Asignación 5. Problema 1

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1 Asignación 5 Problema 1 Consider the four factor factorial experiment where factor A is at a levels, factor B is at b levels, factor C is at c levels, factor D is at d levels, and there are n replicates. Write down the sums of square, the degrees of freedom, and the expected mean square for the following cases. Assume the restricted model for al mixed models: a) A, B, C, and D are fixed factors. b) A, B, C, and D are random factors. c) A is fixed and B, C, and D are random. Solución: La suma de cuadrados y los grados de libertad son iguales para las partes a, b y c Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad A SS A a-1 B SS B b-1 C SS C c-1 D SS D d-1 AB SS AB (a-1)(b-1) AC SS AC (a-1)(c-1) AD SS AD (a-1)(d-1) BC SS BC (b-1)(c-1) BD SS BD (b-1)(d-1) CD SS CD (c-1)(d-1) ABC SS ABC (a-1)(b-1)(c-1) ABD SS ABD (a-1)(b-1)(d-1) ACD SS ACD (a-1)(c-1)(d-1) BCD SS BCD (b-1)(c-1)(d-1) ABCD SS ABCD (a-1)(b-1)(c-1)(d-1) a) En este caso tenemos: Factores F F F F R a b c d e i j k l m Mean Square esperado

2 τ i 0 b c d n σ + [bcdn Σ τ i] / (a-1) β j a 0 c d n σ + [acdn Σ β j] / (b-1) γ k a b 0 d n σ + [abdn Σ γ k] / (c-1) δ l a b c 0 n σ + [abcn Σ δ l] / (d-1) (τβ) ij 0 0 c d n σ + [cdn ΣΣ (τβ) ij] / (a-1) (b-1) (τγ) ik 0 b 0 d n σ + [bdn ΣΣ (τγ) ik] / (a-1) (c-1) (τδ) il 0 b c 0 n σ + [bcn ΣΣ (τδ) il] / (a-1) (d-1) (βγ) jk a 0 0 d n σ + [adn ΣΣ (βγ) jk] / (b-1) (c-1) (βδ) jl a 0 c 0 n σ + [acn ΣΣ (βδ) jl] / (b-1) (d-1) (γδ) kl a b 0 0 n σ + [abn ΣΣ (γδ) jl] / (c-1) (d-1) (τβγ) ijk d n σ + [dn ΣΣΣ (τβγ) ijl] / (a-1) (b-1) (c-1) (τβδ) ijl 0 0 c 0 n σ + [dn ΣΣΣ (τβδ) ijl] / (a-1) (b-1) (d-1) (τγδ) ikl 0 b 0 0 n σ + [dn ΣΣΣ (τγδ) ikl] / (a-1) (c-1) (d-1) (βγδ) jkl a n σ + [dn ΣΣΣ (βγδ) jkl] / (b-1) (c-1) (d-1) (τβγδ) ijkl n σ + [dn ΣΣΣΣ (τβγδ) ijkl] / (a-1) (b-1) (c-1) (d-1) ε (ijkl)m σ b) Facto R R R R R Expected Mean Square rs a b c d e i j k l m τ i 1 b c d n σ +nσ τβγδ +bnσ τ γδ +cnσ τβδ +dnσ τ βγ +bcnσ τ δ +bdnσ τ γ +cdnσ τβ +bcdnσ τ β j a 1 c d n σ +nσ τβγδ +anσ βγδ +cnσ τβδ +dnσ τ βγ +acnσ βδ +adnσ βγ +cdnσ τβ +acdnσ β γ k a b 1 d n σ + nσ τβγδ + anσ βγδ + dnσ τβγ + abnσ τδ + adnσ βγ + cnσ τγ + abdnσ δ δ l a b c 1 n σ + nσ τβγδ + anσ βγδ + cnσ τβδ + abnσ τδ + acnσ βδ + bcnσ τδ + abcnσ δ (τβ) ij 1 1 c d n σ + nσ τβγδ + cnσ τβδ + dnσ τβγ + cdnσ τβ (τγ) ik 1 b 1 d n σ + nσ τβγδ + bnσ τγδ + dnσ τβγ + bcnσ τγ (τδ) il 1 b c 1 n σ + nσ τβγδ + bnσ τγδ + cnσ τβδ + bcnσ τδ (βγ) jk a 1 1 d n σ + nσ τβγδ + anσ βγδ + dnσ τβδ + adnσ βγ (βδ) jl a 1 c 1 n σ + nσ τβγδ + anσ βγδ + cnσ τβδ + acnσ βδ (γδ) kl a b 1 1 n σ + nσ τβγδ + anσ βγδ + abnσ γδ (τβγ) ij d n σ + nσ τβγδ + dnσ τβγ k (τβδ) ij l (τγδ) ik l (βγδ) j kl (τβγδ) ijkl 1 1 c 1 n σ + nσ τβγδ + cnσ τβδ 1 b 1 1 n σ + nσ τβγδ + bnσ τγδ a n σ + nσ τβγδ + anσ βγδ n σ + nσ τβγδ ε (ijkl)m σ Fac = E(MS AC ) + E(MS ABCD ) / E(MS ABC ) + E(MS ACD ) Fad = E(MS AD ) + E(MS ABCD ) / E(MS ABD ) + E(MS ACD ) Fbc = E(MS BC ) + E(MS ABC ) / E(MS ABC ) + E(MS BCD ) Fbd = E(MS BD ) + E(MS ABCD ) / E(MS ABD ) + E(MS BCD ) Fcd = E(MS CD ) + E(MS ABC ) / E(MS ACD ) + E(MS BCD )

3 Fa=[E(MS A )+E(MS ABD )+E(MS ACD )+E(MS ABC )+E(MS ACD )]/[E(MS AB )+E(MS AC )+E(MS AD )+E( MS ABCD )] Fb = [E(MS B ) + E(MS AD ) + E(MS ACD ) + E(MS BCD )] / [E(MS AB ) + E(MS BC ) + E(MS BD ) + E(MS ABCD )] Fc = [E(MS C ) + E(MS ABC ) + E(MS ACD ) + E(MS BCD )] / [E(MS AC ) + E(MS BC ) + E(MS CD ) + E(MS ABCD )] Fd = [E(MS D ) + E(MS ACD ) + E(MS BCD ) + E(MS ABD )] / [E(MS AD ) + E(MS BD ) + E(MS CD ) + E(MS ABCD )] c) Factors F R R R R Expected Mean Square a b c d e i j k l m τ i 0 b c d n σ +nσ τβγδ +bnσ τ γδ +cnσ τβδ +dnσ τ βγ +bcnσ τ δ +bdnσ τ γ +cdnσ τβ +(bcdnστ i)/(a-1) β j a 1 c d n σ + anσ βγδ + acnσ βδ + adnσ βγ + abdnσ β γ k a b 1 d n σ + anσ βγδ + abnσ δγ + adnσ βγ + abdnσ δ δ l a b c 1 n σ + anσ βγδ + abnσ δγ + acnσ βδ + abcnσ δ (τβ) ij 0 1 c d n σ + nσ τβγδ + cnσ τβδ + dnσ τβγ + cdnσ τβ (τγ) ik 0 b 1 d n σ + nσ τβγδ + bnσ τγδ + dnσ τβγ + bdnσ τγ (τδ) il 0 b c 1 n σ + nσ τβγδ + bnσ τγδ + cnσ τβδ + bcnσ τδ (βγ) jk a 1 1 d n σ + anσ βγδ + adnσ βγ (βδ) jl a 1 c 1 n σ + anσ βγδ + acnσ βδ (γδ) kl a b 1 1 n σ + anσ βγδ + abnσ γδ (τβγ) ijk d n σ + nσ τβγδ + dnσ τβγ (τβδ) ijl 0 1 c 1 n σ + nσ τβγδ + cnσ τβδ (τγδ) ikl 0 b 1 1 n σ + nσ τβγδ + bnσ τγδ (βγδ) jkl a n σ + anσ βγδ (τβγδ) ijkl n σ + nσ τβγδ ε (ijkl)m σ Problema A manufacturing engineer is studying the dimensional variability of a particular component that is produced on three machines. Each machine has two spindles, and four components are randomly selected from each spindle. The results follow. Analyze the data, assuming that machines and spindles are fixed factors.

4 Machine 1 Machine Machine Spindle ) Anova General de Maquinas: General Linear Model: variable versus maquinas, eje maquinas fixed 1,, eje(maquinas) fixed 6 1,, 1,, 1, Analysis of Variance for variable, using Adjusted SS for Tests maquinas eje(maquinas) Error Total S = 1.15 R-Sq = 78.97% R-Sq(adj) = 7.1% Unusual Observations for variable Obs variable Fit SE Fit Residual St Resid R R denotes an observation with a large standardized residual. Se observa entonces que tanto las maquinas como las boquillas son significativos, es decir, que ambos afectan la respuesta. Sin embargo no se puede discriminar a quien atribuir que, por esto se hace entonces un general linear model para analizar cada una de las maquinas y ver que tan significativas son las boquillas en ellas: General Linear Model: variable versus boquilla

5 MAQUINA 1 boquilla fixed 1, Analysis of Variance for variable, using Adjusted SS for Tests boquilla Error Total S = R-Sq = 5.64% R-Sq(adj) = 45.9% MAQUINA General Linear Model: variable versus boquilla boquilla fixed 1, Analysis of Variance for variable, using Adjusted SS for Tests boquilla Error Total S = R-Sq = 64.10% R-Sq(adj) = 58.1% MAQUINA General Linear Model: variable versus boquilla boquilla fixed 1, Analysis of Variance for variable, using Adjusted SS for Tests boquilla Error Total S = 1.85 R-Sq = 66.7% R-Sq(adj) = 60.65%

6 Analizando los valores de los P-value que me arroja para cada una de las boquillas se puede determinar que las boquillas de cada una de las maquinas resulta representativa al momento de generar el resultado final, pues todas arrojan como resultado un valor menor que Por lo tanto, las boquillas anidadas en cada máquina afectan significativamente la respuesta Problema An experiment is designed to study pigment dispersion in paint. Four different mixes of a particular pigment are studied. The procedure consists of preparing a particular mix and then applying that mix to a panel by three application methods (brushing, spraying, and rolling). The response measured is the percentage reflectance of pigment. Three days are required to run the experiment, and the data obtained follow. Analyze the data and draw conclusions, assuming that mixes and application methods are fixed. Day Application Method Mix Solucion

7 General Linear Model: Respuesta versus Dia, Metodo, Mezcla Dia random 1,, Metodo fixed 1,, Mezcla fixed 4 1,,, 4 Analysis of Variance for Respuesta, using Adjusted SS for Tests Dia x Metodo Mezcla Dia*Metodo Dia*Mezcla Metodo*Mezcla Dia*Metodo*Mezcla ** Error 0 * * * Total x Not an exact F-test. ** Denominator of F-test is zero. S = * * NOTE * Could not graph the specified residual type because MSE = 0 or the degrees of freedom for error = 0. Main Effects Plot (fitted means) for Respuesta En la Anova anterior se puede ver que los factores relevantes en el experimento fueron la mezcla y el método, situación que se puede notar al analizar los P-value arrojados por minitab, los cuales resultaron menores que De esta manera, tanto la mezcla como el método afectan el porcentaje de reflexión de la pintura. Ahora se presenta un grafico de los efectos principales de los factores con el fin de visualizar el impacto en la respuesta para cada factor y sus niveles:

8 Main Effects Plot (fitted means) for Respuesta 76 Dia Metodo 74 7 Mean of Respuesta Mezcla Se observa como el factor día no presenta cambios significativos en la respuesta al variar sus niveles, sin embargo, el factor método muestra que hay un cambio significativo en la respuesta al variar los niveles del factor; para el método se obtiene un porcentaje de reflexión mayor. Se observa también que el factor mezcla es significativo y que cuando la mezcla es de tipo se obtiene un porcentaje mayor de reflexión. Por lo tanto se recomienda utilizar un método con una mezcla para incrementar la respuesta.