DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO O JI-CUADRADO X 2 CONCEPTO BÁSICO Frecuencia: es el número de datos que caen en cada celda. Frecuencias Observadas (fo):

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1 DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO O JI-CUADRADO X CONCEPTO BÁSICO Frecuencia: es el número de datos que caen en cada celda. Frecuencias Observadas (fo): son aquellas que representan los valores muestrales observados correspondientes a una variable categórica o cuantitativa sometida a estudio. Ejemplo: afiliación partidaria; reacción ante un nuevo plan de impuesto sobre la renta; edad y sexo, etc. Frecuencias Esperadas (fe): son aquellas que representan los valores muestrales esperados que corresponden a una variable categórica o cuantitativa sometida a estudio, considerando que la hipótesis nula es correcta. Variable Categórica: una variable categórica es aquella en la que se clasifica o categoriza cada individuo en solo una de varias celdas o clases; estas celdas o clases son totalmente incluyentes o mutuamente excluyentes. Nivel de significancia (α) de la distribución chi-cuadrado: es una probabilidad expresada en porcentaje que nos permite tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula o alternativa basándonos en la evidencia mostrada por los datos muestrales. Regularmente se utilizan valores de 0.01, 0.05, 0.10 u otro valor dependiendo del tipo de prueba que se realice o de la confiabilidad deseada. Tabla de Contingencia: es una representación de datos de una clasificación de doble entrada. Los datos se clasifican en celdas y se reporta cuantos hay en cada una de ellas. La tabla de contingencia implica dos factores (o variables) y la pregunta usual respecto a tales tablas es si los datos indican que una de las variables es independiente o dependiente. Hipótesis Nula: es aquella que especifica un valor numérico del parámetro de la población, el cual, esperamos aceptar o desaprobar a partir de la evidencia proporcionada por la muestra. Se representa simbólicamente por Ho Hipótesis Alternativa: es la conclusión que se obtiene cuando la información que proporcionan los datos muestrales no nos permiten apoyar la hipótesis nula que ha sido planteada. Se representa por H a. 1

2 Prueba chi-cuadrada para la independencia (pruebas para tablas de contingencias) Este tipo de prueba implican dos variables categóricas y/o cuantitativas y lo que se prueba es la hipótesis de que las dos son estadísticas independientes. DISEÑO O FORMATO DE LA TABLA DE CONTINGENCIA PARA ESTE TIPO DE PRUEBA ENCABEZADO DE RENGLÓN (1ERA. VARIABLE) ENCABEZADO DE COLUMNAS (DA. VARIABLE) Col. 1 Col. Col. 3 Total Renglón 1 Celda Celda Celda RT1 Renglón Celda Celda Celda RT TOTAL CT1 CT CT3 n Totales de renglones Total de observaciones (muestra) Totales de columnas Procedimiento de cálculo para realizar esta prueba a) Se determinan los valores de todas las frecuencias esperadas para cada una de las celdas o casillas tomando como base los datos muestrales que se presenten en la tabla de contingencia y a partir de ésta, se calculan las frecuencias esperadas. ENCABEZADO DE RENGLÓN ENCABEZADO DE COLUMNAS Col. 1 Col. Col. 3 Total Renglón 1 Fe (11) Fe (1) Fe (13) RT1 Renglón Fe (1) Fe () Fe (3) RT Totales de renglones Renglón 3 Fe (31) Fe (3) Fe (33) RT3 TOTAL CT 1 CT CT 3 n Total de observaciones (muestra) Totales de columnas

3 En general podemos calcular la frecuencia esperada para cualquier celda con la ecuación. fe = RT x CT n En la que: - fe = frecuencia esperada en una celda dada. - RT = total de renglones para el renglón que contiene a dicha celda. - CT = total de columnas para la columna que contiene a dicha celda - n = número total de observaciones Luego: Fe (11) = CT1 x RT1, Fe (1)= CT1 x RT, Fe (31) = CT1 x RT3 n n n Fe (1) = CT x RT1, Fe ()= CT x RT, Fe (3) = CT x RT3 n n n Fe (13) = CT3 x RT1, Fe (3)= CT3 x RT, Fe (33) = CT x RT3 n n n b) Se aplica la regla de decisión La regla de decisión para esta prueba tiene como objetivo aceptar o rechazar la hipótesis nula, y consiste en realizar el procedimiento de cinco pasos: donde: 1er. paso Se plantea la hipótesis nula H 0 y la hipótesis alternativa H a. - Ho= las variables son independiente - Ha= las variables son dependientes do. Paso Calculamos el valor del Chi-cuadrado de prueba a patir de los datos muestrales, esto es: Donde: fo = frecuencia observada en una celda dada fe = frecuencia esperada en una celda dada 3

4 Procedimientos o pasos para calcular el chi-cuadrado x de prueba a través de la tabla de cálculo. PASO Columna 1: Determine las diferencias, entre cada f o y f e. Es decir, (f o f e ). La suma de estas diferencias es cero. PASO Columna : Eleve al cuadrado la diferencia entre cada frecuencia observada y esperada, es decir, (f o f e ) PASO Columna 3: Divida el resultado de cada observación entre la frecuencia esperada. Es decir (f o f e ) Finalmente, sume estos valores. El resultado es el valor de x. f e TABLA DE CÁLCULOS PASO 1 PASO PASO 3 TOTAL f o f e (f o f e ) (f o f e ) f 0 (1) f e (11) x x xx f 0 () f e (1) x x xx x x xx x x xx n n 0 -? f e X =chi-cuadrado = f 0 fe f e 4

5 3er. paso Determinamos el valor Chi-cuadrado crítico o de la tabla utilizando la siguiente fórmula: X t = [g.l.α] X t = [(C-1) (r-1), α] Donde: g.l.= número de grados de libertad = (r-1) (C-1) α= nivel de significancia r= número de filas de la tabla de contingencia (renglones) c= número de columnas de la tabla de contingencia 4to. paso Realizar la decisión (comparar los estadísticos). Para hacer esta comparación se procede de la siguiente manera: - Si x c > x t, entonces se rechaza la H o y se acepta la H a se concluye que las variables están relacionadas. - Si x c < x t, entonces se acepta la H o y se rechaza la H a se concluye que las variables no están relacionadas. Gráfica de la distribución chi-cuadrado x a través de la cual podemos determinar la aceptación o rechazo de la hipótesis nula (Ho) Región de aceptación. Aceptar la hipótesis nula si el valor de x de la muestra cae en esta región. x c < x t Región de rechazo X =chi-cuadrado de la muestra Valor crítico Escala de x Donde: - La región de rechazo se sustenta en base al nivel de significancia a la que siempre es posible asignarle un porcentaje comprendido regularmente entre 1% y 10%, es decir α=1%, %, 10%. - Valor crítico o de la tabla, el cual se calcula para un determinado grado de libertad (g.l.) y el nivel de significancia que se tome en consideración, este valor crítico representa el llamado chi-cuadrado de la tabla y se representa por la fórmula: X t = [g.l.α] X t = [(C-1) (r-1), α] 5

6 Donde: g.l.= grado de libertad=(r-1)(c-1), siendo r =n o total de renglones y C= n o total de columnas. α= nivel de significancia 5to. Paso Conclusión: Se concluye que: con un nivel de confianza del 99% o 95%, etc hay o existe independencia o dependencia entre las dos variables que se hayan investigado. 6

7 EJERCICIO DE APLICACIÓN (ESTUDIO DE CASO) El señor George McMahon, presidente de la Compañía Nacional General Aseguradora de Salud, se opone al seguro de salubridad nacional. Argumenta que sería muy costoso de implantar, en particular debido a que la existencia de este sistema, entre otras cosas, tendería a fomentar en la gente permanecer más tiempo en los hospitales. George tiene la creencia de que las hospitalizaciones dependen del tipo de seguro de salud que tengan las personas. Le pide a Donna McClish, la especialista en estadística de la empresa, que verifique el asunto. Donna, recogió datos de una muestra aleatoria de hospitalizaciones, y la información la resumió en una tabla de doble entrada, para la cual, se dan las frecuencias observadas, en las nueve diferentes hospitalizaciones y el tipo de seguro (o celdas ) en que fue dividida la muestra. Donna desea probar la hipótesis: Son independientes la estancia en un hospital y la cobertura de un seguro, con un nivel de significancia del 1% (α=0.01)? Datos de hospitalizaciones clasificados según el tipo de cobertura del seguro y el tiempo de estancia Fracción de costos cubiertos por el seguro Días de hospitalización < >10 Total < 5% % >50% Total Solución: a) Calculamos las frecuencias esperadas de los datos muestrales que representa la tabla, esto es: fe (11)= fe (1)= fe (13)= 110 x x x 180 =30, fe (1)= =60, fe ()= =90, fe (3)= 110 x x x 150 =5, fe (31)= =50, fe (3)= =75, fe (33)= 330 x x x 330 =55 =110 =165 b) Se aplica la regla de decisión, la cual consiste en desarrollar los 5 pasos que establece esta regla: 1. Planteamos la hipótesis nula y la alternativa, de la siguiente manera: H0= tiempo de estancia y tipo de seguro son independientes Ha= tiempo de estancia depende del tipo de seguro 7

8 . Calculamos el chi-cuadrado de prueba, de la siguiente manera: Total fo fe Paso 1 Paso Paso 3 fo fe (fo fe) (fo fe ) fe Luego : X = = Determinamos el valor de chi-cuadrado crítico o de la tabla, utilizando la fórmula: Donde: r=total de renglones=3 c=total de columnas=3 g.l.= (r-1) (c-1)=(3-1)(3-1)=()()=4 α=0.01 x t[g.l.] Luego: x t[(g.l.α)] x t[(r 1)(c 1)α] = x t[(g.l.α)] = x t[4,001] =13.8 El valor de chi-cuadrado crítico o teórico (13.8) se obtiene con la intersección de 4 grado de libertad (g.l.) ubicado en la primera columna del lado izquierdo y el nivel de significación de 0.01 (α=0.01), ver tabla de la chi-cuadrado. 8

9 TABLA PARA DETERMINAR LOS VALORES CRITICOS DE CHI-CUADARO (x t ) 9

10 4. Se realiza la decisión (comparar los estadísticos), es decir, comparamos el valor de chi-cuadrado de prueba ( x c =4.315) con el chi-cuadrado de la tabla o teórico (x t =13.8), esto es: x c >x t > 13.8 Luego: el chi-cuadrado de prueba es mayor que el chi-cuadrado de la tabla, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, por lo tanto, se puede observar en la gráfica que el valor de la chi-cuadrada de prueba (x c =4.315) no cae en la región de aceptación (ver gráfica) Se rechaza Ho Región de rechazo α= Escala de x Valor crítico x c =4.315 (Valor chi-cuadrado de la muestra) 5. Conclusión Con un nivel de confianza del 99%, se concluye que: las hospitalizaciones dependen del tipo de seguro de salud que tengan las personas, es decir, la duración de las hospitalizaciones y la cobertura de los seguros son dependiente entre sí. 10

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