Beatriz Sánchez Reyes. 22 de septiembre de 2010

Transcripción

1 Regresión cuantílica Beatriz Sánchez Reyes 22 de septiembre de 2010

2 Índice Definición de cuantil Regresión cuantílica - Estimación - Inferencia Regresión mediana (Ejemplo) Regresión cuartílica (Ejemplo)

3 Definición de cuantil Un cuantil es un valor b de la muestra que deja por debajo una proporción de observaciones igual a θ* y una proporción (1-θ) de observaciones por encima. Los cuantiles más utilizados son: - Mediana - Cuartiles - Deciles - Percentiles o centiles Una forma alternativa de expresar los cuantiles es a través del siguiente problema de minimización: *0<θ<1

4 Regresión cuantílica La regresión cuantílica (Koenker y Basset, 1978) busca modelizar la relación existente entre x e y para distintos cuantiles de la distribución de la variable dependiente y. y i =x i β θ + u i

5 Estimación (I) La estimación de los parámetros en el caso de la regresión cuantílica se lleva a cabo a través de la minimización de las desviaciones absolutas ponderadas con pesos asimétricos:

6 Estimación (II) Una forma alternativa a la expresión anterior: Donde tal que: ρ(u) (θ-1) θ u

7 Estimación (III) Expresado como un problema de programación lineal, se tiene la siguiente expresión:

8 Inferencia (I) Cálculo de Λ θ mediante bootstrapp (Efron, 1979): donde:

9 Inferencia (II) Pseudo- R 2 =

10 Regresión mediana La regresión mediana es un caso particular de la regresión cuantílica en el que: θ=0,5 Por tanto, la expresión para el cálculo de los parámetros de la regresión quedaría de la siguiente manera:

11 Ejemplo 1: Regresión mediana ante la presencia de atípicos var_pob i =(renta_pc) i β θ + u i var_pob i : Variación de la población en cada uno de los municipios extremeños de más de habitantes entre los años 1999 y (renta_pc) i : Renta per cápita de los municipios extremeños de más de habitantes en 2007 (último año disponible). θ=0,5

12 Paso 1.- Estimar los modelos: var_pob i =(renta_pc) i β MCO + u i var_pob i =(renta_pc) i β Med + u i Paso 2.- Estimar y comparar los modelos anteriores ante la presencia de un dato atípico.

13 . REGRESIÓN MCO reg var_pob renta_pc Source SS df MS Number of obs = F( 1, 38) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = var_pob Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] renta_pc _cons REGRESIÓN CUANTÍLICA qreg var_pob renta_pc Iteration 1: WLS sum of weighted deviations = Iteration 1: sum of abs. weighted deviations = Iteration 2: sum of abs. weighted deviations = Median regression Number of obs = 40 Raw sum of deviations (about ) Min sum of deviations Pseudo R2 = var_pob Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] renta_pc _cons renta_pc var_pob Fitted values renta_pc var_pob Fitted values

14 . REGRESIÓN MCO reg var_pob renta_pc Source SS df MS Number of obs = F( 1, 38) = 0.01 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = var_pob Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] renta_pc _cons REGRESIÓN CUANTÍLICA qreg var_pob renta_pc Iteration 1: WLS sum of weighted deviations = Iteration 1: sum of abs. weighted deviations = Iteration 2: sum of abs. weighted deviations = Iteration 3: sum of abs. weighted deviations = Iteration 4: sum of abs. weighted deviations = Iteration 5: sum of abs. weighted deviations = Median regression Number of obs = 40 Raw sum of deviations (about ) Min sum of deviations Pseudo R2 = var_pob Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] renta_pc _cons renta_pc renta_pc var_pob Fitted values var_pob Fitted values

15 Regresión cuartílica La regresión cuartílica es otro caso particular de la regresión cuantílica en el que: θ=0,25; y i =x i β 0,25 + u i θ=0,5; y i =x i β 0,50 + u i θ=0,75 y i =x i β 0,75 + u i

16 Ejemplo 2: Regresión cuartílica ante la presencia de heteroscedasticidad Base de datos: Ingreso y gasto medio mensual de 200 individuos. Consumo y gasto medio mensual Gastos ( ) Ingresos ( )

17 Paso 1.- Estimar los modelos: gasto i =ingreso i β 0,25 + u i gasto i =ingreso i β 0,50 + u i gasto i =ingreso i β 0,75 + u i Paso 2.- Comprobar que hay diferencias significativas entre cuartiles.

18 Estimación del modelo para θ=0,25; θ=0,50 y θ=0,75.. sqreg gasto ingreso, q( ) (fitting base model) (bootstrapping...) Simultaneous quantile regression Number of obs = 200 bootstrap(20) SEs.25 Pseudo R2 = Pseudo R2 = Pseudo R2 = Bootstrap gasto Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] q25 ingreso _cons q50 ingreso _cons q75 ingreso _cons

19 Comprobación de que existen diferencias entre cuartiles. iqreg gasto ingreso, q(.25.75) (fitting base model) (bootstrapping...) Interquantile regression Number of obs = 200 bootstrap(20) SEs.75 Pseudo R2 = Pseudo R2 = Bootstrap gasto Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ingreso _cons test [q25]ingreso=[q75]ingreso ( 1) [q25]ingreso - [q75]ingreso = 0 F( 1, 198) = Prob > F =

20 Conclusión La minimización de las desviaciones en valor absoluto en lugar de al cuadrado (MCO), hace que la regresión cuantílica sea especialmente útil ante la presencia de atípicos, heteroscedasticidad o cambio estructural.