Inferencia en tablas de contingencia

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2 Inferencia en tablas de contingencia Guillermo Ayala Gallego Universidad de Valencia 15 de octubre de / 36

3 Distribución condicionada exacta

4 Intervalo para los odds ratio Intervalo de la diferencia de proporciones Intervalo de el riesgo relativo con 2 / 36

5 Intervalo para los odds ratio El estimador del odds ratio es ˆθ = n 11n 22 n 12 n 21 El estimador puede ser 0, infinito o no estar definido ( ) dependiendo de los conteos. Por ello no existe ni la media ni la varianza de ˆθ ni de log ˆθ. Una posibilidad es trabajar con y con log θ. θ = (n ,5)(n ,5) (n ,5)(n ,5) Intervalo para los odds ratio Intervalo de la diferencia de proporciones Intervalo de el riesgo relativo con 3 / 36

6 Un estimación del error estándar de ˆθ es ( ˆσ(log ˆθ) 1 = n 11 n 12 n 21 n 22 El intervalo de confianza de Wald sería: log ˆθ ± z α/2ˆσ(log ˆθ) ) 1/2 Tomando las exponenciales en los extremos tenemos el correspondiente intervalo para log θ. Intervalo para los odds ratio Intervalo de la diferencia de proporciones Intervalo de el riesgo relativo con 4 / 36

7 El test es algo conservador (la probabilidad de cubrimiento es algo mayor que el nivel nominal). Estudio sueco sobre el uso de la aspirina y el infarto de miocardio. Infarto de miocardio Si No Total Placebo Aspirina notar/notar012.pdf Intervalo para los odds ratio Intervalo de la diferencia de proporciones Intervalo de el riesgo relativo con 5 / 36

8 Intervalo de la diferencia de proporciones Suponemos que tenemos muestras de binomiales independientes. En grupo i tenemos Y i Bi(n i,π i ). Tenemos ˆπ i = Y i /n i y el error estándar es σ(ˆπ 1 ˆπ 2 ) = E(ˆπ 1 ˆπ 2 ) = π 1 π 2 [ π1 (1 π 1 ) + π ] 1/2 2(1 π 2 ) n 1 n 2 Estimamos sustituyendo π i por ˆπ i. Intervalo para los odds ratio Intervalo de la diferencia de proporciones Intervalo de el riesgo relativo con 6 / 36

9 El intervalo de confianza de Wald sería: ˆπ 1 ˆπ 2 ± z α/2ˆσ(ˆπ 1 ˆπ 2 ) Usualmente la probabilidad de cubrimiento es menor que el coeficiente de confianza nominal. Especialmente para valores de π 1 y π 2 próximos a 0 o 1. Intervalo para los odds ratio Intervalo de la diferencia de proporciones Intervalo de el riesgo relativo con 7 / 36

10 Intervalo de el riesgo relativo El riesgo relativo muestral viene dado por r = ˆπ 1 ˆπ 2 Hay una convergencia a la normalidad más rápida trabajando en la escala logarítmica. El error estándar asintótico de log r es σ(log r) = ( 1 π1 + 1 π ) 1/2 2 n 1 π 1 n 2 π 2 Es algo conservador (probabilidad de cubrimiento mayor que el nivel de confianza nominal). Intervalo para los odds ratio Intervalo de la diferencia de proporciones Intervalo de el riesgo relativo con 8 / 36

11 El intervalo de confianza de Wald para log π 1 /π 2 es log r ± z α/2ˆσ notar/notar012.pdf Intervalo para los odds ratio Intervalo de la diferencia de proporciones Intervalo de el riesgo relativo con 9 / 36

12 Test con 10 / 36

13 Nos planteamos el contraste de: H 0 : π ij H 0 : π ij = π i+ π +j i,j π i+ π +j para algún i,j Los tests que vamos a considerar se pueden aplicar tanto para muestreo multinomial (con I J categorías) como para muestreo multinomial independiente (para las distintas filas). En el primer caso contrastamos independencia y en el segundo homogeneidad. Test con 11 / 36

14 Test Es el test clásico propuesto por K. Pearson. Bajo H 0, Los MLE son En ij = µ ij = nπ i+ π +j. ˆµ ij = nˆπ i+ˆπ +j = n n i+ n Se utiliza el estadístico n +j n = n i+n +j n (n ij ˆµ ij ) 2 Test con X 2 = i j ˆµ ij 12 / 36

15 Bajo H 0, X 2 χ 2 ((I 1)(J 1)). El test score produce el estadístico X 2. El test del cociente de verosimilitud produce el test G 2 = 2 i con ˆµ ij = n i+n +j n. Bajo H 0, j n ij log n ij ˆµ ij Test con G 2 χ 2 ((I 1)(J 1)). 13 / 36

16 Se rechaza para valores grandes de X 2 o G 2. La convergencia a la distribución es más rápida para X 2 que para G 2. La aproximación para G 2 es pobre si n/ij < 5. La aproximación para X 2 puede ser razonablemente buena si las frecuencias esperadas son mayores que 1 y la mayor parte son mayores que 5. Si nos los podemos usar hay que utilizar métodos para. Test con 14 / 36

17 Creencias religiosas Educación Fundamentalista Moderado Liberal Total Menos que secundaria Secundaria Graduado Total notar/notar013.pdf 15 / 36

18 Acaba la vida con el p-valor? Residuos con 16 / 36

19 Acaba la vida con el p-valor? Ya sabemos que el test es significativo. Ya tenemos un p-valor maravillosamente pequeño. Y ahora qué? Acaba la vida con el p-valor? Residuos con 17 / 36

20 Residuos Vamos a comparar las frecuencias observadas con las esperadas. Notemos que, para muestreo de Poisson, σ(n ij µ ij ) = µ ij. La desviación estándar de n ij ˆµ ij es menor que µij pero todavía proporcional a este valor. Definimos el residuo de Pearson como e ij = n ij ˆµ ij ˆµij. Acaba la vida con el p-valor? Residuos con 18 / 36

21 En particular tenemos que el estadístico X 2 de Pearson es igual a la suma de los cuadrados de los residuos de Pearson. X 2 = e 2 ij. i j Comparar estos residuos con los percentiles normales da una visión conservadora. Se definen los residuos de Pearson estandarizados como n ij ˆµ ij [ ˆµ ij (1 ˆπ i+ )(1 ˆπ +j ) ] 1/2 que sí tienen una distribución normal estándar. 19 / 36

22 Podemos comparar los residuos de Pearson estandarizados con los percentiles de la normal. Valores superiores (en módulo) a 2 o 3 indican falta de ajuste. notar/notar014.pdf Acaba la vida con el p-valor? Residuos con 20 / 36

23 con con Alternativa de tendencia lineal Alternativa de tendencia monótona 21 / 36

24 Alternativa de tendencia lineal Los test X 2 y G 2 no tienen en cuenta si las variables son ordinales. Si ambas variables son ordinales es de esperar una tendencia positiva o negativa. Una posibilidad es asignar puntuaciones a las categorías de X (u 1... u I ) y a las categorías de Y, (v 1... v I ) tales que conservan la ordenación. Sea r el coeficiente de correlación entre las puntuaciones. Consideramos el estadístico con Alternativa de tendencia lineal Alternativa de tendencia monótona para muestras grandes. M 2 = (n 1)r 2 χ 2 (1) 22 / 36

25 Rechazamos para valores grandes de M 2. Un p-valor pequeño no implica una lineal aunque sí que la componente lineal permite rechazar la hipótesis nula. notar/notar016.pdf con Alternativa de tendencia lineal Alternativa de tendencia monótona 23 / 36

26 Alternativa de tendencia monótona En el test que acabamos de considerar en donde la hipótesis alternativa era una relación lineal. Hemos tenido que transformar la variable ordinal en variable numérica. Consideremos una hipótesis alternativa mas débil, la relación entre las variables ordinales es monótona. La gamma muestral tiene una distribución asintótica normal. notar/notar017.pdf con Alternativa de tendencia lineal Alternativa de tendencia monótona 24 / 36

27 con Fisher para tablas 2 2 El ejemplo del té Fisher y alternativa bilateral Distribución condicionada exacta independencia para tablas I J 25 / 36

28 Fisher para tablas 2 2 Todos los procedimientos vistos hasta ahora se basan en distribuciones asintóticas. Si tenemos muestras grandes no hay problemas. Y con? Rezar es una buena opción. Siempre lo es. La otra es un test exacto. con Fisher para tablas 2 2 El ejemplo del té Fisher y alternativa bilateral Distribución condicionada exacta independencia para tablas I J 26 / 36

29 Consideramos una tabla 2 2. La hipótesis nula es de independencia. Condicionamos a los totales marginales de fila y columna. Solamente nos queda libre un conteo (por ejemplo, n 11 ) y ) p(t) = P(n 11 = t) = donde los valores posibles son m n 11 m + ( n1+ )( n2+ t n +1 t ( n n +1 ) con m = máx{0,n 1+ + n +1 n} y m + = mín{n 1+,n +1 }. 27 / 36

30 Queremos contrastar independencia. En tablas 2 2 lo podemos formular como frente a (alternativa unilateral) H 0 : θ = 1 H 1 : θ > 1 Para el test anterior, si t 0 es el valor observado de n 11, entonces el p-valor sería P(n 11 t 0 ) 28 / 36

31 El ejemplo del té Predicción primer servicio Primer servicio Leche Té Total Leche Té Total 4 4 Sería más extrema la tabla con n 11 = 4. El p-valor sería P(n 11 = 3) + P(n 11 = 4) = 0,243 con Fisher para tablas 2 2 El ejemplo del té Fisher y alternativa bilateral Distribución condicionada exacta independencia para tablas I J 29 / 36

32 Estamos ordenando las tablas de acuerdo con n 11. Podríamos ordenarlas según el odds ratio o la diferencia de las proporciones y obtenemos el mismo test. Esto no será cierto para test bilateral. con Fisher para tablas 2 2 El ejemplo del té Fisher y alternativa bilateral Distribución condicionada exacta independencia para tablas I J 30 / 36

33 Fisher y alternativa bilateral La definición de p-valor depende de cómo ordenamos las tablas. Lo que suele ir programado en software es (si p(t) = P(n 11 = t)) p = P(p(n 11 ) p(t 0 )) Sumamos la probabilidad de todas aquellas tablas que son tan probables o menos que la tabla observada. 31 / 36

34 Otra opción es p = P ( ) n 11 E(n 11 ) t 0 E(n 11 ) teniendo en cuenta que para la hipergeométrica Este procedimiento equivale con E(n 11 ) = n 1+ n +1 /n p = P(X 2 X 2 0) siendo X 2 0 el valor observado de X / 36

35 notar/notar018.pdf con Fisher para tablas 2 2 El ejemplo del té Fisher y alternativa bilateral Distribución condicionada exacta independencia para tablas I J 33 / 36

36 Distribución condicionada exacta Consideramos tablas con I J. Suponemos muestreo multinomial independiente (por filas). En consecuencia los totales de fila (n i+ ) están fijados. Asumimos la hipótesis de que la distribución condicionada de cada fila es la misma H 0 : π j 1 =... = π j I = π +j para j = 1,...,J y condicionamos ahora a los totales de columna. La distribución condicionada de los conteos es i n i+! j n +j! n! i j n ij! la distribución hipergeométrica múltiple. 34 / 36

37 Si suponemos una única distribución multinomial. Condicionamos al total de la tabla n. Condicionamos a los totales de fila y columna. La independencia se formula como H 0 : π ij = π i+ π +j i,j Obtenemos la misma distribución condicionada. con Fisher para tablas 2 2 El ejemplo del té Fisher y alternativa bilateral Distribución condicionada exacta independencia para tablas I J 35 / 36

38 independencia para tablas I J Hemos de establecer un orden entre las tablas. La opción más habitual es considerar la probabilidad de la tabla. El p-valor es la probabilidad de las tablas (con las marginales dadas) que no son más probables que la tabla observada. Otra posibilidad es utilizar un estadístico que mida la distancia de una tabla con la hipótesis nula: Como el estadístico X 2. Si tenemos datos ordinales podemos usar los estadísticos de los tests diseñados para este tipo de información. notar/notar019.pdf con Fisher para tablas 2 2 El ejemplo del té Fisher y alternativa bilateral Distribución condicionada exacta independencia para tablas I J 36 / 36