Diseños factoriales a dos niveles

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1 Diseños factoriales a dos niveles Tema 3. El diseño 4. Diseños k (tabla de signos) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III Objetivos Utilizar modelos con varios factores a dos niveles (la aparición de sólo dos niveles facilita el trabajar con numerosos factores). El diseño Estimar efectos e interacciones Identificar factores e interacciones significativas 4. Diseños k (tabla de signos) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4 1

2 Introducción Con frecuencia, en la experimentación industrial, se necesita dilucidar el efecto de un gran número de factores sobre la variable respuesta. unque el número de niveles de cada factor sea bajo, el número de combinaciones aumenta rápidamente (3 factores, 4 niveles cada uno, 4 3 =64 combinaciones). Consideramos sólo niveles para cada factor, los valores extremos (nivel alto, nivel bajo). Rápido y económico. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5. El diseño 4. Diseños k (tabla de signos) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 6 El diseño El diseño Tenemos dos factores ( y ) con dos niveles cada uno () y (). Notación para la variable respuesta: (o) ambos factores al nivel () (a) factor al nivel () y factor al nivel () (b) factor al nivel () y factor al nivel () (ab) ambos factores al nivel () () () Factor y1 (b) () y 11 (o) y (ab) () y1 (a) Factor y 11 (o) y 1 (a) y 1 (b) y (ab) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 7 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 8

3 El diseño El modelo estadístico es: y ( ) u i 1,, j 1, i es la media global j i es el efecto del nivel i del factor j es el efecto del nivel j del factor () es el efecto de la interacción cuando el factor está al nivel i y el al nivel j u es la perturbación asociada a i,j Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 9 El diseño Como los valores i, j y () son desviaciones respecto del valor medio, tenemos: 1 1 () 11 () () 1 () 1 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 10 y El diseño Con las variables auxiliares X i 1si 1si el factor el factor i está al nivel ( ) i está al nivel ( ) Podemos rescribir el modelo como: i 1, X1 X ( ) X1X u i 1,, j 1,. El diseño 4. Diseños k (tabla de signos) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 11 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1 3

4 y Estimación Tenemos 4 parámetros que estimar y el modelo es el de regresión lineal múltiple (variables dicotómicas con interacción) X1 X ( ) X1X u i 1,, j 1, ˆ o a b ab ˆ t 1 t 1 o a b ab ( X X ) X ˆ o a b ab 4 ( ˆ) o a b ab Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 13 Estimación y Habitualmente tomamos como parámetros los efectos de los factores: efecto de, tenemos 1, etc. ( ) X1 X X1X u i 1,, j 1, ˆ ( o a b ab) ˆ 1 o a b ab ˆ o a b ab ( ˆ) o a b ab Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 14 Signo de la interacción En la tabla del diseño factorial, obtenemos los signos de la interacción multiplicando los correspondientes signos de y de. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 15 y 11 (o) y 1 (a) y 1 (b) y (ab) ˆ a ab o b efecto ˆ b ab o coeficient e ˆ o ab a b a Ejemplo 1 Interesa conocer el efecto de la concentración de un reactivo (Factor ) y la cantidad de catalizador (Factor ) en un proceso químico. Factor : () 15% ; () 5% Factor : () 1kg ; () kg ˆ ( ) 8.5 ˆ ˆ ( ˆ) yˆ X 3.75X 1. 5X X Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

5 Ejemplo En el Ejemplo 1 teníamos 4 parámetros y 4 experimentos, podemos replicar el experimento en R ocasiones. En este caso R=3 ˆ ( ) 7.5 ˆ ˆ R ( ˆ) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III yˆ X.5X X X Total El diseño 4. Diseños k (tabla de signos) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 18 Diseños k (tabla de signos) Diseños k (tabla de signos) Estamos interesados en k factores, cada uno con niveles. la derecha, construcción tabla 4 C D C D C D CD C D CD CD CD o a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd Ejemplo: Se realizó un experimento para mejorar la calidad del hormigón. Se obtuvieron muestras de hormigón variando los niveles de los factores y se construyeron cilindros que se introducen en un aparato y se va añadiendo peso hasta que se rompe. La variable respuesta es la resistencia. C D abcd 4500 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 19 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 0 5

6 . El diseño 4. Diseños k (tabla de signos) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1 Efectos significativos Gráfico de efectos principales. Medias estimadas para los niveles () y () de cada factor. Ejemplo: Proceso químico (3 réplicas) respuesta Main Effects Plot for respuesta 3-1,0 1,0-1,0 1,0 Factor_ Factor_ Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III Efectos e interacciones significativas Diagrama de Pareto. Magnitudes de efectos principales e interacciones de mayor a menor. Ejemplo: Proceso químico (3 réplicas) :Factor_ :Factor_ Pareto Chart for respuesta Effect Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3 Efectos e interacciones significativas Gráfico probabilístico normal/seminormal. Efectos estandarizados frente a percentiles de una normal. Ejemplo: Proceso químico (3 réplicas) Standard deviations 1,8 1,5 Half-Normal Plot for respuesta 1, :Factor_ 0,9 0,6 0,3 block block Standardized effects :Factor_ Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4 6

7 Efectos e interacciones significativas Método de la MED: tantos parámetros como observaciones 1. Calcular mediana de efectos de interacciones, M.. Calcular mediana de distancias (en valor absoluto) del efecto de interacciones a M, MED. 3. Calcular S = MED/0.675 Si hay menos de 5 factores, cualquier efecto (en valor absoluto) mayor o igual que S es significativo. Si hay 5 factores o más, cualquier efecto (en valor absoluto) mayor o igual que 3S es significativo. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5 Método MED Ejemplo hormigón (1 réplica) 4 factores 6 interacciones dobles 4 interacciones triples 1 interacción cuádruple M=mediana(775, 65, 45, 5, 5,175, 375, 375, 75, 5,575)375 MED=mediana(1150,50,50,350,350,550,0,0,350,350,00)=350 S=350/0.675= efecto mayor que S= yˆ X Para la mayor resistencia, nivel () de, comprobar significatividad con NOV Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 6 7