Bioestadística. Curso Práctica: La recta de regresión

Transcripción

1 Bioestadística. Curso Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Índice 1. Introducción 2 2. El diagrama de dispersión 2 3. Covarianza 4 4. Coeciente de correlación lineal 5 5. El modelo de regresión lineal simple 6 1

2 1 Introducción Como hemos visto a lo largo de las clases de teoría, hasta ahora nos hemos ocupado de la descripción de variables estadísticas unidimensionales, es decir, cada individuo de la muestra era descrito de acuerdo a una única característica. Sin embargo, lo habitual es que tendamos a considerar un conjunto amplio de características para describir a cada uno de los individuos de la población, y que estas características puedan presentar relación entre ellas. Nos centraremos en el estudio de variables estadísticas bidimensionales, es decir, tendremos dos características por cada individuo. Representaremos por (X; Y ) la variable bidimensional estudiada, donde X e Y son las variables unidimensionales correspondientes a las primera y segunda características, respectivamente, medidas para cada individuo. En el estudio de variables bidimensionales tiene mucho interés buscar posibles relaciones entre las variables X e Y. El tipo de relación más sencilla que se establece entre un par de variables es la relación lineal. Estudiaremos como analizar este tipo de relaciones con Statistix a través del siguiente ejemplo. Ejemplo: EL Volumen Expiratorio Forzado (VEF) es una medida de la función pulmonar. Se cree que el VEF está relacionado con la estatura. Nos interesa estudiar la variable bidimensional ( X; Y ) siendo X la estatura de niños de 10 a 15 años de edad e Y el VEF. A continuación se muestra la estatura (en cm.) y el VEF (en l.) de 12 niños en ese rango de edad: Estatura VEF En primer lugar, introduciremos los datos de las variables. Recuerda que para introducir datos debes pulsar en el menú superior Data I Insert I Variables. Escribe en el cuadro de diálogo el nombre de las variables que quieres crear (Figura 1) y pulsa Ok. Figura 1: Cuadro de diálogo para introducir variables en Statistix 2 El diagrama de dispersión La representación gráca más útil de dos variables continuas es el diagrama de dispersión. Consiste en representar en un eje de coordenadas los pares de observaciones (x i ; y i ). La nube así dibujada (nube de puntos) reeja la posible relación entre las variables. Realizaremos a continuación un gráco de dispersión para nuestros datos en el que representaremos la variable Estatura en el eje X y la variable VEF en el eje Y. Debes pulsar en el menú superior Statistics I Summary Statistics I Scatter Plot..., como se muestra en la Figura 2. Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 2 de 9

3 Figura 2: Cuadro de diálogo para realizar un gráco de dispersión Obtenemos así el diagrama de dispersión de la Figura 3. A partir de la gráca se observa que parece existir una clara relación lineal entre ambas variables, de manera que a medida que aumenta la estatura, también aumenta el VEF y además lo hace de forma lineal. Figura 3: Diagrama de dispersión para los datos de Estatura y VEF Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 3 de 9

4 3 Covarianza Recuerda que Statistix nos permitía calcular directamente medidas características de posición, dispersión y forma a través del menú Statistics I Summary Statistics I Descriptive Statistics... Por ejemplo, calculamos a continuación (Figura 4) la media, varianza y desviación típica de Estatura y VEF. Obtenemos los siguientes resultados: Descriptive Statistics Variable Mean SD Variance Estatura VEF Figura 4: Cuadro de diálogo para calcular medidas características de variables individuales Hemos visto que en el contexto bidimensional surgen nuevas medidas que nos permiten cuanticar la dispersión conjunta de dos variables estadísticas. Consideremos una muestra de n observaciones de una variable bidimensional cuantitativa (X; Y ). Se dene la covarianza entre X e Y (que se denota por s x y ) como: Cov(X; Y ) = s x y = 1 n 1 n i=1 (x i x )(y i y ): La covarianza puede interpretarse como una medida de relación lineal entre las variables X e Y. En Statistix calcularemos la covarianza entre dos variables a través del menú Statistics I Linear Models I Variance- Covariance... (ver Figura 5). Obtenemos los siguientes resultados: Variance - Covariance Matrix Estatura VEF Estatura VEF Cases Included 12 Missing Cases 0 La varianza de la Estatura es 208 cm 2, la varianza del VEF es l 2 y la covarianza entre estatura y VEF es cm l. Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 4 de 9

5 Figura 5: Cuadro de diálogo para el cálculo de la covarianza 4 Coeciente de correlación lineal Observa que la covarianza depende de las unidades de medida de las variables. El coeciente de correlación lineal se calcula dividiendo la covarianza entre el producto de las desviaciones típicas de ambas variables. r x y = s x y s x s y : En Statistix calcularemos el coeciente de correlación lineal a través del menú Statistics I Linear Models I Correlations (Pearson)... (ver Figura 6). Obtenemos el siguiente resultado: Correlations (Pearson) Estatura VEF 0,9882 Cases Included 12 Missing Cases 0 Por lo tanto, el coeciente de correlación lineal será r x y indica que la relación entre ambas variables es directa. = 0:9882. La correlación es próxima a 1, lo que nos Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 5 de 9

6 Figura 6: Cuadro de diálogo para el cálculo del coeciente de correlación lineal 5 El modelo de regresión lineal simple El modelo de regresión lineal simple establece que la relación entre la variable dependiente ( Y ) y la variable independiente (X) es de la forma: Y = 0 + 1X + ": Dada una muestra (x1,y1),...,(x n,y n ), el objetivo es determinar los valores de los parámetros desconocidos 0 y 1 (mediante estimadores ^0 y ^1) de manera que la recta de regresión denida Y = ^0 + ^1X ajuste de la mejor forma posible a los datos. Los valores de los parámetros obtenidos mediante el método de mínimos cuadrados son: ^1 = s x y s 2 ; x ^0 = y ^1 x que serán llamados coecientes de la regresión. Calcularemos la recta de regresión en Statistix a través del menú Statistics I Linear Models I Linear Regression... Recuerda que en un modelo de regresión lineal Y = 0 +1X +, la variable Y recibe el nombre de variable dependiente, respuesta o explicada. La variable X recibe el nombre de variable independiente, regresora o explicativa. En nuestro caso, pretendemos explicar el VEF en función de la Estatura, por lo tanto la variable dependiente Y será el VEF y la variable independiente o explicativa X será la Estatura (ver Figura 7). Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 6 de 9

7 Figura 7: Cuadro de diálogo para el cálculo de la recta de regresión Least Squares Linear Regression of VEF Predictor Variables Coefficient Std Error T P Constant ,46 0,0000 Estatura ,37 0,0000 R-Squared 0,9765 Resid. Mean Square (MSE) Adjusted R-Squared 0,9741 Standard Deviation AICc PRESS Source DF SS MS F P Regression ,78 0,0000 Residual Total Cases Included 12 Missing Cases 0 Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 7 de 9

8 Coecientes de la recta de regresión. Obtenemos en la primera columna de esta tabla (Coefficient) las estimaciones de los coecientes del modelo. En el ejemplo, ^0 = 5:31288 (constante) y ^1 = 0:05131 (pendiente). Por lo tanto, la recta ajustada será: Y = 5: :05131X. Contrastes sobre los parámetros del modelo. Las dos últimas columnas de la tabla de coecientes (T, P) nos proporcionan información para realizar los contrastes que nos permiten comprobar si los coecientes del modelo son signicativos (si son distintos de cero). Si escribimos el modelo como Y = 0 + 1X + ", los contrastes se plantean de la siguiente forma: Para la constante: { H0 : 0 = 0 H1 : 0 6= 0 Para la pendiente: { H0 : 1 = 0 H1 : 1 6= 0 Estos contrastes son importantes, porque en caso de no rechazar alguna de las hipótesis nulas ( 0 = 0 o 1 = 0), podríamos prescindir de alguno de los coecientes del modelo y así simplicarlo. En el ejemplo el valor del estadístico para el contraste sobre la constante del modelo es T = 13; 46, con un p-valor igual a 0, lo que nos lleva a rechazar la hipótesis nula H0. Es decir, la constante de la recta es signicativamente distinta de cero. Por otra parte, el valor del estadístico para el contraste sobre la pendiente es T = 20; 37, con un p-valor igual a 0. Por lo tanto, también rechazamos la hipótesis nula H0 y concluimos que la pendiente de la recta es signicativamente distinta de cero. Ambos coecientes son signicativos. Coeciente de determinación. Una vez resuelto el problema de estimar los parámetros surge la pregunta de si la recta estimada es o no representativa para los datos. Esto se resuelve mediante el coeciente de determinación R 2. En el ejemplo, el coeciente de determinación (R-Squared) es R 2 = 0; Descomposición de la variabilidad. Los métodos de regresión pretenden darnos una explicación de cómo la variable respuesta, Y, se comporta de distinta manera en función del valor que tome la variable explicativa, X. En consecuencia, parte de la variabilidad de Y que otra parte sería fruto del error del modelo. quedaría justicada por la inuencia de la variable X, mientras La variabilidad de toda la muestra la denominamos variabilidad total (VT) o suma total de cuadrados y se descompone en dos sumandos: VT = VE + VNE: La variabilidad explicada (VE) sirve como medición de la variabilidad que podemos explicar en base al modelo de regresión. La variabilidad no explicada (VNE) se interpreta como variabilidad residual. En Statistix, la decomposición de la variabilidad se muestra en la columna SS (sum of squares). Para los datos del ejemplo tenemos VT= , VE= y VNE= Efectivamente, se cumple que VT = VE + VNE: Recuerda que además el coeciente de determinación se denía como la proporción de variabilidad de la variable dependiente que es explicada por la regresión. Efectivamente R 2 = VE VT = 6: :16917 = 0:9765: También puedes comprobar que en el modelo de regresión lineal simple, el coeciente de determinación coincide con el cuadrado del coeciente de correlación, es decir R 2 = r 2 x y. Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 8 de 9

9 El contraste de regresión. En la misma tabla de la descomposición de la variabilidad Statistix también nos da el resultado del contraste ANOVA. Esta prueba determina si el modelo de regresión aporta información sobre la variable respuesta. El test es muy útil cuando trabajamos con modelos más generales que el de regresión lineal simple. En nuestro caso contrasta si la pendiente es signicativa (distinta de cero). { H0 : 1 = 0 H1 : 1 6= 0 En el ejemplo el valor del estadístico del contraste es F = 414:78, con un p-valor igual a 0, lo que nos lleva a rechazar la hipótesis nula H0. Es decir, la pendiente de la recta es signicativamente distinta de cero (es la misma conclusión que en el contraste correspondiente sobre los parámetros del modelo). Representación de la recta de regresión. Por último, representaremos la recta de regresión estimada. Para ello volvemos al menú desde el que realizamos el gráco de dispersión ( Statistics I Summary Statistics I Scatter Plot...). En el cuadro de diálogo debes seleccionar en la opción Fitted Curve I Linear Regression (Figura 8). Obtendremos así una gráca como la de la Figura 9. Figura 8: Cuadro de diálogo para representar la recta de regresión Figura 9: Recta de regresión para los datos de Estatura y VEF Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 9 de 9