Diseño de Experimentos. Diseños Factoriales

Transcripción

1 Diseño de Experimentos Diseños Factoriales Luis A. Salomón Departamento de Ciencias Matemáticas Escuela de Ciencias, EAFIT Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso 2016

2 Índice 1 Introducción al Diseño Factorial 2 Diseño factorial con dos factores 3 Diseño factorial 2 k Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

4 Introducción Cuándo se emplea un Diseño Factorial? En experimentos donde se estudia simultáneamente el efecto de dos o más factores de diseño en la variable de interés o respuesta. Se emplea en disímiles campos de investigación. Son de gran utilidad en investigaciones exploratorias. Es una alternativa a la experimentación clásica (variar un factor a la vez). Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

5 Introducción Experimentación clásica (Variar un factor a la vez) Encontrar la mejor combinación de factores para la variable respuesta Se basa en la realización de experimentos donde todos los factores se mantienen constantes excepto por el que se considere estudiar. Permite analizar el efecto específico de un factor sobre la variable respuesta cuando se mantienen los demás constantes en un determinado valor. El proceso se repite tantas veces como el número de factores que tenga el problema en cuestión. No tiene en cuenta la posible interacción de los factores. Solo es posible una comprensión limitada de los efectos de los factores. No se obtiene necesariamente la configuración óptima. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

6 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen el mismo efecto. No existe interacción. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

7 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción 60 Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen efectos positivos. No existe interacción. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

8 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen efectos positivos y negativos. No existe interacción. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

9 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen efectos positivos. Existe una interacción positiva. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

10 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen efectos positivos. Existe una interacción positiva. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

11 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen efectos positivos. Existe una interacción negativa. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

12 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen efectos positivos. Existe una interacción negativa. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

13 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen efectos positivos y negativos. Existe una interacción positiva. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

14 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen efectos positivos y negativos. Existe una interacción positiva. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

15 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción 60 Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen efectos positivos y negativos. Existe una interacción negativa. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

16 Introducción Análisis visual de Efectos e Interacción 60 Variable respuesta Factor A Factor B 20 Los factores tienen efectos positivos y negativos. Existe una interacción negativa. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

17 Introducción Experimentación clásica Ejemplo Un laboratorio desea analizar el crecimiento de cierta planta para la alimentación del ganado. Existen tres factores que influyen en su desarrollo y los tres son de igual importancia: Cantidad de agua que recibe (A), Temperatura ambiente (B) y Niveles de abono (C). Se desea conocer la combinación (tratamiento) que resulta óptima para el crecimiento de la planta. Para cada uno de los factores se definen dos niveles: alto (+) y bajo ( ). Acto seguido se procede a realizar el procedimiento tradicional de experimentación: mover un factor a la vez. Los especialistas deciden utilizar cuatro réplicas para cada tratamiento que se analice. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

18 Introducción Experimentación clásica Proceso de Experimentación Tratamientos A B C Observaciones Paso 1 Paso 2 Paso 3 Resultados Número de réplicas Mover los niveles de A. Fijar valores de B y C. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

19 Introducción Experimentación clásica Proceso de Experimentación Tratamientos A B C Observaciones Paso 1 Paso 2 Paso 3 Resultados Número de réplicas Mover los niveles de A. Fijar valores de B y C. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

20 Introducción Experimentación clásica Proceso de Experimentación Tratamientos A B C Observaciones Paso 1 Paso 2 Paso 3 Resultados Número de réplicas Fijar el nivel A. Mover los niveles de B. Mantener valor de C. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

21 Introducción Experimentación clásica Proceso de Experimentación Tratamientos A B C Observaciones Paso 1 Paso 2 Paso 3 Resultados Número de réplicas Fijar el nivel A y B +. Mover los niveles de C. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

22 Introducción Experimentación clásica Proceso de Experimentación Tratamientos A B C Observaciones Paso 1 Paso 2 Paso 3 Resultados Número de réplicas Seleccionar el tratamiento óptimo: A, B + y C +. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

23 Introducción Objetivos, Ventajas y Desventajas de la Experimentación Factorial Objetivo Analizar los efectos de los factores individuales y de interacción en la variable respuesta. Ventajas Permite el estudio de la interacción de los factores. Se exploran todas las combinaciones de los factores. Mayor rango de validez de las aplicaciones. Desventajas Puede ser compleja la interpretación con muchos factores. En algunos casos requiere de más unidades experimentales. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

25 Diseño Factorial con dos factores Información inicial El problema tiene dos factores de diseño y una variable respuesta. El factor A con a niveles y el factor B con b niveles. Se realizan k réplicas por cada combinación (tratamiento) de los niveles de los factores. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

26 Diseño Factorial con dos factores. Principios Básicos Cálculo de los efectos principales y de interacción Efecto Principal Para cada factor, es la diferencia entre la respuesta media observada cuando el factor en cuestión se encuentra en un nivel y la respuesta media observada cuando el factor se encuentra en otro nivel. Efecto Interacción (dos niveles) Se calcula como la diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores se encuentran en el mismo nivel y la respuesta media cuando los factores se encuentran en niveles opuestos. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

27 Diseño Factorial con dos factores. Principios Básicos Cálculo de los efectos principales y de interacción Ejemplo para dos factores con dos niveles Factor A Factor B Variable respuesta A B 30 A + B 40 A B + 56 A + B + 44 A B 30 A + B 40 A B + 56 A + B + 44 Efectos Principales A = A + B + A + B + A B + A B = = B = A B + + A + B + A B + A B 2 2 = = Efecto Interacción AB = = A + B + + A B A B + + A + B = Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

28 Diseño Factorial con dos factores. Principios Básicos Representación visual de los efectos e interacciones Ejemplo para dos factores con dos niveles Factor A Factor B Variable respuesta A B 30 A + B 40 A B + 56 A + B + 44 Comportamiento visual de los efectos. Gráfico de los efectos principales. Gráfico de las interacciones. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

29 Diseño Factorial con dos factores. Principios Básicos Representación visual de los efectos e interacciones Ejemplo para dos factores con dos niveles Comportamiento visual de los efectos Factor A Factor B Variable respuesta A B 30 A + B 40 A B + 56 A + B + 44 Factor B B A B 30 A + B 40 A B + 56 A + B + 44 B A A + Factor A Factor B Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

30 Diseño Factorial con dos factores. Principios Básicos Representación visual de los efectos e interacciones Ejemplo para dos factores con dos niveles Gráfico de los efectos principales Factor A Factor B Variable respuesta A B 30 A + B 40 A B + 56 A + B + 44 A = B = } {{ } A } {{ } B } {{ } A } {{ } B = 1 Variable respuesta (media) = 15 A A + B B + Factor A Factor B Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

31 Diseño Factorial con dos factores. Principios Básicos Representación visual de los efectos e interacciones Ejemplo para dos factores con dos niveles Gráfico de las interacciones Factor A Factor B Variable respuesta A B 30 A + B 40 A B + 56 A + B + 44 A = 1 B = 15 AB = Variable respuesta B + B B = 11 A A + Factor A B + Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

32 Diseño Factorial con dos factores. Principios Básicos Representación visual de los efectos e interacciones Ejemplo para dos factores con dos niveles Gráfico de las interacciones Factor A Factor B Variable respuesta A B 30 A + B 40 A B + 56 A + B + 44 A = 1 B = 15 AB = Variable respuesta A A A + A + = 11 B B + Factor B Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

33 Diseño Factorial con dos factores. Modelo Modelo de los efectos y ijl = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ε ijl. i = 1, 2,, a; j = 1, 2,, b y l = 1, 2,, k. µ: Media global. τ i : Efecto del nivel i-ésimo del factor A. β j : Efecto del nivel j-ésimo del factor B. (τβ) ij : Efecto de la interacción entre τ i y β j. y ijl : Observación ijl-ésima. (nivel i-ésimo de A, nivel j-ésimo de B, réplica l-ésima) ε ijl : Error aleatorio ijl-ésimo. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

34 Diseño Factorial con dos factores. Modelo Supuestos del modelo Los ruidos son variables aleatorias independientes con distribución normal: ε ijl i.i.d. N(0, σ 2 ). La varianza del modelo, σ 2 es constante. Los efectos de tratamientos e interacciones se consideran desviaciones de la media global: a b a b τ i = β j = (τβ) ij = (τβ) ij = 0. i=1 E[Y ijl ] = µ ijl = µ + τ i + (τβ) ij. V[Y ijl ] = V(ε ijl ) = σ 2. j=1 i=1 Luego... Las Y ijl son independientes y por ende Y ijl N(µ ijl, σ 2 ). j=1 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

35 Diseño Factorial con dos factores. Modelo Problemas de Interés Comparar el efecto de los Factores H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ a = 0 H A : i : τ i 0. H 0 : β 1 = β 2 = = β b = 0 H A : j : β j 0. Comparar el efecto de la Interacción H 0 : (τβ) ij = 0 i, j H A : i, j : (τβ) ij 0. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

36 Diseño Factorial con dos factores. Estimación Notaciones... n = k a b y i = y j = b k y ijl. y i = j=1 l=1 a k y ijl. y j = i=1 l=1 y i b k = 1 b k y j a k = 1 a k b j=1 l=1 a i=1 l=1 k y ijl. i = 1, 2,, a. k y ijl. j = 1, 2,, b. y ij = k y ijl. y ij = l=1 y l k = 1 k k y jl. i = 1,, a; j = 1,, b. j=1 y = a b k y ijl. y = i=1 j=1 l=1 y n = y k a b. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

37 Diseño Factorial con dos factores. Estimación Modelo de los efectos y ijl = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ε ijl. Estimadores Notaciones µ = y τ i = y i y. β j = y j y. (τβ) ij = y ij y i y j + y. ŷ ijl = y ij. ε ijl = y ijl ŷ ijl. σ 2 = s 2 = 1 (a 1)(b 1) a j k ε ijl 2. i=1 b=1 l=1 y i = y j = y ij = y = b k y ijl, j=1 l=1 a k y ijl, i=1 l=1 k y ijl, l=1 a b k y ijl, i=1 j=1 l=1 y i = y i b k. y j = y j a k. y ij = y ij k. y = y. n Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

38 Diseño Factorial con dos factores. Variabilidad Descomposición de la Variabilidad SC T : Suma de Cuadrados Total: Variabilidad de los datos con respecto a la media global. SC A : Suma de Cuadrados del Factor A: Variabilidad que existe entre los diferentes niveles de A. SC B : Suma de Cuadrados del Factor B: Variabilidad que existe entre los diferentes niveles de B. SC AB : Suma de Cuadrados de la Interacción: Variabilidad que existe debido a la interacción de los dos factores. SC E : Suma de Cuadrados del Error o Residual: Variabilidad inherente del modelo. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

39 Diseño Factorial con dos factores. Variabilidad Descomposición de la Variabilidad SC T = a b j=1 SC T = SC A + SC B + SC AB + SC E k (y ijl y ) 2 = a b k y 2 ijl i=1 j=1 l=1 i=1 j=1 l=1 SC A = a k b (y i y ) 2 = 1 a y 2 i k b i=1 i=1 SC B = b k a (y j y ) 2 = 1 b y 2 j k a j=1 y2 k a b y2 k a b y2 k a b a b SC AB = k (y ij y i y j + y ) 2 = 1 a b y 2 ij k y2 k a b SC A SC B i=1 j=1 i=1 j=1 SC E = a i=1 b j=1 l=1 k (y ijl y ij ) 2 = SC T SC A SC B SC AB Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

40 Diseño Factorial con dos factores. Pruebas de Hipótesis Pruebas de Hipótesis Se trabaja con los Cuadrados Medios CM A = CM B = CM AB = CM E = SC A a 1. SC B b 1. SC AB (a 1)(b 1). SC E a b (k 1). E(CM A ) = σ 2 + k b a i=1 τ2 i. a 1 E(CM B ) = σ 2 + k a b j=1 β2 j. b 1 E(CM AB ) = σ 2 + k a b i=1 j=1 (τβ)2 ij. (a 1)(b 1) E(CM E ) = σ 2. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

41 Diseño Factorial con dos factores. Pruebas de Hipótesis Pruebas de Hipótesis H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ k = 0 H A : i : τ i 0....Analizando el cociente de ambos valores esperados... E(CM A ) E(CM E ) = 1 + k b a i=1 τ 2 i a 1 σ 2. Bajo H 0 : E(CM A ) = E(CM E ) = σ 2. Valores significativamente mayores que uno brindan evidencia en contra de H 0. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

42 Diseño Factorial con dos factores. Pruebas de Hipótesis Pruebas de Hipótesis H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ k = 0 H A : i : τ i 0. Se analiza el cociente de los Cuadrados Medios F A = CM A CM E. La región crítica para el problema se define como { ( ) } ω α = {y ijl } Ω : F A > F 1 α a 1, ab(k 1). Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

43 Diseño Factorial con dos factores. Pruebas de Hipótesis Pruebas de Hipótesis H 0 : β 1 = β 2 = = β k = 0 H A : j : β j 0....Analizando el cociente de ambos valores esperados... E(CM B ) E(CM E ) = 1 + k a b j=1 β 2 j b 1 σ 2. Bajo H 0 : E(CM B ) = E(CM E ) = σ 2. Valores significativamente mayores que uno brindan evidencia en contra de H 0. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

44 Diseño Factorial con dos factores. Pruebas de Hipótesis Pruebas de Hipótesis H 0 : β 1 = β 2 = = β k = 0 H A : j : β j 0. Se analiza el cociente de los Cuadrados Medios F B = CM B CM E. La región crítica para el problema se define como { ( ) } ω α = {y ijl } Ω : F B > F 1 α b 1, ab(k 1). Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

45 Diseño Factorial con dos factores. Pruebas de Hipótesis Pruebas de Hipótesis H 0 : (τβ) ij = 0 i, j H A : i, j : (τβ) ij 0....Analizando el cociente de ambos valores esperados... E(CM AB ) E(CM E ) = 1 + k a i=1 bj=1 (τβ) 2 ij (a 1)(b 1) σ 2. Bajo H 0 : E(CM AB ) = E(CM E ) = σ 2. Valores significativamente mayores que uno brindan evidencia en contra de H 0. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

46 Diseño Factorial con dos factores. Pruebas de Hipótesis Pruebas de Hipótesis H 0 : (τβ) ij = 0 i, j H A : i, j : (τβ) ij 0. Se analiza el cociente de los Cuadrados Medios F AB = CM AB CM E. La región crítica para el problema se define como { ( ) } ω α = {y ijl } Ω : F AB > F 1 α (a 1)(b 1), ab(k 1). Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

47 Diseño Factorial con dos factores. Resumen Tabla ANOVA Tabla ANOVA F.V. S.C. g.l. C.M. F α obs Factor A SC A a 1 CM A = SC A a 1 F A = CM A CM E α A obs Factor B SC B b 1 CM B = SC B b 1 Interacción AB SC AB (a 1)(b 1) CM AB = SC AB (a 1)(b 1) F B = CM B CM E F AB = CM AB CM E Error SC E ab(k 1) CM E = SC E ab(k 1) Total SC T n 1 α B obs α AB obs ω α = ω α = ω α = {{y ijl } Ω : F > F 1 α ( a 1, ab(k 1) ) } {{y ijl } Ω : F > F 1 α ( b 1, ab(k 1) ) } {{y ijl } Ω : F > F 1 α ( (a 1)(b 1), ab(k 1) ) } Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

48 Diseño Factorial con dos factores. Validación Verificación de los supuestos del modelo Normalidad. QQ-plot. Pruebas de Hipótesis: Kolmogorov-Smirnov, Shapiro-Wilks... Homocedasticidad. Gráfico de los residuos versus niveles de los factores. Gráfico de los residuos versus valores ajustados. Independencia. Gráfico de los residuos versus el orden de corrida. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

49 Diseño Factorial con dos factores. Comparaciones múltiples Análisis Gráfico y Pruebas de Hipótesis Métodos visuales: Gráfico de medias (Método LSD). Pruebas de Hipótesis: Método LSD de Fisher (diferencia mínima significativa). Test HSD de Tukey. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

50 Diseño Factorial con dos factores. Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis Se realizan comparaciones múltiples para cada factor Definamos los siguientes conceptos Medias del Factor A: µ Ai : Media del nivel i-ésimo del factor A. µ Ai (B j ): Media del nivel i-ésimo del factor A cuando el factor B se encuentra el su nivel j-ésimo. Medias del Factor B: µ Bj : Media del nivel j-ésimo del factor B. µ Bj (A i ): Media del nivel j-ésimo del factor B cuando el factor A se encuentra el su nivel i-ésimo. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

51 Diseño Factorial con dos factores. Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis Se realizan comparaciones múltiples para cada factor Aspectos a considerar No existe Interacción entre los factores. Se realizan pruebas para comparar las medias µ Ai para el factor A y las medias µ Bj para el factor B. Existe Interacción entre los factores. Se realizan pruebas para comparar las medias µ Ai (B j ) para el factor A dado los niveles de B y las medias µ Bj (A i ) para el factor B dado los niveles de A. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

52 Diseño Factorial con dos factores. Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis No existe interacción entre los factores H 0 : µ Ai = µ Aj i j. H A : µ Ai µ Aj H 0 : µ Bi = µ Bj i j. H A : µ Bi µ Bj LSD de Fisher: ω α = HSD de Tukey: ω α = Factor A { ( ) } 2CM {y ijl } Ω : y i y j > t 1 α ab(k 1) E. 2 k b } {{ } LSD { {y ijl } Ω : y i y j > q 1 α ( k, ab(k 1) ) 2CME k b 2 } {{ } HSD }. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

53 Diseño Factorial con dos factores. Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis No existe interacción entre los factores H 0 : µ Ai = µ Aj i j. H A : µ Ai µ Aj H 0 : µ Bi = µ Bj i j. H A : µ Bi µ Bj LSD de Fisher: ω α = HSD de Tukey: ω α = Factor B { ( ) } 2CM {y ijl } Ω : y i y j > t 1 α ab(k 1) E. 2 k a } {{ } LSD { {y ijl } Ω : y i y j > q 1 α ( k, ab(k 1) ) 2CME k a 2 } {{ } HSD }. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

54 Diseño Factorial con dos factores. Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis Existe interacción entre los factores H 0 : µ Ai (B k ) = µ Aj (B k ) H A : µ Ai (B k ) µ Aj (B k ) i j; k. H 0 : µ Bi (a k ) = µ Bj (A k ) H A : µ Bi (A k ) µ Bj (A k ) i j; k. LSD de Fisher: ω α = HSD de Tukey: ω α = Factor A { ( ) } 2CM {y ijl } Ω : y ik y jk > t 1 α ab(k 1) E. 2 k } {{ } LSD { {y ijl } Ω : y ik y jk > q 1 α ( ) k, ab(k 1) 2CME 2 k } {{ } HSD }. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

55 Diseño Factorial con dos factores. Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis Existe interacción entre los factores H 0 : µ Ai (B k ) = µ Aj (B k ) H A : µ Ai (B k ) µ Aj (B k ) i j; k. H 0 : µ Bi (a k ) = µ Bj (A k ) H A : µ Bi (A k ) µ Bj (A k ) i j; k. LSD de Fisher: ω α = HSD de Tukey: ω α = Factor B { ( ) } 2CM {y ijl } Ω : y ki y kj > t 1 α ab(k 1) E. 2 k } {{ } LSD { {y ijl } Ω : y ki y kj > q 1 α ( ) k, ab(k 1) 2CME 2 k } {{ } HSD }. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

56 Diseño Factorial. Aplicación... Problema del Tratamiento Un nuevo medicamento para cierta afección se encuentra en su fase de ensayos clínicos. Los investigadores desean analizar la salud de los pacientes después de finalizado el tratamiento. La nueva medicación se puede administrar en dosis de 250mg o 500mg diarios por cinco, siete o diez días. Se desea analizar si existe algún tipo de interacción entre el número de días en el que se aplica el medicamento y las dosis administradas. Los investigadores desearían demostrar que el tratamiento prolongado con alguna de las dosis es la mejor opción para la salud del paciente. Para el experimento se planteó realizar un diseño factorial 3 2 con cuatro réplicas para cada combinación. El factor A se define como la dosis: A : 250mg y A + : 500mg; el factor B se define como los días de tratamiento: B : cinco días, B 0 : siete días y B + : diez días. La variable respuesta se define como el estado de salud del paciente. Se utiliza un determinado criterio médico para evaluar el cuadro general del paciente concluido el tratamiento. Los valores se ofrecen en porcentajes. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

57 Diseño Factorial. Aplicación... Problema del Tratamiento Días B (5) B 0 (7) B + (10) Tabla de Datos Dosis del medicamento A (250mg) A + (500mg) Tabla de los Efectos Medios A (Dosis) B (Días) Respuesta media A B A B A B A + B A + B A + B Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

58 Diseño Factorial. Aplicación... Problema del Tratamiento Efectos Medios Gráfico de las interacciones A (Dosis) B (Días) Respuesta media A B A B A B A + B A + B A + B Variable respuesta B + B 0 B 0 B + B A = B = AB = A +B + A +B + A B + A B+ = A B + + A +B + A B + A B = A +B + + A B A B+ + A+B = B A A + Factor A Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

59 Diseño Factorial. Aplicación... Problema del Tratamiento Efectos Medios Gráfico de las interacciones A (Dosis) B (Días) Respuesta media A B A B A B A + B A + B A + B Variable respuesta A + A A + A = B = AB = A +B + A +B + A B + A B+ = A B + + A +B + A B + A B = A +B + + A B A B+ + A+B = A B B 0 B + Factor B Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

60 Diseño Factorial. Aplicación... Problema del Tratamiento Días B (5) B 0 (7) B + (10) Tabla de Datos Dosis del medicamento A (250mg) A + (500mg) SC T = SC A = SC B = SC AB = a b k y 2 ijl i=1 j=1 l=1 1 a y 2 i k b i=1 1 b y 2 j k a 1 k a i=1 j=1 y2 k a b = 4022,5 y2 k a b = 600 y2 k a b = 1609 b y 2 ij y2 k a b SC A SC B = 1389 j=1 SC E = SC T SC A SC B SC AB = 424,5 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

61 Diseño Factorial. Aplicación... Problema del Tratamiento Días B (5) B 0 (7) B + (10) Tabla de Datos Dosis del medicamento A (250mg) A + (500mg) SC T = SC A = SC B = SC AB = a b k y 2 ijl i=1 j=1 l=1 1 a y 2 i k b i=1 1 b y 2 j k a 1 k a i=1 j=1 y2 k a b = 4022,5 y2 k a b = 600 y2 k a b = 1609 b y 2 ij y2 k a b SC A SC B = 1389 j=1 SC E = SC T SC A SC B SC AB = 424,5 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

62 Diseño Factorial. Aplicación... Problema del Tratamiento Tabla ANOVA F.V. S.C. g.l. C.M. F α obs Factor A (Dosis) ,44 8,4421e 05 Factor B (Días) ,5 34,11 7,5284e 07 Interacción AB (Dosis Días) ,5 29,45 2,1098e 06 Error 424, ,58 Total 4022,5 23 α = 0,05 F 1 α ( k 1, (k 1)(k 2) ) = F0,95 ( 3, 6 ) = 4,7571. ω α = { {y ijl } Ω : F > F 1 α ( k 1, (k 1)(k 2) ) }. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

63 Diseño Factorial. Aplicación... Problema del Tratamiento Tabla ANOVA F.V. S.C. g.l. C.M. F α obs Factor A (Dosis) ,44 8,4421e 05 Factor B (Días) ,5 34,11 7,5284e 07 Interacción AB (Dosis Días) ,5 29,45 2,1098e 06 Error 424, ,58 Total 4022,5 23 α = 0,05 F 1 α ( a 1, ab(k 1) ) = F0,95 ( 1, 18 ) = 4,4139. ω 0,05 = { } {y ijl } Ω : F A > 4,4139. Se rechaza H 0. Existe efecto del factor A Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

64 Diseño Factorial. Aplicación... Problema del Tratamiento Tabla ANOVA F.V. S.C. g.l. C.M. F α obs Factor A (Dosis) ,44 8,4421e 05 Factor B (Días) ,5 34,11 7,5284e 07 Interacción AB (Dosis Días) ,5 29,45 2,1098e 06 Error 424, ,58 Total 4022,5 23 α = 0,05 F 1 α ( b 1, ab(k 1) ) = F0,95 ( 2, 18 ) = 3,5546. ω 0,05 = { } {y ijl } Ω : F B > 3,5546. Se rechaza H 0. Existe efecto del factor B Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

65 Diseño Factorial. Aplicación... Problema del Tratamiento Tabla ANOVA F.V. S.C. g.l. C.M. F α obs Factor A (Dosis) ,44 8,4421e 05 Factor B (Días) ,5 34,11 7,5284e 07 Interacción AB (Dosis Días) ,5 29,45 2,1098e 06 Error 424, ,58 Total 4022,5 23 α = 0,05 F 1 α ( (a 1)(b 1), ab(k 1) ) = F0,95 ( 2, 18 ) = 3,5546. ω 0,05 = { } {y ijl } Ω : F AB > 3,5546. Se rechaza H 0. Existe efecto de la interacción AB Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

66 Diseño Factorial. Aplicación...Validación Normalidad Test de Kolmogorov-Smirnov: p-value: Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

67 Diseño Factorial. Aplicación...Validación Homocedasticidad Gráfico de los residuos versus niveles del Factor A A B + A A + Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

68 Diseño Factorial. Aplicación...Validación Homocedasticidad Gráfico de los residuos versus niveles del Factor B A B + B B 0 B + Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

69 Diseño Factorial. Aplicación...Validación Homocedasticidad Gráfico de los residuos versus estimaciones Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

70 Diseño Factorial. Aplicación...Validación Independencia Gráfico de los residuos versus orden de las corridas Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

71 Diseño Factorial. Aplicación...Comparaciones múltiples Gráfico de medias Método LSD (Factores) A A + B + B B 0 B + B+ Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

72 Diseño Factorial. Aplicación...Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis (LSD de Fisher) Sin considerar el efecto de la interacción Tabla de Datos (Medias) Días Dosis del medicamento A (250mg) A + (500mg) Total B (5) B 0 (7) B + (10) Total Contrastes Comparaciones múltiples para el Factor B Pruebas de Hipótesis (Resumen) y i y j LSD Fisher (Decisión) Rechazar H Rechazar H Rechazar H 0 { ( ) } 2CM E ω α = {y ijl } Ω : y i y j > t 1 α ab(k 1). 2 k a } {{ } LSD Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

75 Diseño Factorial. Aplicación...Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis (LSD de Fisher) Sin considerar el efecto de la interacción Tabla de Datos (Medias) Días Dosis del medicamento A (250mg) A + (500mg) Total B (5) B 0 (7) B + (10) Total Contrastes Comparaciones múltiples para el Factor B Pruebas de Hipótesis (Resumen) y i y j LSD Fisher (Decisión) Rechazar H Rechazar H No rechazar H 0 { ( ) } 2CM E ω α = {y ijl } Ω : y i y j > t 1 α ab(k 1). 2 k a } {{ } LSD Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

76 Diseño Factorial. Aplicación...Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis (LSD de Fisher) Gráfica de los efectos Tabla de Datos (Medias) Días Dosis del medicamento A (250mg) A + (500mg) Total B (5) B 0 (7) B + (10) Variable respuesta A + A A A + Total B B 0 B + Factor B Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

77 Diseño Factorial. Aplicación...Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis (LSD de Fisher) Considerando el efecto de la interacción Tabla de Datos (Medias) Días Dosis del medicamento A (250mg) A + (500mg) Total B (5) B 0 (7) B + (10) Total Comparaciones múltiples para el Factor B cuando A = A Contrastes Pruebas de Hipótesis (Resumen) y 1i y 1j LSD Fisher (Decisión) Rechazar H Rechazar H Rechazar H 0 { ( ) } 2CM E ω α = {y ijl } Ω : y 1i y 1j > t 1 α ab(k 1). 2 k } {{ } LSD Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

78 Diseño Factorial. Aplicación...Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis (LSD de Fisher) Considerando el efecto de la interacción Tabla de Datos (Medias) Días Dosis del medicamento A (250mg) A + (500mg) Total B (5) B 0 (7) B + (10) Total Comparaciones múltiples para el Factor B cuando A = A Contrastes Pruebas de Hipótesis (Resumen) y 1i y 1j LSD Fisher (Decisión) Rechazar H Rechazar H Rechazar H 0 { ( ) } 2CM E ω α = {y ijl } Ω : y 1i y 1j > t 1 α ab(k 1). 2 k } {{ } LSD Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

79 Diseño Factorial. Aplicación...Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis (LSD de Fisher) Considerando el efecto de la interacción Tabla de Datos (Medias) Días Dosis del medicamento A (250mg) A + (500mg) Total B (5) B 0 (7) B + (10) Total Comparaciones múltiples para el Factor B cuando A = A + Contrastes Pruebas de Hipótesis (Resumen) y 2i y 2j LSD Fisher (Decisión) Rechazar H Rechazar H Rechazar H 0 { ( ) } 2CM E ω α = {y ijl } Ω : y 2i y 2j > t 1 α ab(k 1). 2 k } {{ } LSD Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

80 Diseño Factorial. Aplicación...Comparaciones múltiples Pruebas de Hipótesis (LSD de Fisher) Considerando el efecto de la interacción Tabla de Datos (Medias) Días Dosis del medicamento A (250mg) A + (500mg) Total B (5) B 0 (7) B + (10) Total Comparaciones múltiples para el Factor B cuando A = A + Contrastes Pruebas de Hipótesis (Resumen) y 2i y 2j LSD Fisher (Decisión) Rechazar H No rechazar H Rechazar H 0 { ( ) } 2CM E ω α = {y ijl } Ω : y 2i y 2j > t 1 α ab(k 1). 2 k } {{ } LSD Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

82 Diseño factorial 2 k Principios básicos Se aplica en problemas donde hay k factores con 2 niveles cada uno: 2 k = } {{ } k factores de interés Los niveles se definen como alto (+) y bajo (-). Son muy útiles en las etapas preliminares de la investigación cuando se tienen muchos factores. Son diseños muy versátiles, simples y eficaces. Son recomendables para 2 k 5. Una réplica del experimento requiere 2 k observaciones Vamos a analizar el caso particular de un Diseño 2 2 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

83 Diseño factorial 2 k. Caso 2 2 Diseño factorial 2 2 Factor A con los niveles A (bajo) y A + (alto). Factor B con los niveles B (bajo) y B + (alto). Supuestos del modelo Los ruidos son variables aleatorias independientes con distribución normal: La varianza del modelo, σ 2 es constante. ε ijl i.i.d. N(0, σ 2 ). Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

84 Diseño factorial 2 k. Caso 2 2 Diseño factorial 2 2 Notación de Yates para los Tratamientos Tratamientos A B A B A B Notación de Yates 1 A B 1 1 (1) 2 A + B a 3 A B b 4 A + B ab Notación de Yates (1): Representa la suma total de las observaciones del Tratamiento 1: A B (Niveles bajo-bajo). a: Representa la suma total de las observaciones del Tratamiento 2: A + B (Niveles alto-bajo). b: Representa la suma total de las observaciones del Tratamiento 3: A B + (Niveles bajo-alto). ab: Representa la suma total de las observaciones del Tratamiento 4: A + B + (Niveles alto-alto). Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

85 Diseño factorial 2 k. Caso 2 2 Diseño factorial 2 2 Tabla de Datos Tratamientos A B Réplicas Notación de Yates n 1 y 111, y 112,, y 11n (1) = y 11l l=1 n 2 + y 211, y 212,, y 21n a = y 21l l=1 n 3 + y 121, y 122,, y 12n b = y 12l l=1 n y 221, y 222,, y 22n ab = y 22l l=1 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

86 Diseño factorial 2 k. Caso 2 2 Diseño factorial 2 2 Cálculo de los efectos A = ab + a 2n B = ab + b 2n AB = ab b 2n b + (1) 2n a + (1) 2n a (1) 2n = 1 [ab + a b (1)] 2n = 1 [ab + b a (1)] 2n = 1 [ab + (1) a b] 2n Las gráficas de interacciones se construyen de la misma forma que en el Diseño Factorial General Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

87 Diseño factorial 2 k. Caso 2 2 Diseño factorial 2 2 Problema de Interés Comparar el efecto de los Factores H 0 : Efecto A = 0 H A : Efecto A 0. H 0 : Efecto B = 0 H A : Efecto B 0. Comparar el efecto de la Interacción H 0 : Efecto AB = 0 H A : Efecto AB 0. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

88 Diseño factorial 2 k. Caso 2 2. Variabilidad Descomposición de la Variabilidad SC T : Suma de Cuadrados Total: Variabilidad de los datos con respecto a la media global. SC A : Suma de Cuadrados del Factor A: Variabilidad que existe entre los diferentes niveles de A. SC B : Suma de Cuadrados del Factor B: Variabilidad que existe entre los diferentes niveles de B. SC AB : Suma de Cuadrados de la Interacción: Variabilidad que existe debido a la interacción de los dos factores. SC E : Suma de Cuadrados del Error o Residual: Variabilidad inherente al modelo. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

89 Diseño factorial 2 k. Caso 2 2. Variabilidad Descomposición de la Variabilidad SC T = SC A + SC B + SC AB + SC E SC T = 2 i=1 2 n j=1 l=1 y 2 ijl y2 4n SC A = 1 [ab + a b (1)]2 4n SC B = 1 [ab + b a (1)]2 4n SC AB = 1 [ab + (1) a b]2 4n 1 SC E = SC T SC A SC B SC AB 4n Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

90 Diseño factorial 2 k. Caso 2 2. Tabla ANOVA Tabla ANOVA F.V. S.C. g.l. C.M. F α obs Factor A SC A 1 CM A = SC A F A = CM A CM E α A obs Factor B SC B 1 CM B = SC B F B = CM B CM E Interacción AB SC AB 1 CM AB = SC AB F AB = CM AB CM E Error SC E 4(n 1) CM E = SC E 4(n 1) Total SC T 4n 1 α B obs α AB obs ω α = ω α = ω α = {{y ijl } Ω : F > F 1 α ( 1, 4(n 1) ) } {{y ijl } Ω : F > F 1 α ( 1, 4(n 1) ) } {{y ijl } Ω : F > F 1 α ( 1, 4(n 1) ) } Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

91 Diseño factorial 2 k. Caso 2 2. Validación Verificación de los supuestos del modelo Normalidad. QQ-plot. Pruebas de Hipótesis: Kolmogorov-Smirnov, Shapiro-Wilks... Homocedasticidad. Gráfico de los residuos versus niveles de los factores. Gráfico de los residuos versus valores ajustados. Independencia. Gráfico de los residuos versus el orden de corrida. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

92 Diseño factorial 2 2. Ejemplo Problema del Índice de Masa Corporal (IMC) Un centro de salud se propone estudiar como influye cierto suplemento vitamínico durante un período de tres meses en un grupo de personas sanas con características similares. Especialistas consideran que el ejercicio físico puede ser fundamental en estudio. Con ese fin se pretende utilizar un diseño factorial 2 2 analizando las dosis del suplemento y las horas de ejercicio físico semanal. La variable respuesta se toma como el Índice de Masa Corporal (kg/m 2 ). IMC = Peso Estatura 2. El factor A se define como la dosis diaria del suplemento: A : 500mg y A + : 1000mg. El factor B se define como el número de horas dedicadas al ejercicio durante la semana: B : menos de 5 horas, B + : más de 10 horas. Se toman para el estudio cinco personas por cada combinación de los factores. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

93 Diseño factorial 2 2. Ejemplo Problema del Índice de Masa Corporal (IMC) Tratamientos A B Réplicas Notación de Yates 1 19,3 18,6 20,5 19,7 18,3 (1) = 96, ,2 25,5 24,1 25,6 23,8 a = 122, ,2 17,8 18,2 18,3 17,9 b = 89, ,8 21,4 21,9 20,8 20,7 ab = 104,6 A (Dosis) B (Horas) Yates Respuesta Media (1) = 96,4 19,28 + a = 122,2 24,44 + b = 89,4 17, ab = 104,6 20,92 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

94 Diseño factorial 2 2. Ejemplo Problema del Índice de Masa Corporal (IMC) A (Dosis) B (Horas) Yates Respuesta Media (1) = 96,4 19,28 + a = 122,2 24,44 + b = 89,4 17, ab = 104,6 20,92 Gráfico de las interacciones Variable respuesta B B B + B + A A + B B + Factor A Factor B Variable respuesta A + A A + A Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso Factor 2016A 23 / 26

95 Diseño factorial 2 2. Ejemplo Problema del Índice de Masa Corporal (IMC) A (Dosis) B (Horas) Yates (1) = 96,4 + a = 122,2 + b = 89,4 + + ab = 104,6 2 2 n y 2 ijl = 8642,7 i=1 j=1 l=1 y 2 = ,76 SC T = SC A = SC B = SC AB = 2 i=1 2 n j=1 l=1 y 2 ijl y2 4n = 130,8 1 4n [ab + a b (1)]2 = 84,05 1 4n [ab + b a (1)]2 = 30, n [ab + (1) a b]2 = 5,618 SC E = SC T SC A SC B SC AB = 10, n Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

96 Diseño factorial 2 2. Ejemplo Problema del Índice de Masa Corporal (IMC) A (Dosis) B (Horas) Yates (1) = 96,4 + a = 122,2 + b = 89,4 + + ab = 104,6 2 2 n y 2 ijl = 8642,7 i=1 j=1 l=1 y 2 = ,76 SC T = SC A = SC B = SC AB = 2 i=1 2 n j=1 l=1 y 2 ijl y2 4n = 130,8 1 4n [ab + a b (1)]2 = 84,05 1 4n [ab + b a (1)]2 = 30, n [ab + (1) a b]2 = 5,618 SC E = SC T SC A SC B SC AB = 10, n Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

97 Diseño factorial 2 2. Ejemplo Problema del Índice de Masa Corporal (IMC) Tabla ANOVA F.V. S.C. g.l. C.M. F α obs Factor A (Dosis) 84, ,05 123,65 6,1535e 09 Factor B (Horas) 30, ,258 44,513 5,3655e 06 Interacción AB (Dosis Horas) 5, ,618 8,2648 0,011 Error 10, ,67975 Total 130,8 19 α = 0,05 F 1 α ( k 1, (k 1)(k 2) ) = F0,95 ( 3, 6 ) = 4,7571. ω α = { {y ijl } Ω : F > F 1 α ( k 1, (k 1)(k 2) ) }. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

98 Diseño factorial 2 2. Ejemplo Problema del Índice de Masa Corporal (IMC) Tabla ANOVA F.V. S.C. g.l. C.M. F α obs Factor A (Dosis) 84, ,05 123,65 6,1535e 09 Factor B (Horas) 30, ,258 44,513 5,3655e 06 Interacción AB (Dosis Horas) 5, ,618 8,2648 0,011 Error 10, ,67975 Total 130,8 19 α = 0,05 F 1 α ( 1, 4(n 1) ) = F0,95 ( 1, 16 ) = 4,494. ω 0,05 = { } {y ijl } Ω : F A > 4,494. Se rechaza H 0. Existe efecto del factor A Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

99 Diseño factorial 2 2. Ejemplo Problema del Índice de Masa Corporal (IMC) Tabla ANOVA F.V. S.C. g.l. C.M. F α obs Factor A (Dosis) 84, ,05 123,65 6,1535e 09 Factor B (Horas) 30, ,258 44,513 5,3655e 06 Interacción AB (Dosis Horas) 5, ,618 8,2648 0,011 Error 10, ,67975 Total 130,8 19 α = 0,05 F 1 α ( 1, 4(n 1) ) = F0,95 ( 1, 16 ) = 4,494. ω 0,05 = { } {y ijl } Ω : F B > 4,494. Se rechaza H 0. Existe efecto del factor B Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

100 Diseño factorial 2 2. Ejemplo Problema del Índice de Masa Corporal (IMC) Tabla ANOVA F.V. S.C. g.l. C.M. F α obs Factor A (Dosis) 84, ,05 123,65 6,1535e 09 Factor B (Horas) 30, ,258 44,513 5,3655e 06 Interacción AB (Dosis Horas) 5, ,618 8,2648 0,011 Error 10, ,67975 Total 130,8 19 α = 0,05 F 1 α ( 1, 4(n 1) ) = F0,95 ( 1, 16 ) = 4,494. ω 0,05 = { } {y ijl } Ω : F AB > 4,494. Se rechaza H 0. Existe efecto de la interacción AB Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

101 Diseño factorial 2 2. Ejemplo... Validación Normalidad Test de Kolmogorov-Smirnov: p-value: Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

102 Diseño factorial 2 2. Ejemplo... Validación Homocedasticidad Gráfico de los residuos versus niveles del Factor A A B + A A + Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

103 Diseño factorial 2 2. Ejemplo... Validación Homocedasticidad Gráfico de los residuos versus niveles del Factor B A B + B B 0 B + Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

104 Diseño factorial 2 2. Ejemplo... Validación Homocedasticidad Gráfico de los residuos versus estimaciones Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

105 Diseño factorial 2 2. Ejemplo... Validación Independencia Gráfico de los residuos versus orden de las corridas Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

106 Diseño factorial 2 2. Ejemplo... Conclusión Problema del Índice de Masa Corporal (IMC) Existen efectos de los factores y de la interacción. Luego... Información general del problema Clasificación OMS para el IMC A (Dosis) B (Horas) Yates Respuesta Media (1) = 96,4 19,28 + a = 122,2 24,44 + b = 89,4 17, ab = 104,6 20,92 Categoría IMC Bajo Peso < 18,5 Delgadez severa < 16 Delgadez moderada 16 16,99 Delgadez leve 17 18,49 Normal 18,50 24,99 Sobrepeso 25 29,99 Obeso 30 Obesidad leve 30 34,99 Obesidad media 35 39,99 Obesidad extrema 40 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

107 Diseño de Experimentos Diseños Factoriales Luis A. Salomón Departamento de Ciencias Matemáticas Escuela de Ciencias, EAFIT Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso 2016