PRUEBA DE FALTA DE AJUSTE (Lack-of-fit Test) Fortino Vela Peón

Transcripción

1 PRUEBA DE FALTA DE AJUSTE (Lack-of-fit Test) Fortino Vela Peón Octubre, 2011

2 Introducción Un supuesto básico del modelo es la existencia de una relación lineal entre la variable dependiente y los regresores. Dos formas de verificar esta suposición son: ex-ante ex-post 1. Mediante la elaboración del diagrama de dispersión; 2. Graficar a los residuales (estandarizados) vs el valor de la variable de respuesta ajustada, así como vs los predictores.

3 Prueba de falta de ajuste Esta diseñada para evaluar si una relación curvilineal podría ajustar mejor a los datos que un modelo lineal. Para ello la SCE se descompone en dos partes: 1. El componente de error puro; y 2. El componente de falta de ajuste. Estos dos componentes son utilizados para construir un estadístico de prueba F particular con el fin de contrastar la hipótesis siguiente:

4 H o : la relación es lineal vs H 1 : la relación no es lineal La prueba requiere observaciones repetidas en al menos uno de los niveles de X. Las observaciones de X e Y son independientes y se encuentran normalmente distribuidas. La distribuciones de Y tienen la misma varianza.

5 H o : la relación es lineal vs H 1 : la relación no es lineal F * ( SCER SCEF ) gl SCE ( gl gl ) F R La regla de decisión esta dada por: F Rechazar Ho ssi F F * α > F c k, n c SCE R suma de cuadrados del error del modelo reducido. SCE F suma de cuadrados del error del modelo completo. gl R grados de libertad del modelo reducido. gl F grados de libertad del modelo completo. donde c # de niveles distintos de X p # de variables en la ecuación de regresión n # de observaciones

6 SCE F SCPE j i ( Y Y ) ij j 2 j1,2,,c (niveles de X) SCE R SCE j i ( Y Yˆ ) ij ij 2 gl F ( n c) gl R ( n k) Observe que SCPE F * ( SCE SCPE) ( n c) SCPE ( n 2) ( n c) Suma de cuadrados del error puro (en inglés SSPE)

7 Es común encontrar la siguiente notación: SCE R SSEP SCE SSE se define entonces donde SSLF SSE + SSLF observe SSEP suma de cuadrados de falta de ajuste SSE SSPE ( SCE SSPE) ( n c) ( n 2) ( n c) MSLF SSPE ( n 2) ( n c) SSE MSPE * F ( n c)

8 Ejemplo Una empresa dedicada a comercializar productos de belleza utiliza los servicios de telemarketing para promover a sus mercancías. El gerente de la División de Mercadeo de la compañía de telemarketing esta interesado en conocer el tiempo que utilizan sus empleados en una llamada para realizar sus tareas. Para ello recolecta el número de meses (meses) que lleva en la compañía el operador y el número de llamadas telefónicas (llamadas) realizadas al día para 20 de sus empleados. F. VELA

9 meses llamadas F. VELA

10 El promedio de llamadas al día para los 20 empleados seleccionados es de El gerente sospecha que pudiera haber algún tipo de relación entre la antigüedad en el trabajo y el número de llamadas, dado que el empleado puede ir especializándose. Se plantea entonces el siguiente modelo: llamadas β + β meses u

11 meses F. VELA llamadas

12 reg llamadas meses Source SS df MS Number of obs F( 1, 18) Model Prob > F Residual R-squared Adj R-squared Total Root MSE llamadas Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] meses _cons

13 predict yhat predict r, res predict res, rstandard list llamadas yhat r res llamadas yhat r reses

14 Fitted values F. VELA Standardized residuals

15 F itted values F. VELA Residuals

16 meses F. VELA Residuals

17 PRUEBA DE FALTA DE AJUSTE F. VELA

18 Construcción de F * Arreglo de datos X j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 j9 j10 j11 j12 j13 j14 Replicas i i i3 33 i3 31 Media SCE F SSPE ( ) + ( ) + (22 22) (34 34) 2

19 Calculo SCE F (también denominado SSPE) X j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 j9 j10 j11 j12 j13 j14 Replicas i i i3 1 i3 1 Sumas SCE F SSPE 5 SCE R SCE n 20 c 14 k 2 gl F glr ( 20 14) ( 20 2) (20 14)

20 Prueba de falta de ajuste H o : la relación es lineal vs H 1 : la relación no es lineal α0.05: F * ( ) (20 14) [ ( 20 2) (20 14) ] (6) 5(12) Rechazar Ho ssi F α > F c k, n c donde *0.05 F 12, > 4.00 Se rechaza H 0 lo que implica que la relación no es lineal

21 Prueba de falta de ajuste en Stata reg llamadas meses Source SS df MS Number of obs F( 1, 18) Model Prob > F Residual R-squared Adj R-squared Total Root MSE llamadas Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] meses _cons findit maxr2

22 maxr2 maximum R-square relative R-square actual adjusted R-square relative adjusted R-square SSLF (df) (12) MSLF SSPE (df) 5 (6) MSPE F (dfn, dfd) for lack-of-fit test (MSLF/MSPE) (12,6) prob > F number of covariate patterns 14 as ratio of observations Se rechaza H 0 lo que implica que la relación no es lineal (con α 0.05 y 0.10)

23 Bibliografía Kutner, Michael H. et. al. (2005). Applied Linear Statistical Models, 5ª ed., McGraw Hill, Singapore (pp ).