Ajuste de Regresión Lineal Simple
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- Celia Cordero Silva
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1 Ajuste de Regresión Lineal Simple Hugo Alberto Brango García 1 1 Universidad de Córdoba Estadística II Mayo de 2014 Análisis de Regresión Mayo de / 33
2 Supuestos sobre los residuales del modelo Normalidad de los errores Los supuestos que se deben cumplir en la construcción de un Modelo de Regresión son los siguientes: Los residuales deben seguir una distribución normal Para probar si los residuales siguen una distribución normales existen pruebas grácas y pruebas analíticas En las pruebas grácas tenemos el Q-Q plot Análisis de Regresión Mayo de / 33
3 Supuestos sobre los residuales del modelo Normalidad de los errores En las pruebas formales o analíticas tenemos: Prueba de Shapiro-Wilk: La hipótesis a probar es H 0 : Los errores siguen una distribución normal H a :Los errores no siguen una distribución normal La hipótesis H 0 se rechaza al nivel 5 % si p-value < 0,05 Análisis de Regresión Mayo de / 33
4 Supuestos sobre los residuales del modelo Independencia, aleatoriedad Los errores son homocedásticos: Estos deben tener varianza constante Aleatoriedad de los residuos: Estos no deben tener patrones sistemáticos Independencia: No debe existir depednecia de las observaciones o autocorrelación serial e i NI ( 0, σ 2) Análisis de Regresión Mayo de / 33
5 Supuestos sobre los residuales del modelo Satisfactorio Análisis de Regresión Mayo de / 33
6 Supuestos sobre los residuales del modelo No satisfactorio Análisis de Regresión Mayo de / 33
7 Supuestos sobre los residuales del modelo No satisfactorio Análisis de Regresión Mayo de / 33
8 Aplicación de la Regresión en R Datos Para ilustrar los comandos de R que están asociados a la regresión lineal, utilizaremos datos de los precios de los apartamentos en la ciudad de Medellín en función de los metros cuadrados. Metros Precio Metros Precio Análisis de Regresión Mayo de / 33
9 Aplicación de la Regresión en R Histograma y boxplot para el área Análisis de Regresión Mayo de / 33
10 Aplicación de la Regresión en R Histograma y boxplot para el precio Análisis de Regresión Mayo de / 33
11 Aplicación de la Regresión en R Datos Para introducir los datos lo podemos hacer de la siguiente manera: metros=c(180,121,119.7,127,155.1,119,105,107,83,69,74,47,164) precio=c(150,145.2,135.6,128,135,125,118,105,91,68.8,65.1,48,165) Para obtener el diagrama de dispersión empleamos plot(metros,precio) Análisis de Regresión Mayo de / 33
12 Aplicación de la Regresión en R Gráco de dispersión Análisis de Regresión Mayo de / 33
13 Aplicación de la Regresión en R Ajuste del MRLS Para estimar los coecientes del modelo de regesión lineal simple empleamos: reg=lm(precio~metros) summary(reg) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) metros e-06 *** Signif. codes: 0 `***' `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 Residual standard error: on 11 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 11 DF, p-value: 4.713e-06 Análisis de Regresión Mayo de / 33
14 Aplicación de la Regresión en R Ajuste del MRLS Se deduce que la ecuación de recta ajustada es: precio = metros El valor del coeciente de determinación es R 2 = , el coeciente de la pendiente es signicativo. Análisis de Regresión Mayo de / 33
15 Aplicación de la Regresión en R Ajuste del MRLS Añadimos la recta ajustada al conjunto de datos: abline(lm(precio ~ metros)) Análisis de Regresión Mayo de / 33
16 Aplicación de la Regresión en R Ajuste del MRLS Podemos acceder a los valores ajustados, los residuos, y los coecientes con: reg$fitted reg$resid reg$coef Análisis de Regresión Mayo de / 33
17 Aplicación de la Regresión en R Intervalo de conanza para β 0 y β 1 Para calcular intervalos de conanza al 95 % para los parámetros del modelo usamos lo siguiente: confint(reg,level=0.95) 2.5 % 97.5 % (Intercept) metros Los resultados representan intervalos de conanza de 95 % para β 0 y β 1, es decir: β β Análisis de Regresión Mayo de / 33
18 Aplicación de la Regresión en R Tabla de Análisis de Varianza Para construir la tabla ANOVA usamos la siguiente función: anova(reg) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) metros e-06 *** Residuals Signif. codes: 0 `***' `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 Como p-valor < 0.05, entonces se rechaza H 0 al nivel Es decir el modelo ajustado es signicativo. Análisis de Regresión Mayo de / 33
19 Aplicación de la Regresión en R Gráco de los errores plot(error) Análisis de Regresión Mayo de / 33
20 Aplicación de la Regresión en R Gráco de los errores en función de x plot(metros,error,xlab=metros) Análisis de Regresión Mayo de / 33
21 Aplicación de la Regresión en R Gráco de normalidad error=reg$resid qqnorm(error) qqline(error) Análisis de Regresión Mayo de / 33
22 Aplicación de la Regresión en R Prueba de Normalidad de Shapiro-Wilk H 0 : Los residuos del modelo siguen una distribución normal H a : Los residuos del modelo no siguen una distribución normal shapiro.test(error) Shapiro-Wilk normality W = , p-value = Como p-value > 0.05, entonces se acepta la hipótesis de normalidad. Es decir, los residuos del modelo siguen una distribución normal. Análisis de Regresión Mayo de / 33
23 Aplicación de la Regresión en R Prueba de aleatoriedad H 0 : Los residuos del modelo son aleatorios H a : Los residuos del modelo no son aleatorios library("tseries") runs.test(as.factor(error>median(error))) Runs Test data: as.factor(error > median(error)) Standard Normal = 0.314, p-value = alternative hypothesis: two.sided Como p-value=0.7535>0.05 se acepta H 0 es decir los errrores son aleatorios. Análisis de Regresión Mayo de / 33
24 Regresión no lineal. Regresión no lineal Cuando se hace el gráco de dispersión y este sugiere que no hay relación lineal, se hacen transformaciones sobre y y x para linealizar. Análisis de Regresión Mayo de / 33
25 Regresión no lineal. Caso exponencial y = β 0 e β 1x El modelo exponencial se linealiza asï: y = β 0 e β 1x ln(y) = ln(β 0 ) + β 1 x Se hace entonces la regresión lineal simple entre ln(y) y x. Análisis de Regresión Mayo de / 33
26 Regresión no lineal. Caso potencial y = β 0 x β 1 El modelo se linealiza así: y = β 0 x β 1 = ln(y) = ln(β 0 ) + β 1 ln(x) Se hace entonces la regresión lineal simple entre ln(y) y ln(x). Análisis de Regresión Mayo de / 33
27 Regresión no lineal. Los siguientes datos representan la población mudial en millones para cada año Año Población (mill) Análisis de Regresión Mayo de / 33
28 Regresión no lineal. Análisis de Regresión Mayo de / 33
29 Regresión no lineal. Ajustando regresión lineal lineal=lm(pob~año) summary(lineal) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) año Signif. codes: 0 `***' `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' Residual standard error: 1584 on 6 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 6 DF, p-value: Análisis de Regresión Mayo de / 33
30 Regresión no lineal. Ajustando regresión lineal Aquí el modelo lineal estimado es: pob = año R 2 = Se observa que el modelo no es signicativo, la relación lineal entre los años y el tamaño de la población no es signicativo al nivel El coeciente de determinación es , lo cual evidencia un pobre ajuste del modelo lineal a los datos. Análisis de Regresión Mayo de / 33
31 Regresión no lineal. Ajuste de regresión exponencial exponencial=lm(log(pob)~año) summary(exponencial) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * año ** --- Signif. codes: 0 `***' `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' Residual standard error: on 6 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 6 DF, p-value: Análisis de Regresión Mayo de / 33
32 Regresión no lineal. Ajuste de regresión exponencial El modelo estimado es: ln( ˆ pob) = año Lo cual indica que por cada año la población creció en 0.25%. Para expresar la anterior ecuación en su forma exponencial sacamos el antilogaritmo ˆ pob = e año = e año Este modelo explica un 78.07% (R 2 = ) de la variabilidad de la pblación en este período. La relación exponencial entre población y año es signicativa al Análisis de Regresión Mayo de / 33
33 Regresión no lineal. pobes=17.701*exp(0.0025*año) plot(año,pob) abline(lineal) lines(año,pobes,col=red) l Análisis de Regresión Mayo de / 33
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