Diseño de Experimentos

Transcripción

1 Diseño de Experimentos Tema 6. Validación de Supuestos JAIME MOSQUERA RESTREPO

2 VERIFICACIÓN DE LA ADECUACIÓN DEL MODELO Los procedimientos estudiados son validos únicamente bajo el cumplimiento de 4 supuestos básicos sobre el modelo: yij = µ + τ + ε SUPUESTO 1: Los errores tienen media cero E ( ε ij ) = 0 SUPUESTO : La varianza de los errores es constante V ( εij) = σ, SUPUESTO 3: Los errores son aleatorios e independientes SUPUESTO 4: Los errores tienen una distribución normal i j Corr ( ε ; ε ) = 0 i, j ε ij hk ij N(0, σ ) i ij

3 VERIFICACIÓN DE LA ADECUACIÓN DEL MODELO Las violaciones de los supuestos básicos y la adecuación del modelo pueden investigarse con facilidad mediante el examen de residuales. El residual de la observación j ésima en el tratamiento i ésimo se define como: e ij = y ij yˆ ij.. ( yi. y.. ) yi. y ˆ = ˆ µ + ˆ τ = y + = ij i e ij = y ij y i.

4 VERIFICACIÓN DE LA ADECUACIÓN DEL MODELO La validación de los supuestos del modelo se puede hacer de dos formas : Por métodos gráficos: Los cuales son fáciles de entender puede apreciar comportamientos atípicos. y se Por métodos formales : hipótesis. Basados en la ejecución de pruebas de

5 VALIDACIÓN DE SUPUESTOS Las conclusiones obtenidas a partir de una ANOVA solo presentan total validez si se cumplen los supuestos que sustentan al termino error. En la validación de supuestos se presentan dos enfoques Validación mediante análisis grafico Validación mediante Pruebas de Hipótesis

6 Análisis Grafico de Residuales SUPUESTO 1: Los errores tienen media cero Grafico de Residuales versus Respuesta Estimada ˆij ε 0 yˆij Errores con media cero y varianza constante Prueba Formal: Test T Student Errores con media cero, pero varianza no constante H 0 : µ e = 0 vs H a : µ e 0

7 Análisis Grafico de Residuales SUPUESTO : La varianza de los errores es constante Varianza constante Varianza no constante Varianza no Constante ˆij ε ˆij ε ˆij ε yˆij yˆij yˆij Pruebas Formales: Test Bartlett Test de Levene H 0 : σ1 = σ = σ 3 =... = σ a vs H1 : σ i σ j

8 Análisis Grafico de Residuales SUPUESTO : La varianza de los errores es constante Test para igualdad de varianzas Temperatura a Bartlett's Test Test Statistic 5,59 P-Value 0,133 Levene's Test Test Statistic 1,19 P-Value 0, ,0 0,5 1,0 1,5,0,5 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

9 Análisis Grafico de Residuales SUPUESTO 3: Los errores son aleatorios e independientes Grafico de Residuales en Función del Orden de Corrida 3 eij eij Situación Ideal (independencia) - t -3 t 3 3 eij eij t -4 t Tendencia de los residuos en función del tiempo

10 Análisis Grafico de Residuales SUPUESTO 3: Los errores son aleatorios e independientes Gráficos de Residuales Rezagados e t vs. e t-1 Autocorrelación Positiva Autocorrelación Negativa No Autocorrelación Pruebas Formales: Test Durbin -Watson, Test de Rachas

11 Análisis Grafico de Residuales SUPUESTO 3: Los errores son aleatorios e independientes 0,50 Gráfica de los residuales contra el tiempo 0,5 Residua ales 0,00 0-0,5-0,50-0, Tiempo Prueba Formal: Test de Rachas o Test Durbin Watson H0: los residuales son independientes vs H1: los residuales no son independientes

12 Análisis Grafico de Residuales SUPUESTO 4: Los errores tienen una distribución normal Histograma de Frecuencia de los Residuales Indica Normalidad del error Indica no normalidad del error Pruebas Formales: Test Kolmogorov, Test Shapiro Wilks H 0 : La distribución es Normal vs H 1 : la distribución no es normal

13 Plot de normalidad Normal Percent Mean -1,55431E-15 StDev 0,754 N 16 RJ 0,963 P-Value >0, ,75-0,50-0,5 0,00 Residuales 0,5 0,50

14 Diseño de Experimentos Caso Ejemplo Anova 1 via JAIME MOSQUERA RESTREPO

15 CASO DE ESTUDIO Se realizó un estudio sobre el peso de 4 nuevas variedades forrajeras, frente a una variedad ya conocida. Se dispuso realizar el ensayo en la época de verano en la selva, dividiendo el área total experimental en 15 parcelas divididas en 3 grupos relativamente homogéneos, los resultados se presentan a continuación. Realice el procedimiento adecuado para identificar la variedad que presenta el mayor peso, y si esta mejora el rendimiento de la variedad conocida

16 Gráficos Descriptivos,5 Individual Value Plot of Peso 0,0 17,5 15,0 Peso 1,5 10,0 7,5 5,0 Testigo V1 V Variedad V3 V4 Individual Plot, puesto que solo se dispone de 3 observaciones y el boxplot necesita de 5 indicadores

17 ANOVA Source DF SS MS F P Variedad 4 364,044 91,011 9,53 0,00 Error 10 95,533 9,553 Total ,577 Según la Anova, existe suficiente evidencia para pensar que al menos Según la Anova, existe suficiente evidencia para pensar que al menos una de las variedades presenta un rendimiento diferente

18 POST ANOVA - COMPARACIÓN Como la Anova rechaza la Hipótesis nula, es necesario realizar la prueba postanova para identificar los tratamientos cuyos efectos sobre el peso difieren. En este caso Dunnet, por tener un tratamiento control Dunnett Simultaneous Tests Response Variable Peso Comparisons with Control Level Variedad = Testigo subtracted from: Difference SE of Adjusted Variedad of Means Difference T-Value P-Value V1 14,333,405 5,960 0,0006 V 1,033,405 5,004 0,0017 V3 9,300,405 3,867 0,0076 V4 7,100,405,95 0,078 Al parecer cualquiera de las variedades mejora el rendimiento del testigo

19 POST ANOVA - COMPARACIÓN Cual es la mejor entre las nuevas variedades? Tukey Simultaneous Tests Response Variable Peso All Pairwise Comparisons among Levels of Variedad Variedad = V1 subtracted from: Difference SE of Adjusted Variedad of Means Difference T-Value P-Value V -,300,405-0,956 0,8670 V3-5,033,405 -,093 0,3083 V4-7,33,405-3,008 0,091 Variedad = V subtracted from: Difference SE of Adjusted Variedad of Means Difference T-Value P-Value V3 -,733,405-1,137 0,7844 V4-4,933,405 -,051 0,343 Variedad = V3 subtracted from: Difference SE of Adjusted Variedad of Means Difference T-Value P-Value V4 -,00,405-0,9148 0,8836

20 VALIDACIÓN DE SUPUESTOS Los Errores Tienen Distribución Normal? Test Normalidad Normal Mean -5,3907E-16 StDev,6 N 15 AD 0,47 P-Value 0, Histograma Residuales Normal Mean -5,3907E-16 StDev,6 N 15 Percent Frequency ,0 -,5 0,0 RESI,5 5, RESI 4 Parece razonable el supuesto de normalidad

21 VALIDACIÓN DE SUPUESTOS Los Errores Tienen Varianza Constante? Testigo Test Statistic 7,50 P-Value 0,11 V1 Test Igualdad de Varianzas Bartlett's Test Levene's Test Test Statistic 1,1 P-Value 0,364 Variedad V V3 V % Bonferroni Confidence Intervals for StDevs Según barttlet parece razonable pensar que las varianzas son iguales

22 VALIDACIÓN DE SUPUESTOS Los Errores Tienen Promedio = 0? Versus Fits 5,0 Residu ual,5 0,0 -,5-5, Fitted Value 0 Test of mu = 0 vs not = 0 Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T P RESI 15-0,000,6 0,575 (-1,33. 1,33) -0,00 1,000

23 VALIDACIÓN DE SUPUESTOS Los Errores son Independientes? Versus Order 5,0 Scatterplot of resid vs RESI 0 5,0 Resi idual,5 0,0 -,5 id resi,5 0,0 0-5,0 -, Observation Order ,0-5,0 -,5 0,0 RESI,5 5,0 Runs test for RESI Runs above and below K = 0 The observed number of runs = 8 The expected number of runs = 8, observations above K. 8 below * N is small, so the following approximation may be invalid. P-value = 0,80

24 Diseño de Experimentos Tema 7. Determinación Tamaño de Muestra Numero de Replicaciones JAIME MOSQUERA RESTREPO

25 Calculo del Tamaño de la Muestra Recuerde: La potencia de la prueba es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa: Condición real Decisión H 0 verdadera H 0 falsa Rechazar H 0 Error Tipo I ok Aceptar H 0 ok Error Tipo II Potencia de la Prueba = 1- P(Error Tipo II) = 1- β La determinación del tamaño de muestra depende en gran medida del nivel de potencia deseado para la prueba estadística

26 Curvas Características de Operación Curva que representa la probabilidad de error tipo II en función del tamaño de muestra o algún otro indicador operativo de la prueba.

27 Curvas Características de Operación 1-potencia Φ = n a i = 1 a σ τ i

28 Curvas Características de Operación 1-potencia Φ = n a i = 1 a σ τ i

29 EJEMPLO Considere un experimento para un factor y cuatro niveles. Suponga que el experimentador está interesado en rechazar la hipótesis nula con una probabilidad de al menos 0.90 y piensa que la desviación estándar del error es 1. Si la medias de los cuatro tratamientos son: µ 1 = 19 µ = 0 µ 3 = 1 µ 4 = µ = (1/ 4)(8) = 0.5 Se planea utilizar α = Determine el tamaño de muestra optimo τ = µ µ = = 1.5 τ = µ µ = = 0.5 τ 3 = µ 3 µ = = τ = µ µ = 0.5 =

30 EJEMPLO φ = n a i= 1 τ aσ i = n(5) 4(1) = 1.5n φ φ β β n a (n-1) Potencia (1- ) Se requiere de al menos 6 repeticiones por tratamiento

31 Determinación del Tamaño de Muestra Como se puede observar, calcular la cantidad Φ requiere conocer de antemano los parámetros, lo cual implica: τ ; σ i 1. Apoyarse en un experto en el tema o en la revisión bibliográfica para identificar estos parámetros. Realizar un Experimento piloto para obtener las estimaciones Ejemplo: Asuma que usted desea una potencia del 90% en el experimento de la resistencia a la tensión, tomando los resultados obtenidos hasta ahora como una prueba piloto, determine el tamaño de muestra adecuado.

32 Determinación del Tamaño de Muestra Una Solución Alternativa: Es posible expresar Φ en función de la máxima diferencia tolerable D, a partir de la cual se declara que un par de tratamientos son diferentes Φ = n D a σ D: A partir de este valor, según concepto del investigador, no se puede considerar que dos tratamientos son iguales

33 Determinación del Tamaño de Muestra Considere un experimento para un factor y cuatro niveles. Suponga que el experimentador está interesado en rechazar la hipótesis nula con una probabilidad de al menos Un estudio anterior, muy similar, el cuadrado medio del error fue de 1 y desea que la prueba identifique como diferentes a todas aquellas parejas de tratamientos cuya diferencia de promedios sea mayor que 5. Determine el tamaño de muestra optimo.