1. Mínimos Cuadrados.

Transcripción

1 Departamento de Matemática Aplicada CÁLCULO COMPUTACIONAL. Licenciatura en Química (Curso ) Análisis de Datos Práctica 7 Escribe en la línea de comandos las órdenes necesarias para resolver estas cuestiones. Guárdalas en diferentes ficheros de nombres misajustes.m. 1. Mínimos Cuadrados. El Método de ajuste por Mínimos Cuadrados sirve para encontrar una función y = f(x, α 1,α 2,...,α m ), en la que habrá que calcular los parámetros α 1,α 2,...,α m. Esta función debe ser la que se ajuste lo mejor posible a una tabla de valores que relaciona las dos variables x e y obtenida experimentalmente: x i x 1 x 2... x n y i y 1 y 2... y n Para calcular los parámetros se impone la condición de que sea mínima la función S(α 1,α 2,...,α m )= n [f(x i,α 1,α 2,...,α m ) y i ] 2 i=1 Como S(α 1,α 2,...,α m ) es una función de m variables, una condición necesaria para que tenga un valor extremo en un punto es que sus derivadas parciales en ese punto sean todas nulas. De aquí obtenemos un sistema de m ecuaciones, con m incógnitas: S S S =0, =0,..., =0 α 1 α 2 α m cuyas soluciones, los parámetros α 1,α 2,...,α m nos indican cómo es la función que mejor se ajusta a los datos, es decir, f(x, α 1,α 2,...,α m ). La función f(x, α 1,α 2,...,α m ) puede ser de cualquier tipo, teóricamente, sin embargo, en la práctica, con programas como MATLAB (o Matlab) sólo se pueden calcular (directamente) cuando la función es un polinomio. En otros casos, que veremos en los ejercicios, habrá que modificar ligeramente el problema para que se pueda tratar con el ordenador. Para realizar estos cálculos MATLAB dispone del comando polyfit. Veamos en un ejemplo cómo se puede ajustar una recta con Mínimos Cuadrados: Ejemplo 1 Dada la tabla de valores, x i y i 2,1 4,3 6 7,8 Encontrar la función de la forma y = ax + b que mejor se ajuste a los datos. Como se trata de una función polinómica se puede hacer directamente. Introducimos primero la tabla de valores en dos variables: >>xi=[ ] >>yi=[ ] El comando a utilizar es polyfit(xi,yi,k), donde k es el grado del polinomio que queremos obtener. Por lo tanto para obtener una recta k =1: >>c=polyfit(xi,yi,1) Que nos da como resultado los coeficientes de la recta: c = Es decir, que la recta que hemos encontrado es, y =1,88x +0,35 Para representar la información obtenida gráficamente: Primero dibujamos la tabla de valores, por ejemplo:

2 >>plot(xi,yi, r* ) De esta forma conseguimos que dibuje sólo los puntos, con asteriscos o con cualquier otro formato. Para dibujar la recta, lo hacemos como para dibujar cualquier función. Generamos una tabla, (que llamaremos con un nombre diferente de xi para no borrar la tabla de los datos del problema): >>xp=linspace(1,4,20); Para para calcular los valores de xp en la recta y =1,88x +0,35 podemos utilizar el comando polyval que evalúa el polinomio utilizando los coeficientes, que teníamos en la variable c: >>yp=polyval(c,xp); >>hold on % para mantener el dibujo anterior Y, por último, plot(xp,yp) y=1.88x Figura 4: Tabla y Recta y =1,88x +0,35 El error que se comete al aproximar la función empírica (tabla inicial) por la función teórica (recta) se puede cuantificar de varias formas. Una manera es precisamente calcular la suma de las desviaciones en cada punto de la tabla al cuadrado, es decir, el valor de la función: S(α 1,α 2,...,α m ): Primero calculamos los valores de f(x i,α 1,α 2,...,α m ): >>fxi=polyval(c,xi) fxi = Y ahora sustituimos en la fórmula: >>error=sum((fxi-yi).^2) error = Otra forma consiste en calcular lo que se llama Error Cuadrático Medio, que viene dado por la expresión: ε = 1 n [f(x i,α 1,α 2,...,α m ) y i ] 2 n Para calcularlo: i=1 >>n=length(x) % calcula el n umero de t erminos n = 4

3 >>errorcm=sqrt(sum((fxi-yi).^2)/n) errorcm = Por último, se pueden utilizar los códigos que llevan incorporados los comandos polyfit y polyval para obtener un intervalo de confianza al 95 % en el que se encuentra cada y i.veamosenqué consiste: Primero volvemos a utilizar el comando polyfit, de una forma diferente: >>[c,s]=polyfit(xi,yi,1) c = s = R: [2x2 double] df: 2 normr: s es la estructura con la que se va a calcular el error. Ahora volvemos a utilizar polyval, pero también modificado: >>[fxi,delta]=polyval(c,xi,s) fxi = delta = Hemos obtenido, en cada x i, un intervalo de confianza al 95 %, [fxi-2*delta,fxi+2*delta], dentro del cual se encuentra el valor y i, i. e. ) P ( f(x i ) y i 2δ i =0,95 donde P denota la probabilidad. Si representamos la gráfica siguiente se entenderán de manera gráfica los cálculos que acabamos de realizar. >>hold on >>plot(xi,yi, r* ) >>plot(xi,fxi, b- ) >>plot(xi,fxi+2*delta, g: ) >>plot(xi,fxi-2*delta, g: ) >>hold off Ejercicio 1 Mediante el Método de Mínimos Cuadrados, elegir una función cuadrática del tipo f(x) =ax 2 + bx + c para los valores de x e y dados por la siguiente tabla x i y i 7,4 8,4 9,1 9,4 9,5 9,5 9,4 Calcular la función f(x). El error, el error cuadrático medio y representar la función obtenida junto a los datos de la tabla con una banda alrededor de la gráfica de f(x), dentro de la cual se encuentren los puntos de la tabla a un nivel del 95 %. Ejercicio 2 De ciertas medidas realizadas se han obtenido los siguientes valores: x i 0 0,2 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 y i 1 0,833 0,667 0,54 0,4 0,333 0,286 0,25 0,222 0,2 0,182 0,167 a) Representar la tabla de valores gráficamente. 1 b) Se puede observar que se trata aproximadamente de una función del tipo y =.Estafunción no la ax + b podemos obtener directamente con el comando polyfit. Pero la podemos transformar en, 1 y = ax + b

4 Ahora, haciendo X = x; Y = 1 y.nosquedalaexpresión Y = ax + b Calcular esta función. Habrá que hacer una nueva tabla de valores con las nuevas variables. c) Deshacer el cambio de variable y obtener la función original y representarla con los valores del apartado a). d) Calcular el error y el error cuadrático medio. Ejercicio 3 Hallar por el Método de Mínimos Cuadrados una función del tipo S = At q siguiente tabla. Representarla junto a los datos de la tabla: para los datos de la t i S i 7,1 27,8 62, (Indicación: Tomar logaritmos neperianos en la función para transformarla en una función de tipo lineal). Ejercicio 4 La tabla siguiente contiene la presión p en kp/cm 2 de un vapor saturado, en función del volumen específico, v, medidoenm 3 /kp: v i 3,334 1,63 0,8657 0,4323 0,2646 0,1699 0,1146 p i 0,482 1,034 2,027 4,247 7,164 11,48 17,6 Elegir una función p = f(v) que sea adecuada a la tabla de valores y calcularla con el Método de Mínimos Cuadrados. Representarla después con los valores. Según esta función Cuál sería la presión aproximada que correspondería a un volumen de 3m 3 /kp? 2. Analisis Multivariante. Regresión Se utiliza cuando y es una función de más de una variable independiente, las ecuaciones matriciales que expresan las relaciones entre las variables se deben ajustar a esos datos. Esto se conoce como regresión múltiple. Supongamos que medimos una cantidad y para varios valores de x 1 y x 2. >> xi1 = [ ] ; >> xi2 = [ ] ; >> yi = [ ] ; Un modelo lineal de regresión calcula los coeficientes, y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2, por el método de los mínimos cuadrados. Construye y resuelve el sistema de ecuaciones formando una matrix X y calcula los parámetros con el operador \ del siguiente modo >> X = [ones(size(xi1)) xi1 xi2]; >> a = X\yi >> a = i.e. el modelo de ajuste por mínimos cuadrados es y =0, ,4844x 1 0,2847x 2. Para validar el modelo, calcula el máximo del valor absoluto de las desviaciones de los datos a partir del modelo >> Y = X*a; >> MaxErr = max(abs(y - yi)) >> MaxErr = el error relativo está entre los límites aceptables. Observación: Se ha desarrollado este método con el comando \ de matlab.

5 Ejercicio 5 Repite el ejemplo anterior utilizando el comando pinv. Cuáles son las semejanzas y diferencias entre ambos métodos?. Recuerda lo comentado en la práctica 2. Ejercicio 6 Ajustar los datos siguientes x i y i z i 2,1 1,3 4,2 5,6 a una función lineal del tipo z = ax + by + c.