Estadística de dos variables

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1 Versión: Estadística de dos variables 19 de septiembre de Introducción En el Tema 1 se consideran las variables estadísticas unidimensionales, es decir, cada individuo de la muestra se describe de acuerdo a una única característica Sin embargo, en muchos procesos de la vida se hace necesario estudiar simultáneamente varias características Cuando para cada individuo se analizan dos características al mismo tiempo, se habla de estadística bidimensional, o estadística de dos variables Por ejemplo, pulso y temperatura de los enfermos en un hospital, el peso y la altura de un mismo individuo, producción y venta de una fábrica, etc El objetivo de este tema es mostrar algunos resultados sobre el estudio de la relación entre dos características dadas en el mismo problema y cómo diagnosticar posibles valores esperados Vamos a denotar por (X, Y ) la variable bidimensional a analizar, donde las variables X e Y son las variables unidimensionales correspondientes a la primera y segunda característica, respectivamente, medidas para cada individuo Consideramos una muestra de N individuos, que clasificamos atendiendo a dos caracteres X e Y, que presentan, respectivamente, las modalidades x 1, x,, x p e y 1, y,, y q Frecuencia absoluta, n ij, es el número de individuos que presenta la modalidad x i de X y la modalidad y j de Y, es decir la frecuencia absoluta del par (x i, y j ) Frecuencia relativa, f ij, del par (x i, y j ) viene definida por f ij = n ij N Ejemplo 1 Distribución de frecuencias absolutas del color de ojos (X) de 100 personas y de sus madres (Y) X\Y Claros Oscuros Claros 8 Oscuros 0 37 Es claro que la suma de las frecuencias absolutas de las dos modalidades es: = 100, que es el número total de personas 1

2 Estadística de dos variables Ejemplo Distribución de frecuencias relativas de asistencia mensual al cine (X) y al teatro (Y) de una muestra de 00 estudiantes universitarios: X\Y No es difícil comprobar que la suma de las frecuencias relativas de todas las modalidades es igual a 1 Ejemplo 3 Distribución de frecuencias relativas del volumen de ventas (X) y el número de trabajadores para un grupo de 100 empresas pequeñas y medianas X\Y /100 7/100 1/ /100 /100 /100 / /100 10/100 8/100 9/100 PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS q n ij = N La suma de las frecuencias absolutas extendida a todos los pares de j=1 modalidades es igual al número de individuos de la población q f ij = 1 j=1 La suma de las frecuencias relativas extendida a todos los pares de modalidades es igual a uno Tablas estadísticas de doble entrada La tabla que describe los individuos, atendiendo a sus dos caracteres, es una tabla de doble entrada En la primera columna se colocan las modalidades x 1, x,, x p de X y en la primera fila las modalidades y 1, y,, y q de Y La intersección de la fila donde se encuentra x i con la columna donde se encuentra y j corresponde a la frecuencia absoluta n ij (ver la Tabla 1) El número de veces que aparece la modalidad x i de la variable X, con independencia de la variable Y, es la frecuencia absoluta marginal de X, n i, que es igual al la suma de las frecuencias que aparecen en la i-ésima fila de la Tabla 1: n i = q n ij = n i1 + n i + + n ij + + n iq j=1 Análogamente se define frecuencia absoluta marginal de Y, n j Para cada j, los valores de n j se obtienen de sumar las frecuencias absolutas de cada una de las columnas de la tabla y se sitúan en una fila marginal en la parte inferior de la tabla (véase la Tabla 1) n j = n ij = n 1j + n j + + n ij + + n pj Dpto EDAN - Univ de Sevilla

3 Estadística de dos variables 3 Tabla 1 Tabla de doble entrada de frecuencias absolutas X \ Y y 1 y j y q Total (X) q x 1 n 11 n 1j n 1q n 1 = q x i n i1 n ij n iq n i = x p n p1 n pj n pq n p = Total (Y) n 1 = n i1 n j = n ij n q = n iq j=1 j=1 q j=1 N n 1j n ij n pj Ejemplo Completamos la tabla del Ejemplo 1 que describe el color de ojos (X) de 100 personas y de sus madres (Y), con las frecuencias marginales: X\Y Claros Oscuros Total (X) Claros 8 8+=3 Oscuros =7 Total (Y) 8+0=8 +37= 100 Se observa que las distribuciones marginales son distribuciones estadísticas unidimensionales Para estas distribuciones marginales pueden obtenerse las medias, varianzas y desviaciones típicas marginales de X e Y Ejemplo Estudiamos el número de toneladas de sandías y de melones producidos en 0 granjas Sean X el número de toneladas de sandias e Y el número de toneladas de melones La tabla de doble entrada es la que sigue: X\Y Total Total En la tabla de doble entrada se puede calcular, por ejemplo, la media y la varianza marginales: (1) x = 1 N s X = 1 N x i n i = = 1 x i n i x = Dpto EDAN - Univ de Sevilla

4 Estadística de dos variables La mayoría de las medidas características estudiadas en el caso unidimensional pueden extenderse al caso bidimensional Se pueden definir las medias, varianzas y desviaciones típicas de X e Y, pero en la práctica vamos a simplificar los cálculos pues toda tabla de doble entrada se puede escribir como una tabla simple Veámoslo con la tabla del Ejemplo Ejemplo Consideramos la tabla del Ejemplo Se observa que los elementos de la tabla y sus frecuencias absolutas son: (x 1, y 1 ) = (0, 0) con n 11 =, (x 1, y ) = (0, 1) con n 1 = 0, (x 1, y 3 ) = (0, ) con n 13 =, (x 1, y ) = (0, 3) con n 1 = 3, etc Podemos reorganizar la tabla de doble entrada en una tabla simple (donde ignoramos los pares (x i, y j ) con las frecuencias absolutas n ij = 0): x i y i n i En lo que sigue del tema, vamos a considerar muestras de N observaciones del tipo (x 1, y 1 ), (x, y ),, (x K, y K ) con frecuencias absolutas n 1, n,, n K de una variable bidimensional (X, Y ) 3 Representación gráfica La forma más usual de representar gráficamente distribuciones bidimensionales es el diagrama de dispersión o nube de puntos Consiste en representar en un eje de coordenadas los pares de observaciones (x i, y i ), situando en el eje de abscisas los valores de la variable X y en el eje de ordenadas los valores de la variable Y La nube de puntos así dibujada refleja la posible relación entre las variables A mayor relación entre las variables más estrecha y alargada será la nube Ejemplo 7 Con frecuencia se obtienen datos bidimensionales cuando se usan dos técnicas distintas para medir la misma cantidad Por ejemplo, la concentración de hidrógeno determinada con un método de cromatografía de gases (X), y la concentración determinada con un nuevo método de sensor (Y) viene dada en la tabla siguiente: X Y El diagrama de dispersión correspondiente a los datos de esta tabla se presenta en la figura de la derecha Y=Concentración de hidrógeno (método de sensor) Diagrama de dispersión X=Concentración de hidrógeno (método de cromatografiía de gases) Dpto EDAN - Univ de Sevilla

5 Estadística de dos variables Covarianza Se trata de un indicador del grado de relación entre las variables X e Y Covarianza Sea (X, Y ) una variable bidimesional que toma valores (x 1, y 1 ), (x, y ),, (x K, y K ) con frecuencias absolutas n 1, n, n K Se llama covarianza a la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada variable respecto a su media aritmética, se denota por s XY : s XY = 1 N K (x i x)(y i y)n i = 1 N K x i y i n i x y () Curvas de regresión En el estudio de variables bidimensionales tiene mucho interés buscar posibles relaciones entre las variables Por ejemplo, si X representa las mediciones del peso e Y la altura de un número determinado de personas, interesa saber la dependencia que existe entre ambas mediciones En el lenguaje matemático, se trata de encontrar una función que se «ajuste» lo más posible a una nube de puntos con el objetivo de describir y explicar el fenómeno que representa En otras palabras, dada una nube de puntos (x 1, y 1 ), (x, y ),, (x N, y N ), buscamos una función y = f(x) cuya gráfica se adapta lo más posible a dichos puntos, de manera que conocido el valor de una de las variables podamos obtener un valor (en general) aproximado de la otra mediante esta curva Este procedimiento se conoce como ajuste de datos o regresión 1 Dependiendo del tipo de la función que se busca, existen distintos tipos de ajuste: ajuste por polinomios (véase el Ejemplo 8), exponencial, logarítmico, etc Ejemplo 8 Se considera la siguiente tabla de datos: X Y En la figura se muestran distintos tipos de ajustes por funciones polinómicas: por una recta (n = 1), una parábola (n = 3), un polinomio de grado 3 (n = 3) y un polinómio de grado (n = ), este último es el polinomio de interpolación que pasa exactamente por los datos de la tabla n = n = n = n = El término «regresión», que hoy usamos con un sentido de «relación» entre variables, tiene su origen en un estudio que publicó Francis Galton en 188, en que, analizando la estatura media de los padres y la estatura media de los hijos, llegó a la conclusión de que hay una tendencia a aproximarse (regresar) a la estatura media de la población Dpto EDAN - Univ de Sevilla

6 Estadística de dos variables 1 Recta de regresión La más sencilla de las relaciones entre las variable X e Y es la dependencia lineal donde se supone que la relación entre dos variables X e Y viene dada por la ecuación y = mx + b El caso particular de ajuste por polinomios cuando el grado del polinomio es 1 se conoce como la recta de regresión En otras palabras, la recta de regresión es la recta que más se aproxima a los puntos representativos de las observaciones (X, Y ) Los coeficientes m y b de la recta se calculan de modo que sean mínimas las distancias, en cierto sentido, de la recta a la nube de puntos Según se consideren las distancias en vertical (como en la figura de la derecha) o en horizontal, se obtienen, respectivamente, las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y Recta de regresión de Y sobre X y = y + s XY s X (x x) (3) Recta de regresión de X sobre Y x = x + s XY s Y (y y) () Ejemplo 9 Las calificaciones en Matemáticas (X) y Química (Y ) de alumnos de Farmacia son: X Y 3 7 Mediante la recta de regresión de Y sobre X, queremos determinar la nota que tendrá un alumno en Química que tiene un 8 en Matemáticas Usando la ecuación (3), sabemos que la recta de regresión de Y sobre X viene dada por: y = y + s XY s (x x) X Como las frecuencias absolutas de todas las variables son iguales a 1, calculamos las medias, varianzas y covarianza: x = 1 x i = 7, y = 1 y i = s X = 1 (x i x) = 093, s XY = 1 x i y i x y = 03 Sustituyendo los coeficientes encontrados obtenemos 8 la siguiente ecuación de la recta de regresión: y = + 03 (x 7) y = 07x Dicha recta representa una relación lineal entre los datos X e Y Usando la ecuación de la recta, podemos determinar la nota «más esperada» en Química para un alumno con un 8 en Matemáticas: y = = 7 Calificaciones de Química Calificaciones de Matemáticas Dpto EDAN - Univ de Sevilla

7 Estadística de dos variables 7 Correlación lineal La correlación es la teoría que analiza el grado de intensidad de la relación entre las dos variables Por ejemplo, la recta de regresión ajustada a una nube de puntos trata de promediar o representar matemáticamente los valores observados empíricamente Es claro que este procedimiento debe ir acompañado de un coeficiente que mida su grado de representatividad, es decir valore hasta qué punto es bueno dicho ajuste Coeficiente de correlación lineal de Pearson es el cociente entre la covarianza y el producto de desviaciones típicas r = s XY s X s Y () Coeficiente de correlación lineal de Pearson proporciona una medida del grado de aproximación de la recta de regresión a la nube de puntos PROPIEDADES DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN 1 r 1 r toma valores entre 1 y 1 1 < r < 0 Se dice que la correlación es negativa, es decir la curva de regresión es decreciente Cuanto más se acerca r a 1 mejor se ajusta la recta de regresión a los datos (se dice que hay mayor intensidad de correlación) 0 < r < 1 Se dice que la correlación es positiva, es decir la curva de regresión es creciente Cuanto más se acerca r a 1 mejor se ajusta la recta de regresión a los datos (se dice que hay mayor intensidad de correlación) r = ±1 Se dice que la correlación es perfecta o del tipo funcional, es decir la nube de puntos está situada, toda ella, sobre la recta de regresión, con pendiente positiva para r = 1 (curva recta) y pendiente negativa r = 1 (recta decreciente) r = 0 No existe dependencia lineal entre las variable, pudiendo darse una dependencia no lineal, o bien puede ocurrir que las variables sena independientes Ejemplo 10 Consideramos la recta de regresión que ajusta los datos del Ejemplo 9 Vamos a calcular el coeficiente de correlación lineal: Sabemos que s XY = 03, s X = 1 Luego, s Y = 1 r = s XY s X s Y (x i x) = 093, s X = 093 = 09 y calculamos (y i y) = 1 s Y = 1 = 109 r = = 0017 Se trata de una correlación positiva y r está alejado de 1, por tanto la perdición realizada no es muy fiable Dpto EDAN - Univ de Sevilla

8 Estadística de dos variables 8 3 Otras curvas de regresión En muchas ocasiones hace falta usar funciones distintas a las polinómicas para ajustar datos Desde el punto de vista teórico se puede utilizar cualquier función para modelar datos dentro de un rango establecido Las que se utilizan habitualmente son: potencia (y = bx m ), exponencial (y = be mx ), logarítmica (y = m ln(x) + b) e inversa (y = 1/(mx + b)) Para calcular dichas curvas, la idea es transformarlas en una recta, respetando la forma y = mx + b Ejemplo 11 El ingreso de ventas, en billones de dólares, de una determinada marca de ordenadores viene dada por la siguiente tabla, donde x representa años medidos desde el año 000: x 0 7 y 3 11 Obtener la curva exponencial de regresión que mejor se ajuste a los datos anteriores Solución: Buscamos la función exponencial de la forma y = be mx Tomando logaritmos, obtenemos: ln(y) = m x + ln(b), es decir en la función exponencial hay una relación lineal entre ln(y) y x Ajustamos por una recta los datos x y z = ln(y): Calculamos la recta de regresión: x 0 7 z = ln(y) x = 1 x i = 3, z = 1 s X = 1 (x i x) = 87, s XZ = 1 Sustituyendo los coeficientes encontrados en la ecuación (3) de la recta de regresión: 30 z i = 0 x i z i x z = 1 datos a ajustar ajuste por funcion exponencial z = 0+ 1 (x 3) = 0+030(x 3) 87 z = 030x Es decir, hemos encontrado m = 030 y log(b) = 0987, de donde b = e 0987 = 770 Por tanto, la función de ajuste exponencial es de la forma: 0 10 y = b e mx = 770 e 030 x Dpto EDAN - Univ de Sevilla

9 Índice de Tema Estadística de dos variables 1 1 Introducción 1 Tablas estadísticas de doble entrada 3 Representación gráfica Covarianza Curvas de regresión 1 Recta de regresión Correlación lineal 7 3 Otras curvas de regresión 8 9