UAP PRUEBAS DE HIPÓTESIS NO PARAMÉTRICAS

Transcripción

1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS NO PARAMÉTRICAS Estas pruebas no se basan en ninguna suposición en cuanto a la distribución de probabilidad a partir de la que fueron obtenidos los datos. Son muy útiles cuando no puede suponerse que los datos cumplen las condiciones de una prueba paramétrica o cuando los datos se presentan en forma ordinal. Las principales pruebas no paramétricas son: Prueba no Paramétrica Prueba de Rachas Prueba del Signo para una muestra. Prueba de Wilcoxon para una muestra. Prueba del Signo para 2 muestras pareadas. Prueba de Wilcoxon para 2 muestras pareadas. Prueba U de Mann-Whitney. Prueba de Kruskal-Wallis. Prueba de Friedman Coeficiente de Correlación por Rangos de Spearman Su alternativa Paramétrica - Prueba t para la media. Prueba t para datos pareados. Prueba t para dos muestras independientes. Anova de un factor. Anova de un factor y un bloque Coeficiente de Correlación de Pearson. Ventajas: - El procedimiento es relativamente fácil de entender y de aplicar. - Su uso es apropiado para muestras de tamaño mayor o igual que No se afectan significativamente en presencia de observaciones atípicas o outliers. - Si uno o más de los supuestos distribucionales en una prueba paramétrica no se cumplen, la correspondiente prueba no paramétrica es más eficiente. - Tienen un gran campo de aplicación. Desventajas: - Serán menos eficientes que el procedimiento paramétrico correspondiente cuando se pueden aplicar ambos métodos. Es decir, si se puede utilizar una prueba paramétrica y se usa una no paramétrica, entonces hay una pérdida de información. - Son menos eficientes si las muestras son menores que 25.. Gladys Enríquez Mantilla 175

2 PRUEBA DE RACHAS Se llama racha a la interacción entre elementos iguales dentro de una secuencia de sucesos observables. El número de elementos de una racha se llama longitud. Por ejemplo, si se tiene la secuencia de dos sucesos A y B: AAA BB A BB AA BBB Cuyas longitudes son: ésta tiene 6 rachas Si en una muestra, la aparición de un elemento condiciona la aparición de otro; entonces la muestra no es aleatoria. Esta prueba se utiliza para determinar si la muestra fue extraída de manera aleatoria; es decir si es aleatorio el orden de aparición de dos valores de una variable. Ejemplo: H 0 : La muestra es aleatoria. H 1 : La muestra no es aleatoria. El registro de juegos perdidos y ganados por un equipo de fútbol en sus últimos 60 partidos consecutivos fue el siguiente: Resultado G G G G G G P G G G G G G P G G G G G G G P P P G G P P P P G P P P P G P P P P G G P P G G G G P G G G G P G G G G G G Se puede afirmar que los resultados han sido aleatorios? H H 0 1 : Los resultados han sido aleatorios. : Los resultados no han sido aleatorios. Ingresar los datos: Gladys Enríquez Mantilla 176

3 Luego, codificar estos datos texto en datos numéricos: asignando 1 a G y 2 a P. Manip Code Tex to Numeric Stat Nonparametrics - Runs Test OK Runs Test: C2 C2 K = The observed number of runs = 19 The expected number of runs = Observations above K 39 below The test is significant at Interpretación: P= entonces se acepta 1 H por lo tanto los resultados no han sido aleatorios. OK Gladys Enríquez Mantilla 177

4 PRUEBA DEL SIGNO Para un grupo: Se utiliza para probar hipótesis sobre la mediana de un grupo con distribución continua. Es una alternativa a la prueba t para la media poblacional. Sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño n, se sustituye cada valor de la muestra mayor que la mediana con el signo positivo (+) y cada valor menor que la mediana con el signo negativo (-). H 0 : La mediana poblacional es igual a un valor dado. H 1 : La mediana poblacional es menor (mayor o diferente) del valor dado. Para dos grupos: Se utiliza para probar la hipótesis sobre la mediana con grupos pareados o dependientes. Se estudia la diferencia para cada par de observaciones pero no se estudian los dos grupos individualmente como se hacía en las pruebas paramétricas. La prueba del Signo no toma en cuenta la magnitud de la diferencia. H 0 : La diferencia es cero (no hay cambio). H 1 : La diferencia es menor (mayor o diferente) de cero. Ejemplo 1: Prueba del Signo para un grupo. Se supone que el peso mediano de un grupo de personas con sobrepeso es inferior a 97 kilos. Los datos obtenidos son los siguientes: Es correcta dicha afirmación? Solución: H H 0 1 : La : La mediana es sup erior o mediana es menor que igual 97 a 97 INGRESAR LOS DATOS: C1 Peso etc. Gladys Enríquez Mantilla 178

5 Stat Nonparametrics 1-Sample Sign Sign Test for Median: Peso Sign test of median = versus < N Below Equal Above P Median Peso Interpretación: Como el valor P es mayor que 0.05, entonces con una confianza del 95% concluimos que la mediana no es menor que 97. Se acepta Ho. Ejemplo 2: Prueba del Signo para dos grupos pareados. Se desea hacer un estudio para comparar la energía en reposo usada por personas con cierta enfermedad vs. La energía en reposo usada por personas sanas. Para ello se eligen al azar pares de personas (pacientes de la misma edad, sexo, estatura y peso) enfermas y sanas. Los datos son los siguientes: Obtener una conclusión significativa. par Energía usada por pacientes enfermos sanos Gladys Enríquez Mantilla 179

6 Solución: H 0 : No hay diferencia entre personas sanas y enfermas. (La mediana de las diferencias es cero) H 1 : Sí hay diferencia entre personas sanas y enfermas. INGRESAR LOS DATOS: C1 C2 C3 enfermos sanos Diferencia En la columna C3 escribir como título: Diferencia Calc Calculator En la columna C3 aparecerá el resultado de restar la columna C1 menos la columna C2. Gladys Enríquez Mantilla 180

7 Stat Nonparametrics 1-Sample Sign Sign Test for Median: Diferencia Sign test of median = versus not = N Below Equal Above P Median Diferenc Interpretación: Como el valor P es menor que 0.05, entonces con una confianza del 95% concluimos que la mediana no es cero, es decir existen evidencias para afirmar que sí hay diferencias entre personas sanas y enfermas en cuanto a la energía usada en reposo. Se acepta la hipótesis alternativa. PRUEBA DE WILCOXON Esta prueba se utiliza para probar hipótesis relativas a la mediana con un solo grupo o con grupos pareados o dependientes en una población simétrica, es decir se utiliza en los mismos casos que la prueba del signo pero la diferencia radica en que la prueba de Wilcoxon es un procedimiento que utiliza tanto la dirección (signo) como la magnitud mientras que la prueba del Signo considera sólo la dirección. Esta prueba considera que si la hipótesis nula fuera cierta, las diferencias negativas serían similares en cantidad y tamaño a las diferencias positivas. Para un grupo: H 0 : La mediana poblacional es igual a un valor dado. H 1 : La mediana poblacional es menor (mayor o diferente) del valor dado. Gladys Enríquez Mantilla 181

8 Para dos grupos: H 0 : La diferencia es cero (no hay cambio). H 1 : La diferencia es menor (mayor o diferente) de cero. Ejemplo 1: Prueba de Wilcoxon para un grupo. Un actuario de una compañía de seguros desea examinar los registros de reclamos por robo de las personas que tienen póliza contra incendio y robo. En el pasado, la mediana fue de 85 dólares por reclamo. Se toma una muestra aleatoria de 18 reclamos y los resultados, expresados en dólares, son los siguientes: Ha aumentado significativamente la mediana? Solución: H 0 : La mediana no ha aumentado. H 1 : La mediana ha aumentado. ( Me > 85 ) INGRESAR LOS DATOS: Stat Nonparametrics 1 Sample Wilcoxon OK Gladys Enríquez Mantilla 182

9 Wilcoxon Signed Rank Test: Reclamos Test of median = versus median > N for Wilcoxon Estimated N Test Statistic P Median Reclamos Interpretación: Como el valor P es mayor que 0.05, entonces con una confianza del 95% concluimos que la mediana no es mayor que 85. Se acepta Ho. Ejemplo 2: Prueba de Wilcoxon para dos grupos pareados. Adamson estudió los efectos sobre la salud causados por la exposición diaria a fuertes ejercicios físicos en unos varones voluntarios. Para ocho de los sujetos la tabla muestra los niveles nocturnos de plasma corticostiroide observados en controles las noches anteriores y posteriores a los ejercicios. Antes Después Se puede afirmar que el nivel nocturno de plasma corticostiroide disminuye con los ejercicios? Solución: H 0 : La mediana de las diferencias no es mayor que cero. H 1 : La mediana de las diferencias es mayor que cero. INGRESAR LOS DATOS: C1 C2 C3 Antes Después Diferencia En la columna C3 escribir como título: Diferencia Gladys Enríquez Mantilla 183

10 Calc Calculator En la columna C3 aparecerá el resultado de restar la columna C1 menos la columna C2. Stat Nonparametrics 1- Sample Wilcoxon Wilcoxon Signed Rank Test: Diferencia Test of median = versus median > N for Wilcoxon Estimated N Test Statistic P Median Diferenc Interpretación: Como P es menor que 0.05 entonces se acepta la hipótesis alternativa. Gladys Enríquez Mantilla 184

11 PRUEBA DE MANN-WHITNEY Esta prueba se usa cuando se quiere comparar dos poblaciones usando muestras independientes, es decir es una prueba alterna a la prueba t para comparar dos medias usando muestras independientes. Es una prueba no paramétrica que mide las diferencias entre medias, asignando rangos a cada grupo. H 0 : La mediana de las dos poblaciones son iguales. H 1 : La mediana de la primera población es menor (mayor o diferente) que la mediana de la segunda población. Estadística de Prueba: U = n n (n + 1) n2 + R1 2 Ejemplo: Donde: n 1 : Número de elementos en la muestra 1. n 2 : Número de elementos en la muestra 2. R 1 : Suma de los rangos de los elementos en la muestra 1. R : Suma de los rangos de los elementos en la muestra 2. 2 El director de control de calidad de una firma farmacéutica desea saber si dos métodos de producción de comprimidos proporcionan diferencias entre los espesores medianos. Una muestra aleatoria de comprimidos es extraída de lotes producidos por los dos métodos, ofreciendo los siguientes resultados que han sido codificados: método A: método B: Proporcionan estos datos suficiente evidencia en contra de que las medianas poblacionales no son las mismas? Solución: H 0 : Las medianas poblacionales son las mismas. H 1 : Las medianas poblacionales no son las mismas. INGRESAR LOS DATOS: En la columna C1 ingresar los datos del método A y en la columna C2 ingresar los datos del método B. Gladys Enríquez Mantilla 185

12 Stat Nonparametrics Mann- Whitney Mann-Whitney Test and CI: método A, método B método A N = 15 Median = método B N = 10 Median = Point estimate for ETA1-ETA2 is Percent CI for ETA1-ETA2 is (-3.00,9.00) W = Test of ETA1 = ETA2 vs ETA1 not = ETA2 is significant at The test is significant at (adjusted for ties) Cannot reject at alpha = 0.05 Interpretación: Como P = es mayor que 0.05 entonces se acepta la hipótesis nula. Es decir, con una confianza del 95% podemos afirmar que estos datos proporcionan suficiente evidencia en contra de que las medianas poblacionales no son las mismas. Gladys Enríquez Mantilla 186

13 PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS Es una alternativa a la prueba F del análisis de varianza para diseños de clasificación simple. En este caso, se comparan varios grupos pero usando la mediana de cada uno de ellos, en lugar de las medias. Ejemplo: H 0 : La mediana de las k poblaciones consideradas son iguales. H 1 : Al menos una de las k poblaciones tiene mediana distinta a las otras. Se tienen tres restaurantes A, B y C que elaboran los domingos el mismo menú. En cada uno de ellos se selecciona una muestra de tamaño 9, 7 y 6 respectivamente y se les pide que puntúen de 0 a 10 el grado de satisfacción y calidad que les ha proporcionado el menú. Los datos que se obtuvieron fueron: A : B : C : Se puede concluir que no todos los restaurantes presentan la misma mediana poblacional? Solución: H 0 : Todos los restaurantes presentan la misma mediana. H 1 : No todos los restaurantes presentan la misma mediana. INGRESAR LOS DATOS: C1 C2 Puntaje Restaurante 7 A 4.5 A 5.6 A 8.2 A 6.3 A 5 A 9.1 A 8.7 A 6.9 A 5.4 B 6.2 B 8 B 7.9 B 4.2 B 6.7 B 9.6 B 8.5 C 7.4 C 5 C 4.9 C 7.2 C 6.1 C Gladys Enríquez Mantilla 187

14 Stat Nonparametrics Kruskal-Wallis Kruskal-Wallis Test: Puntaje versus Restaurante Kruskal-Wallis Test on Puntaje Restaura N Median Ave Rank Z A B C Overall H = 0.17 DF = 2 P = H = 0.17 DF = 2 P = (adjusted for ties) Interpretación: Como p es mayor que 0.05 entonces se acepta Ho, es decir no existen evidencias como para afirmar que no todos los restaurantes presentan la misma mediana. PRUEBA DE HIPÓTESIS DE FRIEDMAN Se utiliza cuando se desea comparar los efectos de k tratamientos y se sabe que hay una variable que, si bien no es de interés directo, puede interferir la capacidad de detectar diferencias reales entre los k tratamientos. Estadística de Prueba: S = k i = 1 2 b (k + 1) Ri 2 Donde: k : número de tratamientos. b : número de bloques. R i : suma de los rangos asociados con cada uno de los k tratamientos. Gladys Enríquez Mantilla 188

15 Ejemplo: Un experimento sobre la alimentación de ganado porcino se lleva a cabo mediante la comparación de tres raciones diferentes A, B y C. Se han administrado las mismas a tres cerdos de cinco camadas, obteniendo las siguientes ganancias de peso en libras: Camadas (bloques) Ración A B C Existen diferencias en el peso ganado por cada ración a un nivel de significación del 1%? Solución: H 0 : No existen diferencias en el peso ganado por cada ración. H : Al menos una de las raciones presenta una ganancia de peso diferente. 1 INGRESAR LOS DATOS: Stat Nonparametrics Friedman Gladys Enríquez Mantilla 189 OK

16 Friedman Test: gan Peso versus Racion, Camada Friedman test for gan Peso by Racion blocked by Camada S = 2.80 DF = 2 P = Est Sum of Racion N Median Ranks A B C Grand median = Interpretación: Como P=0,247 es mayor que 0,05 entonces se acepta H 0. Es decir con una confianza del 95% se puede concluir que no existen diferencias en el peso ganado por cada ración. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS DE SPEARMAN La correlación de Spearman mide el grado de asociación entre dos variables cuantitativas que siguen una tendencia siempre creciente o siempre decreciente. Es decir, es más general que el coeficiente de correlación de Pearson, el cual asume que la relación entre las dos variables solamente es lineal, la correlación de Spearman en cambio se puede calcular para relaciones exponenciales o logarítmicas entre las variables. Este coeficiente se emplea cuando no se puede determinar la magnitud de las características pero sí se pueden ordenar por su tamaño o por su importancia relativa con respecto a los demás términos de la serie. El coeficiente de correlación de Spearman simplemente es la correlación de Pearson entre los rangos de los valores de las dos variables y se puede utilizar como un estadístico de prueba para verificar la independencia entre X e Y. Para el cálculo del coeficiente de Spearman se utiliza la fórmula: r S 2 6 d i = 1 2 n (n 1) Donde: n : número de observaciones pareadas. d = r r es la diferencia entre los rangos de X e Y. i xi yi H 0 : X e Y son mutuamente independientes. H 1 : X e Y no son mutuamente independientes. Gladys Enríquez Mantilla 190

17 Ejemplo: Como parte de un estudio, un equipo de investigadores médicos recolectó valores de secreción de aldosterorna y valores del área superficial del cuerpo en un grupo de 18 niños. Area SupCorp: Novel Aldost Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para indicar que los niveles de secreción de aldosterona y los valores del área superficial del cuerpo en los niños no son independientes? Solución: INGRESAR LOS DATOS: C1 C2 Area SCorp Nov Aldost Para calcular los rangos de cada una de estas columnas se procede de la siguiente manera: Manip Rank Al presionar OK, aparecen los rangos entonces en la columna C3 se debe escribir Rango de C1. Gladys Enríquez Mantilla 191

18 Manip Rank Al presionar OK, aparecen los rangos entonces en la columna C4 se debe escribir Rango de C2. La hoja de cálculo debe presentar las siguientes columnas: C1 C2 C3 C4 Area SupCorp Novel Aldost. Rango de C1 Rango de C A continuación se encuentra el coeficiente de correlación de los rangos, es decir de las columnas C3 y C4. Gladys Enríquez Mantilla 192

19 Stat Basic Statistics Correlation Correlations: Rango de C1, Rango de C2 Pearson correlation of Rango de C1 and Rango de C2 = P-Value = Interpretación: Como p es mayor que 0.05 entonces se acepta Ho, es decir estos datos proporcionan evidencia suficiente como para indicar que los niveles de secreción de aldosterona y los valores del área superficial del cuerpo en los niños sí son independientes Gladys Enríquez Mantilla 193