Tablas de contingencia y contrastes χ 2

Transcripción

1 Tablas de contingencia y contrastes χ 2 Independencia Grados de Biología y Biología sanitaria M. Marvá marcos.marva@uah.es Unidad docente de Matemáticas, Universidad de Alcalá 22 de noviembre de 2015

2 El problema Analizaremos la (posible) relación entre dos variables cualitativas F F Terminología habitual Una variable cualitativa se suele llamar factor Las modalidades de cada factor se llaman niveles del factor Ejemplos: 1 Factor: gravedad del estado de un paciente, niveles: leve, moderado, grave, crítico 2 Factor: vacunación, niveles: vacunado, no vacunado 3 Factor: género, niveles: mujer, hombre 4 Factor: Creencia religiosa niveles: creyente, no creyente Sección 12.1 del libro

3 El problema Para que exista relación entre dos factores, se tiene que poder clasificar la poblción de acuerdo a los dos factores. Para resumur esa clasificación se utilizan las tablas de contingencia Ejemplo: En el mes de enero de 2013 el Barómetro del CIS recoge las respuestas de n = 2452 personas sobre sus creencias religiosas Hombres Mujeres Creyentes No creyentes Hemos eliminado a las 19 mujeres y a los 12 hombres que decidieron no contestar. Hay más creyentes entre los hombre, o entres las mujeres? En otras palabras Son independientes los factores género y ser creyente? Resultados del CIS de Enero de 2013 discriminados por género aquí

4 Tablas de contingencia 2 2 Hipótesis H 0 : {La religiosidad es independiente del género} H 1 : {La religiosidad dependen del género} Ojo: si llamamos p m y p h las proporciones de mujeres y hombres creyentes, podríamos contrastar H 0 : p m = p h H 1 : p m p h como una diferencia de proporciones (para tablas 2 2 es equivalente) Estrategia: comparar Lo que hemos observado en realidad Lo que esperamos observar si H 0 fuera cierta y decidir si las diferencias son significativas: necesitaremos un estadístico y su distribución de probabilidad

5 Tablas de contingencia 2 2 Valores observados es la tabla obtenida del CIS. Añadimos los valores marginales Hombres Mujeres Total Creyentes o 11 = 849 o 12 = No creyentes o 21 = 356 o 22 = Total Usamos para el número de observaciones del nivel i del primer factor y el nivel j del segundo factor o ij

6 Tablas de contingencia 2 2 Valores esperados si H 0 cierta (la religiosidad no depende del género) la proporción de creyentes debe ser la misma entre hombre y mujeres. Calcular la proporción creyentes sin considerar el género Proporción NO creyentes total creyentes total individuos = 1864 = ˆp ˆq = 1 ˆp Al multiplicar el total de hombres/mujeres por la proporción de creyentes/no creyentes Valor esperado para mujeres creyectes total mujeres ˆp = 1247 ˆp 948 se obtiene la tabla de valores esperados Hombres Mujeres Total Creyentes e 11 = 916 e 12 = No creyentes e 21 = 289 e 22 = Total Hemos redondeado, aunque en general no se hace

7 Tablas de contingencia 2 2 Test de independencia Estadístico χ 2 para una tabla de contingencia 2 2 Dada una tabla de contingencia 2 2, con valores esperados e ij y valores observados o ij (para i, j = 1, 2), definimos el estadístico: Ξ = (o 11 e 11 ) 2 e 11 + (o 12 e 12 ) 2 e 12 + (o 21 e 21 ) 2 e 21 + (o 22 e 22 ) 2 e 22. (1) Entonces, mientras sea n > 30 y ninguno de los valores e ij sea menor de 5, el estadístico Ξ sigue una distribución χ 2 1, con 1 grado de libertad. El p-valor del contrate es P(χ 2 1 > Ξ) Simetría: da lo mismo considerar F 1 F 2 que F 2 F 1 Ejemplo: en el caso que nos ocupa Ξ = (o 11 e 11 )2 + (o 12 e 12 ) 2 + (o 21 e 21 ) 2 + (o 22 e 22 ) 2 = e 11 e 12 e 21 e 22 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 = , Como P(χ 2 1 > 40.23) = , podemos rechazar la hipótesis nula

8 Tablas de contingencia n 1 n 2 Caso general Contrastar la (posible) relación F 1 F 2 donde el factor F 1 tiene n 1 niveles el factor F 2 tiene n 2 niveles Considerar todas las combinaciones posibles de los niveles de F 1 y F 2 da una tabla de contingencia n 1 n 2, con n 1 filas y n 2 columnas: Ejemplo: Variable F 2 b 1 b n2 Variable F 1 a 1 o 11 o 1n2.... a n1 o n1 1 o n1 n 2 F 2 creencias cristiano musulman otros ateo F 1 30 o 11 o 12 o 13 = 150 o 14 edad [31, 65] o 21 = 350 o 22 = 50 o 23 = 85 o 24 = 575 años 66 o 31 o 32 o 33 = 15 o 34 Sección del libro

9 Tablas de contingencia n 1 n 2 Para obtener los valores esperados se calculan los valores marginales F 2 creencias cristiano musulman otros ateo F 1 30 o 11 o 12 o 13 = 150 o 14 edad [31, 65] o 21 = 350 o 22 = 50 o 23 = 85 o 24 = años 66 o 31 o 32 o 33 = 15 o Calcular las proporciones observadas con independencia del factor F 2 ˆp 2 = total individuos nivel 2 de F 1 total individuos = Calcular la frecuencia esperada para cada par de niveles de F 1 y F 2 e 23 = ˆp 2 total individuos nivel 3 de F 2 = =

10 Tablas de contingencia n 1 n 2 Para obtener los valores esperados se calculan los valores marginales Variable F 2 b 1 b n2 Total Variable F 1 a 1 o 11 o 1n2 o a n1 o n1 1 o n1 n 2 o n1 + Total o + 1 o + n2 o ++=n Calcular las proporciones observadas con independencia del factor F 2 ˆp i = total individuos nivel a i total individuos = o i+ n Calcular la frecuencia esperada para cada par de niveles de F 1 y F 2 e ij = ˆp i total individuos nivel b j = ˆp i o +j

11 Tablas de contingencia n 1 n 2 Test de independencia Estadístico χ 2 para una tabla de contingencia n 1 n 2 Dada una tabla de contingencia n 1 n 2, con valores observados o ij, y valores esperados e ij, definimos el estadístico: n 1 n 2 ( (oij e ij ) 2 ) Ξ = = (observado esperado) 2 e ij esperado i=1 j=1 tabla Es decir, sumamos un término para cada casilla de la tabla. Entonces, mientras sea n > 30 y ninguno de los valores e ij sea menor de 5, el estadístico Ξ sigue una distribución χ 2 k, con k = (n 1 1)(n 2 1) grados de libertad. El p-valor del contraste H 0 : {El factor F 1 es independiente del factor F 2 } es P ( χ 2 (n 1 1)(n 2 1) > Ξ )

12 Tablas de contingencia n 1 n 2 MachosAdultos Hembras MachosJovenes Suma Talamanca Ribatejada Meco Daganzo Camarma - Daganzo Camarma Cobeña Campo Real Pinto Torrejón Estremera Suma H 0 : { La composición por grupos es independiente de la zona } Atención: hay valores menores que 5. Si tiene sentido: agrupar zonas Ejemplo del libro

13 Tablas de contingencia n 1 n 2 Zona MachosAdultos Hembras MachosJovenes Suma 1. Talamanca Ribatejada Daganzo Camarma-Daganzo-Cobeña Camarma-Meco Campo Real Pinto Torrejón Suma

14 Gráfico de columnas apiladas

15 Gráfico de mosaico

16 Tablas de contingencia n 1 n 2 Zona MachosAdultos Hembras MachosJovenes Suma 1. Talamanca Ribatejada Daganzo Camarma-Daganzo-Cobeña Camarma-Meco Campo Real Pinto Torrejón Suma Calcular los valores esperados; por ejemplo, para hembras en Pinto e 72 = MachosAdultos Hembras MachosJovenes Suma zona zona zona zona zona zona zona zona Suma ( ) 8 3 (oij e ij ) 2 Ξ = 32.23, e i=1 j=1 ij ) P (χ 2 14 > rechazar H 0