Tema 3. Relación entre dos variables cuantitativas

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1 Tema 3. Relación entre dos variables cuantitativas Resumen del tema 3.1. Diagrama de dispersión Cuando sobre cada individuo de una población se observan simultáneamente dos características cuantitativas X e Y, se dice que se está observando una variable estadística bidimensional, que se representa por (X, Y ). La representación gráfica más usual es el diagrama de dispersión o nube de puntos, que consiste en situar en un sistema de ejes coordenados los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal los valores de una de las variables y en el eje vertical los valores de la otra Coeficiente de correlación lineal Covarianza entre X e Y : s xy = n (x i x)(y i y) i=1 n = n x i y i i=1 n x y. De la fórmula anterior se deduce que la unidad de medida de s xy es el producto de la unidad de X por la unidad de Y. Coeficiente de correlación lineal de Pearson entre X e Y : r xy = s xy s x s y. De la fórmula anterior se deduce que r xy no tiene unidad de medida. Propiedad del coeficiente de correlación lineal: el resultado de r xy siempre está comprendido entre 1 y 1; es decir, 1 r xy 1. Interpretación descriptiva del coeficiente de correlación lineal: Si r xy > 0, existe relación lineal directa entre X e Y ; es decir, al aumentar la variable X, aumenta la variable Y. Si r xy < 0, existe relación lineal inversa entre X e Y ; es decir, al aumentar la variable X, disminuye la variable Y.

2 Dra. Josefa Marín Fernández. Grado en Información y Documentación. Estadística. Tema 3 2 Si r xy = 1, existe dependencia lineal directa exacta entre X e Y ; es decir, los puntos del diagrama de dispersión están situados sobre una línea recta de pendiente positiva. Si r xy = 1, existe dependencia lineal inversa exacta entre X e Y ; es decir, los puntos del diagrama de dispersión están situados sobre una línea recta de pendiente negativa. Si r xy = 0, no existe dependencia lineal entre X e Y. Cuanto más se aproxime r xy a 1 o a 1, más dependencia lineal existe entre X e Y. Y cuanto más se aproxime r xy a 0, más independencia lineal existe entre X e Y Recta de regresión Recta de regresión de Y sobre X: aquella que permite predecir los resultados de la variable Y a partir de los valores de la variable X. Ecuación de la recta de regresión (mínimo cuadrática) de Y sobre X: donde: Ŷ = A + B X, B = s xy s 2 x = r xy s y s x, A = y B x. Recta de regresión de X sobre Y : aquella que permite predecir los resultados de la variable X a partir de los valores de la variable Y. Ecuación de la recta de regresión (mínimo cuadrática) de X sobre Y : donde: ˆX = A + B Y, B = s xy s 2 y = r xy s x s y, A = x B y.

3 Dra. Josefa Marín Fernández. Grado en Información y Documentación. Estadística. Tema 3 3 Ejemplos que se van a resolver en clase Ejemplo 3.1. La tabla siguiente muestra la vejez (años desde su publicación) y la frecuencia de uso (número de veces que se consulta en un año) de ocho libros: Dibujar el diagrama de dispersión. Tabla 3.1 Vejez del libro Frecuencia de uso Ejemplo 3.2. Con los datos de la Tabla 3.1 calcular el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables. Cómo se puede calificar el grado de relación lineal: muy fuerte, fuerte, moderado, débil o muy débil? La relación es directa o inversa? Razonar las respuestas. Ejemplo 3.3. Con los datos de la Tabla 3.1 determinar la ecuación de la recta de regresión de la frecuencia de uso sobre la vejez del libro. Sobre el mismo gráfico en el que se ha hecho el diagrama de dispersión, representar gráficamente la recta de regresión. Estimar el número anual de veces que se prestaría un libro publicado hace 6 años. Es fiable esta estimación? Justificar la respuesta. Ejemplo 3.4. Con los datos de la Tabla 3.1 determinar la ecuación de la recta de regresión de la vejez del libro sobre la frecuencia de uso. Predecir la vejez de un libro que no fuese consultado ninguna vez durante todo el año. Es fiable esta predicción? Por qué?

4 Dra. Josefa Marín Fernández. Grado en Información y Documentación. Estadística. Tema 3 4 Problemas propuestos Problema 3.1. El número de libros prestados a los estudiantes y a los profesores de los diferentes departamentos de una universidad en un curso académico determinado ha sido: a) Dibujar el diagrama de dispersión. Departamento Estudiantes Profesores Agricultura Antropología Biología Botánica Cristalografía Física Geología Informática Ingeniería Matemáticas Mineralogía Psicología Química Zoología b) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables. Cómo se puede calificar el grado de relación lineal entre ambas variables: muy fuerte, fuerte, moderado, débil o muy débil? Razonar la respuesta. c) Determinar la ecuación de la recta de regresión del número de libros prestados a los estudiantes sobre el número de libros prestados a los profesores. Estimar el número de libros prestados a los estudiantes que puede esperarse cuando el número de libros prestados a los profesores sea de 400. Es fiable esta estimación? Justificar la respuesta. Problema 3.2. El tamaño de la población y el número de libros prestados por las bibliotecas de once ciudades fue: Población N o de préstamos a) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables. Cómo se puede calificar el grado de relación lineal entre ambas variables: muy fuerte, fuerte, moderado, débil o muy débil? Razonar la respuesta. b) Pronosticar el número de libros prestados por las bibliotecas de una ciudad de un millón de habitantes. Decir si es fiable este pronóstico, razonando la respuesta. Problema 3.3. Los siguientes datos se refieren al número de libros y de revistas que reciben mensualmente doce bibliotecas elegidas al azar.

5 Dra. Josefa Marín Fernández. Grado en Información y Documentación. Estadística. Tema 3 5 libros revistas a) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables. Cómo se puede calificar el grado de relación lineal entre ambas variables: muy fuerte, fuerte, moderado, débil o muy débil? Razonar la respuesta. b) Estimar el número de revistas que recibiría una biblioteca en un mes en el que le enviaran libros. Es fiable esta estimación? Justificar la respuesta.

6 Dra. Josefa Marín Fernández. Grado en Información y Documentación. Estadística. Tema 3 6 Soluciones de los problemas propuestos Solución del problema 3.1. Sea X =número de libros prestados a los estudiantes de cada departamento de la determinada universidad, durante el determinado curso académico e Y =número de libros prestados a los profesores de cada departamento de la determinada universidad, durante el determinado curso académico. (a) El diagrama de dispersión o nube de puntos consiste en situar en un sistema de ejes coordenados los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal los valores de una de las variables y en el eje vertical los valores de la otra. (b) El coeficiente de correlación lineal entre X e Y es r xy = Como este coeficiente está bastante próximo a 1, la relación lineal entre ambas variables se puede calificar de fuerte. (c) La recta de regresión del número de libros prestados a los estudiantes sobre el número de libros prestados a los profesores es la recta de regresión de X sobre Y, cuya ecuación es: X = Y El número de libros prestados a los estudiantes que puede esperarse cuando el número de libros prestados a los profesores sea de 400 es: X = = ; es decir, 929 libros, aproximadamente. Esta estimación es bastante fiable ya que el coeficiente de correlación lineal está bastante próximo a 1 y, por tanto, los puntos de la recta de regresión y los puntos del diagrama de dispersión están bastante próximos. Solución del problema 3.2. Sea X =número de habitantes de cada ciudad, multiplicado por e Y =número de libros prestados por la biblioteca de cada ciudad, multiplicado por (a) El coeficiente de correlación lineal entre X e Y es r xy = Como este coeficiente está próximo a cero, la relación lineal entre ambas variables se puede calificar de débil. (b) Para hacer este pronóstico hay que determinar la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X, que es: Ŷ = X. El pronóstico del número de libros prestados por las bibliotecas de una ciudad de un millón de habitantes es: Ŷ = = multiplicado por = libros; es decir, aproximadamente libros. Este pronóstico es poco fiable ya que el valor del coeficiente de correlación lineal entre X e Y está próximo a cero y, por tanto, los puntos de la recta de regresión y los puntos del diagrama de dispersión están bastante alejados. Solución del problema 3.3. Sea X =número de libros recibidos mensualmente por cada biblioteca e Y =número de revistas recibidas mensualmente por cada biblioteca. (a) El coeficiente de correlación lineal entre X e Y es r xy = Como este coeficiente está bastante próximo a 1, la relación lineal entre ambas variables se puede calificar de fuerte. (b) Para hacer esta estimación hay que determinar la recta de regresión de Y sobre X, que es: Ŷ = X. La estimación del número de revistas que recibiría una biblioteca en un mes en el que le enviaran libros es: Ŷ = = ; es decir, 97 libros, aproximadamente. Esta predicción es bastante fiable ya que el valor del coeficiente de correlación lineal entre X e Y está bastante próximo a 1 y, por tanto, los puntos de la recta de regresión y los puntos del diagrama de dispersión están bastante próximos.