3. RELACION ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS.

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Miguel Rivas Redondo
hace 6 años
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1 3. RELACION ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS Introducción En la búsqueda de mejoras o en la solución de problemas es necesario, frecuentemente, investigar la relación entre variables. Para lo cual existen varias herramientas estadísticas, entre los que se encuentran el diagrama de dispersión, el análisis de correlación y el análisis de regresión. En este capitulo veremos el análisis de regresión el cual tiene como objetivo modelar matemáticamente el comportamiento de una variable en función de otra variable. Por ejemplo, supongamos que el rendimiento de un proceso químico está relacionado con la temperatura de operación. Si mediante un modelo matemático se puede describir tal relación, entonces este modelo puede ser usado para propósitos de predicción, optimización o control. El análisis de regresión puede usarse para explicar la relación de una variable con otra. Para ello, son necesarios los datos, y estos pueden obtenerse de experimentos planeados, de observaciones de fenómenos no controlados o de registros históricos. 3.2 Diagrama de dispersión. Un diagrama de dispersión es un tipo de diagrama matemático que se utiliza para mostrar la relación entre dos variables. Sea, el conjunto de n puntos que representan las mediciones de un fenómeno o que son el derivado de una investigación. Dichos puntos son graficados en una grafica tipo x-y, a la cual se le conoce como diagrama de dispersión (ver figura 3.1). En el diagrama de dispersión al conjunto de puntos es posible trazar una línea que pase cerca de la mayoría de los puntos, a dicha línea se le conoce como recta de regresión. 29

las desviaciones estándar de ambas variables.

2 Figura 3.1 Diagrama de dispersión. 3.3 Coeficiente de correlación. El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones estándar de ambas variables. La covarianza de las variables X e Y, se define matemáticamente como, ( )( ) La desviación estándar de la variable X matemáticamente se define como, ( ) 30

3 La desviación estándar de la variable Y matemáticamente se define como, ( ) El coeficiente de correlación lineal se expresa letra r y matemáticamente es, mediante la Propiedades del coeficiente de correlación 1. El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de medición. Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el coeficiente de correlación no varía. 2. El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza. Si la covarianza es positiva, la correlación es directa. Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa. Si la covarianza es nula, no existe correlación. 3. El coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido entre 1 y 1. 1 r 1 4. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 la correlación es fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime a 1. 31

4 5. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 la correlación es fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime a Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 0, la correlación es débil o nula. 7. Si r = 1 ó 1, los puntos de la nube están sobre la recta creciente o decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional. Tipos de Correlación 1. Correlación directa En la figura 3.2. Existe tendencia lineal de las variables, la nube de puntos de la distribución es una recta creciente, donde las dos variables se encuentran relacionadas de manera positiva. Figura 3.2 Correlación positiva. 2. Correlación inversa En la figura 3.3. Existe una tendencia negativa, ya que la nube de puntos de la distribución se encuentran en sentido opuesto, por lo cual se argumenta en éste caso que las dos variables están negativamente relacionadas. 32

5 Y Figura 3.3 Correlación negativa. 3. Correlación nula Figura 3.4. No existe tendencia hacia arriba ni hacia abajo, por lo que, en este caso se dice que las variables son no relacionadas y la nube de puntos tiene una forma redondeada. Figura 3.4 Correlación nula. 4. Correlación no lineal Figura 3.5. Existe relación entre las variables, pero no lineal, por lo que, en este caso se dice que las variables están relacionadas de forma cuadrática. X (d) Relación paraboólica Figura 3.5 Relación parabólica. 33

6 Grado de correlación El grado de correlación indica la proximidad que hay entre los puntos de la nube de puntos. Se pueden dar tres tipos: 1. Correlación fuerte En la figura 3.6, existe una tendencia fuertemente positiva ya que los puntos dibujados forman una línea casi recta, por cual se argumenta en éste caso que las dos variables están positiva y fuertemente relacionadas. Figura 3.6 Correlación fuerte. 2. Correlación débil En la figura 3.7. Existe una tendencia de correlación, la cual será débil, cuanto más separados estén los puntos de la recta. Figura 3.7 Correlación débil. 34

7 3.4 Recta de regresión. En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente, las variables independientes y un término aleatorio. Este modelo puede ser expresado como: Donde: : Es la variable dependiente. : Variable explicativa o independiente. : Error aleatorio. : Ordenada al origen, es decir, punto donde intersecta la recta a : Pendiente de la recta. La estimación de la recta de regresión es estimada por el el método de mínimos cuadrados. Métodos de mínimos cuadrados. El procedimiento mas utilizado para ajustar una línea recta a un conjunto de datos en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados. Para encontrar la línea de regresión se requiere conocer las características de la recta, como son, su pendiente y su ordenada al origen, de la cual necesitamos estimar los valores de y de la siguiente ecuación: Las ecuaciones para los estimadores y son: ( )( ) ( ) 35

8 Ejemplo 3.1. En un laboratorio se investiga la relación entre la cantidad de asistentes al restaurante y el número de quejas del servicio (tabla 3.1). Calcule la ecuación de la recta estimada para los datos que se muestran en la siguiente tabla: Para estimar valor de valores calculados de la tabla 3.1, se tiene que,, se usa la ecuación 3.8 y tomando en cuenta los ( )( ) ( ) 36

9 Y El promedio de los valores de Y es, El promedio de los valores de X es, Usando la ecuacion 3.7, se estima el valor de, como se ilustra a continuación Por lo que el modelo de regresión lineal ajustado es: Y su gráfico lo podemos ver en la figura 3.8 El valor de la covarianza de, es El valor de la desviación estándar de la variable, es El valor de la desviación estándar de, es El valor de la correlación de, es Gráfico del Modelo Ajustado Y = *X X Figura 3.8 Gráfico y modelo de regresión lineal 37

10 Ejercicios de la unidad 3 Problema 1.- En una fábrica de pintura se desea investigar la relación entre la velocidad de agitación X y el porcentaje de impurezas en la pintura Y. Mediante un diseño experimental se obtienen los siguientes datos. Velocidad Impurezas Problema 2.-La resistencia a la tensión de un producto de papel está relacionada con la cantidad de fibra (madera dura) en la pulpa. En una planta piloto se producen las diez muestras que aparecen en la siguiente tabla. Usando estos datos ajusta un modelo de regresión lineal simple expresando la resistencia como función de la concentración de madera dura. Resistencia % de fibra a) Prueba el modelo con un nivel de significación del 5%. b) Cuál es el coeficiente de correlación? c) Determina los valores esperados de Y para todas las observaciones de X y construye los intervalos de confianza del 95% para todos los valores de Y. Problema 3.- Se desea investigar la relación entre el peso de un individuo y su presión sanguínea sistólica. Para ello se seleccionan aleatoriamente 26 hombres cuyas edades fluctúan entre 25 y 30 años. 38

11 (a) Mediante un diagrama de dispersión describa la relación entre ambas variables. Qué tipo de relación observa? X Y X Y (b) Obtenga el coeficiente de correlación e interprételo (c) Obtenga la mejor recta que modela la relación peso - presión sanguínea (d) Si un hombre de entre 25 y 30 años de edad pesa 150 libras, según el modelo, cuál sería su peso medio? La estimación es confiable? Argumente (e) El modelo obtenido sería útil para estimar la presión sanguínea de otro tipo de individuos, por ejemplo, mujeres, niños, ancianos, etc.? 39

12 Problema 4.- En una empresa es usual pagar horas extras, ya sea a los obreros o a los empleados, para cumplir con los plazos de entrega. Un grupo de mejora de la calidad analiza la relación semanal entre la cantidad de horas extras pagadas y el porcentaje de artículos defectuosos. Los datos de las últimas 22 semanas se muestran a continuación. HORAS PAGADAS % DEFECTUOSOS a) Analice estos datos mediante un diagrama de dispersión. b) Qué tipo de relación observa? c) Obtenga el coeficiente de correlación e interprételo. d) Encuentre el modelo de regresión 40

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