ANOVA mul)factorial. Dept. of Marine Science and Applied Biology Jose Jacobo Zubcoff

Transcripción

1 ANOVA mul)factorial Dept. of Marine Science and Applied Biology Jose Jacobo Zubcoff

2 Se puede examinar más de un factor simultáneamente (ANOVA de 2 factores, de 3 factores, etc.) Por qué un único análisis para dos factores, en vez de dos análisis separados? eficacia disminuir la probabilidad de cometer un error Tipo I mayor información (efecto combinado de los factores)

3 R3 Ejemplo de diseño de 2 factores: Hipótesis 1: la abundancia total de los peces litorales mediterráneos responde a la protección pesquera en las reservas marinas R1 R2 Hipótesis 2: pueden haber diferencias regionales de abundancia, achacables a variaciones puramente espaciales (debidas a otros factores además de la protección)

4 Tenemos dos factores experimentales: nivel de protección P P NP p = 2 región R réplicas R1 R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R3 r = 3 n = 3 P n n n NP n n n DISEÑO ORTOGONAL

5 Diseño ortogonal Buscamos explorar más de un factor experimental simultáneamente y en combinación Cada nivel de un factor está presente en el experimento en combinación con cada nivel del otro factor (ortogonalidad) Debemos asegurar la ortogonalidad con el fin de investigar las interacciones entre factores R1 R2 P NP P NP R3

6 Diseños Factoriales Mas de un factor a la vez Diseño Factorial Los efectos de un factor deben tener en cuenta los efectos de otros factores. (mas real) Cada observación proporciona información sobre todos los factores Son experimentos mas eficientes Se pueden estudiar las respuestas de un factor en diferentes niveles de otro Cuando los efectos de dos o mas factores no son independientes Interacción

7 Análisis para 2 factores Posibles efectos de un factor Efecto: Es un cambio en la respuesta medida ocasionado por un cambio en el nivel de ese factor Efectos Simples: comparaciones entre niveles de un factor (contrastes) Efectos principales: de un factor son comparaciones entre los niveles de un factor promediados para todos los niveles de otro factor Efectos de Interacción: son las diferencias entre efectos simples

8 Ejemplo para Diseño factorial 2 x 2 B A B1 B2 Medias del Factor A A EFECTO SIMPLE A EFECTO PRINCIPA Medias del Factor B

9 Ejemplo para Diseño factorial 2 x 2 Efectos Simples: (para factor A) l 1 = µ 21 - µ 11 = = -3 l 2 = µ 22 - µ 12 = = 37 B A B1 B2 Medias del Factor A A A Medias del Factor B Ef. simple Ef. princ Efectos principales: (promedio de los dos efectos) l 3 = µ 2. - µ 1. = = 17 Efectos de Interacción: Ef. simple B1 B2 l 4 = l 2 - l 1 = 37 (-3) = 40 A1 A2

10 Y el efecto del error aleatorio cómo se mide? B A B1 B2 Medias del Error aleatorio r 1 A1 68 r r n A Factor A EFECTO PRINCIPA Medias del Factor B

11 Diseño ortogonal Cuándo un factor es fijo? Y cuándo es aleatorio? Ejemplos: Niveles de protección, Regiones, Estaciones, Años, etc. Un factor será fijo si nos interesa saber si existen subconjuntos homogéneos (hacer un contraste a posteriori). En otro caso, será aleatorio. El análisis con factores fijos es más potente, pero requiere más análisis a posteriori, no siempre justificado y no siempre racional.

12 Hipótesis nula: Diseño ortogonal H 01 : µ 1 = µ 2 = = µ i = = µ a 2º) Efectos de los factores H 02 : µ 1 = µ 2 = = µ j = = µ b Ef. de la 1º) H 03 : las diferencias entre niveles del factor A son independientes de Interacción las diferencias entre niveles del factor B En nuestro ejemplo: H 01 : µ 1 = µ 2 = µ 3 H 02 : µ 1 = µ 2 H 03 : las diferencias entre niveles del factor P son independientes de las diferencias entre niveles del factor R

13 Diseño ortogonal Modelo lineal: X ijk = µ + A i +B j + AB ij + e k(ij) Aditividad y Efectos de los factores: Si no hubiera interacción µ ij = µ.. + α i + β j Siendo: α i = µ i. - µ.. X β j = µ.j - µ.. Los Efectos de los factores son aditivos en ausencia de Interacción

14 Diseño ortogonal Modelo lineal: X ijk = µ + A i +B j + AB ij + e k(ij) Si no hubiera interacción X

15 Diseño ortogonal Modelo lineal: Si existe la interacción X ijk = µ + A i +B j + AB ij + e k(ij) µ ij = µ.. + α i + β j + αβ ij αβ ij = (µ ij - µ.. ) - (µ i. - µ.. ) - (µ.j - µ.. ) αβ ij = (µ ij - µ i. - µ.j + µ.. ) Suma de Cuadrados para los efectos de los factores Σ Σ Σ(y ijk y ) 2 = r Σ Σ(y ij. y ) 2 + Σ Σ Σ(y ijk y ij. ) 2 a b r SC Total SC Trat. SC Error

16 Diseño ortogonal Modelo lineal con interacción: X ijk = µ + A i +B j + AB ij + e k(ij) Prueba de NO Aditividad Ho: (αβ) ij = µ ij µ i. µ.j + µ.. = 0 H 1 : (αβ) ij = µ ij µ i. µ.j + µ.. 0 F interacción = CM(AB) / CME 1 F crítico

17 Diseño ortogonal Modelo lineal con interacción: X ijk = µ + A i +B j + AB ij + e k(ij)

18 Diseño ortogonal Importancia de definir si los factores considerados son fijos o aleatorios: Matemáticamente se puede demostrar que el 2º término del estimador de la SC es 0 cuando el factor es fijo, puesto que AB ij = 0 En cambio, cuando uno de los factores (p.ej. B) es aleatorio, los valores B j constituyen una muestra de todos los posibles valores, y el sumatorio de las interacciones será 0 En nuestro ejemplo? Nivel de protección: FIJO Región: ALEATORIO

19 Diseño ortogonal: Fuente de var. g.l. Est. MC A B AB Residual Total A B AB Residual Total (a 1) (b 1) (a 1) (b 1) ab(n 1) abn 1 (a 1) (b 1) (a 1) (b 1) ab(n 1) abn 1 σ 2 e + nσ 2 AB + bnk 2 A σ 2 e + anσ 2 B σ 2 e + nσ 2 AB σ 2 e σ 2 e + bnk 2 A σ 2 e + ank 2 B σ 2 e + nk 2 AB σ e 2 A fijo B aleatorio A fijo B fijo A B AB Residual Total (a 1) (b 1) (a 1) (b 1) ab(n 1) abn 1 σ e 2 + nσ 2 AB + bnσ2 A σ 2 e + nσ 2 AB + anσ2 B σ 2 e + nσ 2 AB σ 2 e A aleatorio B aleatorio (distancia entre g.l.)

20 Diseño ortogonal: Comparaciones múltiples a posteriori (p.ej. SNK, Bonferroni,Tukey) H 0 no se rechaza (Test no significativo) Se rechaza H 0 (Test significativo) 95% family-wise confidence level 95% family-wise confidence level Lago4-Lago3 Lago3-Lago2 Lago3-Lago Lago4-Lago3 Lago3-Lago2 Lago3-Lago Differences in mean levels of grupo Differences in mean levels of grupo

21 Diseño ortogonal: Comparaciones múltiples a posteriori Problema de la multiplicidad de tests Si tenemos 6 test T simultáneos se incrementa el error Tipo I Solución: corrección de Bonferroni α B = 0,05 / 6 = 0,00833

22 Diseño ortogonal: Comparaciones múltiples a posteriori A x B ns A * B * SNK para A (bn casos) SNK para B (an casos) ANOVA A x B * SNK para todas las combinaciones de A y B STOP

23 Diseños ortogonales No hay límites matemáticos a la adición de factores ortogonales; ej: X ijkl = µ + A i + B j + C k + AB ij + AC ik + BC jk + ABC ijk + e l(ijk) 8 combinaciones de tipos de factores: fff ffa faf aff faa afa aaf aaa Los límites están en imaginar las hipótesis subyacentes interpretar las interacciones