Diseños con dos o más fuentes de variación (III): Otros diseños clásicos de experimentos

Transcripción

1 Diseños con dos o más fuentes de variación (III): Otros diseños clásicos de experimentos Tema 4 (III) Estadística 2 Curso 08/09 Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 1 / 17

2 ANOVA III con interacción Diseño con tres factores completamente aleatorizado (ANOVA III con interacción) Se pretende estudiar si tres factores (A, B y C) in uyen en una variable (continua) respuesta. Se supone (en principio) la existencia de interacciones entre factores. Consideraremos también solo el caso de diseños equilibrados (balanceados). Utilizaremos una notación análoga a los casos anteriores: Y ijkr = r-ésima observación correspondiente a los niveles i, j, k de los factores A, B y C respectivamente, i = 1,..., I, j = 1,..., J, k = 1,..., K, r = 1,..., R. Se supone: Y ijkr N(µ ijk, σ 2 ) Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 2 / 17

3 ANOVA III con interacción Modelo Y ijk = µ + α i + β j + γ k + (αβ) ij + (αγ) ik + (βγ) jk +(αβγ) ijk + ε ijk donde: µ efecto global (media global) α i, β j, γ k efectos principales de los niveles i, j, k de los factores A, B y C respectivamente. (αβ) ij, (αγ) ik, (βγ) jk efectos de las interacciones de segundo orden. (αβγ) ijk efectos de las interacciones de tercer orden. ε ijkr i.i.d. N(0, σ 2 ) errores aleatorios independientes. Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 3 / 17

4 ANOVA III con interacción Análisis de la varianza Análisis de la varianza El procedimiento es análogo a los casos anteriores, a partir de la descomposición de la suma de cuadrados se obtiene la tabla ANOVA: Fuente de variación SS gl MS F p-valor Factor A ss α I 1 ms α ˆF α p α Factor B ss β J 1 ms β ˆF β p β Factor C ss γ K 1 ms γ ˆF γ p γ Int. AB ss αβ (I 1) (J 1) ms αβ ˆF αβ p αβ Int. AC ss αγ (I 1) (K 1) ms αγ ˆF αγ p αγ Int. BC ss βγ (J 1) (K 1) ms βγ ˆF βγ p βγ Int. ABC ss αβγ (I 1) (J 1) (K 1) ms αβγ ˆF αβγ p αβ Residual ss R n IJK ms R Total ss T n 1 ms T Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 4 / 17

5 ANOVA III con interacción Análisis de la varianza Contrastes Los contrastes se realizan de forma análoga al caso de dos factores: comenzar por los correspondientes a interacciones de nivel superior en caso de aceptar que son nulas, continuar con las de orden inferior. Por ejemplo, si p αβγ es grande (> α) se acepta que no hay interacciones de orden tres (en caso contrario no continuaríamos, aceptaríamos que los tres factores in uyen y además interactúan entre sí). Si alguna de las interacciones de orden dos resultara signi cativa (p-valor pequeño) no se realizan los contrastes sobre los efectos principales de los correspondientes factores. Solo se contrasta el efecto individual de los factores si las interacciones correspondientes de orden superior resultaron no signi cativas. Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 5 / 17

6 Diseños con tres o más factores Las ideas anteriores se extienden de forma inmediata para modelos factoriales completos con más de tres factores. El principal PROBLEMA de estos diseños es el elevado número de observaciones que requieren (necesitaríamos una muestra en cada combinación de niveles de factores). En la práctica se suele proceder de dos formas: 1 Reducir el número de niveles. 2 Diseños fraccionales. Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 6 / 17

7 1 Reducir el número de niveles: Cuando se necesita estudiar un gran número de factores se suele considerar un n o de niveles pequeño (y proceder de forma secuencial si es necesario). Los habituales son: Diseños 2 K (K factores/2 niveles) Diseños 3 K (K factores/3 niveles) 2 Diseños fraccionales: No se consideran todas las posibles combinaciones entre niveles de los factores. Sólo se realiza una parte (fracción) del diseño completo. Los habituales son: Diseño en cuadrado latino (3 factores) Diseño en cuadrado greco-latino (4 factores) (se pasa de N F! N 2 combinaciones, N =niveles, F =factores). Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 7 / 17

8 Diseño en cuadrado latino Diseño en cuadrado latino Se consideran tres factores A, B y C (que se denominarán factor la, columna y letra latina). El número de niveles para cada factor es el mismo K. Se supone que no hay interacciones entre los factores. Nos centraremos en el modelo clásico sin replicación El diseño del experimento se realiza de forma que para cada combinación de niveles de los dos primeros factores (factor la y columna) se asigna un único nivel del tercer factor (letra latina) de forma que sólo aparece una letra por cada la o columna. Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 8 / 17

9 Diseño en cuadrado latino Por ejemplo para el caso de K = 3, se consideraría un cuadrado de la forma: Factor B B 1 B 2 B 3 A 1 C 1 C 2 C 3 Factor A A 2 C 2 C 3 C 1 A 3 C 3 C 1 C 2 NOTA: Siguiendo el principio de aleatorización se reordenarían aleatoriamente las y columnas para prevenir sesgos. Ver apéndice. Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 9 / 17

10 Diseño en cuadrado latino Fuente: Daniel Peña. Modelos lineales y series temporales. p. 145 Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 10 / 17

11 Ejemplo Diseños con tres o más factores Diseño en cuadrado latino Se realizó un experimento para estudiar cuatro algoritmos para la plani cación de las rutas de una empresa de entregas express. Para ello, se escogieron cuatro problemas habituales y cuatro servidores para su ejecución. La variable respuesta fué el tiempo (en minutos) necesario para resolverlos: Escenario Algoritmo E1 E2 E3 E4 A1 Servidor S1 S3 S4 S2 Tiempo A2 Servidor S2 S4 S3 S1 Tiempo A3 Servidor S3 S1 S2 S4 Tiempo A4 Servidor S4 S2 S1 S3 Tiempo Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 11 / 17

12 Diseño en cuadrado latino Modelo Y ijk = µ + α i + β j + γ k + ε ijk donde: µ efecto global (media global) α i efecto del nivel i del factor la A. β j efecto del nivel j del factor columna B. γ k efecto del nivel k del factor letra latina C. ε ijk i.i.d. N(0, σ 2 ) errores aleatorios independientes. Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 12 / 17

13 Análisis de la varianza Diseño en cuadrado latino Procediendo de forma análoga se obtiene la tabla ANOVA: Fuente de variación SS gl MS F p-valor Factor la Factor columna Factor letra latina ss α K 1 ms α ˆF α p α ss β K 1 ms β ˆF β p β ss γ K 1 ms γ ˆF γ p γ Residual ss R (K 1) (K 2) ms R Total ss T K 2 1 ms T Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 13 / 17

14 Diseño en cuadrado greco-latino Diseño en cuadrado greco-latino Se consideran cuatro factores (que se denominarán factor la, columna, letra latina y letra griega). El número de niveles para cada factor es el mismo K. Se supone que no hay interacciones entre los factores. El diseño del experimento se realiza combinando dos cuadrados latinos (uno con letras latinas y otro con letras griegas) de forma que: cada letra latina sólo aparece una vez por cada la o columna cada letra griega sólo aparece una vez por cada la o columna y una vez con cada letra latina. Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 14 / 17

15 Diseño en cuadrado greco-latino Por ejemplo para el caso de K = 3, se consideraría un cuadrado de la forma: Factor B B 1 B 2 B 3 A 1 Aα Bβ Cγ Factor A A 2 Cβ Aγ Bα A 3 Bγ Cα Aβ NOTA: Siguiendo el principio de aleatorización se reordenarían aleatoriamente las y columnas, y también se asignarían al azar letras latinas y griegas. Ver apéndice. Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 15 / 17

16 Diseño en cuadrado greco-latino Modelo Y ijkl = µ + α i + β j + γ k + δ l + ε ijkl donde: µ efecto global (media global) α i efecto del nivel i del factor la. β j efecto del nivel j del factor columna. γ k efecto del nivel k del factor letra latina. δ l efecto del nivel l del factor letra griega. ε ijkl i.i.d. N(0, σ 2 ) errores aleatorios independientes. Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 16 / 17

17 Análisis de la varianza Diseño en cuadrado greco-latino Procediendo de forma análoga se obtiene la tabla ANOVA: Fuente de variación SS gl MS F p-valor Factor la Factor columna Factor letra latina Factor letra griega ss α K 1 ms α ˆF α p α ss β K 1 ms β ˆF β p β ss γ K 1 ms γ ˆF γ p γ ss δ K 1 ms δ ˆF δ p δ Residual ss R (K 1) (K 3) ms R Total ss T K 2 1 ms T Tema 4 (III) (Estadística 2) ANOVA multifactorial Curso 08/09 17 / 17