ESTUDIOS LONGITUDINALES DE MEDIDAS REPETIDAS. MODELOS DE DISEÑO Y DE ANÁLISIS

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1 Avances en Medcón, 5, ESTUDIOS LONGITUDINALES DE MEDIDAS REPETIDAS. MODELOS DE DISEÑO Y DE ANÁLISIS Resumen Jame Arnau Gras ** Unverstat de Barcelona, España Las estructuras de dseño, así como los estudos de nvestgacón, de carácter longtudnal han expermentado a lo largo de las últmas décadas un fuerte ncremento dentro del contexto pscológco y socal. De ahí, la mportanca que adquere el conocer las prncpales estructuras de los estudos longtudnales y las técncas de análss aplcables a los datos obtendos en estos estudos. En este escrto se plantea la revsón de los prncpales procedmentos de análss de datos longtudnales, hacendo hncapé en la clara dstncón entre los procedmentos cláscos, basados en el análss de las varancas, y los procedmentos más actuales basados en los modelos de regresón, como el modelo general mxto. Este últmo procedmento es, en la actualdad, una de las alternatvas de análss de los datos longtudnales, partcularmente cuando es posble ajustar los datos a las dstntas estructuras de matrces de varanca/covaranca. Palabras clave: Dseños de meddas repetdas, estudos longtudnales, análss de datos, modelos de análss unvarantes y multvarantes, modelo general mxto. Abstract The desgn structures, as well as the research studes, wth a longtudnal nature have greatly ncreased n psychologcal and socal contexts durng the last decades. Therefore, t s mportant to learn about the man structures of longtudnal studes and the analyss technques applcable to longtudnal data. In ths artcle, we revew the man procedures of analyss of longtudnal data, nsstng on the dstncton between the classc procedures, based on the analyss of varances, and the current procedures based on regresson models, lke the general mxed model. Ths procedure s, at the moment, one of the alternatves of analyss of longtudnal data, partcularly f t s possble to ft the data to the dfferent structures of varance/covarance matrces. Key words: Repeated measures desgns, longtudnal studes, data analyses, unvarate and multvarate analyses models, general mxed model. Pocas son las temátcas que, desde la perspectva metodológco-estadístca, hayan conctado tanto la atencón de los nvestgadores como los estudos donde están presentes meddas repetdas de las msmas undades de observacón. Esta clase de estudos tene por característca prncpal la observacón, de forma secuencada, de la msma varable dependente, ya sea en funcón de tratamentos dstntos o en funcón del tempo. Consderado el dseño de meddas repetdas desde la perspectva expermental, entonces la msma conducta es observada repetdas veces bajo condcones de tratamento dstntas. Se sgue esta estratega para reducr la varabldad del error, ya que los efectos de los tratamentos se evalúan medante la respuesta meda dada por los sujetos a todos los tratamentos. S el dseño de meddas repetdas es consderado desde la perspectva temporal, entonces lo mportante es estudar las meddas repetdas en térmnos de algún proceso de cambo como, por ejemplo, maduracón, crecmento, aprendzaje, etc. Sobre la relevanca de los dseños de meddas repetdas, Edgngton (1974), con base en un trabajo de tabulacón sobre los métodos estadístcos utlzados en la revstas del APA (Amercan Psychology Assocaton), Este trabajo se ha realzado con la Ayuda a la Investgacón SEJ /PSIC del Plan Naconal de Investgacón Centífca, Desarrollo e Innovacón Tecnológca del Mnstero de Educacón y Cenca de España. ** Dpto. Metodología de las Cencas del Comportamento Facultad de Pscología Unverstat de Barcelona Passeg Vall d Hebrón, Barcelona Tlf: (933) E-mal: jarnau@ub.edu

2 10 Arnau Gras, J. concluye que estos dseños son los más populares en la nvestgacón de la conducta. Cabe destacar, de otra parte, que la técnca de meddas repetdas ha estado fuertemente vnculada a los dseños de carácter longtudnal cuyo auge y aceptacón se produce en las décadas de los setenta y de los ochenta (Nesselroade & Baltes, 1979; Wall & Wllams, 1970). Nótese que la técnca de meddas repetdas ha sdo utlzada tradconalmente en pscología y educacón dentro del contexto expermental. Una de las estructuras más smples es aquella que repte meddas de los msmos sujetos bajo cada condcón de tratamento. En este caso, la varable de meddas repetdas es conocda por varable ntrasujeto. Es tambén frecuente ncorporar un factor de agrupacón en el estudo, de modo que se forman varos grupos cuyos sujetos son expuestos a todos los nveles de la varable ntra. Este enfoque fue orgnalmente utlzado en nvestgacón agrícola con el plan de trabajo splt-plot y posterormente fue ntroducdo en cencas de la conducta. Lndqust (1953) utlzó los dseños splt-plot en nvestgacón educatva y los denomnó dseños mxtos, dado que combnaban los efectos entre sujetos e ntra sujetos. Hay quenes asocan estos dseños a determnados modelos de análss. Así, por ejemplo, algunos teórcos sugeren que cuando una sola varable dependente es observada en múltples ocasones con un grupo de sujetos, los datos son analzados medante el análss de la varanca de bloques aleatorzados y con múltples grupos de sujetos medante el análss factoral splt-plot (Bok, 1981; Krk, 1968; Wner, 1962). Los teórcos que muestran un mayor nterés por los efectos de la nteraccón, se referen a éstos como dseños de grupos por ensayos, nsstendo en las hpótess de los efectos de los ensayos ntrasujetos y la nteraccón de grupos por ensayos (Lx & Keselman, 1996). Hstórcamente, las estructuras de meddas repetdas se formularon en el contexto expermental, de modo que toda dscusón acerca de los modelos de análss tenía referenca a datos expermentales. A tal propósto, Hyunh (1978) señala que un dseño típco de meddas repetdas es aquel donde los sujetos (o undades de muestreo) son elegdos al azar para cada combnacón de los factores entresujetos y son expuestos a todas las combnacones de los factores ntrasujetos. Ahora ben, desde la perspectva específcamente temporal, se observa que a lo largo de la década de los setenta y ochenta ha habdo un amplo uso de estudos longtudnales tanto en cencas socales como pscológcas. Esto es atrbuble a que en los últmos 20 años se ha producdo un notable progreso, tanto del nvel metodológco como computaconal, de todo lo relaconado con lo longtudnal (Cnaan, Lard & Slasor, 1997; Dggle, Lang & Zeger, 1994; Gregore et al., 1997; Verbeke & Molenberghs, 1997). En una revsón recente realzada sobre 10 revstas de pscología en los años 1999 y 2003, se concluye que s en 1999 el 33% de estudos publcados fueron longtudnales, en 2003 fue el 47% (Snger & Wllet, 2003). Este dato corrobora el espectacular avance de los estudos de carácter longtudnal. Las razones por las que, a lo largo de los últmos años, se observa un gran ncremento de los trabajos longtudnales en contextos aplcados son fundamentalmente dos: En prmer lugar, el desarrollo de técncas de análss avanzadas, y en segundo lugar, las mayores posbldades de los actuales programas nformátcos. Esta doble crcunstanca, avance de la modelacón estadístca y perfecconamento de los programas computaconales, hace que los dseños longtudnales centren el nterés de los nvestgadores, partcularmente en aquellas áreas donde el estudo de los procesos ocupa un lugar relevante como en cencas socales, pscología, educacón, pscoterapa y epdemología. Cabe tambén apostllar que en contraposcón a la emergenca de lo longtudnal, estamos lejos de dsponer de una termnología común o defntvamente estandarzada (Edwards, 2000).

3 Estudos longtudnales de meddas repetdas 11 Las meddas repetdas en el contexto longtudnal Son dferentes las conceptuacones de los estudos longtudnales dentro del contexto del dseño de meddas repetdas. Así, por ejemplo, Davs (1998) señala que el estudo longtudnal, en que los ndvduos son observados a través del tempo, es una clase común e mportante de dseño de meddas repetdas. En esta msma línea, Ftzmaurce (1998) nsste en destacar que la característca específca del estudo longtudnal de meddas repetdas es que tanto la varable de respuesta como el conjunto de covarables son repetdamente meddas a lo largo del tempo. Para Hand & Crowder (1996), una stuacón de meddas repetdas es aquella donde las observacones se toman en ocasones selecconadas del contnuo temporal subyacente. Así, los sujetos son meddos en dferentes ocasones o en una cantdad dferente de ocasones, aunque el propósto es consegur la curva contnua subyacente del cambo sobre el tempo. Ware & Lang (1996) subrayan que los estudos longtudnales ofrecen la oportundad de estudar patrones ndvduales de cambo sobre el tempo y condcones. Estos patrones aportan estmacones de la tasa de cambo en funcón del tempo, edad o condcón, lbres de la confusón producda por los efectos de cohortes u otros factores que varían entre ndvduos. Llegados a este punto, cabría ntroducr algunos conceptos y termnología básca relatva a los estudos longtudnales. De este modo, cuando la respuesta es observada en t ocasones y las ocasones de respuesta se referen a tempos dferentes, los datos de meddas repetdas recben el nombre de datos longtudnales. Metodológcamente hablando, los elementos que son observados o meddos en dversas ocasones se denomnan undades, ndvduos y, algunas veces, sujetos. Los ntervalos de tempo en que se observa o regstra la respuesta de las undades de observacón se denomnan puntos de tempo u ocasones y pueden varar desde unos cuantos mnutos a muchos años de observacón. A su vez, el conjunto de estas respuestas forma el perfl de respuesta (curva, o a veces tendenca) de cada undad. Térmnos tales como dseño o estudo longtudnal suelen ser snónmos de dseño de meddas repetdas, de panel, de cohortes, etc. Así, dentro del campo socológco, donde se trabaja con dseños de encuesta, los estudos longtudnales son referdos por estudos de panel; en el ámbto epdemológco y demográfco, los estudos longtudnales son snónmos de estudos de cohortes, sendo la cohorte un subgrupo de ndvduos que comparten una sere de característcas comunes. Las prncpales dfcultades del análss de datos de dseños de meddas repetdas son, fundamentalmente dos. En prmer lugar, el análss suele ser más complejo debdo a la dependenca que suele darse entre las meddas repetdas de la msma undad observaconal. En segundo lugar, con frecuenca el nvestgador no puede controlar las crcunstancas bajo las que obtene las meddas repetdas, de modo que a veces los datos no son balanceados o están ncompletos (Davs, 1998; Menard, 1991). Dseños longtudnales de meddas repetdas En nvestgacón aplcada como por ejemplo, la nvestgacón pscológca, socológca, educatva, bológca, epdemológca, se suele oponer el estudo longtudnal al estudo transversal o estudo donde se toman observacones en un sólo punto fjo del tempo. Qué se entende, pues, por estudo longtudnal? S nteresa, por ejemplo, nvestgar las característcas de un proceso de cambo, deberemos observar el proceso a lo largo de una sere de estados

4 12 Arnau Gras, J. dferentes. Una forma de realzar este propósto consste en selecconar a ndvduos en los dferentes estados del proceso, es decr, dferentes ndvduos para los dferentes ntervalos de tempo. Esto confgura un dseño frecuente en cencas del desarrollo, conocdo por transversal repetdo. Según este formato de dseño, los ndvduos actúan como réplcas que, fundamentalmente, sguen un msmo proceso. Otro enfoque dstnto es examnar los cambos que se producen a lo largo del tempo, para la msma muestra de sujetos y constatar las dferencas nterndvduales en los cambos ntrandvduales (Vsser, 1985). Este dseño es conocdo por dseño longtudnal. Nótese que, con dseños transversales repetdos, el análss del cambo sólo se puede realzar al nvel agregado en las dferentes muestras o submuestras. Bajo estas condcones, el estudo no puede ejecutarse al nvel de casos ndvduales y son tales las lmtacones que la mayor parte de teórcos que han trabajo en ámbto de la pscología del desarrollo sugeren que esta clase de dseño no puede ser consderado propamente un dseño longtudnal (Baltes & Nesselroade, 1979). Los dseños longtudnales que, como se han ndcado, son de uso cada vez más frecuente en cencas socales y del comportamento, srven para estudar los procesos de cambo drectamente asocados con el paso del tempo. Con estos dseños, la varable de respuesta o resultado es funcón del tempo y la característca más mportante es la repetcón de las meddas de respuesta de los sujetos a través del tempo. S se compara el dseño longtudnal con el dseño transversal de muestras repetdas, se concluye que el enfoque longtudnal es más efcente, menos costoso y más robusto en la seleccón del modelo y estadístcamente más potente (Edwards, 2000; Helms, 1992; Zeger & Lang, 1992). Objetvos del dseño longtudnal de meddas repetdas Ante cualquer estudo con datos de meddas repetdas de carácter longtudnal es posble plantear tres cuestones báscas que tenen, sn duda, una gran mportanca desde el punto de vsta aplcado. Estas cuestones se formulan como sgue: Cuál es la forma del cambo ntrandvdual en funcón del tempo (lneal, no lneal, etc.)? Se dan dferencas nterndvduales en los procesos de cambo? Pueden predecrse o explcarse las dferencas nterndvduales en relacón a los cambos o perfles observados? De las cuestones propuestas se nfere que el objetvo fundamental del estudo longtudnal es conocer no sólo los cambos o perfles ndvduales, sno determnar s el cambo es sgnfcatvo y s se dan dferencas entre los dstntos sujetos de la muestra. Cabe enfatzar, pues, que los estudos longtudnales estudan los procesos de cambo crecmento pscológco o físco-, tanto ntensva como extensvamente, es decr, en toda su ampltud. Abundando en esta dea, Raudenbush (2001) destaca que esta clase de estudos traza el curso del crecmento normal, dentfca los factores de resgo para la enfermedad mental y evalúa los efectos de las ntervencones. A propósto de los objetvos, Nesselroade & Baltes (1979) defnen el dseño longtudnal como un procedmento para estudar los patrones nterndvduales de cambo ntrandvdual. De este modo, el objetvo del análss de datos longtudnales deberá nclur: (a) El estudo drecto de cambo ntrandvdual; (b) la dentfcacón drecta de las dferencas nterndvduales en el

5 Estudos longtudnales de meddas repetdas 13 cambo ntrandvdual; (c) el análss de la relacón entre los cambos ntra- e nterndvduales; y (d) el estudo de las varables que nfluyen el cambo ntra e ntrandvdual. Se trata, en defntva, de estudar el cambo en funcón del tempo, por cuya razón se obtenen datos longtudnales de una muestra dada de sujetos que es medda repetdas veces en la msma varable de respuesta (Wu, Clopper & Wooldrdge, 1999). Dseño longtudnal y modelacón estadístca En lo concernente al análss de datos longtudnales, pueden segurse dversos procedmentos. Así, cuando la varable de respuesta se dstrbuye normalmente, es posble aplcar las técncas de análss multvarante, análss de la varanca de meddas repetdas, análss de curvas de crecmento, modelos de efectos mxtos y los modelos de ecuacones de estmacón generalzada (Lang & Zeger, 1986). Cuando la varable dependente es de naturaleza no métrca, se tenen como alternatva los modelos log-lneales y los modelos basados en las ecuacones de estmacón generalzadas (GEE). En esta presentacón nos referremos sólo a datos de carácter métrco o gaussano; es decr, a datos de dstrbucón normal y a los correspondentes modelos de análss. Los procedmentos de análss de los efectos de estos dseños dferen de cómo se modela la estructura de varanca-covaranca de los datos. Nótese que la exacta modelacón de la estructura de covaranca es crucal, dado que el ncremento en la precsón al estmar la estructura de covaranca redunda en un aumento de la potenca estadístca al probar los efectos del estudo (Kowalchuk, Keselman, Algna & Wolfnger, 2004). Volvendo a la modelacón estadístca de los datos, pueden segurse, como se ha ndcado prevamente, dferentes estrategas. Desde la más smple a la más compleja, estas estrategas son: (a) El análss, por separado, de cada punto o ntervalo del tempo; (b) el análss unvarante de la varanca; (c) el análss unvarante y multvarante de las varables de contraste temporal; y (d) los métodos basados en los modelos mxtos (Keselman, Algna, Kowalchuk & Wolfnger, 1999; Lttell, Henry & Ammerman, 1998). El análss por separado de cada punto de tempo no requere procedmentos especales, dado que se trata de consderar el estudo como un dseño de corte transversal, sn mplcacón alguna sobre el posble efecto del paso del tempo. Pese a que las dferencas ndvduales se hallan presentes en el estudo, no es posble conocer qué clase de dferencas se dan y qué conclusones pueden dervarse de estas dferencas. Los tres enfoques restantes requeren una determnada metodología así como un programa especal de software, partcularmente los modelos mxtos, cuya ncorporacón al análss de meddas repetdas es más recente. Todo modelo de análss que pretenda dar cuenta de lo que realmente nteresa en el contexto longtudnal, debe afrontar como uno de los retos prncpales la posble correlacón entre las meddas repetdas de los ndvduos. El problema de la correlacón debe ser resuelto por cualquer técnca de análss que pretenda obtener nferencas váldas (Zhang, 2004). Las correlacones entre los datos u observacones repetdas del msmo sujeto quedan plasmadas en la estructura de covaranca y no todos los modelos estadístcos parten de los msmos supuestos con respecto a esta estructura. Así, los procedmentos cláscos, como el análss unvarante de la varanca (ANOVA) y el análss multvarante de la varanca (MANOVA), evtan el problema de la correlacón y no lo afrontan de forma drecta. Cuando no se toma en consderacón la estructura

6 14 Arnau Gras, J. de la covaranca entre las meddas repetdas se corre el resgo de obtener conclusones ncorrectas de los análss estadístcos....las conclusones dervadas del análss unvarante de la varanca son con frecuenca nváldas dado que la metodología no se drge adecuadamente a la estructura de covaranca de las meddas repetdas (Lttell et al., 1998, p 1217). Por el contraro, los modelos lneales mxtos (MLM) afrontan de forma drecta el problema relatvo a la modelacón de la estructura de la covaranca. Supóngase, por ejemplo, que aplcamos el enfoque unvarante tradconal a datos de meddas repetdas. Dado que, en este caso, el modelo asume el supuesto de esfercdad, se dspone de una estructura de covaranca altamente restrngda con menos parámetros a estmar. Esto converte al procedmento de análss clásco en una técnca más efcente y potente para detectar el efecto de los tratamentos. S, de otra parte, se sgue el procedmento multvarante, entonces la matrz de la covaranca no queda restrngda. Así, las varancas y covarancas de las meddas repetdas pueden tomar cualquer valor de modo que el procedmento puede ser nefcente dada la gran cantdad de parámetros a estmar. De las consderacones hechas sobre las técncas de análss unvarante y multvarantes es fácl conclur que la prmera es muy restrctva y la segunda altamente lberal. Convendría, en consecuenca, dar con la estructura exacta de la matrz de covaranca para contar con un procedmento de análss váldo y efcente. El modelado exacto de la estructura de la covaranca es una mportante consderacón para los nvestgadores aplcados dado que un ncremento en la precsón al estmar las estructuras de la covaranca produce un ncremento en la potenca estadístca para detectar los efectos de los tratamentos (Kowalchuk et al., 2004, p. 224). La posbldad de modelar de forma ajustada la estructura de la covaranca de los datos se consgue utlzando el enfoque basado en los modelos mxtos. Este análss es posble realzarlo medante los paquetes de programas SPSS (versón 14), S-PLUS (versón 3.1), R (versón 3.3) y, partcularmente, medante el procedmento MIXED (PROC MIXED) del Sstema SAS (versón 9.1), que fue ncorporado al sstema a partr del año El PROC MIXED del sstema SAS ofrece toda la potencaldad de la metodología de los modelos mxtos para el análss de datos de meddas repetdas. Medante esta metodología el nvestgador puede modelar o especfcar la estructura de la covaranca y aumentar la posbldad de analzar los datos de meddas repetdas al proporconar errores estándar váldos y pruebas estadístcas efcentes. A su vez, cuando algún sujeto no posee todas las observacones realzadas al conjunto, no por ello debe ser elmnado. Enfoque basado en el análss de la varanca. Modelo ANOVA de meddas repetdas Los modelos que tradconalmente se han aplcado a datos de meddas repetdas son de carácter lneal y sguen dstntos enfoques. Entre los más conocdos están los modelos basados en el análss de la varanca, como el análss de la unvarante varanca (ANOVA de meddas repetdas), análss multvarante de la varanca (MANOVA). La prncpal lmtacón de estos modelos es el requermento de datos completos y balanceados. El modelo ANOVA es el que cuenta con más tradcón dentro del ámbto pscológco y socal, y srve para hacer comparacones entre los ntervalos de tempo, tanto con dseños de una sola muestra de sujetos (dseño smple de meddas repetdas) como con dseños de dos o más muestras (dseños multmuestra de meddas repetdas). El dseño de una muestra de sujetos tene una varable ntrasujetos y su estructura es smlar a la del dseño de bloques aleatorzados (donde los sujetos actúan a modo de bloques). Este procedmento procesa los datos como s procederan de

7 Estudos longtudnales de meddas repetdas 15 un dseño splt-plot donde los ndvduos consttuyen los plots-totales y los ndvduos en puntos partculares del tempo los sub-plots. Con un dseño de dos o más muestras de sujetos, es posble dstngur la varable entresujetos (con J nveles) y la varable ntrasujetos (con K nveles). Estructuras de dseño más complejas, como el dseño factoral con G grupos y dos varables de meddas repetdas es descrta en Mendoza, Toothaker & Cran (1976). Las condcones de valdez para los pruebas F tradconales en relacón con los efectos ntra-sujetos han sdo nvestgadas por Hyunh & Feldt (1970) para dseños de bloques aleatorzados y splt-plot, por Rouanet & Lépne (1970) para dseños de bloques aleatorzados y por Mendoza et al. (1976) para dseños trfactorales con meddas repetdas en dos factores. Supóngase que se trabaja con un dseño smple de meddas repetdas. En este caso, la razón entre la varanca de los ntervalos de tempo (factor A) y la varanca de la nteraccón de ntervalos de tempo por sujetos (que actúa de error o térmno de contraste) es CM F A A =. Esta varable sgue una dstrbucón F exacta s: CM AS 1. Las k observacones de cada sujeto sguen una dstrbucón multnormal, N µ,σ (1) ( ) donde µ es el vector de medas de las observacones y Σ la matrz de varanca-covaranca. 2. La matrz de covaranca, Σ, satsface la gualdad 2 E = C' ΣC = σ (2) donde C es una matrz ortonormal de coefcentes k x (k 1) matrz de contrastes-, I es una matrz de dentdad (k 1) x (k 1). El escalar 2 o constante representa el error común de los contrastes. Esta condcón es conocda tambén como condcón de crculardad o esfercdad para una determnada comparacón representada por C (Huynh & Feldt, 1970; Rouanet & Lépne, 1970). S el dseño tene dos o más grupos (dseño multgrupo de meddas repetdas o splt-plot), se obtenen las sguentes razones en la prueba del efecto entresujetos (A), efecto ntrasujetos (B) CM y efecto de la nteraccón AxB : A CM F A =, B CM F CM B = y F AB A / S CM AB =. BS / A CMBS / A Estas razones tenen una dstrbucón exacta F s además de las dos condcones anterores se cumple un tercer supuesto 3. E j = Ej para todos j,j donde E = C Σ jc y Σ j es la matrz p x p de covaranca para el j grupo 2 C Σ C = C Σ C =... = C Σ C = I (3) 1 2 j σ sendo E la matrz del error. Esta tercera condcón es conocda por condcón de gualdad de las matrces de covaranca, en funcón de todos los nveles del factor entre sujetos. Estas dos últmas condcones, 2 y 3, son referdas por Huynh (1978) como esfercdad multmuestra. Huynh (1978) expone este supuesto señalando que cuando en el dseño hay factores entre-sujetos o grupos de sujetos han de cumplrse las condcones sguentes: (a) Igualdad de las matrces de

8 16 Arnau Gras, J. covaranca a todos los nveles de los factores entre-sujetos; y (b) esfercdad de la matrz de covaranca común. Cuando se dan estas dos condcones, es válda la aplcacón del modelo unvarado de análss de la varanca -modelo mxto unvarante-, a datos longtudnales de meddas repetdas. A modo de resumen, es sufcente señalar que el uso váldo del ANOVA para datos de meddas repetdas requere: 1. Independenca de las respuestas entre los dstntos sujetos de la muestra. 2. Que la dstrbucón de las varables dependentes múltples sea normal multvarada. 3. Que el conjunto de datos sea completo sn pérdda de observacones. A esto debe añadrse la homogenedad de las matrces de covaranca y la esfercdad de la matrz de covaranca común, que como señalan Keselman & Keselman (1988), es lo que conforma los supuestos específcos con datos de dseños multgrupo de meddas repetdas. Así, con dseños más complejos, que mplcan varos factores entre-sujetos y ntra-sujetos, estas condcones pueden ser generalzadas como sgue: 4. Igualdad de las matrces de covaranca para cada una de los factores. 5. Esfercdad para la matrz de covaranca común. Condcones que son referdas por Hyunh (1978) como esfercdad multmuestra. Se han descrto los supuestos del ANOVA, y sólo queda por especfcar el modelo estructural tanto de la modaldad de una muestra como multmuestra. El modelo estructural para el dseño de meddas repetdas smple es y = µ + η + α + ε (4) j j j donde y j es la observacón j del sujeto, µ es una constante para toda y j, η es un efecto aleatoro de sujeto, α j el efecto fjo de un determnado punto o ntervalo de tempo, y ε j un efecto aleatoro de error. Supóngase a contnuacón, que la muestra de sujetos se dvde en dos o más submuestras (varable entre sujetos) y que los n j sujetos de cada submuestra son observados en dferentes ntervalos de tempo (varable ntra-sujetos). De este modo, hemos convertdo el dseño smple en un dseño multmuestra de meddas repetdas, con J grupos y K meddas repetdas. El correspondente modelo estructural de análss de la varanca es, y = µ + α + β + η + αβ + βη + ε (5) jk j k / j ( ) ( ) j jk donde µ, α j y k son la meda de poblacón total, el efecto del j grupo y el efecto del k ntervalo u ocasón; η /j es el efecto del sujeto del j grupo, () jk es la nteraccón grupo por ocasón, () k/j la nteraccón de k ntervalo y el sujeto, y ε j el componente de error aleatoro. Estos dos modelos consttuyen estructuras estándar de estudos de meddas repetdas con uno o más grupos de sujetos. Dado que el modelo ANOVA fundamenta su valdez en un prncpo muy restrctvo, -las correlacones entre los dstntos pares de meddas repetdas han de ser constantes-, su uso está lmtado a la verfcacón de este supuesto. De ahí, toda nferenca estadístca a partr del modelo ANOVA descansa en un supuesto muy restrctvo sobre la correlacón entre las observacones repetdas de cada sujeto. El fracaso en modelar adecuadamente esta correlacón puede acarrear estmacones nefcentes de los parámetros y/o estmacones sesgadas. En k / j

9 Estudos longtudnales de meddas repetdas 17 consecuenca, el tema de la correlacón entre las observacones repetdas de los sujetos es el gran problema que se plantea en todo análss de datos longtudnales. Condcones sufcentes para la valdez de la razón F en dseños de meddas repetdas Cuando los dseños de meddas repetdas no contenen factores entre grupos, es sufcente aplcar el crtero de esfercdad de Mauchley (1940) o prueba W al factor ntra. La prueba W es, en estos casos, sufcente para comprobar las condcones de valdez de la prueba F. S el dseño de meddas repetdas contene un factor entre, la condcón de crculardad se prueba paso a paso: En un prmer paso, se usa el crtero M modfcado de Box y se determna s las matrces de varables ortonormales son guales a todos los nveles de la varable entresujetos. Cuando se satsface la condcón de gualdad de las matrces de covaranca se aplca, en un segundo paso, la prueba de esfercdad de Mauchley, W, a la matrz de covaranca conjunta. Descrbremos, a contnuacón, estas condcones en térmnos de matrces de contrastes. Sea un contraste la comparacón que se efectúa entre los dferentes valores de la varable ntra. El contraste, smbolzado por la letra c, está formado por coefcentes cuya suma es cero y su número es gual a la cantdad de meddas repetdas. La norma del contraste es ( c c) 2 y un contraste estandarzado es aquel cuya norma es la undad. De otro lado, la matrz de los contrastes, C, tene p columnas (p = k 1) o p contrastes ortogonales entre sí y estandarzados. Una matrz de estas característcas satsface la gualdad C C = I (6) donde I p es una matrz p x p de dentdad. Según Rouanet & Lépne (1970), la razón F usual es válda sólo s 2 C ΣC = σ I (7) o condcón de unformdad, donde C es, como se ha ndcado, una matrz de contrastes ortonormal k x k-1 que ncorpora los contrastes de nterés. El valor de F del factor ntrasujeto, F A, (donde A es el factor de meddas repetdas) tene una dstrbucón F exacta s los contrastes representados en C son ndependentes. Con dseños de meddas repetdas de una sola muestra, es posble aplcar la prueba de 2 esfercdad de Mauchley (1940) y probar que C ΣC = σ I, para una matrz de contrastes dada. S los dseños de meddas repetdas son multmuestra, o sea con factores entresujetos, el supuesto de crculardad se prueba en dos estados, de modo que al prmer estado la hpótess es H : C Σ C = C Σ C =... = C C (8) Σ j S la hpótess H 01 no es rechazada, a contnuacón se prueba la hpótess sguente, 2 H : C ΣC = I (9) 02 σ Cuando tanto H 01 como H 02 son aceptadas, cabe nferr el cumplmento de la asuncón de crculardad y, en consecuenca, que la prueba F unvarada es válda (Mendoza, 1980). Por últmo, cabe destacar que la prncpal ventaja del enfoque ANOVA para analzar datos longtudnales es su smplcdad técnca aunque tene sus lmtacones; partcularmente con estudos longtudnales aplcados donde no sempre se tenen datos completos n ntervalos de tempo constantes (Davs, 2002). 1

10 18 Arnau Gras, J. Enfoques basado en el MANOVA Desde que Fnn (1969) sugró la posbldad de utlzar el MANOVA como procedmento de análss de datos de meddas repetdas, este procedmento ha sdo usado como alternatva al modelo ANOVA de meddas repetdas (Bock, 1975; Tmm, 1975, 1980). Así, cuando se tenen observacones de meddas repetdas correlaconadas, es posble consderarlas como multvaradas y, en consecuenca, analzarlas como tales (Rogan, Keselman & Mendoza, 1979). Al comparar ambos enfoques -unvarado y multvarado-, se constata que parten de un prncpo común en que los térmnos de error sguen una dstrbucón normal. La prncpal dferenca entre las dos técncas es que el ANOVA unvarado asume una matrz con un patrón específco, mentras que el modelo MANOVA no presupone nnguna forma específca de esta matrz. El MANOVA sólo requere que esta matrz sea común a todas las poblacones, en los dstntos grupos o muestras del dseño (supuesto de esfercdad multmuestra). De este modo, cuando sólo se cumple la gualdad de las matrces de covaranca, entonces es posble aplcar los procedmentos multvarados tradconales como la T 2 de Hotellng (1931), la lambda de Wlks y otros dervados del prncpo de nterseccón de Roy. Bajo el supuesto que las matrces de covaranca no sean guales, se producría una grave volacón en el uso de procedmentos multvarados. S a esto se añade tamaños de muestra desguales, el problema se agudza. Téngase en cuenta que la desventaja del procedmento multvarado es su menor senstvdad para detectar el efecto de las varables ntra en comparacón con el procedmento unvarado. Cuando los supuestos unvarados de la matrz se cumplen, el ANOVA unvarado es más potente que el MANOVA (Albert, 1999; Morrson, 1976; Rogan et al., 1979; Stevens, 1996). Dentro del enfoque multvarado pueden nclurse, fundamentalmente, las técncas basadas en el análss multvarante de la varanca tradconal, el análss de perfles y el análss de la curva de crecmento. El procedmento MANOVA tradconal consste, smplemente, en transformar las meddas repetdas para probar s hay algún cambo de tpo lneal, cuadrado, etc., en funcón del tempo. Obsérvese que el método de análss multvarado srvó ncalmente para probar s los vectores de medas correspondentes a dstntos grupos eran guales (Tatsuoka, 1988). De ahí, la escasa sensbldad de esta técnca por lo auténtcamente longtudnal. Un procedmento paralelo al MANOVA es el análss de perfles que permte probar, además de la dferenca de grupos (hpótess de la dferenca entre dos vectores de medas de datos multvarados), el sentdo que toman los datos cuando han sdo obtendos en los msmos puntos del tempo para todos los sujetos (Bock, 1979). Por lo común, estos modelos suelen centrarse en la parte entresujetos o entregrupos del análss. De este modo, la varanca total de las varables dependentes es explcada, en lo posble, por las dferencas entre los membros de los grupos. Un supuesto básco del MANOVA de meddas repetdas consste, como se ha señalado, en tratar a las observacones repetdas como múltples varables dependentes o respuestas ntercorrelaconadas de un msmo sujeto. Las pruebas de sgnfcacón se realzan transformando las varables orgnales en contrastes de nterés. Como destacan Wu et al., (1999), con este procedmento se elmna del dseño el factor ntrasujeto al defnr un nuevo conjunto de varables que representan los componentes de los efectos ntrasujeto sobre el tempo. Medante esta transformacón es posble verfcar s son sgnfcatvos los componentes lneales, cuadrados, etc., que son funcón del tempo.

11 Estudos longtudnales de meddas repetdas 19 A su vez, los modelos MANOVA enfatzan la parte fja del modelo. La estructura explcatva de las medas es estmada y las covarancas ntra grupo/sujeto son consderadas como error aleatoro. Así, las covarancas ntra consttuyen aquella parte de la varanca de las varables dependentes que no es explcada por la pertenenca a un grupo. En su aplcacón a las meddas repetdas, la parte fja del modelo es expandda, de modo que al ajustar las curvas de crecmento polnómcas de un determnado grado, el conjunto de varables explcatvas la prmera sólo representa la pertenenca a un grupo- es ncrementado con varables ntra que corresponden a los dferentes puntos de tempo, como por ejemplo la edad. Los dstntos paquetes nformátcos crean automátcamente un conjunto de transformacones específcas de las meddas repetdas, aunque son dstntas las posbldades de consegur estas transformacones. Además, uno de los supuestos báscos del modelo multvarado de la varanca es consderar a las meddas repetdas como múltples varables dependentes que sguen una dstrbucón mutvarada normal. Por esta razón, las técncas multvarantes pueden ser aplcadas para probar los efectos ntra (Morrson, 1976; Scheffé, 1959). A dferenca del análss unvarado de la varanca, el modelo multvarado no parte de un supuesto específco sobre la matrz de varanca-covaranca,. El únco supuesto con respecto a esta matrz es que sea común a todas las poblacones o grupos del dseño (valores de la varable entre). Sn embargo, la gran desventaja del modelo MANOVA es la falta de potenca cuando es comparado con el ANOVA. Más aún, cuando se cumplen las condcones en la matrz de covaranca, el ANOVA convenconal es más potente que la prueba multvarada. Por últmo, para que la matrz del error, E, asocada a los efectos ntrasujetos sea no-sngular, la muestra total N menos la cantdad de grupos J ha de ser mayor o gual a la cantdad de ocasones menos uno. La expresón del modelo general del MANOVA, en notacón matrcal, es como sgue: Y = XB + E (10) donde Y es la matrz n x p de observacones -n sujetos y p observacones por sujeto a ntervalos fjos del tempo-, X es la matrz n x q del dseño con valores 1 y 0 para representar la pertenenca del sujeto a un determnado grupo, B es la matrz q x p de parámetros, y E es la matrz n x p que recoge todas las fuentes de varacón aleatoras. Las dferentes flas de E corresponden a los ndvduos y, por tanto, son ndependentes. El modelo multvarado propuesto asume que los errores de la fla de E tenen una dstrbucón normal multvarada, N p (0,Σ p ). A su vez, cuanto menos restrctvas son las condcones sobre la estructura de la matrz de covaranca, Σ p, el ajuste del modelo es mejor y el análss es más complejo, ya que se reduce la cantdad de grados de lbertad para estmar la varanca de los parámetros. Los supuestos báscos del modelo MANOVA son los sguentes: (a) Las respuestas de los sujetos son ndependentes entre sí; (b) la dstrbucón de las múltples varables dependentes es normal multvarada; y (c) el conjunto de datos ha de ser completo, sn observacones perddas. El modelo de respuesta meda o valor esperado es E Y = (11) ( ) XB Para probar la hpótess de que las medas de p ocasones son guales, el enfoque multvarado puede segur, por ejemplo, la prueba dervada del estadístco T 2 de Hotellng (1931). Así, con el estadístco T 2, se prueba la sguente hpótess

12 20 Arnau Gras, J. H µ = = µ (12) 0 : 1... p que equvale a H : µ µ =... = µ µ 0 (13) p 1 p = En el modelo MANOVA, prevalecen los supuestos sobre la normaldad multvarada y homogenedad de las matrces de covaranca de la dstrbucón de los vectores de error, aunque no queda sufcentemente claro hasta qué punto la robustez queda afectada por la volacón de estas condcones o supuestos (Tatsuoka, 1988) Análss de la curva de crecmento. Modelo MANOVA generalzado (GMANOVA) Un procedmento alternatvo de análss dentro del contexto MANOVA es conocdo como análss de la curva de crecmento, con el que se comparan los vectores de medas multvaradas con estructuras de correccón no especfcadas. Estos procedmentos son útles con datos de carácter métrco y con observacones en ntervalos gualmente espacados y sn valores perddos (Rao, 1958, 1959, 1965). La técnca de análss de la curva de crecmento aplcada a datos longtudnales, fue propuesta por Elston & Grzzle (1962), y generalzada más tarde por Potthoff & Roy (1964), recbó el nombre de modelo MANOVA generalzado (GMANOVA). Un trabajo posteror de Lard & Ware (1982) popularzó este enfoque. El GMANOVA es una reformulacón del procedmento multvarado y ha servdo de pauta para la mayor parte de los modelos de datos longtudnales (van der Leeden, Vrjburg & De Leeuw, 1996). El GMANOVA ntegra los métodos alternatvos al enfoque del modelo mxto clásco (análss unvarado de la varanca mxto), en el marco del modelo multvarado, ya que los datos de meddas repetdas de los msmos sujetos suelen estar correlaconados. La técnca de análss GMANOVA consste en ajustar funcones polnómcas de carácter temporal para descrbr los perfles ndvduales medante coefcentes aleatoros, y para generar la estructura de correlacón entre las observacones repetdas de cada ndvduo. Otra forma más apropada de modelar la dependenca entre las observacones en funcón del tempo, es ntroducr algún tpo de estructura autorregresva, de modo que se deja a cualquer efecto aleatoro para dar cuenta de la heterogenedad nterndvdual. De otra parte, los dstntos modelos multvarados con estructura general de covaranca no sempre son útles, ya que, por lo general, los datos longtudnales suelen ser no balanceados. Esta es la razón porque otros modelos alternatvos sean más dóneos para esta clase de datos. Nótese que el MANOVA tradconal o básco defne la estructura nterndvdual de los valores esperados de las observacones sn tener en cuenta las relacones entre las varables o meddas repetdas. Y es precsamente esto últmo lo que, desde la perspectva longtudnal, más nteresa a la nvestgacón; es decr, nteresa modelar los perfles de las respuestas medas. Para ello, han de aplcarse restrccones a las observacones en funcón de los ntervalos de tempo. Una forma smple de consegur este propósto es asumr que la matrz B de la ecuacón general del MANOVA se derva del modelo B = ΓT (14) De este modo, el modelo MANOVA tradconal queda redefndo por la expresón Y = XΓT + E (15)

13 Estudos longtudnales de meddas repetdas 21 donde X es, como en el modelo multvarado tradconal, la matrz n x k del dseño, es la matrz k x q de parámetros y T es la matrz q x p que descrbe el patrón de cambo de las observacones -el perfl de los valores esperados de cada ndvduo-, como por ejemplo una funcón lneal. De ahí, el porqué la matrz T es conocda como matrz ntrandvduos. Puede asumrse conceptualmente que las meddas repetdas sguen una curva de crecmento polnómca y que sólo hay una varable dependente observada a través del tempo. Entonces, el modelo de los valores esperados es E Y = XΓ (16) ( ) T Según esta expresón, las matrces X e Y concden con las del modelo tradconal o general, la matrz T representa un determnado patrón de cambo en funcón del tempo, y la matrz de parámetros. Nótese que los elementos de son coefcentes polnómcos que representan el efecto del tempo. Se ha nsstdo a lo largo de la exposcón que los estudos longtudnales suelen tener datos no balanceados e ncompletos, por cuya razón surgó la necesdad de plantear modelos alternatvos. Dentro del enfoque orentado haca el estudo de la curva de crecmento, Rao (1965) desarrolla el procedmento de dos estados, donde el vector de coefcentes de las curvas de crecmento sgue en un prmer estado, un modelo lneal. En el segundo estado, se asume que estos coefcentes tenen una dstrbucón normal. A lo largo de este período, se han hecho dferentes propuestas para estmar los coefcentes ndvduales de las curvas de crecmento para analzar, a contnuacón, estos coefcentes medante el análss multvarado de la varanca (Elston & Grzzle, 1962; Fnn, 1969). Grzzle & Allen (1969), de otra parte, aplcan esta metodología al contexto de meddas repetdas. Estos modelos no requeren datos balanceados, modelan la varanca entre e ntra ndvduos y asumen un conjunto de supuestos como: (a) la varable de respuesta sgue una dstrbucón normal; (b) el resultado no varía a través del tempo y/o a través de los sujetos; y (c) las observacones repetdas son ndependentes. Enfoque basado en el MLM Tanto el modelo ANOVA como los modelos MANOVA para datos longtudnales de meddas repetdas presentan seras lmtacones, ya que requeren que sean balanceados y completos por medda. Por esta razón, a lo largo de los años ochenta se han desarrollado modelos más generales para el análss de datos longtudnales ncompletos. S a esto se añade el uso de nstrumentos de cálculo más potentes, se cuenta en la actualdad con métodos generales para el análss de meddas repetdas. A tal propósto, Lard & Ware (1982) retomando las deas de Harvlle (1977), defnen una famla de modelos para meddas serales que ncluyen los modelos de curvas de crecmento y los modelos de meddas repetdas como casos especales. Albert (1999); Cnaan et al., (1997), y Lttell, Pendergast & Natarajan (2000) aportan una revsón más detallada de estos métodos como nstrumentos de análss de datos longtudnales. Dentro del contexto educatvo y socal se aplca, con frecuenca, el modelo jerárquco longtudnal o modelo multnvel como varantes del modelo mxto y como una buena alternatva al análss de datos de meddas repetdas en el tempo. Goldsten (1989) descrbe el modelo jerárquco dentro en el ámbto del desarrollo físco, y Bryk & Raudenbush (1992) lo utlzan para estudar el proceso general del desarrollo. De hecho, el modelo multnvel es una extensón de los modelos de efectos mxtos descrtos por Rao (1965) para las curvas de crecmento y por Lard & Ware (1982) para el análss de datos longtudnales. A dferenca de los modelos ANOVA (unvarado y

14 22 Arnau Gras, J. multvarado), el modelo multnvel para meddas repetdas no enfatza el factor entre sujetos, dado que consttuye una forma partcular de analzar los datos longtudnales. El modelo multnvel tene por objeto modelar las curvas de crecmento ndvduales y analzar, a contnuacón, las dferencas nterndvduales en los parámetros que descrben los patrones de crecmento. Nótese que los modelos cláscos de las curvas de crecmento, a dferenca de los métodos modernos, no modelan la varacón aleatora entre sujetos en térmnos de los parámetros del modelo (Tmm & Meczkowsk, 1997). A su vez, puesto que se tenen dstntos sujetos en la muestra, es posble especfcar el modelo para cada sujeto con base en dos componentes: Los efectos fjos comunes a todos los sujetos y los efectos úncos a cada sujeto. Antes de examnar los modelos lneales mxtos (MLM), que estman smultáneamente los componentes ntrasujetos y entresujetos, analzaremos aquellos procedmentos que dstnguen estados o nveles en el modelo. Por lo común, esta clase de modelos por nveles defnen para cada sujeto, en un prmer estado, una ecuacón de la regresón de la varable dependente sobre los factores ntrasujeto. En un segundo estado, los coefcentes de la regresón del prmer estado actúan como varables dependentes que han de ser predchas por los factores entre sujetos. Así, de acuerdo con un modelo multnvel de dos estados, los parámetros de poblacón, efectos ndvduales y varacón ntra-sujeto se defnen en el prmer estado del modelo, y la varacón entre sujetos es modelada en el segundo. Nótese que en el prmer estado, el vector de meddas repetdas o observacones (undades del nvel-1) asocado al sujeto (undad del segundo nvel), toma la sguente expresón general y = X β + e (17) j donde β es el vector de parámetros de la regresón del sujeto y representa las característcas propas del sujeto, como por ejemplo, los parámetros de la curva de crecmento verdadera; X (n xq) es la matrz del dseño que vncula β a y. Esta matrz contene las covarables del nvel de observacón asocadas al sujeto, de modo que la prmera columna, formada por unos, corresponde al ntercepto, y el resto de columnas a las varables ntrasujeto (covarables a nvel de observacón). S, por ejemplo, las observacones del ndvduo sguen una funcón cuadrada del tempo, entonces X es una matrz n x 3, donde la prmera columna es de unos, la segunda es el tempo de observacón y la tercera el punto del tempo al cuadrado. Así msmo cuando se modelan funcones del tempo o tendencas, es convenente utlzar los polnomos ortogonales por la establdad numérca. El vector e representa a los térmnos de error que se asumen ndependentes y con meda cero; de este modo, R = var(e ), es una matrz postva-defnda de covaranca. Los parámetros β de la ecuacón de la regresón al prmer estado contenen nformacón sobre la varacón entre los ndvduos. Así, cada β aporta nformacón sobre la meda total de poblacón de los parámetros estmados al prmer nvel de análss (nvel ntrasujetos), = ( 0, 1, 3 ), y sobre las desvacones ndvduales de las medas de poblacón, u = (u 0, u 1, u 2 ). Como afrman Wu et al., (1999), ello es análogo al análss de los efectos del tempo a partr de las medas margnales en el ANOVA. De este modo, en un segundo nvel, la ecuacón es β = Z γ + u (18)

15 Estudos longtudnales de meddas repetdas 23 donde la matrz del dseño entre sujetos, Z, puede tomar varas formas. Cuando Z = I sólo se modela la smple varacón aleatora de los parámetros de crecmento de los sujetos. Puede utlzarse una matrz del dseño entre sujetos más compleja, como cuando se ncluyen varables dummy para codfcar subgrupos de sujetos, u otras varables capaces de explcar la varabldad de los parámetros de crecmento. El modelo de la ecuacón del segundo estado asume que las u son ndependentes e déntcamente dstrbudos con meda cero y estructura de covaranca G. Así, se tene u NID 0,G (19) ( ) La combnacón de los dos modelos anterores da como resultado el modelo lneal mxto (MLM), expresado por y = X γ + Z u + e (20) Obsérvese que el modelo mxto combna dos modelos de regresón y tene dos clases de parámetros, los parámetros y u. Con frecuenca, los parámetros son de efectos fjos y los parámetros u son efectos aleatoros o coefcentes aleatoros. En el modelo combnado o mxto, el térmno X consttuye la parte fja, mentras que Z u + e la parte aleatora. Esta es la razón por la cual la estructura longtudnal de meddas repetdas puede tener cabda en el modelo multnvel (van der Leeden et al., 1996). De hecho, el modelo mxto mantene la sguente equvalenca y = X γ + u + e = X γ + Z u + e (21) ( ) donde las columnas de Z deberían ser una submuestra de las columnas de X. Del modelo anteror, se tene que E ( y ) = X γ (22) y ' Var y = Z GZ + R (23) ( ) representan el valor esperado de la meda y la varanca, respectvamente. Con base en la ecuacón general del modelo mxto, las matrces X, Z y R pueden ser totalmente generales y se cuenta con dos térmnos de error: Los elementos del vector u o efectos aleatoros de sujeto, y los elementos de e o térmnos de error asocados a las observacones o medas repetdas. El modelo general mxto asume que tanto las u como las e se dstrbuyen ndependentemente con meda cero y varanca G y R respectvamente. Puesto que los datos de meddas repetdas son observacones tomadas de los msmos ndvduos en un número sucesvo de puntos, es posble asumr esta estructura como jerárquca. Con ello, las observacones o prmer nvel están andadas en los dstntos sujetos o ndvduos o segundo nvel (van der Leeden, 1998). Obsérvese que se mantene el paralelsmo entre estudos longtudnales y estructura jerárquca. Según el enfoque multnvel, los modelos del prmer nvel especfcan las curvas de crecmento o curvas de crecmento polnómcas de cada ndvduo. Al segundo nvel, los parámetros de las curvas de crecmento ndvduales son tratados como varables aleatoras. Al segundo nvel, sólo modela los parámetros de crecmento como un promedo sobre todos los ndvduos más una desvacón específca de la persona. El aspecto fundamental del estudo longtudnal es dentfcar el proceso real subyacente, de carácter contnuo, en lugar de los smples cambos dscretos entre los ntervalos de tempo. Como se ha ndcado, un procedmento relatvamente nuevo para el estudo de estos procesos de

16 24 Arnau Gras, J. crecmento, dentro del contexto del enfoque mxto, es el modelo lneal jerárquco, que ha recbdo, a lo largo de los últmos años, dferentes denomnacones tales como modelo de efectos mxtos, modelo de efectos aleatoros, modelo de coefcentes de la regresón mxto, modelo de coefcentes de la regresón aleatoros, modelo de componentes de la varanca, modelo andado, etc. (Bryk & Raudenbush, 1992; Sullvan, Dukes & Losna, 1999; Wu et al., 1999). Nótese, por últmo, que un análss comprensvo de datos longtudnales requere tener en cuenta un conjunto de aspectos. Entre estos aspectos está la varacón ntra sujetos y entre sujetos, la no proporconaldad de los estudos, la pérdda de datos y los desgastes de muestra (Gll, 2000). No obstante, es posble destacar que una de sus prncpales ventajas es la especfcacón de la correcta estructura de la covaranca, lo cual produce unos pruebas más potentes de los parámetros fjos (Wolfnger, 1996). A modo de conclusón Los modelos que tradconalmente se han utlzado en el análss de datos de meddas repetdas son de carácter lneal y sguen el enfoque basado en el análss de la varanca, como el análss de la varanca unvarante (ANOVA de meddas repetdas) o análss multvarante de la varanca (MANOVA). La prncpal desventaja de este enfoque es el requermento de datos completos y balanceados. No obstante, en la práctca los estudos longtudnales suelen tener datos no balanceados e ncompletos, por cuya razón se planteó la posbldad de segur modelos alternatvos. El segundo enfoque se ha orentado drectamente haca el estudo de las curvas de crecmento y ha generado una gran cantdad de métodos. Rao (1965) desarrolló el método de dos estados para analzar las curvas de crecmento, donde el vector de coefcentes de las curvas de crecmento sgue, en un prmer estado, un modelo lneal; en el segundo estado, se asume que estos coefcentes tenen una dstrbucón normal. Durante este período, se han hecho dferentes propuestas para estmar los coefcentes ndvduales de las curvas de crecmento para analzar, a contnuacón, estos coefcentes medante el análss multvarado de la varanca. De otra parte, Grzzle & Allen (1969), aplcan esta metodología al contexto de meddas repetdas. Todos estos modelos no requeren datos balanceados, modelan la varanca entre e ntra ndvduos y asumen un conjunto de supuestos como: (a) La varable de respuesta sgue una dstrbucón normal; (b) El resultado no varía a través del tempo y/o a través de los sujetos; y (c) Las observacones repetdas son ndependentes. En térmnos generales, los modelos estadístcos mxtos asumen que las observacones constan de dos partes, los efectos fjos y los efectos aleatoros. Los efectos fjos expresan los valores esperados de las observacones, mentras que los efectos aleatoros reflejan las varancas y covarancas de las observacones. Como destacan Lttell, Mllken, Stroup & Wolfnger (1996), la mayoría de los procedmentos actuales aplca los métodos basados en el modelo mxto con una estructura paramétrca especal de las matrces de la covaranca. Así, lo que hace del análss de meddas repetdas algo dstnto es la estructura de covaranca de los datos observados. Referencas Albert, P. S. (1999). Longtudnal data analyss (repeated measures) n clncal trals. Statstcs n Medcne, 18, Baltes, P. B. & Nesselroade, J. R. (1979). Hstory and ratonale of longtudnal research. En J. R. Nesselroade & P. B. Baltes (Eds.), Longtudnal research n the study of behavor and development. NewYork: Academc Press. Bock, R.D. (1975). Multvarate statstcal methods n behavoural research. New York: McGraw-Hll. Bock, R. D. (1979). Unvarate and multvarate analyss of varance of tme-structured data. En J. R. Nesselroade & P. Baltes (Eds.), Longtudnal research n the study of behavor and development. New York: Academc Press.

17 Estudos longtudnales de meddas repetdas 25 Bok, R. J. (1981). A pror tests n repeated measures desngs; effects of nonsphercty. Psychometrka, 46, Bryk, A.S. & Raudenbush, S.W. (1992). Herarchcal lnear models. Newbury Park, CA: Sage. Cnaan, A., Lard, N. M. & Slasor, P. (1997). Usng the general lnear mxed model to analyse unbalanced repeated measures and longtudnal dada. Statstcs n Medcne, 16, Davs, C. S. (1998). The analyss of longtudnal studes havng non-normal responses. En B.S. Evertt & G. Dunn (Eds.), Statstcal analyss of medcal data. New developments.(chapter 7). London: Arnold. Dggle, P. J., Lang, K. Y. & Zeger, S. L. (1994). Analyss of longtudnal data. New York: Oxford Unversty Press. Edgngton, E. (1974). A new tabulaton of statstcal procedures used n APA journals. Amercan Psychologsts, 29, Edwards, L. J. (2000). Modern statstcal technques for the analyss of longtudnal data n bomedcal research. Pedatrc Pulmony, 30, Elston, R. C. & Grzzle, J. F. (1962). Estmaton of tme response curves and ther confdence bands. Bometrcs, 18, Fnn, J. D. (1969). Multvarate analyss of repeated measures data. Multvarate Behavoral Research, 4, Ftzmaurce, G.M. (1998). Regresson models for dscrete longtudnal data. En B.S. Evertt & G. Dunn (Eds.), Statstcal analyss of medcal data. New developments. (Chapter 8). London: Arnold. Gll, P. S. (2000). A robust mxed lnear model analyss for longtudnal data. Statstcs n Medcne, 19, Goldsten, H. (1986). Multlevel mxed lnear models analyss usng teratve generalzed least squares. Bometrka, 73, Gregore, T. G., Brullnger, D.R., Dggel,. Russek-Cohen, P. J. E., Warren, W. G. & Wolfnger, R. D. (1997). Modellng longtudnal and spatally correlated data. New York: Sprnger-Verlag. Grzzle, J. E. & Allen, D. M. (1969). Analyss of growth and dose response curves. Bometrcs, 25, Hand, D. & Crowder, M. (1996). Practcal longtudnal data analyss. London:Chapman & Hall. Harvlle, D.A. (1977). Maxmum lkelhood approaches to varance component estmaton and to related problems. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 72, Helms, R.W. (1992). Intentonally ncomplete longtudnal desgns. I.: Methodology and comparson of some full span desgns. Statstcs n Medcne, 11, Hotellng, H. (1931). The generalzaton of Student s rato. Annals of Mathematcal Statstcs, 2, Hyunh, H. (1978). Some approxmate tests for repeated measurement desgns. Psychometrka, 43, Hyunh, H. & Feldt, L. S. (1970). Condtons under whch mean square ratos n repeated measures desgns have exact F dstrbutons. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 65, Keselman, H. J. & Keselman, J. C. (1988). Comparng repeated measures means n factoral desgns. Psychophysology, 25, Keselman, H. J., Algna, J., Kowalchuk, R. K. & Wolfnger, R.D. (1999). A comparson of recent approaches to the analyss of repeated measurements. Brtsh Journal of Mathematcal and Statstcal Psychology, 52, Krk, R. E. (1968). Expermental desgn: Procedures for behavoural scences. Belmont, CA: Brooks/Cole. Kowalchuk, R. K., Keselman, H. J., Algna, J. & Wolfnger, R. D. (2004). The analyss of repeated measurements wth mxed-model adjusted F tests. Educatonal and Psychologcal Measurement, 64, Lard, N. M. & Ware, J. H. (1982). Random-effects models for longtudnal data. Bometrcs, 38, Lang, K. Y. & Zeger, S. L. (1986). Longtudnal data analyss usng generalzed lnear models. Bometrka, 73, Lndqust, E. F. (1953). Desgn and analyss of experments n psychology and educaton. Boston, MA: Houghton Mffln. Lttell, R. C., Henry, P. R. & Ammerman, C. B. (1998). Statstcal analyss of repeated measures data usng SAS procedures. Journal of Anmal Scence, 76, Lttell, R. C., Mllken, G. A., Stroup, W. W. & Wolfnger, R. D. (1996). SAS system for mxed models. Cary, NC: SAS Insttute. Lttell, R.C., Pendergast, J. P. & Natarajan, R. (2000). Modellng covarance structure n the analyss of repeated measures data. Statstcs n Medcne, 19, Lx, L. H. & Keselman, H. J. (1996). Interactons contrasts n repeated measures desgns. Brtsh Journal of Mathematcal and Statstcal Psychology, 49, Mauchley, J. W. (1940). Sgnfcance test of sphercty of a normal n-varate dstrbuton. Annals of Mathematcal Statstcs, 11, Menard, S. (1991). Longtudnal research. Newbury Park, CA: Sage. Mendoza, J. L. (1980). A sgnfcance test for multsample sphercty. Psychometrka, 45,

18 26 Arnau Gras, J. Mendoza, J. L., Toothaker, L.E. & Cran, B.R. (1976). Necessary and suffcent condtons for F ratos n the L x J x K factoral desgn wth two repeated factors. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 71, Morrson, D. F. (1976). Multvarate statstcal methods. New York: McGraw Hll. Nesselroade, J. R. & Baltes, P. B. (1979). Longtudnal research n the study of behavour and development. NewYork: Academc Press. Potthoff, R. F. & Roy, S. N. (1964). A generalzed multvarate analyss of varance model useful especally for growth curve problems. Bometrka, 51, Rao, C.R. (1958). Some statstcal methods for the comparson of growth. Bometrcs, 4, Rao, C.R. (1959). Some problems nvolvng lnear hypothess n multvarate analyss. Bometrka, 46, Rao, C.R. (1965). The theory of least squares when the parameters are stochastc and ts applcaton to the analyss of growth curves. Bometrka, 52, Raudenbush, S.W. (2001). Comparng personal trajectores and drawng causal nferences from longtudnal data. Annual Revew of Psychology, 52, Rogan, J. C., Keselman, H. J. & Mendoza, J. L. (1979). Analyss of repeated measurements. Brtsh Journal of Mathematcal and Statstcal Psychology, 32, Rouanet, H. & Lépne, D. (1970). Comparson between treatments n a repeated measures desgn: ANOVA and multvarate methods. Brtsh Journal of Mathematcal and Statstcal Psychology, 23, Scheffé, H. (1959). The analyss of varance. New York: John Wley & Sons. Snger, J. D. & Wllet, J. B. (2003). Appled Longtudnal Data Analyss: Modelng change and event occurrence. Oxford: Unversty Press. Stevens, J. (1996). Appled multvarate statstcs for the socal scences. Hllsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Sullvan, L. M., Dukes, K. A. & Losna, E. (1999). An ntroducton to herarchcal lnear modellng. Statstcs n Medcne, 18, Tatsuoka, M. M. (1988). Multvarate analyss: Technques for educatonal and psychologcal research. (2nd Ed.) New York: John Wley & Sons. Tmm, N. H. (1975). Multvarate analyss wth applcaton n educaton and psychology. Monterey: Brooks/Kole. Tmm, N. H. (1980). Multvarate analyss of varance of repeated measurements. En P. R. Krshnaah (Ed.), Handbook of statstcs (vol. I). Amsterdam: North-Holland. Tmm, N. H. & Meczkowsk, T. A.(1997). Unvarate and multvarate general lnear models: Theory and applcatons usng SAS software. Cary, NC: SAS Insttute Inc. van der Leeden, R. (1998). Multlevel analyss of repeated measures data. Qualty & Quantty, 32, van der Leeden, R., Vrjburg, K. & De Lttell, J. (1996). A revew of two dfferent approaches for the analyss of growth data usng longtudnal mxed lnear models: comparng herarchcal lnear regresson (ML3, HLM) and repeated measures desgn wth structures covarance matrces (BMDP5V). Computatonal Statstcs and Data Analyss, 21, Verbeke, G. & Molenberghs, G. (1997). Lnear mxed models n practce. New York: Sprnger-Verlag. Vsser, R. A. (1985). Analyss of longtudnal data n behavoural and socal research. Leden: DSWO Press. Wall, W.D. & Wllams, H. L (1970). Longtudnal studes and the socal scences. London: Henemann. Ware, J. H. & Lang, K. Y. (1996). The desgn and analyss of longtudnal studes: A hstoral perspectve. En P. Armtage & H.A. Davd (Eds.), Advances n bometry. New York: John Wley & Sons. Wner, B. J. (1962). Statstcal prncples n expermental desgn. New York: McGraw-Hll. Wolfnger, R. D. (1996). Heterogeneous varance-covarance structures for repeated measurements. Journal of Agrcultural, Bologcal, and Envromental Statstcs, 1, Wu, Y. B., Clopper, R. & Wooldrdge, P. J. (1999). A comparson of tradtonal approaches to herarchcal lneal modelng when analyzng longtudnal data. Research n Nursng & Healt, 22, Zeger S.L. & Lang, K. Y. (1992). An overvew of methods for the analyss of longtudnal dada. Statstcs n Medcne, 11, Zhang, D. (2004). Generalzed lnear mxed models wth varyng coeffcents for longtudnal data. Bometrcs, 60, Manuscrto recbdo en Septembre de 2006 Aceptado para publcacón en Octubre de 2006