UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL SUR ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL SUR ACADEMIA DE MATEMÁTICAS GUÍA PARA PREPARAR EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE ESTADISTICA Y PROBABILIDAD I ELABORARON PROFR. HELIOS BECERRIL MONTES MTRO. JUAN DE DIOS HERNANDEZ GARZA MTRA. MARIA DEL ROSARIO JIMENEZ HERNANDEZ PROFRA. ALICIA LARA ALVAREZ NOVIEMBRE DE 2005 REVISION MTRA. MA. DEL ROSARIO JIMENEZ HERNANDEZ MTRO. JUAN DE DIOS HERNANDEZ GARZA MARZO DE 2010

2 CONSIDERACIONES IMPORTANTES Los exámenes extraordnaros son oportundades que debes aprovechar para aprobar las asgnaturas que, por dversas razones, reprobaste en el curso normal, pero, presentarse a un examen sn la preparacón sufcente sgnfca un fracaso seguro, es una pérdda de tempo y un acto rresponsable que puedes evtar. Para aumentar tu probabldad de éxto en el examen medante la utlzacón de la guía, es necesaro que: Sgas al pe de la letra las nstruccones de la guía. Procura dedcar al estudo de esta guía tempo daro sufcente y con un tempo mínmo de dos meses antes del examen. Contesta toda la guía y verfca tus respuestas, cuando no hayas contestado correctamente revsa lo que hcste y s así no obtenes la respuesta correcta acude a asesorías con algún profesor. Programa de Estadístca y Probabldad I La Estadístca y la Probabldad se han vuelto requsto ndspensable en la vda cotdana para nterpretar una gran varedad de nformacón en dversos campos de estudo. En su entorno una persona encuentra reportes fnanceros, económcos, médcos y otros que se pueden entender y evaluar con una comprensón básca de estas dscplnas. El estudo de ambas asgnaturas representa una secuenca de conocmentos que se enrquecen conforme se avanza en su estudo. Su objetvo es el de brndarte conceptos y procedmentos báscos que te permtan contnuar tu formacón matemátca, además de adqurr conocmentos de carácter ntroductoro y propedéutco del estudo de los métodos probablístcos y estadístcos, así como de sus aplcacones en dversos campos del conocmento. Con ello se pretende reforzar el empleo de estrategas, tu capacdad de solucón de problemas, desarrollo de habldades y de dversas formas de razonamento. Al termnar de contestar esta guía de estudo habrás logrado: Comprender la naturaleza de los fenómenos aleatoros que se presentan en tu entorno, para contnuar el desarrollo de tu pensamento matemátco. Comprender que la Probabldad y la Estadístca consttuyen dscplnas que ncluyen conceptos, técncas y métodos que permten aproxmarse al estudo de los fenómenos aleatoros a partr del tratamento de la nformacón. Realzar predccones e nferencas sustentadas en modelos matemátcos, cuyo alcance trascende haca otras áreas del conocmento. La apropacón de una vsón de la Estadístca y de su aplcacón para descrbr el comportamento de un conjunto de datos en una y dos varables. Adqurr los elementos, métodos y técncas para estudar los fenómenos de naturaleza aleatora con el fn de comprender sus característcas, obtener nformacón sobre su comportamento y evaluar sus resultados. 2

3 LOS CONTENIDOS DEL CURSO Y DE LA GUÍA SON: UNIDAD CONTENIDO Introduccón 1 Estadístca Descrptva 2 Datos Bvarados 3 Probabldad INDICE Págna INTRODUCCION Vsón ncal y utldad de la Estadístca. 4 Errores en el uso de la Estadístca. 4 Conceptos báscos. 5 UNIDAD 1. ESTADISTICA DESCRIPTIVA Varables y su clasfcacón 7 Escalas de medcón. 8 Recoplacón de datos. 10 Tablas de dstrbucón de frecuencas. 10 Descrpcón gráfca de los datos 12 Descrpcón numérca de los datos 16 Meddas de Tendenca Central. 16 Meddas de Dspersón. 26 Meddas de Poscón. 32 Regla Empírca. 36 UNIDAD 2. DATOS BIVARIADOS Dagrama de Dspersón 37 Correlacón entre dos varable numércas 38 Modelo de Regresón Lneal Smple 38 UNIDAD 3. PROBABILIDAD. Fenómenos determnístcos y aleatoros 42 Defncones de Probabldad 43 Conceptos báscos 43 Probabldad de eventos smples 45 Probabldad de eventos compuestos 46 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 52 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 56 3

4 INTRODUCCION Propósto. Al fnalzar esta ntroduccón debes haberte apropado de una vsón ncal de la Estadístca y de la Probabldad a partr de los conceptos báscos y el planteamento de ejemplos para aprecar los alcances de esta asgnatura. Vsón ncal Se presenta una vsón ncal de la Estadístca y de la Probabldad, que permte aprecar los alcances de la matera. La Estadístca es una cenca que utlza técncas y conceptos para elaborar prncpos y métodos para construr modelos teórcos que permtan descrbr, analzar e nterpretar los procesos estudados y en consecuenca tomar decsones frente a la ncertdumbre. Actualmente la Estadístca se emplea en toda clase de estudos centífcos como un procedmento en la toma de decsones, como por ejemplo: En medcna: Cómo prueba un médco la efcenca de un nuevo fármaco? En la ndustra. Cómo se determna la caldad de produccón de un artículo específco? En socología: De qué modo pronostcar el tamaño de la poblacón mundal para el año 2025? Cómo nferr el tpo de almentacón que nutrrá a la humandad para ese msmo año? En agrcultura: Qué tpos y en qué doss los fertlzantes nsectcdas aumentan las cosechas? En medcna socal: Aumenta realmente el tabaqusmo las probabldades del surgmento del cáncer pulmonar? Para su estudo, la Estadístca se dvde en: - Estadístca Descrptva que tene como objetvo organzar la nformacón dsponble para descrbr el comportamento de un suceso. - Estadístca Inferencal que tene como objetvo nterpretar la nformacón para sacar conclusones acerca de un conjunto grande de personas u objetos, por medo de la nformacón obtenda de sólo una pequeña parte o muestra del conjunto total. Errores en el uso de la estadístca. - Se pensa que los resultados resumdos en la estadístca descrptva son la pura verdad y, por ende, hay que apegarse a ellos y que cualquer nterpretacón de los msmos deforma los hechos. - Se sostene que las nterpretacones permtdas por los resultados de la estadístca descrptva son múltples y todas gualmente objetvas, pues se basan en los hechos detectados. 4

5 Estas percepcones son erróneas. La Estadístca Descrptva sí admte y exge una sere de nterpretacones ntutvas de la nformacón; sn embargo, nnguna de dchas nterpretacones posee el rgor teórco y metodológco de la Estadístca Inferencal. Algunos ejemplos son: En la determnacón de la meda de los salaros en una empresa, s se consderan los altos salaros de los drectvos, el promedo salaral estará muy por encma del resultado que se obtendría s se hubesen excludo las percepcones del cuerpo drectvo. Al medr las tasas de empleo, desempleo y subempleo, con qué crteros defnr a un empleado, a un desempleado o a un subempleado? Un posble crtero es que esté hacendo algo (obrero, ejecutvo, estlsta, etc.) para ganarse la vda. Otro es que tenga X tempo mínmo trabajando, o, que tenga o no un ngreso o sueldo regular, etc. Otro error muy frecuente es tomar una muestra de una poblacón de manera espontánea, sn un método de muestreo o utlzando crteros personales del nvestgador (como las muestras no aleatoras). Por ejemplo, al estudar a los estudantes de la UNAM se puede elegr como muestra al conjunto de los compañeros del msmo salón, por ser los más accesbles al nvestgador y se obtendrían conclusones sn base- sobre todo el estudantado. Conceptos báscos Fenómeno. Es cualquer suceso y se establece que es aleatoro cuando no se puede predecr su resultado y determnístco en caso de que se pueda predecr. Poblacón Una poblacón es la coleccón de todos los ndvduos son característcas comunes. Muestra Una muestra es cualquer subconjunto de la coleccón de ndvduos que consttuye la poblacón. Estadístcamente una muestra es pequeña cuando tene menos de 30 datos y grande cuando tene 30 o más datos. Varable Es cualquer característca de nterés que tenen todos los ndvduos de la muestra o de la poblacón. 5

6 Algunos ejemplos de varables son: --A un grupo de nvestgadores de un hosptal le nteresa conocer en qué proporcones o porcentajes se dstrbuye el tpo de sangre de las personas que habtan en una cudad. El tpo de sangre es la varable y tambén lo puede ser la estatura y peso de los recén nacdos en el hosptal. --La trabajadora socal del Hosptal Gustavo Baz Prada, del Estado de Méxco, lleva a cabo un estudo socoeconómco de los pacentes. En cada famlar del pacente entrevstada reporta entre otras el nvel socoeconómco que puede ser alto (A), medo alto (MA), medo (M), medo bajo (MB), o bajo (B). Investga el número de hjos por famla, que puede ser desde cero hasta cualquer número entero postvo que corresponda a la magntud observada. El nvel académco de los ntegrantes de la famla. El tpo de vvenda donde se pregunta s es propa o paga renta, el tpo de pso s es de terra de cemento u otro; el número de cuartos con que cuenta y cuantos se utlzan para dormr. Todas estas característcas son varables. Estas característcas de nterés no presentan un solo valor determnado y predecble con exacttud en cada medcón observada. Se concluye que una característca de nterés que tenen en común todos los elementos de un conjunto de ndvduos de tal manera que al medrla se obtenen valores dferentes e mpredecbles se le llama varable. Relacona cada concepto con su respectva defncón, escrbendo en el paréntess la letra correspondente. ( ) Rama de la Estadístca que proporcona las reglas para obtener conclusones de las característcas de una poblacón a partr de las de una muestra. ( ) Es un conjunto de ndvduos con característcas comunes. ( ) Rama de la Estadístca que se ocupa de la organzacón de la nformacón para descrbr un suceso. ( ) Muestra que contene 30 o más datos ( ) Es un fenómeno al cual no se le puede predecr su estado fnal. ( ) Es cualquer subconjunto de la poblacón. ( ) Muestra con menos de 30 datos. A) Poblacón B) Muestra C) Fenómeno determnístco D) Fenómeno aleatoro E) Muestra grande F) Estadístca Descrptva G) Estadístca Inferencal H) Muestra pequeña 6

7 UNIDAD 1. ESTADISTICA DESCRIPTIVA Propósto. Al fnalzar esta undad debes haber comprenddo y aplcado técncas para recoplar, organzar y representar a un conjunto de datos provenente del planteamento, dscusón y resolucón de problemas para nterpretar y analzar el comportamento de una varable en dcho conjunto. VARIABLES Las varables consttuyen los atrbutos o característcas de nterés en una muestra o en una poblacón. Como estas característcas no se mantenen constantes de muestra a muestra o de poblacón a poblacón, se les llama varables estadístcas o smplemente varables. Las varables pueden ser numércas (cuanttatvas), o categórcas (cualtatvas). Clasfcacón de las varables. Las varables se clasfcan de acuerdo con el tpo de los valores que pueden asumr cuando se mde la característca de nterés. Para los ejemplos de varables anterores, se menconan algunos valores: Tpo de sangre posee los nveles: A, B, AB, u O. La estatura puede ser desde 47 hasta 55 cm. El peso desde 1.5 kg hasta 6.1 kg. En el nvel socoeconómco consste de cnco nveles: A, MA, M, MB o B. El número de hjos pueden ser: 0, 1, 2, 3, 4, El nvel académco. S es en prmara, que grado cursa 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º. Secundara el grado es 1º, 2º, 3º. Se observa que los valores que asume cada varable son dstntos, algunos números y otros certa cualdad. Varable categórca, nomnal o cualtatva, Es aquella cuyos posbles valores son úncamente categorías o nombres. Varable escalar, numérca o cuanttatva. Es la varable cuyos valores posbles son números que descrben cantdad. Varable dscreta. Provene de un proceso de conteo y se caracterza por la propedad de que para dos posbles valores de ella solamente hay un número fnto de posbles valores ntermedos, es decr, sus valores son numerables. Varable contnua. Provene de un proceso de medcón y tene la propedad de que entre dos valores de ella, cualquer valor ntermedo es tambén un valor posble, es decr, sus valores no son numerables. Varable aleatora, Es aquella cuyo valor no se puede predecr. 7

8 Varable determnsta, Es aquella cuyo valor se puede predecr. A contnuacón se enuncan ejemplos donde se da la característca, valores que puede asumr y se defne la varable. Ejemplos: a) Tpo de sangre que tendrá un alumno del CCH. Los valores posbles son: A, B, AB, u O Es una varable cualtatva, aleatora, nomnal. b) Peso de los nños que nacerán en un día determnado en el Hosptal Escandón Algunos valores posbles son: kg, kg, 4 kg. Es una varable cuanttatva, aleatora, contnua. Ejerccos: Clasfca cada una de las sguentes varables y determna sus posbles valores o algunos de ellos. 1. Grado que cursan los alumnos en una escuela prmara. 2. Número de hjos que tendrá un matrmono. 3. Número de puntos de la cara superor al lanzar un dado legal una vez. 4. Peso atómco de los elementos químcos. 5. Calfcacón obtenda por un estudante al fnal del curso de Matemátcas I 6. Género de los alumnos que cursarán el sexto semestre este cclo escolar. 7. Número de teléfono de los alumnos de 16 años que cursan el 5to. Semestre. 8. Fecha de los próxmos 10 eclpses solares vsbles en Méxco. 9. Número de alumnos a admtr en el bachllerato de la UNAM para el próxmo año lectvo. 10. Edad de los alumnos de 3ro. de una secundara del muncpo de Naucalpan. Escalas de medcón. Cuando las varables son numércas, se utlzan, en su medcón, las escalas de ntervalo y de razón. En la escala de ntervalo se puede cambar el orgen y la undad de medda, por ejemplo en el tempo (en mnutos) que hacen los alumnos de su casa al plantel, el orgen puede ser de 15 mnutos y la undad de medda puede cambar a undades de 10 mnutos. S el objetvo es conocer el número de hermanos, se usa la escala de razón (no se puede cambar la undad de medda n el orgen). Los valores de una varable contnua se suelen agrupar en ntervalos llamados ntervalos de clase. El punto medo entre los extremos de cada ntervalo se llama marca de clase, punto medo de clase o punto medo del ntervalo. Sempre que se agrupe una varable por ntervalos se produce una pérdda de la nformacón, pues lo que se tene en cuenta es la pertenenca o no de cada dato al ntervalo y no su valor exacto. La escala nomnal se usa cuando se tenen varables categórcas (nomnales) como por ejemplo el tpo de músca preferdo o preferenca por algún refresco. 8

9 La escala ordnal se usa en stuacones donde los valores de la varable, comúnmente categórca (ordnal), se pueden jerarquzar u ordenar, asgnando valores como por ejemplo Excelente, Bueno, Regular o Pésmo, pero no se pueden realzar operacones artmétcas entre estos valores. Las varables son la herramenta fundamental de la Estadístca porque dependendo del tpo de varable es el análss que se realza con cada una de ellas. Por ejemplo los datos de una varable numérca se pueden analzar calculando las meddas de tendenca central (meda artmétca, medana y moda) y las meddas de dspersón (varanza y desvacón estándar). S la varable es categórca ordnal solo se le puede analzar calculando la medana y la moda; pero s la varable es nomnal el únco valor que se le puede calcular es la moda. A contnuacón se presenta una tabla con las escalas de medcón y sus característcas para las dferentes varables: Escala de medcón Operacones báscas Cambos permtdos Ejemplos de varables Valores Nomnal Determnacón de gualdad o pertenenca a una categoría cambos en los nombres de las caregorías Sexo Relgón M, F C, P, A Ordnal Dtermnacón del grado de ntensdad Cambos que mantengan las relacones de orden Calfcacón NA, S, B, MB Intervalo Determnacón de gualdad de ntervalos o dferencas Se puede cambar la undad de medda y el orgen Temperatura Números enteros y fracconaros Razón Determnacón de gualdad Se puede cambar la de razones o proporcones undad de medda pero no el orgen Porcentajes Numero enteros y fracconaros Absoluta Determnacón del número de elementos o conteo de undades No se puede cambar la undad de medda n el orgen Número de hjos Enteros 9

10 RECOPILACION DE DATOS Ejercco: Completa la sguente tabla preguntado a 20 de tus compañeros la nformacón necesara: No. No de Cuenta Estatura No. de hermanos Peso Años cumpldos TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Cuando se está tratando con una gran cantdad de datos es convenente agruparlos en ntervalos, para lo cual es necesaro consderarlos ordenados dentro de ese ntervalo de acuerdo a su frecuenca que corresponde al número de veces que los datos consderados se repten. - Los ntervalos o clases deben ser del msmo tamaño o ampltud. - Los ntervalos deben construrse de manera que no haya datos que pertenezcan a dos ntervalos dferentes, es decr, los ntervalos deben ser ajenos y no traslaparse. - Los límtes de clase que corresponden, el nferor al menor valor de la varable en cada ntervalo y el superor al mayor valor de la varable en el ntervalo. - Límtes reales de clase que se localzan en medo del límte superor de un ntervalo y del límte nferor del sguente. Además es necesaro determnar algunos valores que servrán para analzar y representar al conjunto de datos agrupados en ntervalos, tales como: 10

11 - Marca de clase o punto medo del ntervalo.. Es el valor representatvo de cada ntervalo y corresponde al valor de la varable stuado exactamente en el centro de cada uno de ellos. - Frecuenca relatva. Es la medda proporconal de las frecuenca para cada ntervalo y que se obtene dvdendo cada valor de frecuenca entre la suma total de ellas. - Frecuenca acumulada. Es para cualquer ntervalo el resultado de sumar su frecuenca con las frecuencas de los ntervalos que le preceden. - Frecuenca relatva acumulada. Es la frecuenca relatva de cada ntervalo sumada con la frecuenca relatva de los ntervalos que le preceden. - Tamaño o ampltud de ntervalo. Es el tamaño que corresponde a cada ntervalo y que se obtene como la dferenca del límte real superor menos el límte real nferor de cada ntervalo. Ejemplo. Se tene que el sguente conjunto de datos corresponde a la edad (en años) de los habtantes de una colona de la delegacón de Tlalpan, que assten a la escuela (a partr de la prmara). Edad Número de Marca de Límtes reales Frecuenca Frecuenca (años) habtantes clase de clase relatva acumulada Intervalo f x LRI LRS fr fa 7 a a a a a a a Ejercco. Los sguentes datos muestran el número de vuelos nternaconales recbdos en el aeropuerto de la cudad de Méxco durante los últmos meses de enero y febrero, construye una tabla de frecuencas con ntervalos de tamaño 9 consderando el dato menor como el límte nferor del prmer

12 Intervalo Frecuenca Marca de clase Límtes reales de clase Frecuenca relatva Frecuenca acumulada DESCRIPCION GRAFICA DE LOS DATOS Las gráfcas (o gráfcos) son muy utlzados en la prensa, en la televsón y en los lbros para presentar los datos de una forma más vstosa. Además, tambén se consgue que, de un solo vstazo, podamos darnos cuenta de los detalles fundamentales. En ocasones, cuando se nos habla de una persona o lugar, que no conocemos, prefermos que nos muestren una fotografía además de las característcas que nos puedan platcar. Así pues, resulta convenente, además de tabular un conjunto de datos, proveer una magen gráfca que sea explcatva por s sola. Cuando los datos son cualtatvos resultan adecuadas las gráfcas de barras o crculares. S los datos son cuanttatvos, pueden ser adecuadas el polígono de frecuencas o los hstogramas de frecuencas. Un hstograma de frecuencas es la gráfca más común para representar datos cuanttatvos. Esta gráfca muestra como es la dstrbucón en cuanto a la forma de los datos (smétrca, asmétrca, bmodal, concentracones o huecos en los datos, etc.). Cuando el hstograma se basa en datos provenentes de una muestra, la gráfca solamente descrbe el comportamento de los datos en la muestra, pero podría sugerrnos que la poblacón tene una forma smlar, sn embargo no se puede afrmar que la poblacón tenga la msma forma (no se pueden hacer nferencas). Por lo tanto, el hstograma es una técnca solamente descrptva. Característcas de los gráfcos. Las prncpales característcas que debe reunr un gráfco, son: a) Debe ajustarse a la realdad de los datos que representa. b) Ha de ser claro y fácl de leer y entender. c) Debe de llevar el título y todas las ndcacones necesaras para una correcta nterpretacón. Los gráfcos pueden ser smples, s representan drectamente las frecuencas absolutas o las frecuencas relatvas. Los gráfcos son acumulatvos s representan los valores de las frecuencas acumuladas. 12

13 Exsten dferentes maneras de representar gráfcamente a un conjunto de datos, las cuales presentan en forma vsual el patrón de comportamento de la varable de nterés, dentro de éstas, están las gráfcas de barras y crculares o de pastel las cuales srven para representar a menudo datos cualtatvos o de atrbuto. a) Gráfco de barras. Es la representacón cuyas característcas convenconales son: De manera general, la varable ndependente se acostumbra localzar sobre el eje horzontal, aunque tambén se puede localzar en el vertcal. Las barras son rectángulos cuyo ancho se elge arbtraramente, pero debe ser el msmo para todas las barras. Los rectángulos deben construrse separados y la separacón debe ser la msma. Las bases de los rectángulos deben estar centrados sobre los valores de la varable, aunque tambén, éstos pueden escrbrse dentro del rectángulo. Para consderarse completa la gráfca debe tener Título, Nombre de las varables que se representan, la escala utlzada y las undades de las varables. Ejercco. Construye la gráfca de barras para los sguentes datos que corresponden al número de pacentes atenddos de dferentes enfermedades, en una clínca del ISSSTE durante el mes de febrero pasado. Enfermedad No. de pacentes Tos 34 Grpa 112 Fractura 19 Dabetes 64 Males cardacos 43 Alta presón 31 Dolores estomacales 74 b) Gráfco crcular. Es la representacón cuyas característcas convenconales son: De manera general, se determna la proporcón de cada valor de la varable ndependente. Se hace la equvalenca de la proporcón de la varable ndependente a una medda angular. Se traza en el círculo un rado cualquera y a partr de él se van mdendo las respectvas aberturas angulares. Para consderarse completa la gráfca debe tener Título, sobre cada sector crcular el valor de la varable ndependente y en ocasones su correspondente valor de varable dependente con sus undades. Ejercco. Construye la gráfca crcular para los sguentes datos que corresponden al número de pacentes atenddos de dferentes enfermedades, en una clínca del ISSSTE durante el mes de febrero pasado. 13

14 Enfermedad No. de pacentes Tos 34 Grpa 112 Fractura 19 Dabetes 64 Males cardacos 43 Alta presón 31 Dolores estomacales 74 Para una dstrbucón de frecuencas se tenen dferentes representacones gráfcas, tales como: Hstograma de frecuencas. Es la representacón gráfca de un conjunto agrupado de datos que consste en un gráfco de barras o rectágulos cuya altura corresponde a la frecuenca de cada ntervalo localzada sobre el eje vertcal y cuya anchura correspondente a un ntervalo de los valores de la varable representadas por los límtes reales de clase. Para consderarlo completo es necesaro que tenga un título que dentfca a la varable de nterés. Ejercco. Construye el hstograma de frecuencas de los datos que corresponden a las edades los habtantes de Tlalpan. Edad Número de Marca de (años) habtantes clase Intervalo f x 7 a a a a a a a Polígono de frecuencas. Es la representacón gráfca de un conjunto agrupado de datos que consste en una gráfca de lneas trazado sobre un sstema de ejes y cuyos vértces tenen como coordenadas los valores de la varable representados por las marcas de clase como abscsas y las frecuencas correspondentes como ordenadas y para que sea un polígono se debe cerrar sobre el eje horzontal en dos puntos que corresponden a las marcas de clase de dos ntervalos, uno anteror y el otro posteror a prmero y al últmo ntervalo, cuya frecuenca es cero. Para consderarlo completo es necesaro que tenga un título que dentfca a la varable de nterés. 14

15 Ejercco. Construye el polígono de frecuencas de los datos que corresponden a las edades los habtantes de Tlalpan. Edad Número de Marca de (años) habtantes clase Intervalo f x 7 a a a a a a a Ojva. Es la representacón gráfca de un conjunto de datos agrupados que consste en un gráfco de líneas donde los vértces tenen como abscsa los valores de la varable representados por los límtes reales superores y como ordenada la frecuenca relatva o frecuenca relatva acumulada (ojva porcentual). La ojva puede ser crecente o menos que o decrecente o o más, pero generalmente a menos que se ndque lo contraro, cuando se solcta construr una ojva, será la menor que solo de la cual nos ocuparemos en esta guía y que se nca con una frecuenca acumulada gual a cero que corresponde al límte real nferor del prmer ntervalo y consecuentemente al límte real superor de un ntervalo precedente con frecuenca 0. Ejercco. Construye la ojva de los datos que corresponden a las edades los habtantes de Tlalpan. Edad Número de Límtes reales Frecuenca (años) habtantes de clase acumulada Intervalo f LRS fa a a a a a a a

16 DESCRIPCION NUMÉRICA DE LOS DATOS Las meddas numércas descrptvas, resumen la nformacón de un conjunto de datos. En una poblacón, los parámetros más mportantes son los que ubcan el centro de la dstrbucón y los que descrben la dspersón de los datos. A estos se les llama respectvamente, Meddas de Tendenca Central y Meddas de Dspersón o Varabldad, por tal motvo resulta necesaro, en prmera nstanca, calcular estos tpos de meddas a los datos de la muestra y, en segundo lugar, cuando se pretende hacer nferencas sobre los parámetros de la poblacón, estas meddas muestrales serán los estmadores para tal efecto. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL Las meddas de centralzacón o de tendenca central más comunes son: la meda artmétca (o smplemente meda), la medana y la moda. Estas meddas srven para localzar el centro de una dstrbucón de datos, es decr, ubcan el valor alrededor del cual se encuentra un conjunto de datos. Aunque tenen un msmo propósto, estas meddas, de manera general, tendrán un valor dferente (sólo en algunos casos muy partculares, se da que la meda, la medana, y la moda sean guales, o que dos de ellas concdan). S los datos que se tenen fueran de una poblacón, la meddas de centralzacón se calculan de la msma manera que en la muestra, solamente es necesaro tener presente s se habla de un parámetro o de un estmador, según sea el caso. Propedades de las meddas de centralzacón A contnuacón se proporconan las propedades más mportantes:. Propedades numércas. 1. La meda de un conjunto de datos es sempre un valor pertenecente al rango de la varable. En cualquer caso (por rara que sea la dstrbucón de los datos, smétrca o asmétrca, por ejemplo), tanto la meda como la medana y la moda, se encuentran entre los valores máxmo y mínmo de los valores observados. 2. La meda puede no concdr con nnguno de los valores de los datos. Es decr, puede ser un número que no tenga sentdo en el contexto propuesto, por ejemplo, s el número de hermanos para 5 personas es 1, 4, 3, 0 y 5, el promedo es 2.6 hermanos. 3. En el cálculo de la meda ntervenen todos los valores de la varable. 4. La meda se ve afectada por cualquer cambo extremo en los valores de los datos. S en el ejemplo anteror exstera una persona con 13 hermanos (en vez de 5), este valor extremo modfca la meda de 2.6 a 4.2 hermanos. 16

17 Propedades algebracas. 1. La meda conserva el cambo de orgen y escala: s el promedo de calfcacón de un alumno, es por ejemplo, 8.75 en la escala de 1 a 10, en la escala de 1 a 100, el promedo es La meda de la suma de dos o más varables es la suma de las medas (en el caso de la medana y la moda, esta propedad no se cumple). 3. La meda no está defnda para datos ordnales o nomnales (la meda no tene sentdo s la varable es categórca o cualtatva). 4. La meda, la medana y la moda, consderadas como operacón, no tenen nngún elemento neutro, n la propedad asocatva. Propedades estadístcas. 1. La meda es un valor representatvo de un conjunto de datos. La meda es menos resstente (se ve afectada por cualquer cambo en los datos) que la medana y la moda. 2. La meda concde con el centro de gravedad del conjunto de datos. 3. La suma de las desvacones de un conjunto de datos con respecto a la meda es cero. 4. En dstrbucones smétrcas, la meda, la medana y la moda concden. 5. Es respecto a la meda cuando la suma de los cuadrados de las desvacones es mínma. La forma de la dstrbucón de los datos es una característca mportante para elegr una medda de tendenca central adecuada. S la dstrbucón de los valores de la varable es aproxmadamente smétrca, la meda, la medana son cas guales. Por ejemplo s se defne la varable X: número de personas atenddas durante 30 días en una ofcna: No. de personas No. de días

18 N O. D E D I A S Seres 1 NO. DE PERSONAS La meda y la medana son cas guales y cualquera de ellas descrbe adecuadamente a los datos. Cuando la dstrbucón de valores de la varable es asmétrca, la medana es frecuentemente la medda de centralzacón más adecuada. A la medana no le afecta tanto la frecuenca de ocurrenca de un sólo valor como a la moda, tampoco es afectada por los valores extremos como la meda. S en el ejemplo anteror, la dstrbucón de las personas por día fuera: 3, 5, 6, 7, 9 la frecuenca más alta (9) asocada al valor (30) modfca a la meda, sn embargo la medana no camba. Por esta razón la medana sería la medda más adecuada. N O. D E D I A S Seres 1 NO. DE PERSONAS La meda es el únco promedo que utlza todos los datos. Esto es una desventaja s exsten valores que son muy dstntos de la mayoría de ellos. En tales casos resulta convenente calcular la medana. En stuacones apremantes la moda puede dar una dea aproxmada del valor central de una sere de datos. 18

19 Actvdades de exploracón 1. Se han selecconado 5 bolsas de pasta almentca, de una determnada marca, en un supermercado. Todas ellas llevan mpreso en la etqueta Peso neto: 250 gramos, después de pesarlas con precsón, se obtenen los sguentes resultados (en gramos): 243, 252, 260, 230 y 249. a) Cuánto pesan en total las 5 bolsas? b) S se tuvera que repartr de manera equtatva, este peso entre 5 personas, cuánto les corresponde a cada una? c) Qué peso podemos esperar que tenga una bolsa cualquera de pasta almentca de esta marca? Meddas de centralzacón para datos no agrupados: Se dce que los datos no agrupados son aquellos que por ser generalmente pocos no es necesaro agruparlos en ntervalos de clase y que se analzan utlzando los valores brutos, es decr los valores que se obtenen drectamente de la recoleccón. Para que tengas un mejor entendmento del cálculo de las meddas de centralzacón para datos no agrupados, utlzaremos el sguente: Ejemplo: Se sabe que la estatura de 10 alumnos de qunto semestre del CCH son respectvamente 1.53m, 1.64m, 1.76m, 1.52m, 1.70m, 1.58m, 1.78m, 1.58m, 1.57m y 1.69m La meda artmétca es smplemente el promedo y se obtene como la suma de todos los datos entre el número total de ellos, es decr, medante: Así, para el ejemplo: x = n = 1 n x x = = = m La medana es el valor central del conjunto ordenado de datos, se obtene ordenando los datos generalmente en forma ascendente o puede ser en forma descendente, luego: a) S el número de datos es mpar la medana es el valor de la varable que se encuentra en el n avo lugar del conjunto ordenado de datos. b) S el número de datos es par la medana es el promedo de los valores de la varable que se encuentran en el n 2 avo n y avo lugares del conjunto ordenado de datos. 19

20 Así, para el ejemplo: 1) Prmero se ordenan los datos, quedando: 1.52, 1.53, 1.57, 1.58, 1.58, 1.64, 1.69, 1.70,1.76 y ) Como el número de datos es par (10 datos), la medana es el promedo de los valores avo 10 to 10 que se encuentran en el = 5 y 1 6 to + = lugares, es decr Me = = 1.61 m 2 La moda es el valor o valores de la varable que más veces se repten, por lo que podemos consderar: a) puede exstr una moda (unmodal) b) puede exstr más de una moda (polmodal) c) puede no exstr moda Así, para el ejemplo de las estaturas de los 10 alumnos: Exste un valor que se repte dos veces, este valor es el que corresponde a la moda, o sea: Mo = 1.58 m Meddas de centralzacón para datos agrupados: Se dce que los datos agrupados son aquellos que se agrupan en ntervalos de clase y que se analzan consderando a la marca de clase como el valor que corresponde a todos los datos del ntervalo, es decr, el análss ya no se realza con los datos brutos. Para que tengas un mejor entendmento del cálculo de las meddas de centralzacón para datos agrupados, utlzaremos el sguente: Ejemplo. Se tene que el sguente conjunto de datos corresponde a la edad (en años) de los habtantes de una colona de la delegacón de Tlalpan, que assten a la escuela (a partr de la prmara). Edad Número de (años) habtantes f 7 a a a a a a a 34 4 n = f = 100 avo 20

21 Incalmente, se obtenen las columnas correspondentes a las marcas de clase ( x ), límtes reales de clase ( LRI y LRS ), frecuencas acumuladas ( fa ) y las necesaras ( fx ) para el cálculo de la meda artmétca. x LRI LRS fa fx _130.0_ f x = 2002 fx1 = 1 La meda artmétca se obtene con x = n Donde: f es la frecuenca -ésma. x es la marca de clase -ésma. n es el número total de datos Se tene que: x = = años 100 n n fa La medana se obtene con Me = L 2 I + c f Donde: L I es el límte real nferor de la clase medana. n es el número total de datos. fa es la frecuenca acumulada anteror a la de la clase medana. f es la frecuenca absoluta de la clase medana. c es el tamaño o ampltud de la clase medana ( c = LRS LRI ) La clase medana es el ntervalo de clase donde se encuentra el n 2 avo dato, sendo en este 100 avo caso el ntervalo de clase donde está el = 50 dato, es decr, el cuarto ntervalo, 2 donde c = = 4 años, así la medana es: Me = = = años 31 1 La moda se obtene con Mo = LI + c avo 21

22 Donde: L I es el límte real nferor de la clase modal. 1 es la dferenca de frecuencas de la clase modal y la anteror. 2 es la dferenca de frecuencas de la clase modal y la sguente. c es el tamaño o ampltud de la clase modal. c = LRS LRI La clase modal es el (los) ntervalo(s) de clase de mayor frecuenca, sendo en este caso el cuarto ntervalo, de donde se obtene que 1 = = 8 y 2 = = 15 y como c = = 4 años, así la moda es: 8 Mo = = = años S los datos que se tenen fueran de una poblacón, la meddas de centralzacón se calculan de la msma manera que en la muestra, solamente es necesaro tener presente s se habla de un parámetro o de un estmador, según sea el caso. Ejerccos 1. Calcula la meda, la medana y la moda de los números 1, 2, 3, 4 y Elmna el dato mayor 18 y calcula la meda, la medana y la moda de los números 1, 2, 3 y Compara las meddas obtendas en los ejerccos anterores, qué observas? 4. Qué le ocurre a la meda de los números 1,2,3,y 4, s se agregan los números 20 y 24 y se calcula el promedo de estos ses números? 5. S se tenen n datos x 1, x 2,,,,,x n muy cercanos entre s, y se calcula su meda, qué ocurre cuando se agrega un dato (o datos) x n+1, x n+2 que están muy alejados de los anterores y se calcula nuevamente la meda? 6. En una famla se calcula el peso promedo de los nños que assten a la escuela prmara y se obtene x = 30 kg. S se ncluye el peso de los padres, qué ocurre s se calcula nuevamente el promedo? 7. S tenemos los números 3, 6, 9, 12 y 15, cuya meda es 9, su medana es tambén 9 y no tene moda. S añadmos como sexto valor el cero, cuáles son la meda, la medana y la moda de estos 6 números? 8. Se desea encontrar un valor representatvo de las edades (en años) de 5 personas: 15, 15, 16, 17, 18, cuál de los dos procedmentos sguentes es el correcto? a) ( ) b)

23 9. En una fábrca trabajan 15 obreros, 8 especalzados y 7 no especalzados; el salaro medo mensual de los especalstas es de $4000 y el salaro promedo por mes de los no especalstas es de $3500. Para encontrar la meda mensual de los salaros de los 15 obreros, se proponen a contnuacón dos procedmentos, cuál es el correcto? a) b) En la sguente tabla calcula el valor de x de manera que x = 5 Valores de X 1 x 5 7 Frecuenca (f) Una tenda de autoservco vendó el mes pasado 4 marcas de T.V, como se muestra en la sguente tabla Marca del T.V. Sony Toshba LG Panasonc Televsores venddos a) Observa que la varable no es numérca cómo se le llama a este tpo de varables? b) S el gerente decde elmnar tres marcas, con cuál se quedaría?. 12. Los datos sguentes corresponden a la altura (en cms) de 40 plantas de una espece común Altura (cm) 10,16 Número de plantas [ ) 7 [ 16,22) 8 [ 22,28) 12 [ 28,34) 7 [ 34,40] 6 a) En cuál ntervalo se encuentra el valor más frecuente? b) Cuál es el valor que se encuentra a la mtad de la dstrbucón de las alturas de las plantas? 13. En una maestría solamente pueden ngresar asprantes que obtengan calfcacones superores a la medana en el examen de conocmentos. Este año se presentaron 12 23

24 asprantes que obtuveron los sguentes puntajes: 7.5, 9.5, 7.5, 9.7, 7.8, 9.2, 8, 9.2, 8.1, 9, 8.2, 8.8, cuáles son los puntajes de los asprantes aceptados? 14. Las calfcacones obtendas por un estudante en 7 asgnaturas son: S, S, MB, B, S, B, MB. a) Cuál es el valor de la moda? b) Cuál es el valor de la medana? c) Cuál de las dos calfcacones anterores es más representatva? 15. Un sndcato y una empresa sostenen un debate respecto a los salaros de los trabajadores. El sndcato reporta que los obreros recben en promedo $ 4000 por mes. El gerente dce que el pago promedo es de $ 8364 mensuales. Un nspector de mpuestos afrma que es de $ 7000 por mes. Quén tene la razón? Salaros mensuales Número de empleados $ 3000 a $ $ 6000 a $ $ 9000 a $ $ a $ a) Calcula el salaro medo ( x). b) Calcula el salaro medano ( Me). c) Calcula el salaro modal (Mo). d) Cómo nterpretas cada una de las meddas anterores? 16. Para los sguentes datos que corresponden al gasto en pasajes por semana de una muestra de alumnos de la escuela, calcula las meddas de centralzacón. Gasto Número de (Pesos) alumnos 2.50 a a a a a a a Para los sguentes datos que corresponden a la estatura en centímetros de un grupo 24

25 de alumnos de secundara de la delegacón Coyoacán, calcula las meddas de centralzacón. Estatura Número de (centímetros) alumnos Un comercante mezcla 12 kgs. de cacahuates que valen $ el kg, con 8 kgs. de nueces que valen $ el kg. A qué preco debe dar el kg. de la mezcla, para ganar $5.00 por kg? 19. Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres, 4 hombres y 2 nños. El peso medo de las mujeres es de 60 kgs, el peso medo de los hombres es de 80 kgs. y el peso medo de los nños es de 35 kgs, cuál es el peso medo de las 10 personas en el ascensor? 20. Cada estudante de un grupo de 20 estudantes pesa 86 kgs. en promedo. Se sabe que 9 personas del grupo pesan en promedo 75 kgs. cada una. Del grupo de los 11 estudantes restantes, cuánto pesa en promedo cada uno? 21. De los 200 alumnos que presentaron un examen de 12 reactvos, el 10% responde correctamente a 3 reactvos, el 50% a 7 reactvos, el 30% responde correctamente a 10 reactvos y el resto al total de reactvos del examen. Organza los datos en una tabla de dstrbucón de frecuencas y calcula el número promedo de reactvos resueltos correctamente. 22. La tabla sguente corresponde a una muestra de los dámetros (en centímetros) del tallo de 28 plantas de una espece común: Dámetro(cm) No. de plantas Es correcto el sguente procedmento para calcular la meda del dámetro de los tallos? x = = = 1cm S el procedmento no es correcto, cuál es el valor correcto de la meda? 25

26 MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDAD El análss descrptvo de los datos no puede restrngrse exclusvamente al cálculo de las meddas de tendenca central porque, por ejemplo, dos dstrbucones de frecuencas con gual meda o con gual medana pueden tener dferentes gráfcas, es decr, s solamente se consderan las meddas de tendenca central, se pueden obtener conclusones erróneas al no tomar en cuenta la dspersón de los datos. Por ejemplo Roberto y Esperanza forman una pareja con una estatura meda de 1.70 m y Ana y Lus tambén son pareja con una estatura promedo de 1.70 m. S solamente conocemos esta medda de centralzacón, nos nclnaríamos a pensar que los 4 tenen una estatura muy parecda. Sn embargo s aparte del promedo nos dcen que la desvacón meda de Roberto y Esperanza es de 0.01 m y que la desvacón meda de Ana y Lus es de 0.25 m, entonces llegaríamos a la conclusón de que Ana y Lus forman una pareja muy dspareja. Las meddas de dspersón ndcan, en promedo, cuánto se alejan los datos de la meda artmétca. S los datos se alejan poco de la meda entonces su dspersón es menor que s alejan mucho de la meda. Las meddas de dspersón más comúnmente utlzadas son el rango, la varanza y la desvacón estándar o típca y el coefcente de varacón que mde la dspersón relatva. La varanza muestral se defne como la suma de los cuadrados de las dferencas de los datos con respecto a la meda, dvdda entre el total de datos menos uno. Esta medda tene el nconvenente de que transforma las undades de medcón en cuadrados, por lo que no se puede comparar con la meda artmétca. Por esta razón se defne la desvacón estándar como la raíz cuadrada de la varanza. El coefcente de varacón se utlza cuando se desea comparar dos dstrbucones de frecuenca que tenen dferente undad de medda, se calcula dvdendo la desvacón estándar entre la meda. El rango es la mas smple de las meddas de dspersón y se defne como la dferenca entre la medda mayor y la menor, pero no nforma cuántos valores abarcan los datos. El rango es muy utlzado en procesos ndustrales. En mucho, su utldad en este campo se debe a lo sencllo y rápdo que es calcularlo. El rango provee nformacón útl cuando la muestra es pequeña, pero cuando la muestra es grande, no resulta una medda adecuada. La desvacón estándar es la medda de dpersón más utlzada para medr la varabldad en una muestra (o s fuera el caso en una poblacón). Para calcularla, prmero se obtene la varanza y después se extrae su raíz cuadrada. Meddas de dspersón para datos agrupados Para que tengas un mejor entendmento del cálculo de las meddas de dspersón para datos agrupados, utlzaremos el sguente: 26

27 Ejemplo 1. Determnar las meddas de dspersón para el sguente conjunto de datos que corresponden a la edad (en años) de la poblacón de habtantes, que assten a la escuela, de una colona de la delegacón de Tlalpan. Edad (años) Número de habtantes f x fx 7 a a a a a a a _130.0 n = f = 100 fx = A partr de estos cálculos, se tene que: µ = = Consderando al conjunto de datos como una poblacón, se calcula la varanza con: n 2 f ( x µ ) 2 = 1 σ =. N Donde: f es la frecuenca -ésma, x es la marca de clase -ésma y n es el número total de datos (en este caso debe consderarse n=n=100). Con estos datos se tene que: 2 2 x µ ( x µ ) f ( x µ ) f ( x µ ) = σ = = Por lo tanto, la desvacón típca o estándar, es: σ = = años Tambén se puede calcular la varanza y consecuentemente la desvacón típca o estándar, medante: 27

28 n n 2 2 fx fx 2 = 1 = σ = = x n n µ Realzando los cálculos, se tene: f x De esto se obtene que: x 2 x f x _ _4225 f x = µ = = y 100 f x = x = = σ = x µ = = = La desvacón típca o estándar, es: σ = = años Como podrás observar, el valor de la desvacón típca o estándar es el msmo, no mportando el camno que sgas para hacerlo. Ejemplo 2. Los datos sguentes representan el contendo de azúcar (en g/100 ml) y el contendo de cafeína (mg/100 ml) de 8 refrescos de cola. En la cuarta y qunta columna de la tabla se lustra el procedmento para calcular la desvacón estándar para el contendo de azúcar (Profeco, 2003). Marca Azúcar Cafeína x x (g/100 ml) (mg/100 ml) ( x ) 2 x Bg Cola CM Coca Cola Great Value Hola Cola Peps Cola Peps Lmón Royal Cola Como el conjunto de datos corresponde a una muestra de datos no agrupados, la varanza se calcula con: 28

29 n 2 ( x x) 2 = 1 s = n 1 Con estos datos, se tene: La varanza es s = = Por lo tanto, la desvacón típca o estándar, es: s = = g /100ml S la muestra es de datos agrupados, la varanza se calcula con: Donde: f es la frecuenca -ésma y n 2 f ( x x) 2 = 1 s = n 1 x es la marca de clase -ésma. Tambén se puede calcular la varanza para datos agrupados de una muestra y consecuentemente la desvacón típca o estándar, medante: s 2 = n = 1 f x n fx n n 1 2 = 1 Una reflexón sobre las Meddas de Dspersón. 2 Es muy mportante reflexonar que aún cuando la desvacón estándar es la medda de dspersón más comunmente utlzada para comparar dstrbucones de frecuencas (o para comparar varos conjuntos de datos), en algunas stuacones no sempre responde a la pregunta en cuál dstrbucón de frecuencas exste mayor dspersón?. El rango proporcona nformacón útl cuando la muestra es pequeña, pero s la muestra es grande, no resulta una medda de provecho. Ejerccos. 1. Los datos sguentes proporconan las temperaturas promedo daras (en grados centígrados) regstradas durante 8 días del últmo mes de enero en Otawa y en Washngton Otawa Washngton En cuál cudad se presenta mayor varacón en la temperatura? 2. Propón un conjunto 6 de datos de manera que la varanza (y/o la desvacón estándar sea cero) 29

30 3. La tabla sguente da los rendmentos, meddos en toneladas por hectárea, de dos varedades de maíz, en 10 años consecutvos Año Maíz A Maíz B a) Qué varedad de maíz es mejor? b) Cuál varedad es más consstente? 4. La meda y la desvacón estándar de las calfcacones en un examen fnal correspondentes a los grupos A y B, se muestran en la sguente tabla Grupo Meda D. Estándar A B a) Cuál de los grupos tuvo mejor rendmento? b) Cuál de los grupos tuvo un rendmento más homogéneo? c) Sn consderar nnguna otra nformacón, en cuál de los dos grupos se obtuveron los puntajes ndvduales más bajos y más altos? 5. Una compañía desea comprar una máquna de corte controlada por computadora. El ngenero de la compañía prueba dos máqunas de dferentes fabrcantes. Los dámetros (en centímetros) de las barras cortadas por las máqunas fueron los sguentes: Fabrcante 1: 2.001, 2, 2.004, 1.998, Fabrcante 2: 2.002, 2.008, 1.995, 1.99, A cuál fabrcante le convene comprar? 6. Para los sguentes datos que corresponden a una muestra de las puntuacones de 10 asprantes en el examen de admsón de la UNAM del año pasado 76, 68, 85, 91, 80, 72, 84, 88, 77 y 82. Calcula su desvacón estándar. 7. Para los sguentes datos que corresponden al gasto en pasajes por semana de una poblacón de alumnos de una escuela de computacón. Calcula la varanza y la desvacón típca. 30

31 Gasto (Pesos) Número de alumnos 2.50 a a a a a a a Coefcente de varacón Mde la dspersón relatva y pemte comparar dos conjuntos de datos cuyas meddas descrptvas pueden estar expresados en dferentes undades de medda. Es equvalente a la razón, es decr, es la comparacón por cocente entre la desvacón estándar y la meda artmétca. Al ser un coefcente no tene undades y s se desea se puede expresar en porcentaje: s CV = ó CV = s 100 x x Ejemplo s deseamos comparar el contendo de azúcar con la cafeína, en los refrescos del ejemplo de la tabla de Datos Profeco, 2003, necestamos calcular el CV para cada varable. El coefcente de varacón para el contendo de azúcar en los refrescos es g /100ml CV = = , o de manera equvalente CV = 3.33% g /100ml El coefcente de varacón para el contendo de cafeína en los refrescos es mg /100ml CV = = , o sea CV = 34.69% mg /100ml A partr de la comparacón de los valores anterores, se concluye que exste menos dspersón o varabldad en el contendo de azúcar de los refrescos como se puede observar comparando los coefcentes de varacón y donde se observa que el contendo de cafeína es aproxmadamente 10 veces mayor que el de azúcar. Ejerccos. 1. S se tene que en una muestra de las temperaturas medas durante 5 días del últmo verano en la cudad de Méxco fueron de 16,14,19,22 y 24 y en una muestra durante 5 días del nverno pasado fueron de 10,11,9,8 y 12, determna en cual de las dos estacones hubo mayor varabldad. 31