Curso. Análisis Estadístico de Datos Climáticos

Transcripción

1 Curso I-1 Análisis Estadístico de Datos Climáticos TEMA: Pruebas de Hipótesis Mario Bidegain (FC) Alvaro Diaz (FI) Universidad de la República Montevideo, Uruguay 2011

2 I-2 PRUEBAS DE HIPÓTESIS Objetivo: Tratar de determinar cuándo es razonable concluir, a partir del análisis de una muestra, que la población entera posee determinada propiedad y cuando esto no es razonable.

3 TIPOS DE PRUEBAS Establecen un valor ó un intervalo de valores para los parámetros de una variable Asociada a la construcción de Intervalos de confianza Ejemplo: La media de una variable es 10 I-3 Establecen la igualdad de las distribuciones de dos ó mas variables Requiere un diseño experimental Ejemplo: La media de dos poblaciones normales son iguales con igual variancia Determinan la forma de la distribución de la variable Pruebas especificas para establecer el tipo de distribución de una variable Ejemplo: La distribución de una variable es normal

4 PRUEBAS PARAMETRICA Y NO PARAMETRICAS I-4 Se denominan pruebas paramétricas aquellas que presuponen una dada distribución de probabilidad para los datos. Se denominan pruebas no paramétricas aquellas que no presuponen una distribución de probabilidad para los datos, por ello se conocen también como de distribución libre. NOTA: Cuando trabajamos con muestras pequeñas (n < 20) en las que se desconoce si es válido suponer la normalidad de los datos, conviene utilizar pruebas no paramétricas, al menos para corroborar los resultados obtenidos a partir de la utilización de la teoría basada en la normal. En estos casos se emplea como parámetro de centralización la mediana, que es aquel punto para el que el valor de X está el 50% de las veces por debajo y el 50% por encima.

5 I-5 TIPOS DE ERROR Rechazar una hipótesis no significa que ésta sea falsa, como tampoco el no rechazarla significa que sea verdadera. La decisión tomada no esta libre de error. Error I: Rechazar una hipótesis que es verdadera. (Rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada). Error II: No rechazar una hipótesis que es falsa (Aceptamos una hipótesis que debiera ser rechazada).

6 ERRORES TIPO I Y II I-6 Para que las reglas de decisión (o contraste de hipótesis) sean buenas, deben diseñarse de modo que minimicen los errores de la decisión; y no es una cuestión sencilla, porque para cualquier tamaño de la muestra, un intento de disminuir un tipo de error suele ir acompañado de un crecimiento del otro tipo. En la práctica, un tipo de error puede ser más grave que el otro, y debe alcanzarse un compromiso que disminuya el error más grave. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra que no siempre es posible.

7 I-7 NIVEL DE SIGNIFICACION α es la Probabilidad de cometer un Error tipo I. Se llama Nivel de significación β es la probabilidad de cometer un Error tipo II Es deseable que estas dos probabilidades de error sean pequeñas.

8 ERRORES TIPO I Y II Y NIVEL DE SIGNIFICACION I-8

9 NIVEL DE SIGNIFICACION Y NIVEL DE CONFIANZA I-9 En la práctica, es frecuente un nivel de significación de 0,05 ó 95% de NIVEL DE CONFIANZA Si por ejemplo se escoge el nivel de significación 0,05 (ó 5%), entonces hay unas cinco (05) oportunidades entre 100 de rechazar la hipótesis cuando debiera haberse aceptado; Es decir, tenemos un 95% de confianza de que hemos adoptado la decisión correcta. En tal caso decimos que la hipótesis ha sido rechazada al nivel de significación 0,05, lo cual quiere decir que tal hipótesis tiene una probabilidad 0,05 de ser falsa.

10 NIVELES DE SIGNIFICACION I-10 Prueba de Uno y Dos Extremos. Cuando estudiamos ambos valores estadísticos es decir, ambos lados de la media lo llamamos prueba de uno y dos extremos o contraste de una y dos colas. Con frecuencia no obstante, estaremos interesados tan sólo en valores extremos a un lado de la media (o sea, en uno de los extremos de la distribución), tal como sucede cuando se contrasta la hipótesis de que un proceso es mejor que otro, tales contrastes se llaman unilaterales, o de un extremo. En tales situaciones, la región crítica es una región situada a un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación.

11 I-11 PRUEBA DE HIPOTESIS La prueba de hipótesis es un procedimiento de toma de decisiones, relacionada principalmente con la elección de una acción entre dos conjuntos posibles de valores del parámetro, es decir, en dos hipótesis estadísticas, a las cuales llamaremos: Hipótesis nula H 0 Hipótesis alternativa H 1

12 I-12 HIPOTESIS NULA y ALTERNATIVA Hipótesis nula corresponde a la ausencia de una modificación en la variable investigada, y por lo tanto se especifica de una forma exacta: H 0 : θ = θ 0 Hipótesis alternativa se especifica de manera más general : H 1 : θ θ 0 H 1 : θ > θ 0 H 1 : θ < θ 0.

13 I-13 CUADRO DE DECISIONES Y TIPOS DE ERRORES Decisión Acepto H 0 Rechazo H 0 Estado de la Naturaleza H 0 verdadera H 0 falsa Acierto 1 -α Nivel de confianza Error Tipo I α Nivel de significación Error Tipo II β Acierto 1 -β Potencia de prueba

14 Etapas Básicas en Pruebas de Hipótesis. Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) de un parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional. Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. Etapa 1.- Planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (H 0 ) es el valor hipotético del parámetro que se compara con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. Etapa 2.- Especificar el Nivel de Significación que se va a utilizar. El nivel de significación del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoriamente con una probabilidad de 0.05 o menos. Etapa 3.- Elegir la estadística de prueba. La estadística de prueba puede ser la estadística muestral (el estimador no sesgado del parámetro que se prueba) o una versión transformada de esa estadística muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribución normal, entonces es común que se transforme la media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadística de prueba. I-14

15 I-15 Etapas Básicas en Pruebas de Hipótesis (Cont.) Etapa 4.- Establecer el valor o valores críticos de la estadística de prueba. Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significación y la estadística de prueba que se van a utilizar, se procede a establecer el o los valores críticos de la estadística de prueba. Puede haber uno o más de esos valores, dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos. Etapa 5.- Determinar el valor real de la estadística de prueba. Por ejemplo, al probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico que se establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un valor de z. Etapa 6.- Tomar la decisión. Se compara el valor observado de la estadística muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística de prueba. Después se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Si se rechaza ésta, se acepta la alternativa. La distribución apropiada de la prueba estadística se divide en dos regiones: una región de rechazo y una de no rechazo. Si la prueba estadística cae en esta última región no se puede rechazar la hipótesis nula. Al tomar la decisión con respecto a la hipótesis nula, se debe determinar el valor crítico en la distribución estadística que divide la región del rechazo (en la cual la hipótesis nula no se puede rechazar) de la región de rechazo. El valor crítico depende del tamaño de la región de rechazo.

16 POTENCIA DE UNA PRUEBA I-16 El complemento (1-β) de la probabilidad de cometer un Error del tipo II se conoce como POTENCIA de una prueba estadística. La potencia de una prueba es una probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando de hecho esta es falsa y debería ser rechazada. NOTA: Una manera en que podemos controlar la probabilidad de cometer un error del tipo II en un estudio, consiste en aumentar el tamaño de la muestra. Tamaños más grandes de muestra, nos permitirán detectar diferencias incluso muy pequeñas entre las estadísticas de muestra y los parámetros de la población. Cuando se disminuye α, β aumentará de modo que una reducción en el riesgo de cometer un error de tipo I tendrá como resultado un aumento en el riesgo de cometer un error tipo II. β representa la probabilidad de que la hipótesis nula no sea rechazada cuando de hecho es falsa. La potencia de prueba 1-β representa la sensibilidad de la prueba estadística para detectar cambios que se presentan al medir la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando de hecho es falsa. La potencia de prueba estadística depende de qué tan diferente en realidad es la media verdadera de la población del valor supuesto. Una prueba de un extremo es más poderosa que una de dos extremos, y se debería utilizar siempre que sea adecuado especificar la dirección de la hipótesis alternativa.

17 INTERVALOS DE CONFIANZA En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada. La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- α. La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significación y se simboliza α.. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1-α.= 95% (o significación α. = 5%). Ejemplo: Construir un intervalo de confianza, para la Distribución Normal estándar que cumple: P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95 Luego, si una variable X tiene distribución N(, ), entonces el 95% de las veces se cumple: Despejando en la ecuación se tiene: El resultado es un intervalo que incluye al el 95% de las veces. Es decir, es un intervalo de confianza al 95% para la media cuando la variable X es normal y es conocido I-17

18 I-18

19 INTERVALOS DE CONFIANZA (Cont.) Intervalo de confianza para un promedio I-19 Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media poblacional, la varianza poblacional es desconocida. Si en el intervalo se reemplaza la desviación estándar poblacional por la desviación estándar muestral s, el intervalo de confianza toma la forma: La cual es una buena aproximación para el intervalo de confianza de 95% para con desconocido. Esta aproximación es mejor en la medida que el tamaño muestral sea grande. NOTA: Cuando el tamaño muestral es pequeño, el intervalo de confianza requiere utilizar la distribución t de Student (con n-1 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra), en vez de la distribución normal (por ejemplo, para un intervalo de 95% de confianza, los límites del intervalo ya no serán construidos usando el valor 1,96). Ejemplo: Supongamos se plantea la hipótesis de que el promedio anual de horas de sol de 30 años es igual a la media climática de 3250 horas. Al tomar una muestra se obtuvo: = 2930 s= 450 n= 30 Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional, las horas de sol varían entre 2769 y 3091 horas, con una confianza de 95%.. Como el intervalo no incluye el valor medio =3250 horas planteado en la hipótesis, entonces esta es rechazada con confianza 95% (o un valor p menor a 0,5).

20 Comparación de dos muestras Prueba t de Student I-20 La prueba t de Student como todos los estadísticos de contraste se basa en el cálculo de estadísticos descriptivos previos: el número de observaciones, la media y la desviación típica en cada grupo. A través de estos estadísticos previos se calcula el estadístico de contraste experimental. Con la ayuda de tablas se obtiene a partir de dicho estadístico el p-valor. Si p<0,05 se concluye que hay diferencia entre los dos muestras. Las hipótesis o suposiciones para poder aplicar la t de Student son que en cada grupo la variable estudiada siga una distribución Normal y que la dispersión en ambos grupos sea homogénea (hipótesis de homocedasticidad = igualdad de varianzas). Si no se verifica que se cumplen estas suposiciones los resultados de la prueba t de Student no tienen ninguna validez. No es obligatorio que los tamaños de los grupos sean iguales, ni tampoco es necesario conocer la dispersión de los dos grupos. En el caso de que no se cumpla la suposición de Normalidad se suele intentar alguna transformación de los datos que "normalice" los datos, siendo la transformación logaritmo neperiano la más usual. Ocurre en la práctica que la transformación que "normaliza" los datos también consigue igualdad de varianzas.

21 Prueba t de Student (comparación de dos muestras) I-21 Podemos aplicar la prueba t de Student para comparar de dos medias muestrales procedentes de la misma población, independientes y con igual desviación típica. De la diferencia de sus medias, que se espera sea nula, se prueba su nivel de significación. Si n 1 y n 2 y X 1 y X 2 son los números de elementos y medias muestrales se cumple que si escribimos las desviaciones típicas en función de cada muestra y consideramos sus grados de libertad tenemos: Ejemplo En un periodo de medidas de precipitación de 11 años tenemos estimada una media de M 2 = 480 mm y una varianza 2 = 2500 mm A partir de ese periodo en los 7 años siguientes se han medido: 640, 670, 600, 470, 400, 480 y 500 mm. La pregunta es Difieren significativamente estos últimos años del periodo anterior? La media y la varianza de los últimos 7 años es M 1 = 550 mm y 2 = 6057 mm Por lo tanto el estadístico t de Student t = / SQRT( (11 * * 6057)/16) * (11+7/77)) = 70/33.33 = 2.10 La tabla da para t = 2.10 y 16 grados de libertad un valor próximo a que nos dice que es significativo a un nivel de casi el 2.5% a cada lado de la curva de distribución. Si se excluyen los valores de 640 y 670 mm se tendría que el nuevo valor de t no es significativo y los datos pertenecen al mismo colectivo.

22 Tabla t de Student I-22

23 PRUEBAS DE HIPOTESIS NO PARAMETRICAS I-23 Se denominan pruebas no paramétricas aquellas que no presuponen una distribución de probabilidad para los datos, por ello se conocen también como de distribución libre (distribution free). En la mayor parte de ellas los resultados estadísticos se derivan únicamente a partir de procedimientos de ordenación y recuento, por lo que su base lógica es de fácil comprensión. Cuando trabajamos con muestras pequeñas (n < 20) en las que se desconoce si es válido suponer la normalidad de los datos, conviene utilizar pruebas no paramétricas, al menos para corroborar los resultados obtenidos a partir de la utilización de la teoría basada en la normal. En estos casos se emplea como parámetro de centralización la mediana, que es aquel punto para el que el valor de X está el 50% de las veces por debajo y el 50% por encima.

24 I-24 Veremos cinco pruebas no paramétricas, que en buena medida son paralelas a las versiones paramétricas (t Student, F, etc.): Caso de una serie Prueba del recorrido PRUEBAS NO PARAMETRICAS Caso de dos grupos independientes Prueba de Helmert Caso de dos grupos independientes Prueba de Mann-Whitney-----(paralela a la t de grupos independientes) Caso de dos grupos relacionados Prueba de Wilcoxon-----(paralela a la t de grupos relacionados) Caso de "a" grupos independientes Prueba de Kruskal-Wallis-----(paralela a la F unifactorial entre-sujetos)

25 I-25 HOMOGENEIDAD DE SERIES Causas habituales de la no homogeneidad de una serie: Mal estado o defectos de los instrumentos meteorológicos. Se produce en forma progresiva y puede pasar desapercibido si las estaciones no son inspeccionadas frecuentemente. En las estaciones automáticas puede ser abrupto o con deriva. Cambio de observador meteorológico, que se puede notar en las estimaciones en que intervienen elementos subjetivos (ej: nubosidad) o en las lecturas del termómetro. Se ha constatado que algunos observadores tienen tendencia sistemática a adoptar cifras pares o grados enteros. No se trata de errores accidentales de lectura que no presentan carácter sistemático. Cambio del tipo de instrumental y/o de sus condiciones de instalación (ej: altura de los anemómetros sobre el suelo, ya que a mayor altura hay más intensidad de viento). Cambio de los métodos de depuración de datos. Modificaciones eventuales del ambiente: por transporte del instrumental de un punto a otro o por cambios en un punto dado. Estos cambios pueden ser: naturales (desarrollo de la vegetación) o artificiales (ligados a las actividades humanas). Cambios climáticos o microclimáticos.

26 HOMOGENEIDAD DE SERIES I-26 PRUEBA DE RECORRIDO DE UNA SERIE Criterio de Doorembos Nº observ. Intervalo Comprende las siguientes etapas: Estimación de la mediana de la serie. Cálculo de los desvíos de cada elemento respecto a la mediana. Se asigna a cada valor de la serie el signo correspondiente, (+) si está el valor de la serie por encima de la media y (-) si está por debajo. Cálculo del número de cambios de signo que presenta la serie, según el Criterio de Doorembos), si el número de cambios está dentro del rango admitido, la serie analizada es homogénea, en caso contrario no es homogénea

27 HOMOGENEIDAD DE SERIES I-27 CRITERIO DE HELMERT La aplicación del test de Helmert entre 2 series, comprende las siguientes etapas: Debe verificarse la no existencia de tendencias en ambas series. Se calculan las diferencias entre ambas series término a término, y se calcula la diferencia promedio ( d ). Se calculan las diferencias entre d i y d. Se comparan 2 observaciones consecutivas (la última se compara con la primera). Se define como S cuando no existe cambio de signo entre un valor y el siguiente, y con C cuando hay cambio de signo entre el valor y el siguiente. Sea y S = S i C = C i Según el Criterio de Helmert si la serie es homogénea se cumple N 1 S C N+ 1 siendo N el número de observaciones.

28 I-28 Prueba de Mann-Whitney (comparación de dos grupos independientes) Este procedimiento es una buena alternativa cuando no se puede utilizar la prueba t de Student, en razón de no cumplir con los requisitos que esta prueba exige. La fórmula es la siguiente: U1 y U2 = valores estadísticos de U Mann-Whitney. n1 = tamaño de la muestra del grupo 1. n2 = tamaño de la muestra del grupo 2. R1 = sumatoria de los rangos del grupo 1. R2 = sumatoria de los rangos del grupo 2. Pasos: Determinar el tamaño de las muestras (n1 y n2). Si n1 y n2 son menores que 20, se consideran muestras pequeñas, pero si son mayores que 20, se consideran muestras grandes. Arreglar los datos en rangos del menor al mayor valor. En caso de que existan ligas o empates de rangos iguales, se deberán detectar para un ajuste posterior. Calcular los valores de U1 y U2, de modo que se elija el más pequeño para comparar con los críticos de U Mann-Whitney de la tabla de probabilidades asociadas con valores pequeños como los de U en la prueba de Mann-Whitney. En caso de muestras grandes, calcular el valor Z, pues en estas condiciones se distribuye normalmente. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis. Muestras grandes zemp = U n (N+1) 1 2 n n (N+1) Muestras pequeñas (n1 y n2 20) U = R i1

29 Prueba de Mann-Whitney Ejemplo para muestras pequeñas: I-29 Un experimentador utiliza dos métodos para enseñar a leer a un grupo de 10 niños de 6 años, quienes ingresan por primera vez a la escuela. El experimentador quiere demostrar que el procedimiento ideado por él es más efectivo que el tradicional; para ello, mide el desempeño en la lectura en función de la fluidez, comprensión, análisis y síntesis.el plan experimental preliminar consiste en elegir al azar tanto una muestra de 10 niños como el método por utilizar. Elección de la prueba estadística. El modelo experimental tiene dos muestras independientes. Las mediciones revelan que no se satisfacen los requisitos para utilizar una media aritmética, en razón de que uno de los valores en cada muestra se aleja demasiado de las demás; por lo tanto, no corresponde a una escala de intervalo, de manera que se decide usar una escala ordinal. Planteamiento de la hipótesis. Hipótesis nula (Ho). Las diferencias observadas entre las calificaciones de ejecución de lectura mediante los dos métodos se deben al azar. Hipótesis alterna (Ha). Las calificaciones de ejecución de lectura, según el método de enseñanza del experimentador son más altas y diferentes que las observadas en el método tradicional. Nivel de significación. Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho. Zona de rechazo. Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

30 Prueba de Mann-Whitney I-30 Aplicación de la prueba estadística. De acuerdo con los paso, las observaciones se deben ordenar en rangos del menor al mayor. Calculamos la U. De los dos valores de U calculados, se elige el más pequeño (4) y se comparan con los valores críticos de U Mann-Whitney. En caso de que el valor de U calculado no se localice en las tablas correspondientes, se transformará en la fórmula siguiente: U = n 1 n 2 - U' En esta fórmula, U' corresponde al valor más alto. Decisión. A la probabilidad del valor U de Mann-Whitney, calculado anteriormente, corresponde 0.048, el cual es más pequeño que el nivel de significación; por lo tanto, se acepta Ha y se rechaza Ho.

31 Prueba de Wilcoxon (comparación de dos grupos relacionados) Si tenemos parejas de valores, por ejemplo antes y después de un cambio, que podemos denominar (X1,Y1), (X2,Y2),...,(Xn,Yn). De la misma forma, ahora calcularemos las diferencias X1-Y1, X2-Y2,..., Xn-Yn y las ordenaremos en valor absoluto, asignándoles el rango correspondiente. Calculamos R+ la suma de rangos positivos (cuando Xi es mayor que Yi), y la suma de rangos negativos R-. Ahora la hipótesis nula es que esas diferencias proceden de una distribución simétrica en torno a cero y si fuera cierta los valores de R+ y R- deberán ser parecidos. Pasos: 1. Restar las puntuaciones (elemento a elemento) entre grupos 1 y 2, y dejarlas en valor absoluto. 2. En valores ordinales, hacer una columna con los rangos para G2>G1 y otra para G1>G2 Muestras pequeñas S + = R i + Es la suma de rangos de la columna "G2>G1" Muestras grandes zemp = S + n (n +1) 4 n(n +1) (2n +1) 24 La hipótesis nula es que no haya diferencias entre los dos grupos Hay tablas para este caso de muestras pequeñas; en todo caso, si la muestra es relativamente grande, se puede efectuar la aproximación a la distribución normal I-31

32 Prueba de Wilcoxon I-32 Ejemplo para muestras pequeñas utilizando la prueba de dos colas: Un investigador desea comparar el grado de hiperactividad en sujetos obesos cuando están en un programa para bajar de peso (dieta) y sin programa para bajar de peso. Elección de la prueba estadística. Se tienen dos muestras dependientes y, por el tipo de medición, es posible listarlas en una escala ordinal. Planteamiento de la hipótesis. Hipótesis alterna (Ha). Existe diferencia significativa entre el grado de hiperactividad en obesos cuando están en un programa de dieta y sin el programa de dieta. Hipótesis nula (Ho). No existe diferencia significativa entre el grado de hiperactividad en obesos cuando están en un programa de dieta y sin el programa de dieta, esto es debido al azar. Nivel de significación. Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho. Zona de rechazo. Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha. Aplicación de la prueba estadística. Con base a los pasos, se obtienen las diferencias observadas en los incrementos de hiperactividad en obesos, estando en un programa de dieta o no. Estos valores podrán tener signos positivos y negativos, los cuales quedarían abolidos al ordenarse los rangos y éstos los adoptan.

33 Prueba de Wilcoxon I-33 El valor T de la prueba de Wilcoxon obtenido se compara con los valores críticos de la tabla T en pruebas de rangos señalados de pares iguales de Wilcoxon, y se puede apreciar que para ser significativo (es decir, por debajo de 0.05, que fue el nivel de significación), requiere que este 0.05 sea menor; por lo tanto, la probabilidad es mayor que tc = 15.5 tt = 8 Para dos colas = a = 0.05 N= 10 se cumple que rechazamos Ho Decisión. En virtud de que la probabilidad es mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha. Interpretación. Las diferencias en el incremento o disminución de la hiperactividad en personas obesas con dieta o sin dieta, no son significativas. Estadísticamente resultan iguales, en razón de que pueden ser diferencias dadas al azar.

34 I-34 Prueba de Kruskal-Wallis (comparación de "a" grupos independientes) La prueba de Kruskal-Wallis, es una alternativa a la prueba F del análisis de varianza para diseños de clasificación simple. En este caso se comparan varios grupos pero usando la mediana de cada uno de ellos, en lugar de las medias Pasos: 1. pasar las puntuaciones a rangos (conjuntamente en los "a" grupos) 2. computar la suma de los rangos en cada grupo (son las R j ) Estadístico de contraste H = 12 N(N + 1) 2 R j n j 3 (N + 1) Si la Hipótesis nula es cierta (es decir, que no haya diferencias entre los grupos), H se distribuye según Chi-cuadrado con a-1 grados de libertad Observa que se puede aplicar esta prueba cuando no se cumplan los supuestos de homogeneidad de varianzas ni el de normalidad del ANOVA unifactorial entre sujetos.

35 I-35 La prueba de Kruskal-Wallis para comparar más de dos grupos Si hay empates en los datos entonces, se aplica la siguiente modificación a H H ' = 1 H g 3 ti i= 1 3 n n Se puede mostrar que si los tamaños de cada grupo son mayores que 5 entonces, H se distribuye como una Ji-Cuadrado con, k-1 grados de libertad. Luego, la hipótesis nula se rechaza si t i H 2 > χ k 1,1 α

36 I-36 Tabla I. Tipo de test estadístico para hacer inferencias (comparaciones entre muestras). DISTRIBUCION VARIABLE INDEPENDIENTE (PREDICTORA) VARIABLE DEPENDIENTE (RESULTADO) RELACIÓN ENTRE LAS MUESTRAS PRUEBA ESTADÍSTICA Normal (Paramétricos) Una sola muestra (se compara con valor teórico) Dicotómica Policotómica Cuantitativa Categórica Cuantitativa Categórica Cuantitativa No relacionadas Relacionadas No relacionadas Relacionadas No relacionadas No relacionadas Relacionadas t-student para una muestra No existe (usar Chi-cuadrado de Pearson) No existe (usar no paramétricos) t-student muestras independientes t-student muestras relacionadas No existe (usar Chi-cuadrado de Pearson) ANOVA de una vía ANOVA de medidas repetidas No normal (No paramétricos) Una sola muestra (se compara con valor teórico) Dicotómica Policotómica Categórica Cuantitativa Categórica Cuantitativa Relacionadas No relacionadas Relacionadas No relacionadas No relacionadas Relacionadas No relacionadas Binomial Chi-cuadrado de Pearson Chi-cuadrado de Mantel-Haenzsel Prueba de Kolmogorow-Smirnov Prueba de las Rachas Test exacto de McNemar Prueba de los Signos Chi-cuadrado de Pearson Test exacto de Fisher Test de Wilcoxon Prueba de los signos Mann-Whitney Mediana Z Kolmogorov-Smirnov Rachas de Wald-Wolfowitz Valores extremos de Moses Prueba Q de Cochran Prueba de Friedman W de Kendall (concordancia) Prueba de Kruskal-Wallis Mediana K variables ANOVA de dos vías por rangos COVARIACION (medidas de dos variables en los mismos sujetos o unidades de análisis del estudio) Paramétrico Cuantitativa Cuantitativa Correlación de Pearson No paramétrico Cuantitativa Cuantitativa Correlación de Spearman