2 Contraste de independencia

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1 2 Contraste de independencia 2 Independencia entre variables cualitativas Consideremos dos variables cualitativas X e Y con I y J modalidades cada una respectivamente, y sea N IJ la tabla de contingencia asociada a la distribución conunta de ambas variables, notaremos por n i la recuencia absoluta correspondiente a la casilla (i, ) Consideremos también la tabla de recuencias F IJ obtenida dividiendo cada n i por el total n es decir i = ni n y y y y J x n n n n J n x i n i n i n i n ij n i x i n i n i n i n i J n i x I n I n I n I n IJ n I n n n n J n y y y y J x J x i i i i ij i x i i i i i J i x I I I I IJ I n J En esta última tabla tenemos + + J + I tablas unidimensionales, que corresponden a las 2 distribuciones marginales de X y de Y, a las J distribuciones condicionadas de X para cada valor de Y y a las I distribuciones condicionadas de Y para cada valor de X Las distribuciones condicionadas las podemos escribir: { X y = y Y x = x i i = i { i = i i 2 Concepto de independencia } ; i =,, I donde =,, J } ; =,, J donde i =,, I periles columna periles ila Se dice que X es independiente de Y, si la distribución según el carácter X de los individuos que poseen la modalidad y, es la misma cualquiera que sea y, es decir las distribuciones condicionadas de X para cada valor y =,, J, son idénticas, o bien que i =,, J no es unción de Vamos a ver que desde el punto de vista estadístico, la independencia entre variables supone la proporcionalidad entre las columnas de la tabla y comprobaremos que es un concepto simétrico, es decir que si X es independiente de Y, Y también lo es respecto de X, por lo que también se dará proporcionalidad entre las ilas de la tabla Si X es independiente de Y, tendremos: = 2 = = = = 2 2 = 22 = = 2 = = 2 2 i i2 = = J J = = 2J = = = i = = i = = ij 2 J i = i 2 = = i i = = = = i J 2 I = I2 = = I = = I 2 J J = = IJ J = i = i2 = = i = = i 2 i =, 2,, I = = ij J Notemos que X independiente de Y implica que cada modalidad x i de X es independiente de Y de lo que podemos deducir que las columnas y son proporcionales, es decir:

2 = 2 = 2 = i = i i = I Por lo tanto: = i = = I = = 2 2 = i i = = = = i = i = I I = = = 2 2 = = i i = = i i = = I I (, ) i, i,, = i i = i i = n i n i = n i n i de donde se deduce que las columnas de la tabla de recuencias absolutas, son proporcionales en el caso de que X sea independiente de Y Además teníamos que i =, 2,, I: i = i2 = = i = = i 2 = = ij J de donde aplicando la propiedad de las racciones de que la suma de los antecedentes dividido por la suma de los consecuentes es igual a cada una de las racciones, obtenemos: i = i2 = = i = = i 2 = = ij J = i + i2 + + i + + i + + I = i = { i = i = i i =,, I =,, J } = { i = i i =,, I =,, J } lo que indica independencia entre X e Y Además de i = i como i = i i = { i = i =,, I } lo que indica independencia entre Y e X Luego también tendremos proporcionalidad entre las ilas de la tabla de recuencias 22 Contraste de independencia χ 2 La hipótesis de independencia se puede escribir H 0 : i = i { i =,, I =,, J Veamos un procedimiento para contrastar dicha hipótesis, como i = n i n sabemos que el valor observado n i = n i, mientras que el valor esperado bao la hipótesis de independencia sería e i = n i,, por lo que una orma de realizar el contraste sería ver la discrepancia entre los valores observados y esperados, en este caso si sumamos las dierencias (n i e i ), los valores positivos se compensarían con los negativos por lo que una posible solución es elevar al cuadrado dichas dierencias (n i e i ) 2, aún así convendría normalizar las discrepancias, calculándolas en valores relativos, (n i e i ) 2 e i, lo que permite deinir el estadístico χ 2 : 2

3 χ 2 exp = (n i e i ) 2 e i = (n i n i ) 2 n i, = n ( i i ) 2 Por lo tanto siendo la cantidad χ 2 exp una medida de la discrepancia entre los valores observados y esperados, aceptaremos H 0 si el valor es pequeño y la hipótesis alternativa H en caso de que sea grande Sin embargo necesitamos un criterio para decidir bao qué valores del estadístico χ 2 aceptamos la hipótesis de independencia H 0 entre las variables Tal criterio exige conocer la distribución de probabilidad del estadístico χ 2 exp y en este sentido Pearson demostró que asumiendo que las recuencias observadas n i siguen una distribución multinomial, el estadístico χ 2 para grandes tamaños muestrales sigue una distribución χ 2 con (I ) (J ) grados de libertad i χ 2 exp χ 2 (I ) (J ) Los grados de libertad de una tabla de contingencia pueden considerarse como el número de celdas de la tabla que se pueden iar libremente cuando se ian los totales marginales, es decir la dierencia entre el número de casillas de la tabla y el número de restricciones impuestas: i ((i ) + ( )) Conocida la distribución del estadístico χ 2, para contrastar con un nivel de signiicación α la hipótesis H 0 de independencia entre X e Y, hacemos lo siguiente: Calculamos el valor crítico C de una distribución χ 2 (I ) (J ) tal que P [χ2 (i ) ( ) > C] = α Si el valor del estadístico χ 2 > C = P [χ 2 (i ) ( ) > χ2 ] < α, lo que signiica que estamos ante una muestra rara y rechazaríamos H 0, aceptando H Si el valor del estadístico χ 2 < C = P [χ 2 (i ) ( ) > χ2 ] > α, lo que nos llevaría a aceptar H 0 Distribución 2 C H 0 H Esto mismo es lo que hacen los dierentes paquetes estadísticos a través del p value, para un nivel de signiicación α = 005 si el p value < 005 se acepta H, en caso contrario si el p value > 005, se acepta H 0 la hipótesis de independencia entre las variables La relación entre el estadístico χ 2 exp, la relación de dependencia y el p value viene a ser la siguiente: Si χ 2 exp es muy grande = Existe dependencia entre las variables = (p value) 0 Si χ 2 exp es muy pequeño = Existe independencia entre las variables = (p value) 23 χ 2 y la Inercia de la nube χ 2 = n ( i i ) 2 i = n i [ ] 2 i = n i ( i i i ) 2 = n In(N I ) 3

4 Por un lado tenemos los puntos i i aectados de una masa i cuyo centro de gravedad sería CG = I i i i i I i i = es decir la suma de las masas por las coordenadas dividido por la suma de las masas, luego la expresión: i representaría el cuadrado de las distancias entre los puntos periles ila y su centro de gravedad ponderadas por el valor y al multiplicar esta expresión por las masas i tenemos el concepto de inercia de la nube de periles ila (recuencias condicionadas de Y X), de aquí la relación entre el estadístico χ 2 y la inercia de la nube de puntos ila: Además si introducimos el actor de ponderación transormados i i cuyo centro de gravedad es: χ 2 = n In(N I ) [ i dentro del cuadrado, obtenemos unos nuevos periles ila ] 2 CG = I i i I i i i i = por lo que también tendríamos el producto de las masas por el cuadrado de las distancias entre los periles ila transormados y su centro de gravedad, pero en este caso la distancia ya sería euclídea Esta expresión de una distancia ponderada nos permite deinir una distancia muy usada en el análisis multivariante como es la distancia χ 2 deinida de la orma siguiente: d 2 χ 2(i, i ) = = [ i ] 2 i = i i ( i i = i i ) 2 donde convertimos la distancia ponderada en distancia euclídea al introducir el actor de ponderación dentro del cuadrado, de esta orma la nube de periles ila i con la distancia ponderada χ 2 se convierte en la nube de periles ila transormados i i i con la distancia euclídea, donde la dierencia entre ambos tipos de periles solo consiste en un cambio de escala en el sentido de aumentar los valores de los periles ila transormados De la misma orma podríamos poner: χ 2 = n ( i i ) 2 i = n = i= i [ ] 2 i i = n = i= ( i ) 2 i = n In(N J ) i Lo que nos permite deducir que las inercias de la nube de puntos ila y columna son iguales In(N I ) = In(N J ) Análogamente la distancia simétrica χ 2 entre 2 columnas sería: 24 Eemplo d 2 χ 2(, ) = i= i [ i ] 2 i = i= ( i i i i ) 2 El resultado de un estudio de relación entre el dominio de la vista y el predominio de la mano viene dado en la siguiente tabla: Vamos a calcular las siguientes tablas: Levocular Ambiocular Dextrocular Zurdo Ambidextro Dextro

5 Frecuencias relativas ( i ) Frecuencias esperadas (e i ) Periles ila ( i i ) Periles columna ( i ) i Periles ila modiicados ( ) i Periles columna modiicados ( i i ) Centros de gravedad de todos los periles ila y columna (, i,, i ) El estadístico χ 2 exp El contraste de independencia La Inercia de la nube de puntos ila y columna Comparación de la inercia con el valor del estadístico χ 2 exp Representación gráica de los distintos periles i i e i i / i i / i / i i i / i Al ser los periles ila y columna de este eemplo, puntos en R 3, podemos representarlos gráicamente y observar en la siguiente gráica, como los periles ila y columna transormados, (en color azul), i, no suponen más que i un cambio de escala respecto de los originales, (en color roo), i i, en el sentido de aumentar sus valores p ila p ila mod p col p col mod

6 χ 2 ( )2 ( )2 ( )2 exp = + + = χ 2 095;4 = 9492 = Se acepta la independencia de las variables De hecho se puede comprobar que existe proporcionalidad entre la a y 3 a ilas Inercia = χ2 N = = Algunos resultados encontrados al aplicar un análisis de correspondencias a esta tabla con SPSS son: Con lo que podemos comprobar el valor obtenido de la inercia, el valor del estadístico χ 2 y la aceptación de la hipótesis nula de independencia al ser el p-value mayor que 005 Además en la representación gráica obtenida al aplicar la técnica, los periles de las 2 ilas con valores proporcionales, la a y 3 a, (zurdo y dextro), salen untos, respecto al primer ee 22 Tablas de contingencias tridimensionales N IJK Dentro de la tabla tridimensional tenemos: Tablas marginales unidimensionales: n i = n i Tablas marginales bidimensionales: n = i n i n = i n i n i = n i n i = n i n = i n i 6

7 22 Contraste de independencia global o conunto La hipótesis nula se puede escribir: H 0 : i = i siendo los valores esperados en caso de independencia: e i = n i por lo que el estadístico χ 2 sería: χ 2 exp = i (n i e i ) 2 χ 2 i [(i )+( )+( )] = χ2 i i +2 e i Como en el caso bidimensional, si el valor del estadístico χ 2 es inerior al valor crítico, se acepta H 0 en caso contrario se rechaza la hipótesis nula 222 Eemplo En Andalucía se quiere contrastar con un nivel de signiicación α = 005, la H 0 de independencia global entre las variables, sexo, proesión y utilización de instalaciones deportivas de los municipios de la Comunidad Para ello se toma una muestra de 854 individuos cuyas observaciones iguran en la siguiente tabla: Sexo (i) Proesión () Utilización () Usuario No usuario Total Varón Liberal No liberal Total Muer Liberal No liberal Total Frecuencias observadas: n = = 432 n 2 = = 422 n = = 398 n 2 = = 456 n = = 428 n 2 = = 426 Frecuencias esperadas: e = 0 e 2 = 00 e 2 = 6 e 22 = 5 e 2 = 99 e 22 = 98 e 22 = 3 e 222 = 2 χ 2 = = 8596 > χ 2 005,4 = 9488 Por lo tanto se rechaza H 0, es decir aceptamos la existencia de asociación signiicativa conunta de las 3 variables Esta misma inormación se podría haber dado a través de la siguiente tabla: Usuario Proesión Sexo Liberal No liberal Total Varón Muer Total No Usuario Proesión Sexo Liberal No liberal Total Varón Muer Total A la vista de las tablas vamos a contestar a las siguientes preguntas: De entre los varones de proesión liberal, qué % son usuarios de las instalaciones deportivas? 2 De entre los usuarios de instalaciones deportivas, qué % son varones de proesión liberal? 7

8 3 De entre los usuarios de instalaciones deportivas, qué % son de proesión liberal? 4 De entre los usuarios de instalaciones deportivas, qué % son varones? 5 Qué % hay de mueres de proesión liberal? 6 Qué % hay de mueres? 7 Qué % hay de proesión no liberal? 8 Qué % hay de usuarios de instalaciones deportivas de proesión no liberal? 9 Qué % hay de mueres no usuarios de instalaciones deportivas y de proesión no liberal? 0 De entre las mueres de proesión liberal, qué % no son usuarias de instalaciones deportivas? De entre las mueres no usuarias de instalaciones deportivas qué % son de proesión liberal? 2 De entre las mueres, qué % son de proesión liberal? 3 De entre los varones, qué % son usuarios de instalaciones deportivas? 4 Qué % hay de varones? 5 Qué % hay de usuarios de instalaciones deportivas? (62/200), (62/428), (200/428), (238/428), (98/854), (422/854), (456/854), (228/854), (72/854), (60/98) (60/232), (98/422), (238/432), (432/854), (428/854) 223 Contraste de independencia parcial El rechazo de la hipótesis de independencia global H 0, no implica que exista asociación entre las 3 variables, sino que puede darse también porque exista: Independencia parcial: Hay asociación entre dos de las variables y la 3 a es independiente de ellas Independencia condicional: Dos de las variables son independientes entre sí, para cada nivel de la 3 a, pero pueden estar asociadas cada una de ellas con la 3 a variable En una tabla de 3 dimensiones existen 3 posibles tipos de independencia parcial: H 0() i = i ( a independiente de la 2 a y 3 a mientras la 2 a no es independiente de la 3 a ) H 0(2) i = i (2 a independiente de la a y 3 a mientras la a no es independiente de la 3 a ) H 0(3) i = i (3 a independiente de la a y 2 a mientras la a no es independiente de la 2 a ) Los valores esperados en caso de independencia son respectivamente: e i = n i, e i = n i, e i = n i por lo que el estadístico χ 2 sería: H 0() : i = i χ 2 exp = i H 0(2) : i = i χ 2 exp = i H 0(3) : i = i χ 2 exp = i (n i e i ) 2 χ 2 i [(i )+( )] = χ2 i i + e i (n i e i ) 2 χ 2 i [( )+(i )] = χ2 i i+ e i (n i e i ) 2 χ 2 i [( )+(i )] = χ2 i i+ Como en el caso bidimensional, si el valor del estadístico χ 2 es inerior al valor crítico, se acepta la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza e i 8

9 224 Eemplo Se desea estudiar si existe relación entre el nivel de estudios (básico-medio, superior), el medio de comunicación social (prensa, radio y tv) y el sexo de las personas Para ello se realiza una encuesta a un grupo de 600 personas cuyos resultados son: Nivel de estudios Medio de comunicación Sexo Hombre Muer Total Básico-medio Prensa Radio Tv Total Superior Prensa Radio Tv Total En este caso χ 2 = 058 > χ 2 005,4 = 9488 por lo que rechazamos H 0, es decir los 3 actores no son independientes conuntamente Vamos a plantearnos la hipótesis de independencia parcial, y de entre las 3 posibilidades nos interesa contrastar si el nivel de estudios y el medio de comunicación, son independientes del sexo, existiendo algún tipo de asociación entre las dos primeras La hipótesis es H 0 : i = i e = 284 e 2 = 266 e 2 = 3875 e 22 = 3625 e 3 = 8525 e 32 = 7975 e 2 = 749 e 22 = 70 e 22 = 5425 e 222 = 5077 e 23 = 284 e 232 = 266 χ 2 exp = 7362 < χ = χ 2 005,5 = 07 Luego se acepta H 0, es decir el nivel de estudios y la preerencia por un medio de comunicación social, son independientes del sexo Esta misma inormación se podría haber dado a través de la siguiente tabla: Hombre Medios de Comunicación Nivel de estudios Prensa Radio Tv Total Básico-medio Superior Total Muer Medios de Comunicación Prensa Radio Tv Total Básico-medio Superior Total A la vista de las tablas vamos a contestar a las siguientes preguntas: Qué % de hombres, ven la tv y tienen nivel de estudios superior? 2 De entre los hombres, qué % ven la tv y tienen nivel de estudios superior? 3 De entre los hombres que ven la tv, qué % tienen nivel de estudios superior? 9

10 4 Qué % de personas con estudios básicos, leen la prensa? 5 Qué % de personas que escuchan la radio son mueres? 6 Qué % de personas que escuchan la radio y son mueres, tienen nivel de estudios superior? 7 Qué % de mueres que escuchan la radio, tienen nivel de estudios básico? 8 Qué % de mueres con nivel de estudios superior leen la prensa? 9 Qué % de personas ve la tv? 0 Qué % de mueres escuchan la radio y tienen nivel de estudios básico? Qué % de personas que escuchan la radio y tienen nivel de estudios básico, son mueres? 2 Qué % de mueres escuchan la radio? 3 Qué % de mueres escuchan la radio y tienen nivel de estudios superior? (20/600), (20/30), (20/0), (55/295), (90/80), (55/90), (35/90), (65/55), (220/600), (35/600) (35/75), (90/600), (55/600) 225 Contraste de independencia condicional En una tabla tridimensional hay 3 supuestos de independencia condicional H 0(23) i = i i H 0(3) i = i H 0(2) i = i (la 2 a y 3 a son independientes entre sí, para cada nivel de la a variable) (la a y 3 a son independientes entre sí, para cada nivel de la 2 a variable) (la a y 2 a son independientes entre sí, para cada nivel de la 3 a variable) Los valores esperados en caso de independencia son respectivamente: Por lo que el estadístico χ 2 sería: e i = n i n i n i e i = n i n n e i = n i n n H 0(23) : i = i i χ 2 exp χ 2 i [(i )+( )] = χ2 i i i+ H 0(3) : i = i χ 2 exp χ 2 i [(i )+(i )] = χ2 i i + H 0(2) : i = i χ 2 exp χ 2 i [(i )+(i )] = χ2 i i Relaciones de orden dos y superiores En las tablas tridimensionales, podríamos encontrarnos con que la asociación entre 2 de las variables, diieran en grado o en dirección, para distintas categorías de la 3 a variable, estas relaciones se llaman interacciones de 2 o orden y se estudian a través de los modelos logarítmicos lineales 0