocerá, utlzará e nterpretará un dagrama de dspersón y sobre la base del msmo, podrá decr s dos varables están correlaconadas o no (ver seccones.6-.8). Calculará el coecente de correlacón lneal smple y la recta de regresón en varables correlaconadas e Interpretará, sobre la base del problema a analzar, el sgncado del análss eectuado (ver seccón.9). Nuestro propósto al elaborar este segundo olleto, es dotar al alumno de las herramentas necesaras, apegada al programa vgente, para que el alumno por sí msmo, recople, organce, represente de manera gráca, analce e nterprete la normacón recabada ya sea por medo de una muestra o deun censo, y la utlce para la realzacón de toma de decsones. Además, deestudar,explorar y cuantcar la relacón entre varables cuanttatvaspara desarrollar una ecuacón lneal smple con nes predctvos. Este trabajo se stúa en el marco de un esuerzo colectvo realzado por el Departamento de Matemátcas por dotar al alumno del materal ddáctco necesaro para que éste optmce su proceso de enseñanza/aprendzaje/ormacón de las matemátcas. Hermosllo, Sonora, Méxco. Febrero de 011. Departamento de Matemátcas Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

3 Tema Pag. Tema II. Estadístca Descrptva Introduccón. 5.. Clases de datos Agrupamento en ntervalos Descrpcón de datos de una varable Tabulacón y representacón gráca. 7 Tablas de recuencas. 7 Datos Agrupados Representacones Grácas 9 Dagramas de recuenca medante puntos. 9 Grácas de línea. Dagrama de barras. 10 Hstogramas. 10 Polígono de recuencas. 11 Dagramas de tallo y hojas. 1 Dagramas de pastel o crculares. 1 Otras dstrbucones de recuencas y otros grácos. 13 Dstrbucones acumulatvas y polígonos acumulatvos. 13 Polígonos acumulatvos u Ojvas. 14 Dagramas de caja Meddas descrptvas de localzacón y dstrbucón Meddas de poscón o centralzacón. 16 La meda artmétca. 17 La medana. 18 Cuantles. 0 Cálculo de los cuartles 0 a) Para datos agrupados. 0 b) Para datos no agrupados. 1 Cálculo de Decles 1 a) Para datos agrupados. 1 b) Para datos no agrupados Cálculo de percentles. a) Para datos agrupados. b)para datos no agrupados La moda..6.. Relacón entre la Meda, la Medana y la moda. 4 Departamento de Matemátcas 3 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

4 .7. Meddas de Dspersón. 5 Coecente de varacón..8. Meddas de orma. 9 Coecente de dsmetría de Pearson. 30 Coecente de Asmetría de Fsher. 30 Curtoss o apuntamento. 31 Coecente de curtoss de Fsher Análss de regresón y correlacón lneal smple Introduccón al análss de regresón y correlacón lneal. 33 Regresón lneal. Correlacón lneal..9.. Grácos de dspersón Coecente de correlacón lneal Modelo de regresón lneal smple Ejerccos teórcos Ejerccos práctcos Lecturas recomendadas Bblograía recomendada para reorzar este tema Reerencas. 43 Departamento de Matemátcas 4 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

5 Tema II. Estadístca Descrptva..1. Introduccón. Habtualmente el propósto de la Estadístca Aplcada es el de sacar conclusones de una poblacón en estudo, examnando solamente una parte de ella denomnada muestra. Este proceso, denomnado Inerenca Estadístca, suele venr preceddo de otro, denomnado Estadístca Descrptva (ver el olleto 1), en el que los datos son ordenados, resumdos y clascados con objeto de tener una vsón más precsa y conjunta de las observacones, ntentando descubrr de esta manera posbles relacones entre los datos, vendo cuales toman valores parecdos, cuales deren grandemente del resto, destacando hechos de posble nterés, etc. Al hablar de estadístca descrptva, uno se reere a cualquer tratamento de datos que esté dseñado para resumr o descrbr algunas de sus característcas más mportantes sn ntentar deducr nada que escape al alcance de los datos. Tambén, entre los objetvos de la Estadístca Descrptva,está el presentar los datos de tal modo que permtan sugerr o aventurar cuestones a analzar en mayor prounddad, así como estudar s pueden mantenerse algunas suposcones necesaras en determnadas nerencas como la de smetría, normaldad, homocedastcdad (propedad undamental del modelo de regresón lneal), etc. El propósto de este tema es el de orecer los conceptos de la estadístca descrptva y explcar las técncas que permtan realzar ambos procesos a los cuales, de orma conjunta, se les suele denomnar Análss de Datos... Clases de datos. Como se menconó en el tema I (ver olleto 1), es habtual denomnar a los caracteres varables estadístcaso smplemente varables, calcándolas de cualtatvas o cuanttatvas según sea el correspondente carácter, y hablar de los valores de la varable al reerrnos a sus modaldades, aunque de hecho solamente tendremos verdaderos valores numércos cuando analcemos varables cuanttatvas. En ocasones, con objeto de acltar la toma de los datos, el nvestgador los agrupa en ntervalos. Así por ejemplo, resulta más sencllo averguar cuántos ndvduos hay en una muestra con una estatura, por ejemplo, entre 1.70 y 1.80 metros que medrlos a todos, en especal s tenemos marcas en la pared cada 10 cm. Note que sempre se producrá una pérdda de normacón al agrupar los datos en ntervalos y, dado que hoy en día la utlzacón de la computadora suele ser de uso común, un agrupamento en ntervalos es en general no aconsejable. Sn embargo, por razones docentes admtremos esta posbldad, ya que precsamente el agrupamento en ntervalos traerá complcacones adconales en el cálculo de algunas meddas representatvas de los datos. En este tema consderaremos, por tanto, tres tpos posbles de datos: 1) Datos correspondentes a un carácter cualtatvo) Datos sn agrupar correspondentes a un carácter cuanttatvoy 3) Datos agrupados en ntervalos correspondentes a un carácter cuanttatvo. Departamento de Matemátcas 5 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

6 .3. Agrupamento en ntervalos. S tenemos la opcón de poder agrupar los datos en ntervalos, lo prmero que debemos plantearnos (ndependentemente de lo que más arrba comentábamos) es la cuestón de cuántos y cuáles ntervalos elegr. Prevamente daremos algunas dencones mportantes. S los ntervalos que a menudo se le denomnan clases, son: x, x, x, x,, x, x,, x, j-1 j k-1 xk. Llamaremos ampltud del ntervalo j-ésmo a -x j j-1 x, j 1,, k, hablando de ntervalos de ampltud constante o varable, según tengan o no todos la msma ampltud. Llamaremos extremos de la clase j-ésma a x j-1 y a x j, y por últmo, llamaremos centro o marca de clase correspondente al ntervalo j-ésmo al punto medo del ntervalo, es decr, a En todo este seccón, consderaremos que el dato c x x j j-1 j. x pertenece al ntervalo j 1, j 1,...,k -1, sendo el j xk elk-ésmo dato. Hacemos notar tambén, que el prmer ntervalo y el últmo generalmente tenen, respectvamente, el extremo neror y el extremo superor ndetermnados con el propósto de nclur observacones poco recuentes. Respecto a la cuestón que nos planteábamos al comenzo de este apartado, podemos consderar como regla general la de construr, sempre que sea posble, ntervalos de ampltud constante o gual, sugrendo sobre el número k de ntervalos a consderar el propuesto por Sturges k 1 3.3log sendon el número total de datos. Una vez determnado el número k de ntervalos a consderar, y s es posble tomarlos de gual ampltud, esta será: n Ampltud X X ( n ) ( 1) k en donde x(n) es el dato mayor y x( 1 ) el menor..4. Descrpcón de datos de una varable. Durante el proceso de un expermento estadístco, por lo regular obtenemos una sucesón de observacones o datos (normalmente números) los cuales anotamos en el orden en que aparecen. Por ejemplo, las ventas realzadas por la tenda departamental Mazón los sábados y domngos durante el año pasado. Estos datos representan un ejemplo de una muestra tomada de una poblacón de los montos de todas las ventas realzadas durante el año. La muestra consste de 31 montos de ventas derentes, llamados valores de la muestra, aunque el tamaño de la muestra es de n 104. Departamento de Matemátcas 6 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

7 Antes de entrar en detalle, es mportante menconar que s en un expermento estadístco observamos al msmo tempo dos cantdades, por ejemplo las ventas realzadas durante el día y el número de personas que vstó la tenda durante ese día o, el peso y la estatura de las personas adultas, obtendremos una muestra en la que cada valor de la msma es una pareja ordenada de números. De la msma manera, s observamos o medmos tres cantdades, se obtendrán muestras que conssten de ternas ordenadas de números, generalzándose esta stuacón para más de tres cantdades. Cuando se tene un expermento estadístco donde exste una sola varable de nterés para ser observada, decmos que este expermento es un-varado. S en el expermento se tene nterés en observar más de una varable, decmos que el expermento es mult-varado. En esta seccón manejaremos sólo expermentos en donde se nvolucra una sola varable para ser observada Tabulacón y representacón gráca. En esta seccón se dscuten algunos métodos para obtener representacones tabulares y grácas de una sere de datos. Se muestra como grandes cantdades de datos pueden ser organzados y presentados de manera más ecaz en ormas de tablas y dagramas con el propósto de ntenscar el análss e nterpretacón de los datos, aspectos claves en la toma de decsones. Además, se dan a conocer los conceptos de recuencas absoluta, relatva y porcentual. Tablas de recuencas. El prmer paso al recoplar los datos, es determnar el número de veces con que se presentan los valores en la muestra y, resumrlos en una tabla llamada tabla de recuencas o dstrbucón de recuencas de tal manera que podamos dentcar su comportamento. Al número de veces que se presenta un valor recbe el nombre de recuenca absoluta o, más brevemente recuenca. Ejemplo.1 En una sucursal bancara de la localdad, se ha tomado el tempo de atencón en ventanlla a 0 clentes, durante sus operacones bancaras. Los regstros de los tempos y el número de clente en el orden en que éste llegó aparecen en la Tabla.1. TABLA.1.TIEMPOS DE ESPERA DE 0 CLIENTES EN UNA SUCURSAL BANCARIA. Clente Mnutos Podemos resumr los datos de la Tabla.1 como se muestran en la Tabla.. TABLA..DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS. Mnutos Frecuenca S dvdmos la recuenca entre el tamaño de la muestra n, obtenemos la recuenca relatva para esta cantdad observada en la muestra. Obtener las recuencas relatvas es muy útl cuando la cantdad de los datos observados es muy grande. Formalmente podemos denr la recuenca relatva de un valor dado, como la proporcón de ese valor. Ejemplo. En la Tabla.3 aparecen las recuencas relatvas para cada uno de los valores observados del Ejemplo.1. Departamento de Matemátcas 7 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

8 TABLA.3. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS. Mnutos Frecuenca Relatva S las recuencas relatvas se multplcan por 100% se obtenen las recuencas porcentuales para cada uno de los valores observados. Ejemplo.3 Las recuencas porcentuales de los valores observados en el Ejemplo. aparecen en la Tabla.4. TABLA.4. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PORCENTUALES Mnutos Frecuenca 5% 15% 30% 15% 0% 10% 5% Porcentual Datos Agrupados. Cuando en una muestra se tenen demasados datos es recomendable juntarlos en grupos o clases. A los datos resultantes se les llama datos agrupados. Cada grupo recbe el nombre de clase o ntervalode clase y la seleccón de estas clases es regularmente arbtrara además, su eleccón debe ajustarse a la exgenca de que no exstan clases vacías, de que cada observacón caga en una y sólo una clase y que su longtud o ampltud sea gual. Exsten órmulas para determnar el número recomendable de clases el cual depende del tamaño de la muestra. Ejemplo.4. La Tabla.5 presenta la cantdad de dnero gastada en electrcdad durante el mes de julo de 010, de 30 amlas de bajos recursos de una colona stuada al sur de la cudad de Hermosllo. TABLA.5. CANTIDAD DE DINERO GASTADA EN ELECTRICIDAD ($) Utlzaremos estos datos para construr una tabla de recuencas con clases o ntervalos adecuados. Como se tene una muestra con pocos datos podemos elegr pocas clases. Por ejemplo, 5. Podemos observar de la Tabla.5 que:1)el monto menor es de $8 y ) el monto mayor es de $13. S realzamos la derenca entre estos dos montos obtenemos la ampltud o rango de los datos dados. Así, el rango = 13-8 = 131 pesos; como se desean 5 clases, dvdmos el rango entre 5 y obtenemos que la ampltud de cada clase debe 131 de ser de 6. 0 pesos. Podemos escoger clases de $7 de ampltud y elegr el valor mínmo de $80 5 con el propósto de que el valor menor, y el valor mayor observados, no queden en el extremo de su respectva clase. Así, las clases con sus respectvas recuencas son las que se muestran en la Tabla.6. Departamento de Matemátcas 8 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

9 Mnutos Estadístca I Aplcada a la Admnstracón, Contaduría, Inormátca Admnstratva, Economía, Negoco y Comerco Internaconales TABLA.6. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA LOS DATOS DE LA TABLA.5. Clase o Intervalo de clase Marcas de clase Frecuenca Absoluta Frecuenca Relatva Frecuenca Porcentual De $80 a menos de % De107 a menos de % De 134 a menos de % De 161 a menos de % De 188 a menos de $ % TOTALES % Note que cada monto observado cae en una sola clase, y que las clases tenen la msma ampltud..5. Representacones Grácas Como se pudo observar en la seccón anteror, las tablas de recuenca son útles para la presentacón de los datos. Las grácas que de ellas surgen lo son aún más, ya que en ellas es muy ácl observar la dstrbucón de la normacón. Exsten varas ormas de representar grácamente las muestras y es sucente presentar estos métodos en térmnos de los ejemplos usados en la seccón.4. Dagramas de recuenca medante puntos. La Fgura.1 presenta el dagrama de puntos para la tabla de recuenca del Ejemplo.1. Este dagrama da una mejor dea del comportamento de los datos obtendos en la muestra. Tempo de atencón a clentes Número de clente Fgura.1 Dagrama de puntos de la muestra dada en la Tabla.1 Grácas de línea. La Fgura. presenta la gráca de línea para los datos de la Tabla..Estos dos tpos de grácas nos srven para echar unvstazo rápdo a los datos, con el propósto de observar su tendenca. Cuando se requere una gráca más detallada y ormal uno echa mano de los dagramas de barras y de los hstogramas. Departamento de Matemátcas 9 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

10 Mnutos de atencón Número de clentes Estadístca I Aplcada a la Admnstracón, Contaduría, Inormátca Admnstratva, Economía, Negoco y Comerco Internaconales 10 Tempo de atencón a clentes Mnutos de atencón Fgura.. Dagrama de línea de los datos de la Tabla. Dagrama de barras. En los dagramas de barras se utlzan rectángulos para representar grácamente los datos. La base de cada rectángulo del dagrama de barras representa una característca de los datos obtendos en la muestra y la altura del rectángulo sgnca la recuenca con que se do esta característca. Para dbujar un dagrama de barras, se marca en el eje horzontal las dstntas característcas que se encontraron en los datos obtendos y en el eje vertcal se marca la recuenca con que se do esa observacón y se trazan rectángulos separados por cada valor con la altura correspondente a cada recuenca.en el dagrama de la Fgura.3 podemos observar, por ejemplo, que un 0% de los clentes ueron atenddos en mnutos o menos, o que el 50% de los clentes realzaron sus operacones en 4 mnutos o más. Tempo de atencón a clentes % 5% 10% 15% 0% 5% 30% Porcentaje de clentes Fgura.3. Dagrama de barras para los datos de la Tabla.4. Hstogramas. Al gual que en los dagramas de barras, en un hstograma la base de cada rectángulo representa una clase o ntervalo de clase de los datos agrupados y la altura del rectángulo representa la recuenca o número de datos agrupados en esa clase. La únca derenca exstente entre estas dos grácas es que en el dagrama de barras los rectángulos están separados mentras que en el hstograma los rectángulos se unen.los hstogramas son Departamento de Matemátcas 10 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

11 Frecuencas relatvas Porcentaaje de amlas Estadístca I Aplcada a la Admnstracón, Contaduría, Inormátca Admnstratva, Economía, Negoco y Comerco Internaconales usados recuentemente cuando se trata de datos agrupados, y su presentacón puede varar un poco ya que el eje horzontal se puede marcar con los puntos extremos de cada una de las clases tal como se muestra en la Fgura.4 o ben con los puntos medos de cada una de las clases como se puede ver en la Fgura.5. Consumo de electrcdad $ $15 Cantdad de dnero en consumo Fgura.4. Hstograma para los datos de la Tabla.6. Note que tanto el hstograma con recuencas absolutas como el de recuencas relatvas tenen la msma orma, esto se debe a que las recuencas relatvas son proporconales a las recuencas absolutas y la eleccón de una u otra orma depende esencalmente del gusto personal. La derenca entre grácas de barras e hstogramas se basa en dstngur entre varables cuanttatvas y cualtatvas menconadas en la seccón 3. del Folleto 1. Consumo de electrcdad $ $15 Cantdad de dnero en consumo Fgura.5. Hstograma con recuencas relatvas para los datos de la Tabla.6. Polígono de recuencas. Un polígono de recuenca es el gráco lneal de una tabla de recuencas. Los ejes de este gráco son smlares a los del hstograma excepto que el punto medo de cada clase se dentca de manera característca a lo largo del eje horzontal (ver Tabla.6). El número de observacones o recuenca de cada clase es representado por un punto arrba del punto medo de esa clasey estos puntos son undos por una sere de segmentos de línea para ormar un polígono. En la Fgura.6 se muestra el polígono de recuencas porcentuales para los datos dados en la Tabla.4. Departamento de Matemátcas 11 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

12 Porcentaje de amlas Estadístca I Aplcada a la Admnstracón, Contaduría, Inormátca Admnstratva, Economía, Negoco y Comerco Internaconales Consumo de electrcdad 30% 5% 0% 15% 10% 5% 0% Cantdad de dnero en consumo Fgura.6. Polígono de recuencas porcentuales para los datos de la Tabla.6. Dagramas de tallo y hojas. Un dagrama de tallo y hojas es un ngenoso artco el cual orece una representacón parecda a un hstograma. La ventaja de estos dagramas es que no sólo revelan las recuencas, sno que contenen los datos reales. En la Fgura.7 aparece el dagrama de tallo y hojas para los datos de la Tabla.5. Tallo Hojas Fgura.7. Dagrama de tallo y hojas para los datos de la Tabla.5. Este dagrama podría hacerse un poco más claro s se ordenan los datos de menor a menor pero, cuando este mecansmo se hace a mano puede resultar demasado tedoso dependendo del tamaño de la muestra. Dagramas de pastel o crculares. Cuando en una tabla de recuenca, los datos están separados en categorías o por cualdades, recuentemente se utlza un dagrama crcular conocdo como dagrama de pastel el cual consste de un círculo dvddo en sectores que son proporconales en tamaño a las recuencas o porcentajes correspondentes. Para construr un dagrama de pastel se utlzan las recuencas porcentuales. La Fgura.6 muestra un dagrama de pastel para los datos de la Tabla.4. Departamento de Matemátcas 1 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

13 6 mnutos, 10% 7 mnuto, 5% 1 mnuto, 5% mnutos, 15% 5 mnutos, 0% 4 mnutos, 15% 3 mnutos, 30% Tempo de atencón a clentes Fgura.7. Dagrama de pastel para los datos de la Tabla.4. Otras dstrbucones de recuencas y otros grácos. Otros dos métodos útles para representar datos, los cuales acltan el análss y la nterpretacón, son las tablas de dstrbucón acumulatvas y los dagramas de polígonos acumulatvos mejor conocdos como ojvas. Estos grácos los podemos generar a partr de las tablas de dstrbucón de recuencas:1) absolutas, ) relatvas,o3) porcentuales, menconadas en la seccón.4. Dstrbucones acumulatvas y polígonos acumulatvos. Para construr una tabla de dstrbucón de recuenca acumulada, prmeramente decdmos s se desea construrla con recuencas absolutas, o con proporcones, o ben con porcentajes. Después escogemos el tpo de dstrbucón acumulatva, ya sea la "menor que" o la dstrbucón acumulatva "mayor que" y por últmo, nos basamos en la tabla de recuencas para r determnando la recuenca acumulada de cada clase tal como lo ndca el Ejemplo.4. Ejemplo.4. En la Tabla.8 aparece la dstrbucón acumulada "menor que" con recuencas relatvas usando los datos de la Tabla.6. TABLA.8.DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULATIVA "MENOR QUE" Clase o Frecuenca FrecuencaRelatva Operacón Intervalo Relatva Acumulada"menor que" eectuada menos de $ nnguna menos de menos de menos de menos de menos de Como se puede observar, esta tabla se construyó regstrando prmero los límtes nerores de cada clase a partr de la dstrbucón de recuencas relatvas, luego se nsertó un límte extra al nal. Se calcularon las Departamento de Matemátcas 13 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

14 Frecuenca relatva acumulada Estadístca I Aplcada a la Admnstracón, Contaduría, Inormátca Admnstratva, Economía, Negoco y Comerco Internaconales recuencas relatvas acumulatvas en la columna "menor que" determnando la recuenca relatva de observacones menores que de cada uno de los valores de los límtes establecdos. Es decr, tomamos en cuenta prmero sólo datos menores de $80, después sólo datos menores de $107 y así sucesvamente hasta llegar al últmo límte neror. Ejemplo.5 Smlarmente se puede construr una tabla acumulatva "mayor que" determnando la recuenca relatva de observacones mayores que de cada uno de los valores de los límtes nerores establecdos. Es decr, tomamos en cuenta prmero sólo datos mayores de $80, después sólo datos mayores que $107 y así sucesvamente hasta llegar al últmo límte neror. Operando de esta orma obtenemos la tabla de dstrbucón acumulatva sguente. TABLA.9.DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULATIVA PORCENTUAL "MAYOR QUE" DE LOS DATOS DE LA TABLA.4.6 Clase o Intervalo Frecuenca porcentual Frecuenca Acumulada "mayor que" Operacón eectuada mayor que $107 13% 100% Nnguna mayor que 134 3% 87% mayor que 161 3% 64% 100 (13 + 3) mayor que 188 7% 41% 100 ( ) mayor que 15 14% 14% 100 ( ) mayor que 4 0% 0% 100 ( ). Note que sensertó el límte neror de la séptma clase con el propósto de ndcar en la gráca, la ausenca de observacones en esa clase y en las clases sguentes. Polígonos acumulatvos u Ojvas. Para construr un polígono acumulatvo u ojva se colocan los límtes nerores de clase en el eje horzontal y las recuencas acumulatvas (absolutas, relatvas o porcentuales) en el eje vertcal. En la Fgura.8 aparece la ojva "menor que" basándose en los datos obtendos en la Tabla Consumo de electrcdad menor que $107 menor que 134 menor que 161 menor que 188 Cantdad de dnero en consumo menor que 15 menor que $4 Fgura.8. Ojva "menor que" de los datos de la Tabla.8. La ojva "mayor que" surgda a partr de los datos obtendos en la Tabla.9 se muestra en la Fgura.9. Departamento de Matemátcas 14 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

15 Frecuenca acumulada porcentual Estadístca I Aplcada a la Admnstracón, Contaduría, Inormátca Admnstratva, Economía, Negoco y Comerco Internaconales 10% 100% Consumo de electrcdad 80% 60% 40% 0% 0% mayor que $107 mayor que 134 mayor que 161 mayor que 188 mayor que 15 Cantdad de dnero en consumo mayor que $4 Fgura.9. Ojva mayor que de los datos de la Tabla.9. Dagramas de caja. Los dagramas de caja es un medo muy útl para representar datos. En dcho dagrama, los valores mínmo y máxmo, los cuartles neror (prmer 5%de todos los datos) y superor (tercer 5% de todos los datos (tambén llamados percentles 5 y 75) respectvamente, y la medana (prmer 50% de todos los datos o percentl 50) se representan en una caja rectangular alneada ya sea horzontal o vertcalmente. La caja se extende del cuartl neror al superor, y es atravesada de un lado al otro por la medana. A partr de los extremos de la caja se extenden líneas ( bgotes ) hasta los valores mínmo y máxmo. Por ejemplo, un gerente de ventas está nteresado en comparar las ventas mensuales realzadas en el año 008 con las ventas mensuales realzadas en el año 009. El gerente ha recolectado las 1 observacones de cada año. Los datos aparecen en la Tabla.10 TABLA.10. VENTAS MENSUALES DE LOS AÑOS 008 Y 009. Mes Venta realzada en el año 008. (mles de pesos) Venta realzada en el año 009 (mles de pesos) Enero Febrero Marzo Abrl Mayo Juno Julo Agosto Septembre Octubre Novembre Dcembre La medana de las ventas realzadas en el año 008 es mentras que los percentles 5 y 75 son respectvamente y 18.. La medana de las ventas realzadas en el año 009 es Departamento de Matemátcas 15 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

16 y los percentles 5 y 75 son 15.0 y 18.5 respectvamente. La venta mínma mensual en el año 008 ue de 1.15 mles de pesos y la máxma de 0.5, mentras que la venta mensual mínma realzada en el año 009 ue de mles de pesos y la venta mensual máxma ue de 19.9 mles de pesos. En la Fgura.10 se muestran los dagramas de caja para las ventas realzadas en los dos años. V e n t a s $ 5 0 e n 15 m l e s 10 Año Año Fgura.10. Dagramas de caja para las ventas mensuales de los años 008 y 009. La representacón de la Fgura.10 revela claramente la derenca en las ventas entre los dos años. Tambén ndca que ambos años producen dstrbucones razonablemente smétrcas de ventas mensuales con smlar varabldad o dspersón..6. Meddas descrptvas de localzacón y dstrbucón. En la seccón anteror, los datos en bruto se recoplaron y se resumeron en orma apropada en tablas y grácas. En esta seccón se desarrollará una ampla varedad de meddas de resumen descrptvas, las cuales son útles para analzar e nterpretar datos cuanttatvos, ya sea recolectados en orma bruta (datos no agrupados) o resumdos en dstrbucones de recuenca (datos agrupados). Para ambos casos, se desarrollarán órmulas smlares para obtener estas meddas de resumen descrptvas y cuando sea posble se mostrará un planteamento gráco utlzando las grácas construdas en las seccones anterores.en orden descendente de mportanca, las tres propedades o característcas mayores que descrben un conjunto de datos pertenecentes a alguna varable numérca o a un enómeno de nterés son: 1) Poscón, ) Dspersón y 3) Forma. En cualquer análss o nterpretacón de datos numércos, se puede utlzar una gran varedad de meddas descrptvas que representan las propedades de poscón, dspersón y orma, para esquematzar y resumr las característcas salentes del conjunto de datos. S estas meddas de resumen descrptvas se calculan con una muestra de datos se llaman estadístcos; s estas meddas descrptvas se calculan a partr de toda la poblacón de datos se llaman parámetros..6.1 Meddas de poscón o centralzacón. La característca más mportante que descrbe o resume un grupo de datos es su poscón. La mayor parte de los datos muestran una tendenca denda a reunrse en torno de un certo punto. Exsten tres meddas Departamento de Matemátcas 16 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

17 prmaras de poscón o de tendenca central estas son en orden de mportanca, la meda artmétca, la medana y la moda. La meda artmétca. La meda artmétca mejor conocda como promedo es la medda de tendenca central más conocda y de mayor uso. Esta medda es muy ácl de calcular a partr de los datos ya sea recoplados en orma bruta o dstrbudos en una tabla. Esta medda de tendenca central se ndca medante el símbolo X y se calcula sumando todos los datos de la muestra y, se dvden entre el número total de datos recoplados en la muestra. Así, s X1, X, X 3, X n son los datos recoplados en la muestra, entonces, X X 1 X X n 3 X En donde: X es la meda artmétca o promedo de la muestra, nes el tamaño de la muestra, X es el dato número de la muestra tomada, n n 1 n X.(.1) Ejemplo.6. La meda artmétca para los datos de la Tabla.4.1 es: X mnutos. 0 0 S los datos se encuentran resumdos como los de la Tabla. entonces utlzamos la órmula (.) X 1 X 1 1 X 3 3 X 3 En donde: X es la meda artmétca o promedo de la muestra, X es el dato número de la muestra tomada, es la recuenca con que se repte el dato X. k es el número de datos derentes que aparecen en la muestra. k k X k k 1 k 1 X. (.) Ejemplo.7. La meda artmétca para los datos de la Tabla. es: X (1)(1) (3)() (6)(3) (3)(4) (4)(5) ()(6) (1)(7) mnutos Como se puede observar en los ejerccos anterores el número 3.8 obtendo, no pertenece a la muestra pero, podemos observar que en la muestra exsten 10 valores menores que 3.8 y 10 valores mayores que 3.8. Por lo tanto, la meda actúa como un punto de equlbro o como una balanza, de tal manera que las observacones que son mayores equlbran a las que son menores. De una manera smlar se puede calcular la meda artmétca para los datos que aparecen en las Tablas.3 y.4.s los datos de la muestra ueron agrupados en una tabla de dstrbucón, para calcular la meda utlzamos la órmula (.3). Departamento de Matemátcas 17 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

18 X m m m m k k k k 1 k 1 m. (.3) En donde: X es la meda artmétca o promedo de la muestra, m es el punto medo o marca de clase de la clase de la dstrbucón de recuenca, es la recuenca de la clase de la dstrbucón k es el número de marcas de clase en la dstrbucón. sgnca aproxmadamente gual. Ejemplo.8. Para calcular la meda artmétca de los datos de la Tabla.4.6, prmeramente debemos calcular los puntos medos o marcas de clase de la dstrbucón, colocarlos en una tabla (ver tabla.11.) acompañados con sus respectvas recuencas y se aplca la órmula (.3). TABLA.11. TABLA PARA CALCULAR LA MEDIA A PARTIR DE UNA TABLA DATOS AGRUPADOS Puntos Medos Frecuencas absolutas X (4)(93.5) (7)(10.5) (7)(147.5) (8)(174.5) (4)(01.5) $ La meda artmétca para los datos no agrupados de la Tabla.5 es X observe la smltud 30 del valor calculado para los datos agrupados. Además, en los datos no agrupados, exsten 15 datos de la muestra que son menores que la meda calculada y 15 valores mayores que la meda. S el valor calculado de la meda para los datos agrupados lo marcamos en el hstograma o en el polígono de recuencas, este valor será el centro de gravedad de estos grácos. Es decr, un eje que pase por el valor representatvo de la meda artmétca dvdrá al hstograma o al polígono de recuencas en dos partes, cada una contenendo aproxmadamente el msmo número de observacones. La medana. La medana es la segunda medda de tendenca central en mportanca después de la meda artmétca y es utlzada cuando el (o los) valor(es) extremo(s) en un conjunto de datos aecta tanto a la meda artmétca que ésta no es una buena medda de tendenca central en esas crcunstancas. Por eso cuando uno de los valores extremos (o ambos) aecta consderablemente, es más apropado utlzar la medana como medda de tendenca central, la medana no se aecta con cualquera valores extremos en un conjunto de datos. La medana es una medda de tendenca central que aparece en el medo de la sere de datos ordenada. Es decr, la mtad de las observacones en el conjunto de datos son menores que ella y la otra mtad son mayores que ella. Para calcular la medana de un conjunto de datos los cuales se encuentran en su orma bruta, prmeramente los ordenamos ya sea de menor a mayor o ben de mayor a menor. S el número de observacones es mpar se toma el valor que esté en la mtad de los datos ordenados. S el número de datos es par, se toma la meda artmétca de los dos datos ntermedos. Departamento de Matemátcas 18 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

19 Ejemplo.9. Para calcular la medana de los datos que aparecen en la Tabla.5, prmeramente los ordenamos en orma crecente (pueden ordenarse tambén en orma decrecente) tal como se muestra en la Tabla.1. TABLA.1. DATOS ORDENADOS DE MENOR A MAYOR DE LA TABLA Como el número de datos es par, n 30, localzamos las dos observacones ntermedas, en este caso las observacones que se encuentran en el lugar 15 y 16. Esto es, la últma observacón de la prmera mtad y la prmera observacón de la segunda mtad en los datos ordenados. Así, Medana = $ S los datos observados en la muestra están resumdos en una tabla de dstrbucón, el valor aproxmado de la medana se puede calcular medante la órmula (.4). n B M Medana BM (. 4 ) M En donde, B rontera neror del ntervalo de clase que contene a la medana. M B M M número de observacones en el ntervalo de clase que contene a la medana. número totalde observacones antes ancho del ntervalo de clase que contene a la medana. n observacón medana. del ntervalo de clase que contene a la medana. Ejemplo.10. Para los datos resumdos en la Tabla.5, se tene que el ntervalo de clase que contene a la n 30 medana es el ntervalo de clase que contene al dato número 15. Este ntervalo es "De 134 a menos de 161", su rontera neror es 134, el número de observacones que tene este ntervalo son 7, el número de observacones antes de este ntervalo son 11 y el ancho de este ntervalo es = 7. Así, se tene que: B 134; 7; 11; M M n 30 B M 7 y 15 Susttuyendo estos valores en la órmula (.4) obtenemos: Medana B M n M BM Departamento de Matemátcas 19 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

20 Se puede conclur que 15 de las 30 amlas muestreadas tuveron montos menores de $ y las otras 15 amlas tuveron montos mayores que $ Cuantles. Los cuantles son meddas de poscón que se determnan medante un método que determna la ubcacón de los valores que dvden un conjunto de observacones en partes guales. Cuando se trata de datos agrupados en una dstrbucón de recuencas, los cuantles son los valores de la dstrbucón que la dvden en partes guales, es decr, en ntervalos que comprenden el msmo número de valores. Cuando la dstrbucón contene un número alto de ntervalos o de marcas y se requere obtener un promedo de una parte de ella, se puede dvdr la dstrbucón en cuatro, en dez o en cen partes guales. Los cuantles más usados son los cuartles, cuando dvden la dstrbucón en cuatro partes; los decles, cuando dvden la dstrbucón en dez partes y los percentles o porcentles, cuando dvden la dstrbucón en cen partes. Los cuartles, como los decles y los percentles, son en certa orma una extensón de la medana. Cálculo de los cuartles a) Para datos agrupados. Para calcular los Cuartles Q 1, Q, Q 3 y Q 4 desde una tabla de dstrbucón de recuencas, se aplca la órmula ( ) ( ) ( ) Donde, k-ésmo cuartl de la muestra, k = 1,, 3, 4 n = tamaño de la muestra = suma de todas las recuencas de clase hasta, pero sn nclur la clase del k-ésmo cuartl. recuenca de la clase que contene al k-esmo cuartl. w = ancho del ntervalo de clase. límte neror del ntervalo de la clase que contene al k-esmo cuartl. b) Para datos no agrupados. S se tenen una sere de valores X 1, X, X 3,...,X n, los cuartles se localzan medante las órmulas( ) ( ), dependendo de s el número de datos, n, es par o mpar, respectvamente. ( ) ( ) ( ) Sendo k el número del cuartl deseado; (k = 1,, 3, 4). Nota mportante: El resultado que se obtene al aplcar la órmula (.6) o (.7), nos ndca el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el cuartl deseado. Por lo tanto, una vez aplcada una de las órmulas, debemos dentcar al dato que representa a dcho cuartl. S el resultado que se obtene al aplcar la órmula contene decmales, debemos calcular la parte proporconal usando la derenca entre los dos números enteros consecutvos de la tabla de datos ordenados y sumársela al dato menor. Ver ejemplo.1. Departamento de Matemátcas 0 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

21 Cálculo de Decles a) Para datos agrupados. Para calcular los DeclesD 1, D, D 3,, D 10 desde una tabla de dstrbucón de recuencas, se aplca la órmula (.8). ( ) ( ) Donde, k-ésmodecl de la muestra, k = 1,, 3, 4,, 10 n = tamaño de la muestra = suma de todas las recuencas de clase hasta, pero sn nclur la clase del k-ésmodecl. recuenca de la clase que contene al k-ésmodecl. w = ancho del ntervalo de clase. límte neror del ntervalo de la clase que contene al k-ésmodecl. b) Para datos no agrupados S se tenen una muestrax 1, X, X 3...,X n de valores, los decles pueden ser localzadosusando las órmulas( ) ( ), dependendo de s el número de datos de la muestra, n, es par o mpar, respectvamente. ( ) ( ) ( ) Dondek el número del decl deseado; (k = 1,,, 10). Nota mportante: El resultado que se obtene al aplcar la órmula (.6) o (.7), nos ndca el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el decl deseado. Por lo tanto, una vez aplcada una de las órmulas, debemos dentcar al dato que representa a dcho decl. S el resultado que se obtene al aplcar la órmula contene decmales, debemos calcular la parte proporconal usando la derenca entre los dos números enteros consecutvos de la tabla de datos ordenados y sumársela al dato menor. Ver ejemplo.1. Cálculo de percentles. a) Para datos agrupados. Para calcular los percentles P 1, P,, P 100 desde una tabla de dstrbucón de recuencas, se aplca la órmula (.11). ( ) ( ) Donde, k-ésmo percentl de la muestra, k = 1,, 3, 4,, 100. n = tamaño de la muestra = suma de todas las recuencas de clase hasta, pero sn nclur la clase del k-ésmo percentl. recuenca de la clase que contene al k-esmo percentl. w = ancho del ntervalo de clase. límte neror del ntervalo de la clase que contene al k-esmo percentl. Departamento de Matemátcas 1 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

22 b) Para datos no agrupados S se tenen una muestra de valores X 1, X,...,X n, los percentles pueden ser calculados por medo de las ( ) ( ), dependendo de s el número de datos de la muestra, n, es par o mpar, respectvamente. ( ) ( ) ( ) dondek el número del percentl deseado; (k = 1,,, 100). Nota mportante: El resultado que se obtene al aplcar la órmula (.6) o (.7), nos ndca el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el percentl deseado. Por lo tanto, una vez aplcada una de las órmulas, debemos dentcar al dato que representa a dcho percentl. S el resultado que se obtene al aplcar la órmula contene decmales, debemos calcular la parte proporconal usando la derenca entre los dos números enteros consecutvos de la tabla de datos ordenados y sumársela al dato menor. Ver ejemplo.1. Es ácl observar que: el prmer cuartl concde con el percentl 5; el segundo cuartl con eldecl 5; el percentl 50 y el tercer cuartl con el percentl 75. Ejemplo.11. Para los datos agrupados de la Tabla.6, el tercer cuartl se calcula usando la órmula (.5), donde k = 3; n = 30; puesto que el 75% de los datos de la muestra se encuentra en la cuarta clase, = = 18; ;w = ( ) = 7 y. Susttuyendo estos valores en la órmula menconada arrba se tene que: ( ( ) ( ) ) Para calcular los cuantles de datos no agrupados, prmero debemos ordenar los datos de la muestra de menor a mayor y después aplcar las órmulas (.6) o (.7); (.9) o (.10); (.1) o (.13) para cuartles, decles y percentles respectvamente, según sea el caso del tamaño de la muestra (par o mpar). Ejemplo.1. Para los datos no agrupados y ordenados de menor a mayor de la Tabla.1, el séptmodecl se calcula usando la órmula (.9) ya que n es par,con k = 7. Así: ( ) ( ) El resultado obtendo desde la órmula (.9) nos ndca que el decl 7 se encuentra en el dato 168. Smlarmente, para calcular el percentl 85 usamos la órmula (.1) ya que n es par, con k = 65. Así, ( ) ( ) Departamento de Matemátcas Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

23 El resultado obtendo desde la órmula, nos ndca que el percentl 85 se encuentra en la mtadde los datos5 y 6 de la Tabla.1. Los datos requerdos para realzar la ponderacón son respectvamente, 178 y 185. Ahora calculamos la parte proporconal de la derenca entre estos dos números(es decr, la parte decmal del resultado obtendo en la órmula). Esto es: ( ) ( ) Por lo tanto, el percentl 85 es La moda. La moda es la tercera medda de centralzacón en mportanca, es el valor que ocurre con más recuenca en un conjunto de observacones. S en una muestra de valores exste un solo valor que se repte un número determnado de veces, se dce que esa muestra es unmodal. Cuando dos valores no adjuntos son cas guales al tener recuencas máxmas asocadas a ellos, la dstrbucón se descrbe como bmodal. Las dstrbucones de medcones con varas modas se denomnan multmodales. S en una muestra pequeña no se repten valores observados, no hay moda. Ejemplo.13. Para los datos que aparecen en la Tabla.1 se observa que esta muestra es unmodal y que su moda es 3 ya que el 3 es el número que aparece con mayor recuenca en la muestra tomada. Esto sgnca que regularmente, el mayor número de personas que sean atenddas en las ventanllas de ese banco tendrán un tempo de atencón de 3 mnutos. Para los datos agrupados en una dstrbucón de recuencas con ntervalos de clase guales, prmeramente se determna la clase que contene a la moda, dentcando la clase con el número mayor de observacones. En algunos textos desgnan la moda como el punto medo de la clase modal. Sn embargo en la mayor parte de los textos se realza una nterpolacón dentro de la clase modal basándose en la órmula (.14). En donde B M d Moda 1 B M d1 d rontera neror de la clase que contene a la moda. (.14) d d 1 derencaentrela recuencaen la clase modaly la recuencaen la clase anteror. derencaentrela recuencaen la clase modaly la recuencaen la clasesguente. tamaño del ntervalo de clase. Ejemplo.14. Reréndose a la dstrbucón de recuenca de la Tabla.6. La clase modal es la clase con límtes de clase $161 a menos de $188 debdo a que de todas las clases en la dstrbucón, ésta es la que tene mayor recuenca. Así, y, B M 161; d ; d 8 4 4; 1 Moda El valor encontrado de es el valor representatvo que orece la órmula y puede ser propuesto como el dato que ocurrrá con mayor recuenca. Es evdente que este dato no se encuentra en la muestra obtenda Departamento de Matemátcas 3 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

24 Frecuenca Frecuenca Estadístca I Aplcada a la Admnstracón, Contaduría, Inormátca Admnstratva, Economía, Negoco y Comerco Internaconales pero sería una buena aproxmacón en caso de que los datos tuveran una moda. Por {ultmo, s marcamos el valor encontrado de la moda en el hstograma o en el polígono de recuencas,este valor ndcará la cantdad que aparece con mayor recuenca. Una dstrbucón de recuencas puede carecer de moda o ben tener varas modas..6.. Relacón entre la Meda, la Medana y la moda. Las derentes meddas de centralzacón, tenen ventajas y desventajas una con respecto de las otras, depende mucho de la orma en que estén dstrbudos los datos y el propósto de la normacón que se obtenga. El únco caso en que se puede asegurar que las tres meddas concden es cuando la moda exste y es únca y, además, los valores de la muestra están dstrbudos smétrcamente alrededor de un punto como lo muestra la Fgura.11. X Fgura.11. Una dstrbucón smétrca donde las meddas de centralzacón son guales. Puede darse el caso en que la dstrbucón sea smétrca con respecto a un punto y las meddas de centralzacón sean dstntas como se puede observar en la Fgura.1. En esta dstrbucón, se da el caso en que la Meda y la Medana son guales pero exsten o más Modas. X Fgura.1. Una dstrbucón smétrca donde las meddas de centralzacón son derentes. La stuacón más común se presenta cuando la dstrbucón de valores de la muestra es asmétrca o dsmétrca. Puede presentarse una dstrbucón que sea dsmétrca postva o dsmétrca negatva tales como las que se pueden observar en la Fguras.13. a) y.13. b). Departamento de Matemátcas 4 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

25 Frecuenca Frecuenca Estadístca I Aplcada a la Admnstracón, Contaduría, Inormátca Admnstratva, Economía, Negoco y Comerco Internaconales X X a) Dstrbucón Asmétrca Postva b) Dstrbucón Asmétrca Negatva. Fgura.13. Dstrbucones asmétrcas o dsmétrcas. Basándose en las meddas de centralzacón Meda, Medana y Moda,podemos saber el tpo de dstrbucón de recuencas de acuerdo a las relacones que aparecen la Tabla.13. TABLA.13. RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA. Condcones Tpo de dstrbucón S Meda = Medana = Moda Smétrca S Meda Medana Moda Dsmétrca negatva S Moda Medana Meda Dsmétrca postva.7. Meddas de Dspersón. Como se menconó en la seccón.6, la segunda característca que descrbe un conjunto de datos es la dspersón. La dspersón es la cantdad de varacón o de dsemnacón de los datos. Exsten varas ormas para medr el grado de dspersón en los conjuntos de datos. En esta seccón se descrben las más mportantes, éstas son la Varanza, la Desvacón estándar y el Coecente de Varacón. Varanza y Desvacón Estándar. Dos meddas que tenen en cuenta cómo se dstrbuyen todas las observacones en los datos, son la varanza y la raíz cuadrada postva de ésta, llamada desvacón estándar. Su cálculo varía dependendo de s se trata de la poblacón o de una muestra de ésta. Para una poblacón, la varanza se representa por la letra grega mnúscula la cual se lee "sgma cuadrado", la órmula para su cálculo es: N X 1 (.15) N en donde es la meda poblaconal, N es el tamaño y X es cada uno de las observacones de la poblacón. Cuando se calcula la varanza para una muestra, resulta que regularmente no es exactamente equvalente a la varanza para la poblacón de donde se tomó la muestra, esto se debe a actores de sesgo, lo cual se explcará en seccones posterores. Para el cálculo de la varanza de la muestra, se ncluye un actor de correccón ya que la varanza de la muestra, es un estmador no sesgado de la varanza de la poblacón. La varanza de la muestra se representa por s, su órmula es: Departamento de Matemátcas 5 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

26 s N 1 X X n 1 (.16) en donde X es la meda, n es el tamaño y X es cada uno de las observacones de la muestra. Interpretar el sgncado del valor de la varanza, resulta regularmente dícl porque las undades en que se expresa no son las msmas de las observacones del conjunto de datos. Por este motvo, la raíz cuadrada de la varanza, la cual se representa por la letra grega o por s s se trata de una muestra y, llamada desvacón estándar, se utlza con mayor recuenca y las órmulas para calcularla son: para la poblacón y, N X 1 (.17) N para la muestra. s n 1 X X n 1 (.18) Esta desvacón estándar será partcularmente muy útl para el desarrollo del tema de dstrbucones de probabldad. Ejemplo.15. Para los datos no agrupados de la Tabla.1, la meda artmétca resultó ser 3.8 mnutos (ver ejemplo.6). Consderando que estos datos ueron extraídos de una poblacón nnta, la desvacón estándar se calcula medante la órmula (.18). Los cálculos aparecen en la Tabla.14: Así, TABLA.14. TABLA PARA CALCULAR DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE DATOS NO AGRUPADOS. X X X ( X X ) Total 47. Departamento de Matemátcas 6 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

27 s n 1 X X n mnutos. Este resultado ndca el promedo de las dstancas entre los datos dados en la Tabla.1 y la meda de estos datos. Para calcular la varanza y desvacón estándar para datos agrupados, se toma el punto medo de cada clase para representar todas las observacones ncludas en esa clase. De acuerdo con lo anteror, las órmulas para la poblacón agrupada y para los datos obtendos de una muestra son: Para la varanza de la poblacón: N m 1 (.19) N Para la varanza de la muestra: s n 1 n 1 m X (.0) Para la desvacón estándar de la poblacón: Para la desvacón estándar de la muestra: N m 1 (.1) N s n 1 m X n 1 (.) Ejemplo.16. Para los datos agrupados de la Tabla.6, la meda ue (ver ejemplo.8) podemos realzar los cálculos en una tabla de la manera sguente: TABLA.15. TABLA PARA CALCULAR LA DESVIACIÓN ESTANDAR DE DATOS AGRUPADOS. Clase o ntervalo de clase Punto Medo de clase (m ) Frecuenca m X ( m X ) ( m X ) De 80 a menos de ,05 1,100 De107a menos de ,488 De 134a menos de De 161a menos de ,408 De 188a menos de $ ,809 11,36 Total 34,39 Departamento de Matemátcas 7 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

28 Así, s n 1 n 1 m X 34,39 $ Este resultado ndca el promedo de las dstancas entre las marcas de clase de los datos dados en la Tabla.6 y la meda de los datos de la Tabla antes menconada. La desvacón estándar es la medda de dspersón más mportante debdo a que se utlza junto con una cantdad de métodos de nerenca estadístca, algunos de ellos se analzan en olletos posterores y otros quedan uera del propósto de este curso. Sn embargo, como ejemplo del uso de la desvacón estándar, consderemos una dstrbucón smétrca como la de la Fgura.11, en el análss estadístco, una curva de recuenca de ese tpo se le llama curva normal. Para una dstrbucón que está normalmente dstrbuda, se sabe que: Aproxmadamente el 68% de los datos observados se encuentran stuadas dentro de una desvacón estándar alrededor de la meda. Esto sgnca que este conjunto de datos se encuentra contendo en el ntervalo Cas el 95% de las medcones se encuentran contendas dentro de dos desvacones estándar alrededor de la meda. Es decr, se encuentra dentro del ntervalo Cerca del 99% de los datos observados se encuentran stuadas dentro de tres desvacones estándar alrededor de la meda. Esto es, se encuentra dentro del ntervalo 3 Además, sn mportar como se dstrbuyan los datos con respecto a la meda, el porcentaje de observacones que están contendas dentro de k desvacones estándar alrededor de la meda deben ser por lo menos, % k Esto lo aseguraron los matemátcos Benaymé y Chebyshev, al realzar estudos por separado de esta propedad el sglo XVIII [1]. Así, los datos de polígonos que adoptan cualquer orma, cuando menos un 75% de las observacones caerán dentro del ntervalo 88.89% de las medcones estarán contendas dentro del ntervalo % de los datos observados estarán dentro del ntervalo 4 Coecente de varacón. A derenca de la varanza y de la desvacón estándar, el coecente de varacón es una meda relatva, es decr, se expresa como un porcentaje en lugar de en térmnos de las undades de los datos observados. Es de gran utldad al comparar la varabldad de dos o más conjuntos de datos o dstrbucones que se expresan en derentes undades de medda. Por ejemplo, un nvestgador podría estar nteresado en medr la varabldad exstente en las ventas daras de derentes compañías. No obstante, de que se podría tratar de la venta de derentes productos y de derentes volúmenes de ventas, es posble medr la varabldad de estas dos compañías y hacer las comparacones. Departamento de Matemátcas 8 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

29 El coecente de varacón denotado por V, ndca la magntud relatva de la desvacón estándar comparada con la meda de la dstrbucón de las observacones. Las órmulas para calcular el coecente de varacón son: para la poblacón y, V 100% (.3) para una muestra. s V 100% (.4) X Para nterpretar el coecente de varacón, podemos usar las aprecacones de la Tabla.16, de acuerdo al resultado obtendo en el cálculo del coecente de varacón. TABLA.16.INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN Coecente de Varacón Aprecacón 6% o más Muy Heterogéneo Del 16% a menos del 6% Heterogéneo Del 11% a menos del 16% Homogéneo 0% a menos del 11% Muy Homogéneo Ejemplo.17. Usando los resultados obtendos en los ejemplos.8 y.16, se tene que: V %.75% Este resultado ndca que exste una varabldad del.75% entre los montos muestreados de consumo de electrcdad y, por lo tanto podemos asegurar que la dstrbucón de datos dados en la Tabla. es heterogéneo o dverso..8. Meddas de orma. La tercera característca de las menconadas en la seccón. es la orma que presenta el polígono de una dstrbucón de datos. En esta seccón estudaremos meddas de asmetría y curtoss las cuales comparan la orma que tene la representacón gráca, ben sea el hstograma o el dagrama de barras de la dstrbucón, con la dstrbucón normal. Como se menconó en la seccón.6.,la dstrbucón de los datos puede ser smétrca, dsmétrca postva o dsmétrca negatva. S la dstrbucón de datos no es smétrca, se dce que es una dstrbucón sesgada. Los coecentes de asmetría de Pearson y de Fshermden qué tan sesgada (a la derecha o a la zquerda), está la dstrbucón con respecto a la dstrbucón normal la cual es smétrca. El coecente de la curtoss o apuntamento de Fsher mde la mayor o menor cantdad de datos que se agrupan en torno a la moda y su pretensón es compararla curva de una dstrbucón con la curva de la varable normal, en uncónde la cantdad de valores extremos en la dstrbucón. Las meddas de asmetría, sobre todo el coecente de asmetría de Fsher, junto con las meddas de apuntamento o curtossson muy mportantes ya que se usan para contrastar s se puede aceptar que una dstrbucón estadístca sgue la dstrbucón normal. Esto es necesaro para realzar numerosos contrastes estadístcos en la teoría de nerenca estadístca. Departamento de Matemátcas 9 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

30 Coecente de dsmetría de Pearson. Una manera de medr la asmetría o dsmetría de una dstrbucón es medante el coecente de Pearson. Este coecente mde el alejamento de la smetría expresando la derenca entre la Meda y la Medana en relacón con la desvacón estándar del conjunto de datos. Las órmulas para su cálculo son: 3( Medana) Asmetríade la poblacón (.5) Asmetríade la muestra 3 (X Medana) (.6) s Para una dstrbucón smétrca, el valor del coecente de dsmetría será sempre cero, ya que la meda y la medana son guales en valor. Para una dstrbucón sesgada a la derecha, el coecente sempre será postvo, mentras que para una dstrbucón sesgada a la zquerda el coecente será sempre negatvo. La nterpretacón del coecente de Pearson se resume en la Tabla.17 TABLA.17. INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE PEARSON. Sgno del coecente de Pearson Tpo de Dstrbucón Sn sgno (gual a cero o muy cercano a cero) Smétrca Postvo Asmétrca a la derecha Negatvo Asmétrca a la zquerda Ejemplo.18. Para los datos de la Tabla.1 de los tempos de espera de atencón a clentes en ventanllas, se tene que 3( ) Asmetríade la muestra Por lo tanto, podemos conclur que la dstrbucón de recuencas de los datos de los tempos de espera de atencón a clentes de la Tabla.1 está lgeramente sesgada a la derecha. Coecente de Asmetría de Fsher. Para calcular el coecente de asmetría de Fsher usamos la órmula (.7) s se trata de una poblacón A k 1 ( X ) N 3 3 (.7) dondea representa el coecente de asmetría de Fsher, X cada uno de los valores, (µ) la meda de la poblacón, σ la desvacón estándar de la poblacón, y ( ) la recuenca de cada valor. S se trata de una muestra entonces usamos la órmula (.8). k ( X X ) 1 A 3 n S (.8) Departamento de Matemátcas 30 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-3

31 Donde A representa el coecente de asmetría de Fsher, X cada uno de los valores en la muestra, la meda de la muestra, S la desvacón estándar de la muestra, y ( ) la recuenca de cada valor. La nterpretacón del coecente de asmetría de Fsher es la msma que la del coecente de asmetría Pearson como lo ndca la Tabla.18. TABLA.18. INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE FISHER. Sgno del coecente de Fsher Tpo de Dstrbucón Sn sgno (gual a cero o muy cercano a cero) Smétrca Postvo Sesgada a la derecha Negatvo Sesgada a la zquerda Ejemplo.19. El coecente de Asmetría de Fsher para la dstrbucón de la Tabla.6, podemos calcularlo elaborando una tabla smlar a la Tabla.19 y usando la órmula (.8) y los resultados obtendos para la meda y desvacón estándar en los ejemplos.8 y.16 respectvamente. TABLA.19. TABLA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE ASIMETRIA DE FISHER. Marcas Frecuenca de clase Absoluta 3 ( X 148.5) X , , ,191, ,048,000 Total 30,419,845 Así, A,419,845 30(33.783) 3.09 Con este resultado conclumos que debdo a que el coecente de asmetría de Fsher el postvo, la dstrbucón de los datos de la Tabla.6 es asmétrca postva. Curtoss o apuntamento. El concepto de curtoss o apuntamento de una dstrbucón surgó al comparar la orma de una dstrbucón con la orma de la dstrbucón normal. De esta orma, se clascan las dstrbucones según sean más omenos pcudas o apuntadas que la dstrbucón Normal.Se denen 3 tpos de dstrbucones según su grado de curtoss: 1) Dstrbucón mesocúrtca: presenta un grado de concentracón promedo alrededor de los valores centrales de la varable (el msmo que presenta una dstrbucón normal). En ese caso, el coecente de curtoss es cero. Ver Fgura.14 b). ) Dstrbucón leptocúrtca: presenta un grado elevado de concentracón alrededor de los valores centrales de la varable. Es decr, está más apuntada que la Normal. En este caso, su coecente de curtoss será postvo. Ver Fgura.14 a). 3) Dstrbucón platcúrtca: presenta un reducdo grado de concentracón alrededor de los valores centrales de la varable. Es decr, la dstrbucón está menos apuntada que la normal. En este caso el coecente de Fsher es negatvo.ver Fgura.14 c). Departamento de Matemátcas 31 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

32 a) Leptocúrtca b) Mesocúrtca c) Platcúrtca Fgura.14. Tpos de dstrbucones de acuerdo a su curtoss*. *Fuente: Coecente de curtoss de Fsher. El Coecente de Curtosspara la poblacón, se calcula usando la órmula.9. C k 1 ( X ) N (.9) Donde (C ) representa el coecente de curtossde Fsher, (X ) cada uno de los valores, (µ) la meda de la poblacón, σ la desvacón estándar de la poblacón, y ( ) la recuenca de cada valor. Para la muestra se usa la órmula (.30), C k 1 ( X X ) n S (.30) Donde (C ) representa el coecente de curtossde Fsher, (X ) cada uno de los valores, ( ) la meda de la muestra, S la desvacón estándar de la muestra, y ( ) la recuenca de cada valor.de acuerdo al resultado obtendo,las dstrbucones pueden categorzarse como se ndca en la Tabla.0. TABLA.0. CATEGORIZACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES DE ACUERDO AL COEFICIENTE DE FISHER. Sgno del coecente de Fsher Tpo de dstrbucón Sn sgno ( C = 0) Mesocúrtca Postvo ( C > 0) Negatvo ( C < 0) Leptocúrtca Platcúrtca Ejemplo.0.El coecente de curtoss o apuntamento de Fsher para la dstrbucón de la Tabla.6, podemos calcularlo elaborando una tabla smlar a la Tabla.1 y usando la órmula (.30) y los resultados obtendos para la meda y desvacón estándar en los ejemplos.8 y.16 respectvamente. Departamento de Matemátcas 3 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

33 TABLA.1. TABLA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE CURTOSIS DE FISHER. Marcas Frecuenca de clase Absoluta 4 ( X 148.5) X ,60, ,30, ,13, ,840,000 Total 30 67,868,947 C 67,868, (33.783) En consecuenca, podemos deducr que debdo a que el coecente de curtoss de Fsher es postvo, la dstrbucón de la Tabla.6 es leptocúrtca. Es decr, es más pcuda que la dstrbucón normal..9. Análss de regresón y correlacón lneal smple. El análss de regresón lneal es una técnca estadístca utlzada para estudar la relacón entre varables cuanttatvas. Tanto en el caso de dos varables (regresón smple) como en el de más de dos varables (regresón múltple). El análss regresón lneal puede utlzarse para explorar y cuantcar la relacón entre una varable llamada dependente(de respuesta o predctora) ndcada por Y, y una o más varables llamadas ndependentes (explcatvas oregresoras) denotadas por X 1, X,, X k, así como para desarrollar una ecuacón lneal con nes predctvos. En esta seccón sólo estudaremos la regresón, correlacón lneal smple y calcularemos el modelo lneal smple. Es decr, analzaremos la relacón exstente entre una varable ndependente (X) y una varable dependente (Y), obtendremos un modelo lneal de una varable ndependente para predecr o pronostcar la varable dependente Introduccón al análss de regresón y correlacón lneal. Las técncas de regresón (repercusón) y correlacón (andad o correspondenca) cuantcan la asocacón estadístca entre dos o más varables. La regresón lneal smple expresa la relacón entre una varable dependente Y, y una varable ndependente X, en térmnos de la pendente y la nterseccón de la línea con el eje Y que mejor se ajuste a las varables. La correlacón smple expresa el grado de la correspondenca o relacón entre las dos varables en térmnos de un coecente de correlacón (r) que proporcona una medda ndrecta de la varabldad de los puntos alrededor de la mejor línea de ajuste. De nnguna manera, la regresón n la correlacón dan pruebas de relacones causa eecto [] Regresón lneal. Se dene como un procedmento medante el cual se trata de determnar s exste o no relacón de dependenca entre dos o más varables. Es decr, conocendo los valores de una varable ndependente, se trata de estmar los valores, de una o más varables dependentes. Por otro lado, la regresón en orma graca, trata de lograr que una dspersón de las recuencas sea ajustada a una línea recta o a una curva. Por lo tanto, la regresón puede ser lneal y curvlínea (o no lneal). Como se menconó antes, en este curso sólo estamos nteresados en aprender la regresón lneal smple. Este tpo regresón se usa con mucha recuenca en las cencas económcas, y sus dscplnas tecnológcas ya que cualquer uncón no lneal, es lnealzada para su Departamento de Matemátcas 33 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

34 estudo y eectos práctcos. La regresón lneal smple es útl para: 1) determnar la relacón de dependenca que tene una varable respecto a otra, ) ajustar la dstrbucón de recuencas de ambas varables (dependente e ndependente)a una línea recta, es decr, determnar la ecuacón de la línea recta de regresón. 3) Predecr un dato desconocdo de una varable partendo de los datos conocdos de otra varable. Medante el coecente de correlacónde Pearson (ver seccón.9.3) podemos determnar s la asocacón o relacónque exste entre la varable dependente y la ndependente es uerte o débl. En aquellos casos en que el coecente de correlacón (denotado por r) sea cercano a +1 o a 1, tendrá sentdo consderar la ecuacón de la recta que mejor se ajuste a la nube de puntos (conocda como recta de los mínmos cuadrados). Como ya se menconó anterormente, uno de los prncpales usos de dcha recta será el de predecr o estmar los valores de Y que obtendríamos para dstntos valores de X. Estos conceptos quedarán representados en lo que llamamos dagrama de dspersón (ver seccón.9.) [3]. Con el coecente de determnacón (ver seccón.9.3), se logra calcular el porcentaje de la varabldad enlas undades de varable dependente (pronóstco) que no puede ser explcada por las undades de la varable ndependente en la predccón, debdo a actores ajenos o externos de las undades utlzadas en la varable ndependente. El coecente de determnacónes denotado por r y oscla entre 1 y +1. Entre más cercano a +1 o a 1 se tendrá un menor porcentaje de la varabldad que no puede ser explcada entre las undades de ambas varables. Correlacón lneal. En ocasones nos puede nteresar saber s exste o no algún tpo de relacón entre dos varables aleatoras. Por ejemplo, entre el número daro de vstas realzadas por los clentes a un establecmento comercal y el gasto daro realzado en publcdad por dcho establecmento. Una prmera aproxmacón al problema consste en dbujar en el plano cartesano (R )un punto por cada día muestreado: la prmera coordenada (o abscsa) de cada punto sería el número de vstas de los clentes al establecmento, mentras que la segunda coordenada (u ordenada) sería la cantdad de dnero gastada en publcdad ese día. Así, obtendríamos una nube de puntos la cual podría ndcarnos vsualmente la exstenca o no de algún tpo de relacón lneal, o no lneal entre ambas varables. Otro ejemplo smlar, consstría en analzar la acturacón de una empresa en un perodo de tempo dado y de cómo nluyen los gastos de promocón y publcdad en dcha acturacón. S consderamos un perodo de tempo de 10meses, una posble representacón sería stuar un punto por cada mes de orma que la abscsa de cada punto sería la cantdad en pesos nvertdos en publcdad y/o promocón, mentras que la ordenada sería la cantdad en pesos obtendos de su acturacón. De esta manera, obtendríamos una nube de puntos que nos ndcaría el tpo de relacón exstente entre ambas varables. En partcular, nos nteresa cuantcar la ntensdad de la relacón lneal entre las dos varables (abscsas y ordenadas). El parámetro que nos da tal cuantcacón es el coecente de correlacón lneal de Pearson r (ver la seccón.9.3), cuyo valor oscla entre 1 y +1. En contraste, el análss de regresón se usa en la predccón, mentras que el análss de correlacón se utlza para medr la uerza de la asocacón entre las varables [4]..9.. Grácos de dspersón. Un gráco de dspersón muestra una sere de datos como un conjunto de puntos representados en un plano cartesano (ver Fgura.15). Los valores se representan medante la poscón de los puntos en el gráco. Las categorías se representan medante dstntos marcadores en el gráco. Los grácos de dspersón suelen usarse para comparar datos agregados de las categorías.uno de los aspectos más poderosos de un gráco de dspersón, es su capacdad para mostrar las relacones lneales o no lneales entre las varables. Además, s los datos son representados por un modelo de mezcla de relacones smples, estas relacones son vsualmente evdentes como patrones superpuestos. El dagrama de dspersón es una de las herramentas báscas en control de caldad. Departamento de Matemátcas 34 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

35 Fuerte correlacón lneal postva. Correlacón lneal postva ntermeda. Fuerte correlacón lneal negatva. Nnguna correlacón lneal. Correlacón no lneal ntermeda. Fuerte correlacón no lneal. Fgura.15 Dagramas de dspersón para la explcacón del coecente de correlacón. En la Fgura.15 podemos observar dstntos dagramas de dspersón los cuales explcarían el valor obtendo en coecente de correlacón (r) de Pearson. Ejemplo.1.El gerente general de una empresa deseasaber s exste relacón entre la rentabldad de la empresa y la nversón en publcdad y promocón realzada por ésta. El gerentecuenta con los datos del volumen de ventas y del gastoen publcdad y promocón que se realzaronen los últmos 1 meses expresados en mllones de pesos. Los datos recoplados aparecen en la Tabla.. Para ello, construyeel dagrama de dspersón que aparece en la Fgura.16. TABLA.. MONTOS MENSUALES DE LAS VENTAS Y GASTOS EN PUBLICIDAD Y PROMOCIÓN. Año 009 Año 010 Mes Jul Ago Sept Oct Nov Dc Ene Feb Mar Abr May Jun Monto de las ventas Gasto en publcdad y promocón Departamento de Matemátcas 35 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

36 Gasto en publcdad y promocón (en mllones de pesos) Estadístca I Aplcada a la Admnstracón, Contaduría, Inormátca Admnstratva, Economía, Negoco y Comerco Internaconales Monto de las ventas mensuales (en mllones de pesos) Fgura.16. Dagrama de dspersón del monto de las ventas y los gastos en publcdad y promocón. Con el dagrama de la Fgura.16 el gerente pudo observar que exste una relacón crecente entre las dos varables nvolucradas, y que ambas varables son drectamente proporconales. Es decr, s una varable sube la otra tambén y vceversa. Tambén, el gerente se do cuenta que la relacón exstente entre las dos varables se comporta como una línea recta con pendente postva y que dcha relacón entre ambas varables parece ser muy uerte. Para vercar esta aseveracón, el gerente debe calcular el coecente de correlacón (ver la seccón sguente). Para realzar un pronóstco, el gerente debe determnar la ecuacón del modelo lneal que nvolucra a estas dos varables (ver seccón.9.4) Coecente de correlacón lneal. El coecente de correlacón, r, nos ndca qué tan cerca están los datos de la línea de ajuste (ver la seccón.9.4). La órmula para calcularlo es: n XY X Y X X ny Y r (.9) n La órmula del coecente de correlacón, desarrollada por Karl Pearson, está dseñada para que 1 r 1, con un valor de r cercano a 1sgnca que las dos varables crecerán o decrecerán juntas, y exstrá una uerte relacón matemátca entre ellas. Como se menconó al nco del de la seccón.9.1, esto no necesaramente sgnca que una de las varables tene eecto drecto sobre la otra. Por ejemplo, el hecho de exstr una gran correlacón entre el crecmento del número de escuelas en una certa área de la cudad y el aumento en la venta de lcor en esta área, no necesaramente quere decr que los estudantes y maestros están tomando el lcor; ambos crecmentos relejan un crecmento en la poblacón de esta área. Por otro lado, un coecente de correlacón cercano a 1 ndca que hay una uerte correlacón negatva; esto es, una varable tenderá a decrecer mentras que la otra crecerá. Está generalmente convendo que la correlacón entre 0. y 0. ndca una relacón no sgncatva entre las varables. Departamento de Matemátcas 36 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

37 Ejemplo.. En reerenca al ejemplo.1, el gerente decde calcular el coecente de regresón de Pearson para determnar qué tan uerte es la relacón entre las varables nvolucradas.paraacltar el cálculodel valor de r, el gerente elaborólatabla.3. TABLA.3. TABLA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN. Mes X Y XY X Y Jul Ago Sept Oct Nov Dc , Ene ,500 5 Feb ,5 36 Mar , Abr ,65 49 May , Jun , Totales ,4 35, En el renglón de totales de la Tabla.19 tenemos calculados respectvamente, X, Y, XY, X Y. Por lo tanto,sólo se necesta susttur estos valores con n 1 en la órmula de r. Así, y r 1 13, , , , ,139 10, Con el resultado obtendo de r, podemos conclur que la relacón exstente entre las dos varables nvolucradas (ventas y gasto en publcdad y promocón) es muy uerte y que podemos utlzar el modelo de regresón lneal para predecr una de las varables conocendo la otra. Coecente de determnacón de Pearson. El coecente de determnacón r mde la proporcón de varabldad total de la varable dependenteyrespecto a su meda que es explcada por el modelo de regresón. En otras palabras, r mde la proporcón de la varacón total en la varable dependente Y que está explcada por la varable ndependente X, o que se debe a la varacón de la varable ndependente X.Es usual expresar esta medda entanto por cento, multplcándola por 100%. La órmula para calcular el coecente de determnacón de Pearson es: n XY X Y X X n Y Y r 100% (.30) n Departamento de Matemátcas 37 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

38 Ejemplo.3.S el gerente desea calcular el coecente de determnacón de Pearson, sólo tene que elevar al cuadrado el resultado obtendo en el ejercco.. Esto es, ( ) % Este resultado mplca que sólo el % de las varacones en Y no pueden ser explcadas por la varable ndependente de las ventas mensuales generadas por la empresa. Un % de los casos las varacones en el gasto mensual en publcdad y promocón pueden ser explcadas por las ventas mensuales realzadas por la empresa Modelo de regresón lneal smple. El modelo de regresón lneal smple toma la orma Y = a + bx, (.31) Donde Y = varable dependente; X = varable ndependente.los valores de la pendente(b) y la nterseccón con el eje Y (a), se obtenen usando las ecuacones normales escrtas en la orma convenente. X Y n X Y b (.3) X nx a Y bx (.33) Ejemplo.1. En relacón al ejemplo.19, el gerente general puede determnar el modelo de regresón lneal smple (.31), basándose en los resultados obtendos en la Tabla.1 y usando las órmulas (.3) y (.33) de la manera sguente: 3,41 ( ) ( ) b (35,000) (1) ( ) Una vez calculado el valor de la pendente (b), ya podemos determnar el valor de la nterseccón con el eje Y usando la órmula (.33). Esto es, a ( ) ( ) ( ) Por lo tanto, el modelo de regresón lneal para los datos de la Tabla.0 es: Y = X (.34) En dondex representa el monto de las ventas mensuales y Y el gasto mensual en publcdad y promocón. Ejemplo.. En relacón al Ejemplo.0, para el mes deseptembre de 010, la empresa desea realzar ventas por 100 mllones de pesos. El gerente general usa el modelo de regresón lneal smple calculado en el Ejemplo.1, para determnar el gasto que debe hacerse ese mes en publcdad y promocón de la empresa, como sgue: Departamento de Matemátcas 38 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

39 Y = (100) = Esto es, para lograr las ventas deseadas en el mes de septembre de 010, la empresa debe realzar un gasto aproxmado de 9 mllones de pesos en publcdad y promocón. Ejemplo.3.En reerenca al problema anteror, para el mes de octubre la gerenca de publcdad y promocón de la empresa cuenta con un presupuesto de 11.5 mllones de pesos. El gerente general pronostca las ventas esperadas para el mes de octubre usando el modelo de regresón smple (.34), de la manera sguente: Despejando el valor de X se tene que: 11.5 = X Con el resultado obtendo el gerente general espera que las ventas de octubre serán aproxmadamente del orden de los 18.6 mllones de pesos..14. Ejerccos teórcos. 1. Relacona medante lechas los conceptos que se correspondan entre sí: Estadístca Conjunto homogéneo de ndvduos en estudo. Muestra Estadístca Descrptva. Poblacón Undad expermental o Undad estadístca. Estadístca Inerencal. Cada uno de los ndvduos que consttuyen la poblacón. Se ocupa del estudo y la aplcacón del conjunto de métodos necesaros para recoger, clascar, representar y resumr datos, así como de la realzacón de nerencas a partr del análss de éstos Parte de la poblacón sobre la que se expermenta Es el conjunto de técncas que se utlza para obtener conclusones que sobrepasan los límtes del conocmento aportado por los datos, busca obtener normacón de un colectvo medante un sstemátco procedmento del manejo de datos de la muestra. Se ocupa del estudo y aplcacón de los métodos necesaros para representar y resumr datos. Responde verdadero (V) o also (F) a las sguentes armacones: Los 500 casos de grpe analzados conorman la poblacón en estudo. Los 0,000 enermos selecconados consttuyen una muestra de la poblacón española Una varable cualtatva no puede ser expresada con números Las varables dscretas se expresan sempre con números enteros postvos El peso no es una varable contnua porque no puede ser negatvo La cantdad de grageas de un rasco es una varable contnua El estado cvl de una persona es una varable dcotómca El resultado de una maratón es una varable ordnal V F V F V F V F V F V F V F V F Departamento de Matemátcas 39 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

40 Los estadístcos son valores que cuantcan certas característcas de los datos V F El número medo de crías de ratón por camada no es un estadístco V F Las recuencas absolutas se expresan en valores enteros postvos V F Para comparar el número de aprobados en dos asgnaturas utlzamos las recuencas absolutas V F Las recuencas absolutas acumuladas se pueden calcular para cualquer tpo de varable V F 3. Completa las sguentes armacones: a)la dstrbucón de recuencas relatvas de una varable dscreta se puede representa medante un. b) El es el gráco más utlzado para representar la dstrbucón derecuencas smples (no acumuladas) de una varable contnua. c) Dos derencas entre el dagrama de recuencas acumuladas y el polígono de recuencasacumuladas son: () El prmero permte representar varables y el segundovarables. () El prmero es una gráca mentras que el segundo es unagráca. d) La es una medda característca válda para representar varablescualtatvas. e) Las meddas característcas de poscón de tendenca central son:, y. ) Los son valores que dvden a la muestra en cuatropartes de gual recuenca. Análogamente, los son valores que dvden a la muestra en cen partes de gual recuenca. g) El límte (bgote) neror de un dagrama de cajas representa un valor calculado medantela expresón:. h) Las sguentes relacones entre la meda, medana y moda son ndcadores numércos de laasmetría en la dstrbucón de los datos: () moda medana meda ndca smetría. () moda medana meda ndca asmetría. postva (a la derecha) () moda medana meda ndca asmetría. negatva (a la zquerda). ) El sgno del coecente de curtoss de Fsheres ndcadorde la orma de la dstrbucón de recuenca de los datos: () Unvalor ndca que la dstrbucón es platcúrtca. () Un valor ndca que la dstrbucón es mesocúrtca. () Un valor ndca que la dstrbucón es leptocúrtca..15. Ejerccos práctcos. 1. En el Departamento de Personal de una ábrca se ha realzado un estudo estadístco en relacón a los salaros mensuales percbdos por los trabajadores en mles de pesos. El resultado de una muestra de 60 empleados arrojó los sguentes datos: Departamento de Matemátcas 40 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

41 Con base en la normacón de la muestra, a) Construye el dagrama de tallo y hojas para los datos dados. b) Obtén la dstrbucón de recuencas para los datos no agrupados de la muestra. c) Calcula la meda, medana y moda para la dstrbucón de recuencas del ncso b). d) Construye una dstrbucón de recuencas de datos agrupados de cnco ntervalos gualmente espacados. e) Calcula la meda, moda y medana para los datos agrupados y compara los resultados obtendos en el caso c). Qué puedes argumentar al respecto? ) Con la dstrbucón de recuencas del ncso d), construye los grácos sguentes; 1) El hstograma. ) El polígono de recuencas. 3) La ojva menor qué 4) La ojva mayor qué g) Construye los dagramas de caja para con los datos obtendos en los ncsos c) y e) y compáralos. Qué puedes decr al respecto?. Para la empresa SAMID y Asocados, la cantdad dara producda (en mles de undades) está dada por la sguente dstrbucón de recuencas: Cantdad dara producda (en mles) Frecuenca Absoluta De 5 a menos de De 15 a menos de 5 x De 5 a menos de 35 y De 35 a menos de 45 8 De 45 a menos de 55 7 El gerente de produccón ha perddo dos datos, pero asegura que la suma de las cantdades altantes es el doble del promedo de la produccón dara. A partr de la normacón de la tabla y de lo que asegura el gerente, se desea saber: a) El valor de x yde y, s se sabe que la cantdad promedo de la produccón dara es de 6 ml undades. b) Los valores de medana, moda, varanza y desvacón estándar para la produccón dara. c) El tercer cuartl, el noveno decl y el percentl número 15. d) El coecente de varacón, el coecente de asmetría de Pearson, y los coecentes de asmetría y curtoss de Fsher. e) Conorme a la comparacón de las meddas centrales (promedo, medana y moda) obtendas en el ncso b), la dstrbucón de las cantdades daras deproduccón es: ) Asmétrca a la derecha, ) Asmétrca a la zquerda, ) Smétrca o v) Unorme. ) De acuerdo al coecente de varacón obtendo en el ncso d), las cantdades daras de produccón son: ) Heterogéneos, ) Homogéneos, ) Muy heterogéneos o v) Muy Homogéneos. d) Conorme al coecente de asmetría de Pearson obtendo en el ncso d), la orma de la dstrbucón de los datos dados en la tabla es ) Dsmétrca negatva, ) Unorme, ) Dsmétrca postva o v) Smétrca. e) De acuerdo al coecente de Asmetría de Fsher obtendo en el ncsod), la dstrbucón de las cantdades daras de produccón está: ) Sesgada a la Izquerda, ) Sesgada a la derecha, ) Insesgada o v) Invarante. ) De acuerdo al coecente de curtoss de Fsher obtendos en d), la orma de la dstrbucón de las cantdades daras de produccón es: ) Leptocúrtca, ) Mesocúrtca, ) Cuascúrtca o v) Platcúrtca. Departamento de Matemátcas 41 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

42 3. Una empresa se dedca a la abrcacón de barras de acero, para ello usa una máquna, cuyas característcas hacen que la longtud de éstas no pueda ser mayor de 50 cm. Se realzó una muestra de la produccón de la máquna en una determnada hora de unconamento, las longtudes de las barras producdas ueron las sguentes: Longtud (en cm.) Cantdad de barras Menos de10 3 De 10 a menos de 0 1 De 0 a menos de 5 7 De 5 a menos de De 30 a menos de a menos de 45 5 a) Con los datos de la tabla, determna, para esa hora especíca, los valores para la longtud de esas barras de la 1) meda, ) medana, 3) moda, 4) varanza, 5) percentl número 35, 6) segundo decl,7) prmer cuartl, 8) coecente de varacón, 9) coecente de asmetría de Pearson, 10) coecente de asmetría de Fsher y 11) coecente de curtoss. b) Conorme a la comparacón de las meddas centrales (promedo, medana y moda) obtendas en los puntos 1, y 3 del ncso a), la dstrbucón de la longtud de las barras es: ) Asmétrca a la derecha, ) Asmétrca a la zquerda, ) Smétrca ov) Unorme. c) De acuerdo al coecente de varacón obtendo en el ncso8, las longtudes de las barras son: ) Heterogéneos, ) Homogéneos, ) Muy heterogéneos o v) Muy Homogéneos. d) Conorme al coecente de asmetría de Pearson obtendo en el ncso9, la orma de la dstrbucón de los datos es ) Dsmétrca negatva, ) Unorme, ) Dsmétrca postva o v) Smétrca. e) De acuerdo al coecente de Asmetría de Fsher obtendo en 10), la dstrbucón de la longtud de las barras está: ) Sesgada a la Izquerda, ) Sesgada a la derecha,) Insesgada o v) Invarante. ) De acuerdo al coecente de curtoss de Fsher obtendos en 11), la orma de la dstrbucón de la longtud delas barras es: ) Leptocúrtca,) Mesocúrtca,) Cuascúrtcaov) Platcúrtca. 4. En una muestra realzada en las dos sucursales de una empresa determnada, se obtuveron las sguentes dstrbucones de recuencas de los montos de las ventas daras realzadas en mles de pesos. Sucursal A Sucursal B Monto de las ventas (mles de pesos) Número de días Monto de las ventas (mles de pesos) Número de días Menos de 90 7 Menos de 70 5 De 90 a menos de De 70 a menos de 00 8 De 150 a menos de De 00 a menos de De 300 a menos de De 350 a menos de De 600 a menos de De 700 a menos de Total 100 Total 100 a) Con los datos de la tablas, determna, para cada sucursal, los valores para el monto de las ventas de la 1) meda, ) medana, 3) moda, 4) varanza, 5) percentl número 35, 6) segundo decl, 7) prmer cuartl, 8) coecente de varacón, 9) coecente de asmetría de Pearson, 10) coecente de asmetría de Fsher y 11) coecente de curtoss. b) Conorme a la comparacón de las meddas centrales (promedo, medana y moda) obtendas en los puntos 1, y 3 del ncso a), la dstrbucón de las ventas de cada sucursal es: ) Asmétrca a la derecha, ) Asmétrca a la zquerda, ) Smétrca o v) Unorme. c) De acuerdo al coecente de varacón obtendo en el ncso 8, los montos de las ventas de cada sucursal son: ) Heterogéneos, ) Homogéneos, ) Muy heterogéneos o v) Muy Homogéneos. Departamento de Matemátcas 4 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

43 d) Conorme al coecente de asmetría de Pearson obtendo en el ncso 9, la orma de la dstrbucón de los datos para cada sucursal es ) Dsmétrca negatva, ) Unorme, ) Dsmétrca postva o v) Smétrca. e) De acuerdo al coecente de Asmetría de Fsher obtendo en 10), la dstrbucón de los montos de las ventas de cada sucursal está: ) Sesgada a la Izquerda, ) Sesgada a la derecha, ) Insesgada o v) Invarante. ) De acuerdo al coecente de curtoss de Fsher obtendos en 11), la orma de la dstrbucón de los montos de las ventas de cada una de las sucursales es: ) Leptocúrtca, ) Mesocúrtca, ) Cuascúrtca o v) Platcúrtca. g) En base a ambas dstrbucones, responde a las sguentes preguntas: 1) Cuál de las dos tene menor dspersón? ) Para qué empresa resulta más representatvo el monto de ventas promedo? 3) Cuál de las dos empresas se encuentra con una dstrbucón de las ventas más equlbrada o con menos varabldad? 5. La dureza de los árboles es dícl de medr drectamente, sn embargo la densdad s es relatvamente ácl de medr. Por ello es de gran nterés dsponer de un modelo que permta predecr la dureza de un árbol a partr de su densdad. Por este motvo se ha tomado una muestra de 36 eucalptos y se les mdó su densdad (X) y su dureza (Y ). Los resultados obtendos son los de la tabla adjunta. Densdad Dureza Densdad Dureza Densdad Dureza Con los datos dados en la tabla, a) Construye un dagrama de dspersón y comenta s exste algún tpo de relacón entre las dos varables nvolucradas, la relacón es lneal o no lneal? b) Determne el coecente de correlacón e nterpreta el resultado encontrado. c) Calcula el coecente de determnacón y en base al resultado obtendo determna s se puede explcar el consumo de dureza del árbol por una relacón lneal con su densdad. d) Determne el modelo de regresón lneal smple. e) Usando el modelo hallado en el ncso anteror,predga la dureza de un árbol de densdad 0 y 60 undades respectvamente ) Usando el modelo del ncso d),predga la densdad de un árbol de dureza 300 y 4000 respectvamente. 6. En qunce casas de la cudad de Mlton Keynes se observó durante un período de tempo la derenca de temperatura promedo (en grados centígrados) entre la temperatura en la calle y la temperatura en casa, y el consumo de gas daro en kwh. Derenca de Derenca de Derenca de Consumo Consumo Consumo Temperatura. Temperatura. Temperatura Departamento de Matemátcas 43 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

44 Con los datos anterores, a) Construye un dagrama de dspersón. Exste relacón entre estas dos varables? b) Construye un dagrama de dspersón y comenta el tpo de correlacón exstente entre las dos varables nvolucradas, la relacón es lneal o no lneal? c) Determne el coecente de correlacón e nterprete el resultado. d) Calcule el coecente de determnacón Se puede explcar la derenca de la temperatura medante la relacón lneal con el consumo de gas? e) Determne el modelo de regresón lneal smple. ) Usando el modelo hallado en el ncso anteror, predga el consumo de energía s la derenca es de 0 y 60 grados respectvamente. g) Usando el modelo del ncso d), predga la derenca en la temperatura s el consumo de energía es de 85 y 90 undades. 7. La Tabla de abajo presenta una muestra del número de horas trabajadas (X) en una ábrca, y las undades producdas (Y) de artículos. Horas (X) Produccón (Y) Con los datos dados en la Tabla, a) Construye un dagrama de dspersón y comenta s exste algún tpo de relacón entre las dos varables nvolucradas, la relacón es lneal o no lneal? b) Determne el coecente de correlacón e nterprete el resultado. c) Calcule el coecente de determnacón e nterprete el resultado d) Determne el modelo de regresón lneal smple. e) Usando el modelo hallado en el ncso anteror, predga la cantdad de undades que se espera producr s se trabajan 10 horas. ) Usando el modelo del ncso d), predga las posbles horas trabajo, s las undades producdas ueron de Se ha solctado a un grupo de 50 ndvduos normacón sobre el número de horas que dedcan daramente a dormr y ver la televsón. La clascacón de las respuestas ha permtdo elaborar la tabla sguente: Nº de hrs dormdas (X) Nº de hrs de TV (Y) Nº de hrs dormdas (X) Nº de hrs de TV (Y) Nº de Hrs dormdas (X) Nº de Hrs de TV (Y) Nº de Hrs dormdas (X) Nº de Hrs de TV (Y) Departamento de Matemátcas 44 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

45 Con los datos dados en la tabla, a) Construye un dagrama de dspersón y comenta s exste algún tpo de relacón entre las dos varables nvolucradas, la relacón es lneal o no lneal? b) Determne el coecente de correlacón e nterprete el resultado. c) Calcule el coecente de determnacón e nterprete el resultado d) Determne el modelo de regresón lneal smple. e) Usando el modelo hallado en el ncso anteror, predga la cantdad de undades que se espera duerma una persona que ve la TV durante 1.5 horas. ) Usando el modelo del ncso d), predga las posbles horas que una persona ve TV, s las horas que duerme son de 8.5 hrs. Nota: Los datos utlzados en los problemas 5 y 6, han sdo tomados del lbro Ahandbook o small data sets, edtado por D.J. Hand, F. Daly, A.D. Lunn, K.J. McConway y E Ostrowsky. Chapman& Hall..16. Lecturas recomendadas. 1) Santago Fernández Fernández, José María Cordero Sánchez, Alejandro Córdoba Largo. Estadístca descrptva. page&q=estadstca%0descrptva&=alse ) Ma. Vctora Alea Rera. Estadístca descrptva: aplcacones práctcas &cd=#v=onepage&q=estadstca%0descrptva&=alse.17. Bblograía recomendada para reorzar este tema. 1) Joan BaróLlnàs. Estadstca descrptva: aplcacones económco-empresarales. Paramón, 1987 Segunda Edcón. ) Hanke.Estadístca para negocos. Edtoral Irwn ) Jorge Galbat Resco. Regresón Lneal Smple.Colomba. Enero de Reerencas. [1] Yadolah Dodge - Págna 4, Sprnger, 008. []Danel A. Robles Fabán.Regresón múltple Lma Perú [3]Alca Vla; Máxmo Sedano; Ana López; Ángel A. Correlacón Lneal y Análss de Regresón.Proyecto e- Math.UOC [4] Berenson, Levne. Estadístca Básca en Admnstracón. Concepto y Aplcacones. Edtoral Pearson Oe0QC&prntsec=rontcover&dq=berenson+y+levne&source=gbs_smlarbooks_s&cad=1#v=onepage&q=berenson% 0y%0levne&=alse Departamento de Matemátcas 45 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-

46 Departamento de Matemátcas 46 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 013-