5 Relaciones entre variables.

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1 ANÁLISIS EPLORATORIO DE DATOS 39 ANÁLISIS EPLORATORIO DE DATOS 40 Relaciones entre variables..1 Ejercicios. Ejercicio.1 En una muestra de 0 individuos se recogen datos sobre dos medidas antropométricas e. Los resultados que se obtienen son x 14, y 0, s x 2, s y 2, s xy 4. Obtener el modelo de regresión lineal que mejor aproxima en función de. Utilizando este modelo calcular de modo aproximado la cantidad esperada cuando 1. Respuesta: Buscamos la recta Ŷ a + b que mejor aproxima los valores de,según el criterio de los mínimos cuadrados, en la nube de puntos que resulta de representar en un plano (, ) las 0 observaciones. Los coeficientes de esta recta son: b s xy s 2 4 x , a y b x 0 (11.2)(14) 7.. Así, el modelo lineal es: Ŷ Por tanto, si x 1,elmodelolineal predice un valor de de ŷ (1) En este punto hay que preguntarse cómo de fiable es esta predicción. Para dar una respuesta necesitamos estudiar las propiedades de la regresión lineal. Ejercicio.2 De una muestra de observaciones conjuntas de valores de dos variables e se obtiene la siguiente información: xi 24, xi y i 64, yi 40, s 2 y 12, s 2 x 6. a) Obtener la recta de regresión de sobre. Explicar el significado de los parámetros. b) Calcular el coeficiente de determinación. Comentar el resultado e indicar el porcentaje de variación de que no está explicado por el modelo de regresión lineal. c) Si el modelo es adecuado, cuál es la predicción para un valor de x 4? d) Obtener la recta de regresión de sobre. Respuestas: a) Buscamos la recta Ŷ a + b: xy x y 64/ (24/)(40/) 6 a y b x 4 ( 1.7) , el parámetro b es el pendiente de la recta de regresión y mide la variación de cuando aumenta una unidad. Puesto que b<0 esto significa que a medida que aumenta la variable tiende a disminuir, es decir, existe una relación inversa entre e. El parámetro a es el valor de la ordenada en el origen, es decir, el punto en que la recta cruza el eje vertical. La recta de regresión es Ŷ b) Puesto que se trata de un modelo lineal, el coeficiente de determinación coincide con el coeficiente de correlación lineal de Pearson al cuadrado: ( ) 2 ( ) 2 R 2 r 2 s 7 0.6, s s 6 12 esto significa que el modelo de regresión lineal explica el 6% de la variabilidad de en función de la de. Por tanto, queda un 32% de variabilidad no explicada. c) La predicción que realiza este modelo es ŷ. 1.7(4) 3.3, que hay que considerar con ciertas reservas, puesto que el modelo explica solamente un 6% de la variabilidad total. d) Buscamos la recta ˆ ã + b: b s s , ã x b y 24 ( 0.3)40.91, portanto,elmodeloes ˆ Observemos que los valores que se obtienen para la pendiente de la recta y para el término independiente no coinciden en absoluto con los que se obtendrían despejando de la ecuación Ŷ. 1.7, queserían Ŷ y resulta del todo incorrecto utilizar esta última ecuación para predecir en función de. Ejercicio.3 La tabla siguiente contiene la edad ylamáximadelapresión sanguínea de un grupo de mujeres: Edad Presión a) Calculad el coeficiente de correlación lineal entre las variables y decid qué indica. b) Determinad la recta de regresión de sobre, justificando la adecuación de un modelo lineal. Interpretad los coeficientes. c) Valorad la bondad del modelo. d) Haced las predicciones siguientes, sólo cuando creáis que tengan sentido: d.1) Presión sanguínea de una mujer de 1 años. d.2) Presión sanguínea de una niña de años. d.3) Presión sanguínea de una hombre de 4 años. Respuestas: Construimos la tabla auxiliar para realizar los cálculos de los apartados a) yb): y i x 2 i yi 2 y i

2 ANÁLISIS EPLORATORIO DE DATOS 41 ANÁLISIS EPLORATORIO DE DATOS 42 Las medias son: x 00 las varianzas y covarianza son: 0, y , x 2 x , s 2 y 2 y , s xy x y y el coeficiente de correlación lineal es r s , s x s que indica una dependencia lineal moderada y directa entre e. Cuanto mayor es mayor tiende a ser. La recta de regresión de sobre es Ŷ a + b, cuyos coeficientes son: s , a y b x El coeficiente a es la intersección con el eje de ordenadas, mientras que b es la pendiente de la recta de regresión. c) El ajuste del modelo se mide mediante el coeficiente de determinación R 2, que en el caso del modelo lineal coincide con r 2. Entonces, R , queindicaque un 79% de la variabilidad de viene explicada por el modelo de la recta de regresión, mientras que queda sin explicar un 21% de la variabilidad. d) Sólo tiene sentido realizar la predicción del apartado (d1). Para un valor de x 1el modelo predice un valor de y Ejercicio.4 Se ha llevado a cabo un ajuste lineal a una nube de puntos formada por observaciones de dos variables e y se ha obtenido un coeficiente de determinación de Discutid si las siguientes afirmaciones son ciertas y por qué: a) El coeficiente de correlación lineal entre e valdrá b) La covarianza entre e puede ser negativa. c) Las variables e son casi independientes. d) El coeficiente de determinación entre e valdrá e) El coeficiente de determinación entre y valdrá f) Sólo el 3% de la variabilidad total de queda sin explicar en el modelo. Respuestas: a) Falso, r ± R 2 ± 0.03 ± b) Cierto. c) Falso, pues la relación entre e puede ser no lineal. d) Falso, R 2 nunca puede ser negativo. En este caso R e) Cierto. f) Falso, el modelo sólo explica un 3% de la variablidad de, por tanto, queda por explicar un 97%. Ejercicio. Dada la siguiente distribución bidimensional encontrar el modelo de regresión (lineal o parabólico) que mejor se ajuste a la nube de puntos y i Respuesta: Si realizamos un gráfico de dispersión, a primera vista puede apreciarse que el modelo lineal va a tener un peor ajuste que el modelo parabólico (véase la figura 1). Figure 1: Gráfico de dispersión con los datos del ejercicio. y i Empezamos ajustando el modelo más sencillo, que es el lineal. Es decir, proponemos el modelo Ŷ a+b,paracuyocálculo utilizaremos las primeras columnas de la siguiente tabla: y i y i x 2 i yi 2 ŷ i e i e 2 i Para el cálculo de a y b necesitamos las medias y covarianza de e ylavarianzade : x , y 17, s xy x y 469 (3.37)(17) 1.2, x 2 x , por tanto, ,

3 ANÁLISIS EPLORATORIO DE DATOS 43 ANÁLISIS EPLORATORIO DE DATOS 44 a y b x 17 (0.36)(3.37) 1.696, de manera que el modelo propuesto es Lacolumna6delatabla anterior contiene los valores ajustados según este modelo, ŷ i, y la columna 7 contiene los residuos e i y i ŷ i (observad que tienen media cero). La forma general de estudiar la bondad de ajuste de un modelo es mediante el coeficiente de determinación R 2 : R 2 1 s2 e s 2, donde s 2 e es la varianza de los residuos y s 2 es la varianza de, que se obtienen utilizando las columnas y de la tabla anterior, respectivamente: s 2 e e 2 e , s 2 y 2 y , de manera que R / Es decir que solamente el 6% de la variabilidad de los datos queda explicada por el modelo. Puesto que se trata de un modelo lineal, el valor de R 2 coincide con el cuadrado del coeficiente de correlación lineal de Pearson, es decir, r 2. Por tanto, en este caso, podríamos habernos ahorrado el cálculo de R 2. r s , s s (3.234)(7.) r Puesto que el modelo lineal tiene muy mal ajuste, proponemos el modelo de regresión parabólico Ŷ a + b+ c2,paracuyocálculo utilizaremos las primeras columnas de la siguiente tabla: y i y i x 2 i y i x 2 i yi 2 x 3 i x 4 i ŷ i e i e 2 i Las fórmulas que nos permiten obtener los parámetros a, b y c son: 2 s 2 s2, 2 s2 2 c s2 s 2 s 2 s s2, 2 s2 2 a y b x c x 2. Vamos a calcular las medias, covarianzas y varianzas que nos faltan: x , s 2 xx 2 x x , s 2 x 2 y x 2 y , 2 x4 x , y substituyendo, obtenemos: b 6.97, c 0.992, a Por tanto, el modelo propuesto es Lacolumna9de la tabla anterior contiene los valores ajustados según este modelo, ŷ i, y la columna contiene los residuos e i y i ŷ i. Para estudiar la bondad de ajuste calculamos el coeficiente de determinación: R 2 1 s2 e s / Este resultado nos dice que el 0% de la variabilidad de los datos está explicada por el modelo de regresión parabólica. Observad que en este caso es del todo incorrecto utilizar r 2 como medida de bondad de ajuste del modelo. Ejercicio.6 Los datos siguientes forman parte de un anuncio publicado por un joyero de Singapur en el periódico Straits Times el 29 de febrero de Estos datos hacen referencia al precio (en dólares de Singapur) de anillos que llevan un diamante. El tamaño de un diamante, que se indica en quilates (1 quilate200 mg). tamaño precio tamaño precio Ajustad un modelo lineal a estos datos y decidid si el ajuste obtenido es bueno. Comprobad si se cumplen para los residuos las suposiciones de independencia y de varianza constante. Respuesta: Entre las dos variables, tamaño y precio, es el tamaño de un diamante el que determina el precio del anillo. Por tanto, escogemos tamaño como variable independiente y precio como variable dependiente. Realizamos un diagrama de dispersión para ver si puede utilizarse la regresión lineal. El gráfico obtenido (véase la figura 2) indica que el modelo lineal es adecuado para representar la relación entre e. Construimos la tabla auxiliar para realizar los cálculos: y i x 2 i yi 2 y i

4 ANÁLISIS EPLORATORIO DE DATOS 4 ANÁLISIS EPLORATORIO DE DATOS 46 Figure 2: Gráfico de dispersión con los datos del ejercicio.6 y i Las medias son: x 2.4 las varianzas y covarianza son: , y , x 2 x , s 2 y 2 y , s xy x y La recta de regresión de sobre es Ŷ a + b, cuyos coeficientes son: s , a y b x , por tanto, el modelo ajustado es El coeficiente de correlación lineal es r s , s x s que indica una dependencia lineal muy fuerte y directa entre e. El valor de R 2 r indica que el ajuste es muy bueno, puesto que el modelo lineal explica el 99.7% de la variabilidad de. Para comprobar las suposiciones de independecia de los residuos y de varianza constante, hay que calcular para cada valor de la variable la predicción ŷ i a + b yel correspondiente residuo e i y i ŷ i. y i ŷ i e i Posteriormente se construye un diagrama de dispersión de los pares (,e i ), i 1,...,. Este diagrama ( véase la figura 3) permite concluir que los residuos no presentan ninguna regularidad evidente y que la amplitud de la dispersión de los residuos es más o menos constante a lo largo del eje. Por tanto, se puede considerar que los residuos en el modelo lineal son independientes y de varianza constante. Figure 3: Gráfico de residuos de los datos del ejercicio.6 e i Ejercicio.7 Las ecuaciones siguientes Ŷ 3 4 3, 1 ˆ 2 1 2, representan las rectas de regresión lineal de una distribución estadística bivariante. Hallad los coeficientes de determinación y de correlación entre las variables e. Respuesta: Si llamamos b a la pendiente de la recta de regresión de sobre y b ala

5 ANÁLISIS EPLORATORIO DE DATOS 47 ANÁLISIS EPLORATORIO DE DATOS 4 pendiente de la recta de regresión de sobre,entonces: b 3 s 1 s 2, b 2 s s 2. Por otro lado, puesto que se trata de un modelo lineal, sabemos que existe la siguiente relación entre el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación lineal: ( ) 2 ( R 2 r 2 s b s s b )( 1 ) Para calcular el coeficiente de correlación lineal hay que tener en cuenta que la pendiente de la recta de regresión es negativa, Por tanto, si la dependencia entre e es directa: b 24, a y bx 24, de manera que el modelo es Ŷ + 24,ylapredicción para x 6es ŷ 12.. Si la dependencia entre e es inversa: b 24, a y bx , de manera que el modelo ahora es Ŷ 32 24,ylapredicción para x 6es ŷ 3.2. r R Ejercicio. Dos distribuciones estadísticas tienen como rectas de regresión de sobre, respectivamente, Ŷ , Ŷ 2+3, Puede asegurarse que la segunda distribución tiene un coeficiente de determinación mayor que la primera? Respuesta: No. El hecho que la pendiente de la segunda recta sea mayor que la de la primera no permite asegurar que R 2 vaya también a ser mayor, puesto que R 2 depende del grado de acercamiento de la recta a la nube de puntos. Ejercicio.9 De una distribución estadística bivariante se conocen x, y, CV 3 CV. Mediante la recta de regresión de sobre, cuál es la predicción del modelo para un valor de x 6, a) en el caso que R 2 0? b) en el caso que R 2 1? Respuesta: a) Consideremos el modelo lineal a + b. En este caso se tiene que R 2 r 2, y por tanto, R 2 0 s 0 b 0. De manera que el modelo queda: Ŷ a, y teniendo en cuenta que a y b x,se tiene que Ŷ, que no depende del valor de la variable. Así, la predicción de este modelo para x 6es y. b) Debemos determinar los coeficentes a y b del modelo lineal. Empezamos buscando b s. Puesto que R 2 1, tenemos que: R 2 1 s2 s 2 1; s ±s s. s2 Apartirdelarelación CV 3CV podemos deducir que: CV 3CV s y Substituyendo esta expresión de s tenemos que: s ± 24 s2 ; 3s x ; s 3s y x 24 s. en la expresión anteriormente encontrada para s s ± 24 b.